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第八章立体几何
§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．高考主要考查空间几何体的结构和视图，柱、锥、台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，三视图一般会在选择题、填空题中考查，以给出空间图形选择其三视图或给出三视图判断其空间图形的形式出现，考查空间想象能力．
1．棱柱、棱锥、棱台的概念
(1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．
(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．
※注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
※2.棱柱、棱锥、棱台的性质
(1)棱柱的性质
侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________．
(2)正棱锥的性质
侧棱相等，侧面是全等的__________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．
(3)正棱台的性质
侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．
3．圆柱、圆锥、圆台
(1)圆柱、圆锥、圆台的概念
分别以________的一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．
(2)圆柱、圆锥、圆台的性质
圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、___________、___________；平行于底面的截面都是__________．
4．球
(1)球面与球的概念
以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________．
(2)球的截面性质
球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．
5．平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________．平行投影的投影线互相__________．6．空间几何体的三视图、直观图
(1)三视图
①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括__________、__________、__________．
②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相
等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指
正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和
侧(左)视图的宽度要相等．
(2)直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规
则是：
①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内
作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝
________且∠yOz＝________．
②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，
O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝
____________．x′O′y′所确定的平面表示水平面．
③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，
在直观图中分别画成____________x′轴、y′轴或z′轴的
线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形
中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观
图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来
的__________．
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得
到了空间图形的直观图．
注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和
投影效果上的区别是：(1)观察角度：三视图是从三个
不同位置观察几何体而画出的图形，直观图是从某一
点观察几何体而画出的图形；(2)投影效果：三视图是
在平行投影下画出的平面图形，用斜二测画法画出的
直观图是在平行投影下画出的空间图形．
【自查自纠】
1．(1)平行四边形平行
(2)多边形三角形
2．(1)平行四边形全等平行四边形矩形
(2)等腰三角形直角三角形直角三角形
直角三角形直角三角形
(3)等腰梯形直角梯形直角梯形
3．(1)矩形直角三角形直角梯形
(2)矩形等腰三角形等腰梯形圆
4．(1)直径球心(2)垂直于d＝R2－r2
5．平行投影平行
6．(1)①正(主)视图侧(左)视图俯视图
(2)①90°90°②45°(或135°)90°
③平行于
④一半
下列说法中正确的是()
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D
解：根据棱柱、棱锥的性质及截面性质判断，故
选D.
以下关于几何体的三视图的论述中，正确的
是()
A
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形
C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形
D
解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选
择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．故选A.
(2012·陕西)将正方体(如图a所示)截去两个
三棱锥，得到图b所示的几何体，则该几何体的侧视
图为()
解：还原正方体知该几何体侧视图为正方形，AD1
为实线，B1C的正投影为A1D，且B1C被遮挡为虚线．故
选B.
用一张4cm×8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧
面，则圆柱轴截面的面积为________cm2(接头忽略不
计)．
解：以4cm或8cm为底面周长，所得圆柱的轴截
面面积均为
32
πcm
2，故填32
π．
已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC
的平面直观图△A′B′C′的面积为________．
解：如图所示是实际图形和直观图．
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝
1
2OC＝
3
4a，在
图中作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，
则C′D′＝
2
2O′C′＝
6
8a.
∴S△A′B′C′＝
1
2A′B′×C′D′＝
1
2×a×
6
8a＝
6
16a
2.
故填
6
16a
2.
类型一空间几何体的结构特征
(2012·湖南)
均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是(
解：D
故选D.
【评析】
考中的热点题型．本题可用排除法一一验证：
C都有可能，而D
若某几何体的三视图如图所示，
几何体的直观图可以是()
解：从俯视图看，B，D
不符合，D符合，而从侧视图看D
D.
类型二空间几何体的三视图
如图，某几何体的正视图(主视图)
四边形，侧视图(左视图)
)
B．93
D．18 3
9，所以体积V＝9×3＝
“长对
”，不难将其还原得到斜四棱柱．
一个体
积为20cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.
5cm，6cm，
，则三棱锥的体积为V＝
1
3×
1
2×5×6×h
故填4.
类型三空间多面体的直观图
画法画出它的直观图．
解：
画法：(1)画轴．如图1，画x轴、y轴、z
∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
图1
(2)画底面．利用斜二测画法画出底面
z轴上截取O′使OO′
Ox的平行线
O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′
面A′B′C′D′.
