常微分方程的积分因子求解法
内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。
关键词： 全微分方程，积分因子。
一、 基本知识
定义1.1 对于形如
0),(),(=+dy y x N dx y x M （1.1）
的微分方程，如果方程的左端恰是x ，y 的一个可微函数),(y x U 的全微分，即d ),(y x U = dy y x N dx y x M ),(),(+，则称（1.1）为全微分方程.
易知，上述全微分方程的通解为 ),(y x U =C , （C 为任意常数）.
定理1.1 （全微分方程的判别法）设),(y x M ，),(y x N 在x ，y 平面上的单连通区域G 内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为
x
y x N y y x M ??=??),(),( （1.2） 证明见参考文献[1].
定义1.2 对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(y x μ，使得方程
),(y x μ0),(),(),(=+dy y x N y x dx y x M μ （1.3）
是全微分方程，则称),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子.
定理1.2 可微函数),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为
x
y x y x N ??),(ln ),(μ-y y x y x M ??),(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),( （1.4） 证明：由定理1.1得，),(y x μ为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为 x
y x N y x y y x M y x ??=??)),(),(()),(),((μμ， 展开即得： x y x y x N ??),()
,(μ-y y x y x M ??),(),(μ=),(),(),(y x x y x N y y x M μ???? ????-??. 上式整理即得（1.4）. 证毕 注1.1 若),(y x μ0≠，则（1.3）和（1.1）同解。所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故关键在于求积分因子),(y x μ。
为了求解积分因子),(y x μ，必须求解方程（1.4）。一般来说，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，当),(y x μ具有某种特殊形式时还是较易求解的。
二、特殊形式的积分因子的求法
情况1 当),(y x μ具有形式)(x μ时，方程（1.4）化为
dx
x d y x N )(ln ),(μ=x y x N y y x M ??-??),(),(， 即
dx x d )(ln μ=???
? ????-??x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 于是得到： 定理2.1 微分方程（1.1）具有形如)(x μ的积分因子的充要条件为
???
? ????-??x y x N y y x M y x N ),(),(),(1 只是x 的连续函数, 不含y . 此时易得, dx x y x N y y x M y x N e
x ?=???? ????-??),(),(),(1)(μ.
类似地
定理2.2 微分方程（1.1）具有形如)(y μ的积分因子的充要条件为
???
? ????-??x y x N y y x M y x M ),(),(),(1 只是y 的连续函数, 不含x . 并且, dy x y x N y y x M y x M e y ?=???? ????-??-),(),(),(1)(μ.
例2.1 求0)]()([=+-dy dx x q y x p 的通解.
解: 因 ???
? ????-??x y x N y y x M y x N ),(),(),(1=)(x p , 故 ?=dx x p e x )()(μ. 方程两边同乘以?
=dx x p e x )()(μ得 ?dx x p e )(0)]()([)(=?+-dy e dx x q y x p dx x p , 即??
?????-??dx e x q ye d ds s p dx x p )()()(0=, 故通解为??-?dx e x q ye ds s p dx x p )()()(=C , 即??
?????+?=?-dx e x q C e y ds s p dx x p )()()(，（C 为任意常数）. 情况 2 如果(1.1)具有形如)(y x ±μ的积分因子, 令y x z ±=, 则)(y x ±μ =)(z μ. 由(1.4)得
dz z d )(ln μ=???
? ????-??x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1 , 于是得到:
定理 2.3 微分方程（1.1）具有形如)(y x ±μ的积分因子的充要条件为
???
? ????-??x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1 只是y x z ±=的连续函数, 此时积分因子为
dz x y x N y y x M y x M y x N Ce y x z ?=±=???? ????-??),(),(),(),(1)()( μμ, (C 为任意非零常数).
例2.2 求 0)32()32(32233223=-+++-++dy x x xy y dx y y y x x 的积分因子.
解: 因 ???
? ????-??x y x N y y x M y x M y x N ),(),(),(),(1 =y x +-2
故方程具有形如)(y x +μ的积分因子, 取1=C 得，)(y x +μ?=++-)(2
y x d y x e
=2)(1y x +. 情况3 如果(1.1)具有形如)(xy μ的积分因子, 令xy z =, 则)(xy μ=)(z μ. 由(1.4)得
dz z d )(ln μ=???
? ????-??-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1, 于是得到:
定理 2.4 微分方程（1.1）具有形如)(xy μ的积分因子的充要条件为
???
? ????-??-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1只是xy z = 的连续函数, 此时积分因子为
dz x y x N y y x M y x xM y x yN Ce xy z ?==???? ????-??-),(),(),(),(1)()(μμ, (C 为任意非零常数).
