2018年高考模拟试卷数学卷
本试卷分为选择题和非选择题两部分。考试时间120分种。请考生按规定用笔将所有试题的答案标号涂、写在答题纸上。
选择题部分（共40分）
一．选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. (原创)已知集合}065{2<+-=x x x A ，}044{2>+-=y y y B ，则=B A C U )(( ) A.
),3[]2,(+∞-∞ B.),3[)2,(+∞-∞ C.φ D.),3()2,(+∞-∞
（命题意图：考查集合的基本运算）
2. （原创）已知直线02:1=-+y ax l 与02)2(:2=-+-ay x a l 垂直，则=a （ ） A.1 B.0 C.1或0 D.-1或0
（命题意图：考察两直线的位置关系）
3.（原创）已知??
?
??≥≤+≥0
1x y x x
y ，则12++=y x z 的最小值为 （ ）
A.
21 B.53 C.1 D.3
5 （命题意图：考察线性规划）
4.(原创)已知)(x f 的导函数)('
x f 的图像如图所示，则有（ ） A.)(x f 有最小值，无最大值 B.)(x f 有1个极大值，2个极小值 C.)(x f 无极值 D.)(x f 无最值
（命题意图：考察导数与函数的关系）
5.(根据17年浙江高考第5题改编)若函数,sin cos )(2
b x a x x f ++=在区间??
?
???2,0π上的最大值为M,最小值为m,则M-m 的值（ ）
A.与a 有关，且与b 有关
B.与a 有关，但与b 无关
C.与a 无关，但与b 有关
D.与a 无关，且与b 无关 （命题意图：考察二次函数的最值）
6.（原创）下列命题中真命题的个数为（ ）
x
y
（1）若点b 为)(x f 的极值点，则必有)('
b f =0的逆命题
（2）若0122
>++ax ax 的解为R ，则10< （3）过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面 （4）平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 （命题意图：考查命题、极值点的概念、空间直线平面的位置关系） 7.（原创）)ln()(2 c bx ax x f ++=的部分图像如图所示，则 =+-c b a （ ） A.-1 B.1 C.-5 D.5 （命题意图：考察对数的运算及性质） 8.（原创）已知抛物线)0(22 >=p px y 与双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 有相同的焦点2F ,点P 是 两曲线的一个交点，且5 7 2 1= PF PF ,其中21,F F 分别为双曲线的左右焦点，则双曲线的渐近线方程为 （ ） A.x y 3±= B.x y 4 2 ± = C.x y 3±=或者x y 22±= D.x y 33± =或者x y 4 2±= （命题意图：考察双曲线、抛物线的定义及双曲线的渐近线方程） 9.（根据18年浙江省普通高校招生考试模拟卷五第15题改编）已知单位向量→ 1e 、→ 2e 满足2 1 21= ?→ →e e ，若→→-p e 1与→→ -p e 212的夹角为3 π ，则→p 的取值范围为（ ） A. [)+∞,0 B.)13,13( +- C.[)13,0+ D.[) 13,0- （命题意图：考察平面向量的运算） 10. (根据18年浙江省普通高校招生考试模拟卷二第10题改编)如图，矩形ABCD 中，AB=1，BC=2，将ADC ?沿对角线AC 翻折至C AD ' ?，使顶点'D 在平面ABC 的投影O 恰好落在边BC 上，连结'BD ，设二面角 C AB D --',B AC D --',C AD B --'的大小分别为γβα,,，则有 （ ） A.γβα=+ B.γβα>+ C.γβα<+ D.βγα<+ （命题意图：考察空间几何二面角的计算） 非选择题部分（共110分） 二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17题每小题4分，共36分） 11.（原创）已知复数i z i -=+3)1(，则=z ，→ z 的虚部为 （命题意图：考查复数概念及其基本运算） 12.（原创）已知某个三棱锥的三视图如右图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的表面积为 ，体积为 ． （命题意图：考查三视图、几何体表面积和体积的计算） 13（原创）已知数列}{n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若 43=S ,126=S ,则=q ，=12S （命题意图：等比数列的性质） 14.（原创）已知32 )1()11(x x a ++ 的各项系数之和为64，则=a ，2x 的系数为 （命题意图：考查二项式定理及二项式系数的性质） 15.（原创）四个不同球放入四个不同的盒子中，每个盒子中都允许不放球.若记ξ为有球的盒子数，则=ξE . （命题意图：考查概率及期望） 16.（17年天津高考卷改编）已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，且)(x f 在R 上单调递增， )()(x xf x g =，则不等式)43()2(2 -<-x g x x g 的解集为 （命题意图：考察求导、函数单调性、解不等式） 17.（根据自三维设计不等式中练习题改编）已知R c b a ∈,,，若1cos sin 2 ≤++c x b x a 对R x ∈恒成立，则b x a +cos 的最大值为 正视 2 俯视 （命题意图：考察绝对值不等式） 三、解答题：（本大题共5小题，共74分） 18.（原创）（本题满分 14分）已知 )sin cos ,sin 32(x x x a -=→ ， )sin cos ,(cos x x x b +=→ ,→ →?