(3)画正四棱锥顶点．在Oz上截取点P
等于三视图中相应的高度．
(4)成图．连接P A′，PB′，PC′，PD′，A′A
C′C，D′D
图2所示．
图2
【评析】
宽、高，再按照斜二测画法，建立x轴、y
使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，确定几何体在x
轴、z
已知一个四棱锥的高为3
1
()
B．6 2 C.
1
3D．2 2
1的
该正方形的对角线长为2，根据斜二测画法
1，高为直观图中正方
22，则原图底面积为S＝
V＝
1
3Sh＝
1
3×22×3＝2 2.
空间旋转体的直观图
用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆
1∶16，截去
3cm，求圆台的母线长．
l，截得圆台的上、下底
r，4r.
＝
r
4r，解得l＝9.
9cm.
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等
(与底面全等或相似)，
(经过旋转轴的截面)的几
圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其
.
S和正方体底面的一条对角线
SEF，正方体对
1
C1如图所示. 设正方体棱长为x，则CC1
＝2x.作SO⊥EF于O，则SO＝2，OE
1
∽△ESO，
∴
CC1
SO＝
EC1
EO，即
x
2
＝
1－
2
2x
1，
解得x＝
2
2(cm)．
故内接正方体的棱长为
2
2cm.
1．
数量关系．
2．正多面体
(1)正四面体就是棱长都相等的三棱锥，
正四棱锥拼接而成．
(2)如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1
中，连接A1B，BC1，A1C1，DC1，DA1，DB
到一个棱长为2a的正四面体A1-BDC1
方体体积的
1
3.
(3)正方体与球有以下三种特殊情形：
外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(
棱长为a，球的半径为R)．
3．长方体的外接球
(1)长、宽、高分别为a，b，c
线长等于外接球的直径，即a2＋b2＋c2＝2R.
(2)棱长为a
直径，即3a＝2R.
4．棱长为a的正四面体
(1)斜高为
3
2a；(2)高为
6
3a；(3)
为
2
2a；
外接球的半径为
6
4a，内切球的半径为
6
12a；
正四面体的表面积为3a2，体积为
2
12a
3.
三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分
对于能看见的轮廓线和棱用实线表示，
一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原
“三变、
”．
y轴平行线段的长
(减半)，图形改变．
x轴平行的线段长度不
＝
2
4S原图形，S原图形＝22S直观图．
由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几
()
平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何
故选C.
下列说法中，正确的是()
棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；
B错误；棱柱的侧
D错误；易知选项
故选C.
将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直
()
把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩
两个圆锥．故选D.
4．将正三棱柱截去三个角(如图1所示A
分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2
何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为(
A B C
解：观察图形，易知图2
直角梯形，且EB为直角梯形的对角线．故选
5．(2013·四川)
则该几何体的直观图可以是()
A．棱柱B．棱台C．圆柱D
解：
径不等的圆，又∵正视图和侧视图相同，∴
为旋转体．故选D.
6．如图，网格纸的小正方形的边长是1
的一条棱的长为()
A．2 2 B. 2 C．2 3
解：
边长为2的正方形，并且有一条长为2
底面，所以最长棱长为22＋22＋22＝2 3.
7．
________．
由正视图知，三棱柱是底面边长为2，高为1
所以底面积为2×
1
2×2×2×
3
2＝23，侧面
2×1＝6，所以其表面积为6＋2 3.故填6＋23.
如图是某个圆锥的三视图，根据图中所标尺
________，圆锥母线长为
．
由三视图可知，圆锥顶点在底面的射影是底
10，
100π，母线长为302＋102＝
故填100π；1010.
如图a是截去一个角的长方体，试按图示的
图a中几何体三视图如图b所示：
．如图1是某几何体的三视图，试说明该几何
解：图1倒立的正六棱锥堆砌而成的组合体．
斜二测画法：(1)画轴．如图2，画x 轴，y 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝∠yOz ＝90°.
(2)画底面，利用斜二测画法画出底面在z 轴上截取O ′，使OO ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′画出底面A ′B ′C ′D ′E ′F ′.
