权重的确定方法
综合评价指标体系内部各元素间存在质和量的联系。由指标体系的结构模型（如层次模型），我们已经确定了指标体系质的方面的联系，那么权重则反映各系统各元素之间量的方面联系纽带，它对于系统综合评价具有重要的意义。无论是在模糊综合评价，还是层次分析、灰色系统评价无一例外的用到了评价指标的权重。
权重的概念
韦氏大词典中对权重（Weight）的解释为：“在所考虑的群体或系列中，赋
予某一项目的相对值”；“在某一频率分布中，某一项目的频率”；“表示某一项目相对重要性所赋予的一个数”。从中我们可以得出两点结论：
（1）权重是表示因素重要性的相对数值。
（2）权重是通过概率统计得出的频率分布中的频率。
由此可以看出权重具有随机性与模糊性，它是一个模糊随机量。在综合评价中权重可以定义为元素对于整体贡献的相对重要程度，即元素能够反映总体的程度。
权重的确定方法
对实际问题选定被综合的指标后，确定各指标的权的值的方法有很多种。有些方法是利用专家或个人的知识和经验，所以有时称为主观赋权法。但这些专家的判断本身也是从长期实际中来的，不是随意设想的，应该说有客观的基础；有些方法是从指标的统计性质来考虑，它是由调查所得的数据决定，不需征求专家们的意见，所以有时称为客观赋权法。在这些方法中，德尔菲（Delphi）方法是被经常被采用的，其它方法就相对来说用得不多，这里列举几个在下面，以供比较。
1. 德尔菲法
德尔菲法又称为专家法，其特点在于集中专家的知识和经验，确定各指标的权重，并在不断的反馈和修改中得到比较满意的结果。基本步骤如下：
（1）选择专家。这是很重要的一步，选得好不好将直接影响到结果的准
确性。一般情况下，选本专业领域中既有实际工作经验又有较深理论修养的专家
10～30人左右，并需征得专家本人的同意。
（2）将待定权重的p个指标和有关资料以及统一的确定权重的规则发给
选定的各位专家，请他们独立的给出各指标的权数值。
（3）回收结果并计算各指标权数的均值和标准差。
（4）将计算的结果及补充资料返还给各位专家，要求所有的专家在新的基础上确定权数。
（5）重复第（3）和第（4）步，直至各指标权数与其均值的离差不超过预先给定的标准为止，也就是各专家的意见基本趋于一致，以此时各指标权数的均值作为该指标的权重。
此外，为了使判断更加准确，令评价者了解已确定的权数把握性大小，还可以运用“带有信任度的德尔菲法”，该方法需要在上述第（5）步每位专家最后给出权数值的同时，标出各自所给权数值的信任度。这样，如果某一指标权数的任任度较高时，就可以有较大的把握使用它，反之，只能暂时使用或设法改进。
2. 两两比较法
这一方法往往与德尔菲法结合使用。当需要确定权系数的指标非常多时，专家们往往难以对所有各项的重要程度有把握和准确的判断。但对两两各项之间的重要程度作出判断是比较容易的。故而先让专家和决策者对指标作成对比较，然后再确定权值。目前，人们广泛采用1～9尺度作为确定判断定量值的依据，在这个依据上，设定对i A 与j A 两个因素进行重要度比较时，比较尺度ij a 的含义如表2.3所示；对于n 个因素n x x x ,,,21 ，利用两两比较法进行因素间重要程度的比较结果如表2.4所示；得到比较矩阵A ：
??
???
??