=b a x f )( (1) 求()x f 的最小正周期和单调递增区间 (2) 已知ABC ?的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，)(x f 在角 2 A 处取到最大值，其中7=a ，14 3 13sin sin = +C B ，求c b -的值 （命题意图：考查向量的坐标运算、三角函数的性质、正弦定理、余弦定理） 19. （2018年浙江教育绿色评价联盟第19题）（15分）在矩形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 边的中点，现将AED ?、BEF ?分别沿DE 、EF 折起，使A 、B 两点重合与点P ，连接PC,已知2= AB ,BC=2 (1)证：DF ⊥平面PEF (2)求直线PC 与平面PEF 所成角θ的正弦值 （命题意图：考查空间几何中的线、面关系、空间角） 20.(2017·全国卷Ⅰ)（15分）已知函数f (x )＝a e 2x ＋(a －2)e x －x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围． （命题意图：函数、导数、零点及分类讨论问题） 21.(2017·嘉兴模拟)（15分）设椭圆x2a2＋y23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF|＋ 1 |OA|＝ 3e |FA| ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围． （命题意图：考查求椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系） 22. （2018年浙江教育绿色评价联盟第19题）（15分）已知正项等比数列{}n a 满足101< )(1 sin 1*+∈+= N n a a a n n n （1）求证：11<<+n n a a （2）设n S 是数列 {}n a 的前n 项和，求证：12- n （命题意图：考察数列不等式） 2018年高考模拟试卷 参考答案及评分标准 数学卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17题每小题4分，共36分） 11. 5 ; 2 12. 74434++; 3 3 8 13. 3 12 ; 60 14. 2 ; 10 15. 64 175 16. ?? ? ? ??-4,2117 17. 2 三、解答题，本大题共5小题，共74分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 18．（本题14分） (1)x x x x x f 2 2sin cos cos sin 32)(-+= x x 2cos 2sin 3+= )6 2sin(2π + =x ......................................3分 ∴)(x f 的最小正周期π=T ...................................4分 由)(22 6 222 Z k k x k ∈+≤ +≤+-ππ π ππ 知)(6 3 Z k k x k ∈+≤ ≤+- ππ ππ 所以)(x f 的单调递增区间为)(6,3Z k k k ∈?? ? ???++-ππππ.........6分 （2）2)6 sin(2)2(=+=π A A f )(2 6 Z k k A ∈+= + ∴ππ π 2 3 sin ,3 = =∴A A π ..............................8分 E C c B b A a sin sin sin = = c C b B 14 3sin ,143sin == ∴ ∴根据,14 3 13sin sin = +C B 知13=+c b ............................11分 根据2 1 22)(2cos 22222=--+=-+= bc a bc c b bc a c b A 知40=bc 94)()(22=-+=-∴bc c b c b 3±=-∴c b ...............................................................................14分 19．（本题15分） （Ⅰ） PF EP ⊥，PD EP ⊥，∴⊥EP 平面PFD ，∴FD EP ⊥. …………2分 又由题意可知：26= EF ，3=DF ，2 2 3=DE ，则FD EF ⊥. ……………4分 ∴⊥DF 平面PEF . ……………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，面⊥PEF 底面CDEF ，EF 为交线，过P 作EF PG ⊥，则⊥PG 底面CDEF ， 22= PE ，1=PF ，26=EF ，∴33=PG ，66=EG ，3 3 =FG . 法一：过C 作EF CH ⊥，交EF 延长线于H ， ……………8分 ⊥CH 面PEF ，则CPH ∠即为所求线面角. ……………10分 2=PD ，2=CD ，33022= +=CG PG PC ，3 3==PG CH .……………12分 sin CH PC θ∴= =……………15分 法二：过C 作PG 的平行线CZ ，则⊥CZ 底面CDEF ，以C 为原点，CD ， CF ，CZ 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. ………8分 则)0,35,32( G ，)33,35,32(P ，)0,2,22(E ，)0,1,0(F ，)3 3 ,35,32(=. ……………10分 取面PEF 法向量)0,1,2(-=n . ……………12分 101033 30 | 03532| |,cos |sin =?