(3)画正六棱锥顶点．在Oz 上截取点P 等于正六棱锥的高．
(4)成图．连接P A ′，PB ′，PC ′，PD ′，PE ′AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE ′，FF ′示的几何体的直观图如图3所示．
注意：图形中平行于x 持原长度不变；平行于y 半．
11．某长方体的一条对角线长为7的正视图中，这条对角线的投影长为6和b ，求ab 的最大值．
解：如图，则有
1＝7，DC 1＝6， 1＝a ，AC ＝b ，
AB ＝x ，AD ＝y ，AA 1＝z ，有
y 2＋z 2＝7，x 2＋z 2＝6，∴y 2＝1. a 2＝y 2＋z 2＝z 2＋1，b 2＝x 2＋y 2＝x 2＋1， a ＝z 2＋1，b ＝
x 2＋1.
ab ＝
（z 2＋1）（x 2＋1）≤z 2＋1＋x 2
＋1
2
＝4，
z 2＋1＝x 2＋1，即x ＝z ＝3时，ab 的最4.
水以匀速注入某容器中，容器的三视图
h 与时间( )
由三视图知其直观图为两个圆台的组合体，故选C.
§8.2空间几何体的表面积与体积
1．了解棱柱、棱锥、台、球的表面积和体积的
计算公式．
2．会利用公式求一些简单几何体的表面积与
体积．
高考主要考查空间几何体的侧面积、表面积、体
积以及相关元素的关系与计算，这些内容常与三视图
相结合，以选择题、填空题的形式出现，也可能以空
间几何体为载体，考查线面关系、侧面积、表面积以
及体积．
1．柱体、锥体、台体的表面积
(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
S直棱柱侧＝__________，S正棱锥侧＝__________，S正
棱台侧＝__________(其中C，C′为底面周长，h为高，h′
为斜高)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积
S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________，S圆台侧＝
________
(其中r，r′为底面半径，l为母线长)．
(3)柱或台的表面积等于________与__________
的和，锥体的表面积等于________与__________的和．
2．柱体、锥体、台体的体积
(1)棱柱、棱锥、棱台的体积
V棱柱＝__________，V棱锥＝__________，V棱台＝
__________
(其中S，S′为底面积，h为高)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积
V圆柱＝__________，V圆锥＝__________，V圆台＝
__________
(其中r，r′为底面半径，h为高)．
3．球的表面积与体积
(1)半径为R的球的表面积S球＝________．
(2)半径为R的球的体积V球＝________.
【自查自纠】
1．(1)Ch 1
2Ch′
1
2
()
C＋C′h′
(2)2πrlπrlπ(r＋r′)l
(3)侧面积两个底面积侧面积一个底面积
2．(1)Sh 1
3Sh
1
3h
()
S＋SS′＋S′
(2)πr2h
1
3
πr2h
1
3
πh()
r2＋rr′＋r′2
3．(1)4πR2(2)
4
3
πR3
圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，
则圆柱的表面积为()
A．6π(4π＋3)
B．8π(3π＋1)
C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)
D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)
解：分两种情况：①以边长为6π的边为高时，4π
为圆柱底面周长，则2πr＝4π，r＝2，∴S底＝πr2＝4π，
S侧＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π(3π
＋1)；②以边长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周
长，则2πr＝6π，r＝3.∴S底＝πr2＝9π，S表＝2S底＋S
侧
＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)．故选C.
正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三
角形，则此三棱锥的体积为()
A.
2
3 2 B. 2 C.
2
3 D.
4
3 2
解：∵正三棱锥的侧面均为直角三角形，故侧面
为等腰直角三角形，且直角顶点为棱锥的顶点，∴侧
棱长为2，V＝
1
3×
1
2×(2)
2×2＝2
3.故选C.
已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，
则圆柱的体积与球体积之比为()
A．1∶2 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2
解：设球半径为R，圆柱底面半径为R，高为
2R.∵V球＝
4
3
πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，∴V圆柱∶V
球
＝
3∶2.故选D.
长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球
面上，且AB＝2，AD＝3，AA1＝1，则球面面积为
________．
解：∵长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一
个球面上，则外接球的直径是长方体的体对角线，而
长方体的体对角线的长为AB2＋AD2＋AA21＝22，
∴半径R
＝ 2.
∴S球＝4πR2＝8π.故填8π.
若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆
锥的体积为____________．
解：设圆锥底面半径为r，母
??
?
??πr2＝π，
πrl＝2π，
有
??
?
??r＝1，
l＝2，
＝4－1＝ 3.∴V＝
1
3×π×3＝
3
3
π.
类型一
如图，在△ABC中，∠ABC
＝90°，AD是BC边上的高，沿AD把
使∠BDC＝90°.
