高三数学综合测试
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}{}
221,0,1,2=1A B x x A B =-->?=，，，则 A ．{}0
B ．{}2
C ．{}22-，
D ．{}
11x x x <->或
2．已知复数z 满足31z i -=- (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 A ．2
B ．2
C ．5
D ．5
3．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子原高一丈(一丈=10尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是
A ．2.55尺
B ．4.55尺
C ．5.55尺
D ．6.55尺
4．函数()3
12x
f x x ??
=- ???
的零点所在区间为
A ．()1,0-
B ．10,2?
? ???
C ．1,12??
???
D ．(1，2)
5．三个数0.87
0.87,0.8log 7，的大小关系为 A ．70.8
0.8log 70.87<<
B ．0.8
70.8log 7<7
<0.8
C ．70.8
0.80.87log 7<< D ．0.8
70.87
0.8log 7<<
6．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为53
64
和，两个零件是否加工为一等品互不影响，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A ．
12
B ．
13
C ．
512
D ．
16
7．设a ，b 是非零向量，则“2a b =”是“a b
a b
=”成立的 A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
8．已知四棱锥P ABCD -的体积是363，底面ABCD 是正方形，PAB ?是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球体积为 A ．2821π
B ．
99
112
π C ．
63
72
π D ．1083π
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是
A ．
sin tan α
α
B ．cos sin αα-
C ．sin cos αα
D ．sin cos αα+
10．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是
A ．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前
D ．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前
11．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则
A ．函数()y f x =是周期函数
B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称
C ．函数()y f x =为R 上的偶函数
D ．函数()y f x =为R 上的单调函数 12．过抛物线2
4y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则 A ．以线段AB 为直径的圆与直线y 轴相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切
C ．当922
AF FB AB ==u u u r u u u r 时， D ．AB 的最小值为4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知sin cos tan 3sin cos αα
ααα
-=+，则
的值为__________．
14．在6
212x x ?
?- ??
?的展开式中，常数项是_________(用数字作答)．
15．已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>，双曲线()22
22:10,0x y N m n m n
-=>>．若双曲线N 的两
条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为
________；双曲线N 的离心率为_______．
16．己知函数()9sin 26f x x π?
?=- ??
?，当[]0,10x π∈时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记
为123123,,,,n n x x x x x x x x ???<<
{}
n x 的前n 项和为n S ，则
()12n n S x x -+=__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(10分)
在①△ABC 面积2ABC S ?=，②6ADC π
∠=
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC ．
如图，在平面四边形ABCD 中，3,4
ABC BAC DAC π
∠=∠=∠，
_________，24,CD AB AC ==求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．(12分)
己知数列{}{}n n a b ，满足：1112,,2n n n n a a n b a n b ++=+=+=． (1)证明：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ． 19．(12分)
如图，扇形ADB 的半径为2，圆心角120.AOB PO ∠=⊥o 平面,5AOB PO =
，点C 为弧AB 上一点，
点M 在线段PB 上，BM=2MP ，且PA ∥平面MOC ，AB 与OC 相交于点N ． (1)求证：平面MOC ⊥平面POB ；
(2)求平面POA 与平面MOC 所成二面角的正弦值．
20．(12分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为2，且过点21,2??
? ???
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的上顶点为B ，右焦点为F ，直线l 与椭圆交于M ，N 两点，问是否存在直线l ，使得F 为BMN ?的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
21．(12分)
某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产()515x x ≤≤万件的该种产品所需要的总成本
()32
231630910
x C x x x =-++（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，
随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[25.26，25.30)，[25.30，25.34)，[25.34，25.38)，[25.38，25.42)，[25.42，25.46)，[25.46，25.50)，[25.50，25.54](单位：mm)中，经统计得到的频率分布直方图如图所示．
产品的品质情况和相应的价格m(元／件)与年产量x 之间的函数关系如下表所示．
以频率作为概率解决如下问题： (1)求实数a 的值；
(2)当产量x 确定时，设不同品质的产品价格为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列； (3)估计当年产量x 为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值．
22．(12分)
已知函数()()ln ,x x
f x
g x e x =
=． (1)若函数()()()21
112
h x ax x a f x =+-+????有唯一的极小值点，求实数a 的取值范围； (2)求证：()()11f x g x +≤-．