+-=><=θ . ……15分 20．（本题15分） 解：(1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝2a e 2x ＋(a －2)e x －1＝(a e x －1)(2e x ＋1)．..............................................2分 (ⅰ)若a ≤0，则f ′(x )<0， 所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减．.............................................................4分 (ⅱ)若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝－ln a . 当x ∈(－∞，－ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(－ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．........7分 (2)(ⅰ)若a ≤0，由(1)知，f (x )至多有一个零点．............................................8分 (ⅱ)若a >0，由(1)知，当x ＝－ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (－ln a )＝1－1 a ＋ln a . ①当a ＝1时，由于f (－ln a )＝0， 故f (x )只有一个零点； ②当a ∈(1，＋∞)时，由于1－1 a ＋ln a >0， 即f (－ln a )>0，故f (x )没有零点； ③当a ∈(0,1)时，1－1 a ＋ln a <0，即f (－ln a )<0. 又f (－2)＝a e － 4＋(a －2)e － 2＋2>－2e － 2＋2>0， 故f (x )在(－∞，－ln a )有一个零点．...........................................................12分 设正整数n 0满足n 0>ln ? ?? ??3a －1， 则f (n 0)＝e n n 0(a e n ＋a －2)－n 0>e n －n 0>2 n －n 0>0. 由于ln ? ?? ??3a －1>－ln a ， 因此f (x )在(－ln a ，＋∞)有一个零点． 综上，a 的取值范围为(0,1)...........................................................................15分 21．（本题15分） 解：(1)设F (c,0)，由 1|OF|＋1|OA|＝3e |FA| ， 即1c ＋1 a ＝错误!，可得a 2－c 2＝3c 2................................................2分 又a 2－c 2＝ b 2＝3，所以 c 2＝1.因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x24＋y2 3 ＝1..............................................................4分 (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)，设B (x B ，y B )，由方程组错误!消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0...................................6分 解得x ＝2或x ＝8k2－6 4k2＋3 由题意得x B ＝8k2－64k2＋3，从而y B ＝－12k 4k2＋3........................................8分 由(1)知F (1,0)，设H (0，y H )， 有FH ―→＝(－1，y H )，BF ―→＝? ????9－4k2 4k2＋3，12k 4k2＋3. 由BF ⊥HF ，得BF ―→·FH ―→ ＝0， 所以4k2－94k2＋3＋12kyH 4k2＋3＝0，解得y H ＝9－4k212k . 因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k . 设M (x M ，y M )，由方程组错误!消去y ， 解得x M ＝错误!..........................................................12分 在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ?|MA |≤|MO |， 即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ， 化简，得x M ≥1，即错误!≥1， 解得k ≤－ 64或k ≥6 4 ....................................................15分 22．（本题15分） （1）方法一：令)0(-sin )(>=x x x x f ，0≤1-cos )(x x f =′ ，∴)(x f 在（0，+∞）单调递减， ∴x x f x f <∴ = sin -1+=+n n n n a a a a ………………2分 ∵}{n a 是正项数列，∴n n a a 1sin 1<+<+= +n n n n n a a a a a ， 10∴1<<+n a . ………………4分 0-1 -1sin -∴1<+<+= +n n n n n n n n a a a a a a a a . ………………7分 ∴11<<+n n a a ，