(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；
(2)若BD＝1，求三棱锥D-ABC
解：(1)证明：∵折起前AD是BC
∴沿AD把△ABD折起后，AD⊥
又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面
又∵AD?平面ADB，∴平面ADB
(2)由(1)知，DA⊥BD，BD⊥DC，
DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝
从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝
1
2×1×
S△ABC＝
1
2×2×2×sin60°＝
3
2.
∴三棱锥D-ABC的表面积S＝
1
2×3
【评析】
(2013·福建)
的正方形，则该球的表面积是
解：
∴正方体的体对角线为球的直径2r＝
23，S球＝4πr2＝12π.故填12π.
空间旋转体的面积问题
如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，
当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面
积之差是______．
圆柱侧面积S＝2π×4sinα×2×4cosα＝
α＝
π
4时，S取最大值32π，此时球的表面
32π.故填32π.
根据球的性质，内接圆柱上、下底面中
(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图
所示，则该几何体的表面积为____________．
4宽3高1的长方
1高为1的圆柱所成几何体，
2×(4×3＋4×1＋3×1)－2×π×12＋2π×1×1
空间多面体的体积问题
一个正三棱锥(底面是正三角形，顶点在
底面的射影是底面正三角形的中心)的底面边长为6，
侧棱长为15，求这个三棱锥的体积．
解：如图所示为正三棱锥S-ABC，设H为正三角
形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱
锥的高．
连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，
且AH⊥BC.
∵△ABC是边长为6的正三角形，
∴AE＝
3
2×6＝33，AH＝
2
3AE＝2 3.
在△ABC中，S△ABC＝
1
2BC×AE＝
1
2×6×33＝93，
在Rt△SHA中，SA＝15，AH＝23，
∴SH＝SA2－AH2＝15－12＝ 3.
∴V正三棱锥＝
1
3×S△ABC×SH＝
1
3×93×3＝9.
【评析】(1)求锥体的体积，要选择适当的底面和
高，然后应用公式V＝
1
3Sh进行计算．(2)求空间几何
体体积的常用方法为割补法和等积变换法：①割补法：
将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体
和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积；②等
积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面
均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式
来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”．
如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD
是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角
形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()
A.
2
3 B.
3
3 C.
4
3 D.
3
2
解：如图，过A，B两点分别作AM BN垂直于
EF，垂足分别为M，N，连接DM，CN，可证得DM⊥EF，
CN⊥EF，则多面体ABCDEF分为三部分，即多面体
的体积V ABCDEF＝V AMD-BNC＋V E-AMD＋V F-BNC.
依题意知AEFB为等腰梯形．
易知Rt△DME Rt△CNF，∴EM＝NF＝
1
2.
又BF＝1，∴BN＝
3
2.
作NH垂直于BC，则H为BC的中点，∴NH＝
2
2.
∴S△BNC＝
1
2·BC·NH＝
2
4.
∴V F-BNC＝
1
3·S△BNC·NF＝
2
24，
V E-AMD＝V F-BNC＝
2
24，V AMD-BNC＝S△BNC·MN＝
2
4.
∴V ABCDEF＝
2
3，故选A.
类型四空间旋转体的体积问题
某几何体的三视图如图所示，则它的体
积是()
A8－
2π
3B．8－
π
3
C．8－2π D．
2π
3
解：由三视图知几何体为一个正方体中间去掉一
个圆锥，所以它的体积是V＝23－
1
3×π×1
2×2＝8－2
3
π.
故选A.
【评析】根据已知三视图想象出该几何体的直观
图，然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式
进行计算．
(2012·河南模拟)已知某几何体的三视
图如图所示，其中，正(主)视图、侧(左)视图均是由三
角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，
根据图中的数据可得此几何体的体积为()
A.
2π3＋1
2 B.4π3＋1
6 C.2π6＋16
D.2π3＋12
解：下部是半球，根据三视图中的数据可得V ＝12×43π＋13×????12×1×1×1＝2π6＋1
6.故选C.