例2.3 求0)3(23=-+dy y x x ydx 的积分因子.
解: 因 ???
? ????-??-x y x N y y x M y x xM y x yN ),(),(),(),(1=xy 3-， 故方程具有形如)(xy μ的积分因子, 取1=C 得 )(xy μ?=-)(3
xy d xy e =3
)(1xy -. 情况 4 一般地, 如果方程(1.1)具有形如)(n m y x ±μ的积分因子, 令n m y x z ±=, 则)(n m y x ±μ)(z μ=. 由(1.4)得
dz z d )(ln μ=???? ????-??--x y x N y
y x M y x M ny y x N mx n m ),(),(),(),(111 , 于是得到
定理2.5 微分方程（1.1）具有形如)(n m y x ±μ的积分因子的充要条件为
???? ????-??--x y x N y
y x M y x M ny y x N mx n m ),(),(),(),(111 只是n m y x z ±=的连续函数,
此时积分因子为 dz x y x N y y x M y x M ny y x N mx n m n m Ce
y x z ?=±=???? ????-??--),(),(),(),(111)()( μμ, (C 为
任意非零常数).
类似地, 我们有 定理 2.6 微分方程（1.1）具有形如)(l k y x μ的积分因子的充要条件为
???? ????-??---x y x N y
y x M y x M y lx y x N y kx l k l k ),(),(),(),(111只是l k y x z =的连续函数, 此时积分因子为 dz x y x N y y x M y x M y lx y x N y kx l k l k l k Ce
y x z ?==???? ????-??---),(),(),(),(111)()(μμ, (C 为任意非零常数).
例2.4 求 0)(2223=-+dy xy x dx y 的积分因子.
解: 由 ???
? ????-??---x y x N y y x M y x M y lx y x N y kx l k l k ),(),(),(),(111， =]
)2(2[4522y l k kx y x x y l k +--, 易知, 欲使上式仅是l
k y x z =的函数, 只须22)2(245y l k kx x y +--等于常数即可. 为此, 令 42=k , 52=+l k , 得 2=k , 1=l . 此时 2
2)2(245y l k kx x y +--=-1. 取1=C 得y x e y x y x d y x 2)(1121
)(22=?=-μ.
三、一般理论
定理 3.1 如果),(y x μ是微分方程(1.1)的积分因子, (1.1)乘以),(y x μ后得到(1.3). 设(1.3)的左端为),(y x dU , 则)),((),(y x U y x Φμ仍是(1.1)的积分因子. 其中, )(?Φ是任何可微函数.
定理 3.2 在(1.1)中, 若),(y x M 和),(y x N 在长方形区域Q 上连续,且),(y x N 在Q 上处处不为零. 对于(1.1)的任何两个在Q 上处处连续且恒不为零的
积分因子),(1y x μ, ),(2y x μ(从而),(1y x μ, ),(2y x μ在Q 上不变号), 设
]),(),()[,(),(11dy y x N dx y x M y x y x dU +=μ
]),(),()[,(),(22dy y x N dx y x M y x y x dU +=μ.
则在Q 内任一点),(y x , 可定出一邻域, 在此邻域内,
)
,(),(12y x y x μμ只是),(1y x U 的函数.
上述两定理的证明可参见参考文献[3]. 注 3.1 由定理3.1和定理3.2 即知, 设),(y x μ是(1.1)的积分因子, (1.3)的左端为),(y x dU , 则(1.1)的积分因子通式为)),((),(y x U y x Φμ. 其中, )(?Φ是任何可微函数.
例3.1 求 0)73()35(223=-+-dy xy x dx y xy 的积分因子及通解.
解: 重新组合: )35(2dy x xydx +0)73(23=+-dy xy dx y ,
对于前一个括号内可求得一个积分因子y x 211=
μ, 乘之得dy y dx x 35+ ][ln 35y x d =. 故前一个括号内可取积分因子通式为y x 21
)(351y x Φ. 同样可得后一个括号内的积分因子通式为
31xy )(732y x Φ. 下面求出1Φ, 2Φ, 使得
y x 21
)(351y x Φ=31xy )(732y x Φ. 设 αs s =Φ)(1, βs s =Φ)(2, 即有 y x 21
α)(35y x =31xy β)(73y x , 于是得 ???-=--=-3
7131325βαβα, 解得2
1=α, 21=β. 从而即得原微分方程的一个积分因子为2121y x , 用2121y x 乘以方程的两边可求得通积分为 C y x y x =-27232325, (C 为任意常数).