?????=nn n n n n a a a a a a a a a A
212222111211 其中：ji ij ii a a a 1,1==
表 2.3 比较尺度ij a 的含义
表 2.4 两两比较结果
假设在矩阵A 中做两两比较时，令i w 为第i 个指标的重要程度，j w 为第j 个指标的重要程度，ij a 为第i 个指标相对于第j 个指标的重要程度比较值，即：
j
i
ij w w a =
（2.39） 根据该矩阵可以用一定的方法求出权向量的值，通常有和法、根法、特征根法和最小平方法等，这里主要介绍特征根法。
特征根法：
令各组成元素对目标的特征向量为
()T
n w w w W ,,,21 = （2.40）
如果有∑==n
i i w 1
1，且矩阵A 满足
n k j i a a a jk
ik ij ,,2,1,, ==
。 （2.41）
则A 成为一致性矩阵，简称一致阵。
n 阶一致性矩阵A 具有下列性质：
（1）A 的秩为1, A 的唯一非零特征根为n 。
（2）A 的任一列（行）向量都是对用特征根n 的特征向量。
如果得到的成对比较判断矩阵是一致阵，则对应于特征根n 并归一的特征向量表示各因素对目标（或上层因素）的权重，该向量称为权向量。
如果两两成对比所得的判断矩阵A 不是一致阵，但在不一致的允许范围内，则对应于A 的最大特征根mac λ的特征向量（归一化后）作为权向量W 。即W 满足
W AW max λ= （2.42）
其中W 的分量()n w w w ,,,21 就是对应于n 个因素的权重系数。 3. 熵值确定权重法
熵是来自热力学的一个概念，在哲学和统计物理中熵被解释为物质系统带来的混乱和无序程度。信息论则认为它是信息源的状态的不确定程度。在综合评价中，运用信息熵评价所获系统信息的有序程度及信息的效用值是很自然的，统计物理中的熵值函数形式对于信息系统应是一致的。
熵值确定权重法是依据熵的概念和性质，以及各指标相对重要程度的不确定性来分析各指标的权重的。
设已获得m 个样本的n 个评价指标的初始数据矩阵{}
n
m ij
x X ?=，由于各指标
的量纲、数量级及指标优劣的取向均有很大差异，故需对初始数据做无量纲化处理。处理方法根据样本的实际特点和性质选取合适的方法
无量纲化处理后的标准化矩阵为：{}
n
m ij
y Y ?=。则j 项指标的信息熵值为：
ij m
i ij j y y k e ln 1
∑=-= （2.43）
式中常数k 与系统的样本数m 有关，对于一个信息完全无序的系统，有序度为零，其熵值最大，1=e 。m 个样本处于完全无序分布状态时，m
y ij 1=，则：
1ln ln 1
1ln 111===-=∑∑==m k m m
k m m k e m
i m
i （2.44）
于是得到：
10)(ln 1
≤≤=-e m k （2.45）
由于信息熵j e 可用来度量j 项指标的信息（指标的数据）的效用价值，当完全无序时，1=j e 。此时，j e 的信息（也就是j 指标的数据）对综合评价的效用价值为零。因此，某项指标的信息效用价值取决于该指标的信息熵j e 与1的差值j h :
j j e h -=1 （2.46）
可见，利用熵值法估算各指标的权重，其本质是利用该指标信息的价值系数来计算的，其价值系数越高，对评价的重要性就越大（或称对评价结果的贡献越大），于是j 指标的权重为：
∑==
n
j j
j
j h
h w 1
（2.47）
熵值法是根据各指标所含信息有序度的差异性，也就是信息的效用价值来确定该指标的权重。所以它是一种客观赋权的方法。客观赋权的方法还有很多，如：最大值法、公正法、最小距离法及数理统计中的主成分分析法等等，由于用的不是很多,这里就不详细介绍。
主观赋权法是由专家根据自己的经验和对实际的判断给出的，选取的专家不同，得到的权重就不同。该类方法的主要特点是主观随意性大，且并未因采取诸如增加专家数量和仔细选取专家而得到根本改善，故在个别情况下采用单一种主观赋权可能与实际情况存在较大的差异。该方法的优点是专家可根据实际问题，较为合理地确定各分量的重要性。客观赋权法的原始数据来源于各指标的实际数据，具有绝对的客观性，但有时会因为所取样本不够大或不够充分，最重要的分量不一定具有最大的权重，最不重要的分量可能具有最大的权重。所以在实际确定指标的权重中，可以将主观赋权法和客观赋权法结合起来，我们称之为组合赋权法。
可选用一种或几种主观赋权和客观赋权法按一定组合成综合权重。通常采取两种方法：
（1）乘法
设采用n 种赋权法进行权值n k w w w w k
m k k k ,,2,1),,,,(2
1 ==的确定，则组合
权值为：
m j w
w
w m
j n k k j
n
k k
j
j ,,2,111
1 ==
∑∏∏=== （2.48）
该方法对各种权重的作用一视同仁，只要某种作用小，则组合权系重亦小。 （2）加法
设采用n 种赋权法进行权值n k w w w w k
m k k k ,,2,1),,,,(2
1 ==的确定，则组合权值为：
m j w
w
w m j n
k k j
k
n
k k j
k
j ,,2,111
1
==
∑∑∑===λλ （2.49）
其中，k λ为这些权重的权系数，由∑==n
k k 1
1λ，该方法的特点是各种权重之间
有线性补偿作用。
组合赋权可以弥补单纯使用主观赋权法或客观赋权存在的特点，减少随意性及解释性。可根据需要选择各种赋权方法采用合适的组合方式构造组合权值。