1．几何体的展开与折叠
(1)象能力的常用方法．
(2)多面体的展开图
①直棱柱的侧面展开图是矩形；
形拼成的，底面是正多边形；
拼成的，底面是正多边形．
(3)旋转体的展开图
①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长；
锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；
分别为圆台的上、下底面周长．
注：①圆锥中母线长l 与底面半径r 多动手推导，加深理解．②S 圆锥侧＝12cl 和S 圆台侧＝1
2(c ′＋c )l 2．空间几何体的表面积的计算方法
分割法、补体法、”可以解决一些点到
后，转化为规则几何体
2的等边三角形，C .3π3 D .3π 2，母线长为2，则该
，因此其体积是13
π·12
×3＝
( ) C ．6 D . 6
a ，
b ，
c ，则a ＝1，b ＝2，c l ＝
a 2＋
b 2＋
c 2＝ 6.
A ．2π＋2 3
B ．4π
C ．2π＋23
3
D ．解：圆柱的底面半径为1，高为2，体积为的底面边长为2，高为3，233.所以该几何体的体积为2π＋23
3
.4．将长、宽分别为4和3角线AC 折成直二面角，得到四面体A 体A -BCD 的外接球的表面积为( )
A ．25π
B ．50π
C ．解：由题设知AC 32＋42＝5，S 表＝4πR 2＝4π×????522＝5．设M ，N 是球O 半径OP MN ＝OM ，分别过N ，M ，O A ．3∶5∶6 B ．3C ．5∶7∶9
D ．5解：设球的半径为R ，以N ，M 径分别为r 1，r 2.由题知M ，N 是OP 中求得r 21＝R 2－????2R 32＝5R 29，r 22＝R 2－三个圆的半径的平方比为5R 29∶8R
29∶R 故选D .
6．(2012·全国新课标)已知三棱锥顶点都在球O 的球面上，△ABC 形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2为( )
A.2
6
B.3
6
C.2
3
解法一：△ABC 的外接圆的半径r 面ABC 的距离d ＝
R 2－r 2＝
6
3
，SC ABC 的距离为2d ＝26
3
.故此棱锥的体积
ABC ×2d ＝13×34×263＝26
.
V <13S △ABC ×2R ＝3
6，排除B ，C ，D ，故
(左)(主)视图是直角三角形，是直角梯形，则此几何体的体积为．
有一侧棱垂直底面的四棱锥，此几何体的体积为1
3
×(2
2＝4.故填4.
江苏)如图，在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F -ADE V 1，三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2，则．
h ，则V 1＝13S △ADE h 2＝13×
1
4
＝1
24
V 2，故V 1∶V 2＝1∶24.故填1∶24.
P ，A ，B ，C ，如，PC 两两互相垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝a ，
P A ，PB ，PC 两两互相垂直，
且P A＝PB＝PC＝a，
∴可作一正方体以P，A，B，C
方体的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球．
∴2R＝3a，即R＝
3
2a.
∴S球＝4πR2＝4π×????
3
2a
2
＝3πa2.
10．
正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4
三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为
4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解：
为4，顶点在底面的射影是矩形中心的
P-ABCD.
(1)V＝
1
3×(8×6)×4＝64.
(2)该四棱锥有两个侧面P AD，PBC
三角形，且BC边上的高为h1＝42＋????
8
2
2
＝
另两个侧面P AB，PCD
AB边上的高为h2＝42＋????
6
2
2
＝5，
因此S＝2????
1
2×6×42＋
1
2×8×5＝40＋24 2.
11．一个圆锥的底面半径为R＝2，高为
在这个圆锥内部有一个高为x的内接圆柱．当
值时，圆柱的表面积最大？最大值是多少？
解：
r＝R－
R
H x＝2－
1
3x.
2π????
2－
1
3x x
?
?
2
＋
9
2.
取得最大值9π.
湖北)一个几何体的三视图如图所
示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体
V3，V4，上面两个简单几何体均
3
B．V1 4 D．V2 V1＝ 1 3×1×(π V2＝π×12×2＝2π，V3＝23＝8，V4 )16＝28 3.综上可知，V2 4. §8.3空间点、线、面之间的位置关系 1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． 本节内容在高考中常以几何体为载体，考查平面的基本性质、空间两直线的位置关系的判定及运用，特别是异面直线的概念、所成角的计算等．题型多以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题中，以此考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力． 1．平面的基本性质 (1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或__________________． (2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面． 公理2的推论如下： ①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； ②经过两条相交直线，有且只有一个平面； ③经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题． 2．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线 ①定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 注：异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”． ②异面直线的画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性． ③异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．异面直线所成角的范围是____________．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________． 3．平行公理 公理4：平行于____________的两条直线互相平行(空间平行线的传递性)．它给出了判断空间两条直线平行的依据． 4．等角定理 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________． 【自查自纠】 1．(1)两点直线在平面内(2)不在一条直线 (3)有且只有一条 2．(1)一个公共点没有公共点没有公共点 (2)③???? 0， π 2互相垂直异面垂直 3．同一条直线 4．相等或互补 (2013·安徽)在下列命题中，不是 ．．公理的是() A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 C 这条直线上所有的点都在此平面内 D 它们有且只有一条过该点的公共直线 解： 面面平行的性质定理，故选A. 若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1 O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( A．OB∥O1B1且方向相同 B．OB∥O1B1 C．OB与O1B1不平行 D．OB与O1B1不一定平行 解： 边不一定平行，如圆锥的母线与轴的夹角． 若点P∈α，Q∈α，R∈β，α∩β＝m，且 PQ∩m＝M，过P，Q，R三点确定一个平面γ， 是() A．直线QR B．直线PR C．直线RM D．以上均不正确 解：∵PQ∩m＝M，m?β，∴M∈β. 又M∈平面PQR，即M∈γ，故M是β与 共点．又R∈β，R∈平面PQR，即R∈γ， ∴R是β与γ的公共点．∴β∩γ＝MR.故选 给出下列命题： ①空间四点共面，则其中必有三点共线； ④空间四点中任何三点不共线， 其中正确命题的序号是____________． 解：易知②③正确．故填②③. 在空间四边形ABCD中，已知E、F AB、CD的中点，且EF＝5，又AD＝6，BC AD与BC所成角的大小是____________． 解：如图所示，取BD的中点G，连接EG 根据题意有EG∥AD，GF∥BC，∴直线AD与 成的角与直线EG与GF的夹角相等，即∠ ∵AD＝6，BC＝8，∴EG＝ 1 2AD＝3，GF＝ 1 2BC 在△EGF中，EF＝5，∴EF2＝EG2＋GF2.∴∠ AD与BC所成的角为90°.故填90°. 类型一基本概念与性质问题 如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形， ABCD，则下列结论中不正确的是() AC⊥SB AB∥平面SCD SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 由线面垂直关系知AC⊥SB.由线面平行判定 平面SCD.由图形对称性知C也正确．对于选 与SC所成的角为∠SCD，DC与SA所成的 SAB＝90°，∴D错．故选D. 此题虽是小题，但对空间中的线与线和 “小题大作”，浪费时间． 如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′. 哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ 直线BA′和CC′的夹角是多少？ 哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ (1)由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′， ′C′，B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线． 由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与 ∠B′BA′＝45°，所以直线BA′与CC′的夹 . 直线AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′， AA′垂直． 类型二点共线、线共点问题 如图，E，F，G，H 形内AB，BC，CD，DA上的点，且EH与 于点O. 求证：B，D，O三点共线． 证明：∵点E∈平面ABD，点H∈平面 ∴EH?平面ABD. ∵EH∩FG＝O， ∴点O∈平面ABD. 同理可证点O∈平面BCD. ∴点O∈平面ABD∩平面BCD＝BD. 即B，D，O三点共线． 【评析】(1) 和D确定一条直线，然后证明点O也是直线 点，也就是证明点O 明点O也是直线BD上的点时，运用了公理1 理3，这种方法是证明点共线的通用方法．(2) 如变式2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 F分别为AB，AA1的中点． 求证：(1)EF∥D1C； (2)CE，D1F，DA三线共点． 证明：(1)连接A1B，则EF∥A1B， A1B∥D1C.∴EF∥D1C. (2)∵面D1A∩面CA＝DA， EF∥D1C，EF＝ 1 2D1C， D1F与CE相交． D1F?面D1A，CE?面AC， D1F与CE的交点必在DA上． CE，D1F，DA三线共点． 类型三共面问题 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角 BAD＝∠F AB＝90°，BC綊 1 2AD，BE綊 1 2F A， F A、FD的中点． 证明：四边形BCHG是平行四边形； C、D、F、E四点是否共面？为什么？ (1)证明：∵GH是△AFD的中位线， GH綊 1 2AD.又BC綊 1 2AD，∴GH綊BC， 四边形BCHG为平行四边形． C、D、F、E四点共面． BE綊 1 2AF， G为F A中点知，BE綊FG， 四边形BEFG为平行四边形， EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH， EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E 点共面的证明方法和点共线的证明方法 下列如图所示的正方体和正四面体，P、 S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形 ．(填所有满足条件图形的序号) 解：易知①③中PS∥QR，∴ 构造如图所示的含点P，S，R，Q 四点共面．在④中，由点P，R，Q 象观察知点S在平面α外， 故填①②③. 类型四异面直线问题 如图所示，在四棱锥P-ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线 交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面 的角为60°. (1)求四棱锥的体积； (2)若E是PB的中点，求异面直线DE 的角的余弦值． 解：(1)在四棱锥P-ABCD中，∵PO⊥ ∴∠PBO是PB与平面ABCD 60°，且PO⊥OB.在Rt△AOB中，∵AB＝2 AB·sin30°＝1.在Rt△POB中，PO＝BO· ∵底面菱形面积S＝23，∴四棱锥P- V P-ABCD＝ 1 3×23×3＝2. (2)取AB的中点F，连结EF，DF.∵E ∴EF∥P A.∴∠DEF为异面直线DE与P A 其补角)．在Rt△POA中，P A＝6，∴EF 在正△ABD和正△PDB中，DF＝DE 弦定理得 cos∠DEF＝ DE2＋EF2－DF2 2DE·EF 所成角的余弦值为 2 4. ”，通 B1C1的侧棱与底面 边长都相等，BC的中点， 则异面直线() A. 3 4. 7 4D. 3 4 A1D，AD，易知θ 1 所成的角或其补 上的射影为BC AD A1D＝BD＝ 1 2 AB，在中，设AB长为a， D. 2的三个推论， 是实现立体问题平面化的重要工具． 2．判断两条直线为异面直线的方法有： 法；(2) 明它们既不相交，也不平行即可；(3) 线是异面直线． 3． 中求解， 角，因为异面直线所成角的范围是???? 0， π 2. 4．证明“线共面”或者“点共面”问题时， 其余的直线或者其余的点也在这个平面内． 5．证明“点共线”问题时， 公共点，根据公理3 线上，即点共线． 6． 换； 解题提供直观的模型，提高解题速度． 1．若空间中三条直线a、b、c满足a⊥b 则直线a与c() A．一定平行B．一定相交 C．一定是异面直线D．一定垂直 解：∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.故选D. 2．如图，点P、Q、R、S 上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS 线的一个图是() A，B中PQ綊RS，D中直线PQ与RS相交 SQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条件； PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直 PQ与RS是异面直线．故选C. 设a，b是异面直线，那么() a，b a，b a存在惟一的一个平面平行于b a存在惟一的一个平面垂直于b A错，可以存在无数个平面同时平行于a， a，b同时垂直；D错， b.综上所述C正 C. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于 30°B．45°C．60°D．90° 延长CA到D，使得AD＝AC，连接A1D， ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面 1 与AC1所成的角，又△A1DB为等边三角形， 1 B＝60°.故选C. ABCD-A1B1C1D1中，下列结 的是() A1C1∥平面ABCD AC1⊥BD AC1与CD成45°角 A1C1与B1C成60°角 由A1C1∥AC，AC?平面ABCD，A1C1?平面 ABCD，知A1C1∥平面ABCD，A正确；由BD ACC1A1知BD⊥AC1，B正确；由A1D∥B1C ∠DA1C1为A1C1与B1C所成的夹角，又∵△ 等边三角形，∴∠DA1C1＝60°.故选C. 6．过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A 使l与棱AB，AD，AA1 l可以作() A．1条B．2条 C．3条D．4条 解：显然正方体的体对角线AC1与棱AB AA1所成的角都相等，将该正方体以A AB，AD，AA1 可以得到8个象限，其中在平面ABCD 限内的每一个象限内均有一条与AC1 此三条棱成等角，即这样的直线l有4条． 7．已知a，b，c ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥b，b⊥c，则a⊥c； ④若a与b 都垂直． 其中真命题是______________( 题的序号)． 解：根据平行直线的传递性可知①正确； b⊥c，则a与c可以平行也可以相交或异面， 确；易知③ 数条，④不正确．故填①③. 8．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1 ＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE 的余弦值为____________． 解：如图，连接D1A，D1E，可知∠D1AE 面直线所成的角或其补角，可求得AD1＝5 5，AE＝6，据余弦定理易得：cos∠D1AE 故填 30 10. 9．如图，设E，F，G，H，P，Q A1B1C1D1所在棱上的中点，求证：E，F，G， Q共面． 连接A1C1，GQ，EH，∵E，F，G，Q分 D1，D1C1，C1C，A1A的中点，∴EF∥A1C1∥QG. FG∥EH. E，F，G，Q确定平面α，F，G，H，E确定 α与β都经过不共线的三点E，F，G，故α E，F，G，H，Q五点共面． E，F，G，P，Q五点共面． E，F，G，H，P，Q共面． ．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1＝2， AD＝a(a>0)． 求异面直线B1C与BD1所成角的余弦值； 当a为何值时，使B1C⊥BD1? (1)以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为 1 为z轴建立空间直角坐标系，则有： ，3，0)，D1(0，0，2)，B1(a，3，2)，C(0，3，0)， 1 ＝(－a，－3，2)，B1C → ＝(－a，0，－2)． 〈BD1 → ，B1C → 〉＝ BD1 → ·B1C → || BD1 →·|| B1C → ＝ a2－4 a2＋13·a2＋4 . B1C与BD1所成角的余弦值为 || a2－4 a2＋13·a2＋4 (a>0) . (2)由(1)知，当a＝2时，B1C⊥BD1 11．(2012·江西)如图，在梯形ABCD E，F是线段AB上的两点，且DE⊥ AB＝12，AD＝5，BC＝42，DE＝4.现将△ 分别沿DE，CF折起，使A，B 到多面体CDEFG. (1)求证：平面DEG⊥平面CFG； (2)求多面体CDEFG的体积． 解：(1)证明：由已知可得AE＝3， 叠完后EG＝3，GF＝4，而EF＝5， 又因为CF⊥底面EGF，可得CF⊥ ＝F，即EG⊥面CFG，EG?平面 DEG⊥平面CFG. (2)过G作GO垂直EF于点O，GO 因为平面CDEF⊥平面EFG CDEF， 所以所求体积为 1 3S长方形DEFC·GO 16. 如图，在△ABC中，∠ABC ＝90°，AD是BC边上的高，沿AD把 使∠BDC＝90°. 证明：平面ADB⊥平面BDC； 设E为BC的中点，求异面直线AE与DB所 (1)证明：∵折起前AD是BC边上的高， 当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.又 ＝D，∴AD⊥平面BDC. AD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC. 过点E作BD的平行线交CD于F，连接AF， 即为异面直线AE与DB所成的角． EF∥BD，∴EF⊥面ACD.∴EF⊥AF. AB＝a，由已知得AC＝3a，AD＝ 3 2a， ＝ 1 2a，DC＝ 3 2a，∴EF＝ 1 2BD＝ 1 4a， ＝AD2＋DF2＝ 3 4a 2＋ ? ? ? ? 3 4a 2 ＝ 21 4a. 在Rt△AEF中， ＝AF2＋EF2＝ 21 16a 2＋1 16a 2＝22a 4， ∠AEF＝ EF AE＝ a 4 22 4a ＝ 22 22. 高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③ 过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ） 高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值. 6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值 2020高考数学之立体几何解答題23題 一．解答题（共23小题） 1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点． （Ⅰ）求证：AN∥平面MEC； （Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由． 2．如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2 的菱形，AC⊥CB，BC=1． （Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC； （Ⅱ）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小． 3．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°． （I）求点P到平面ABCD的距离， （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小． 4．在正三棱锥P﹣ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值． 5．如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知． （1）求证：B1C1⊥平面OAH； （2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小． 6．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形． （1）求证：AD⊥BC． （2）求二面角B﹣AC﹣D的大小． （3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由． 4 42 立体几何 热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解. π 【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO. (1)求证：平面PBD⊥平面COD； (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明∵OB＝OC，又∵∠ABC＝ π 4 ， ππ ∴∠OCB＝，∴∠BOC＝. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC， OC?平面ABC，∴PO⊥OC. 又∵PO，AB?平面PAB，PO∩AB＝O， ∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PDB. 又CO?平面COD， ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. ? →·n ? 则 sin θ＝? ?|PD||n|? PD BC BD BC BD ＝? ?＝ 02＋（－1）2＋（－1）2× 12＋12＋32 ? 11 1×0＋1×（－1）＋3×（－1） 设 OA ＝1，则 PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1. 则 C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴→＝(0，－1，－1)，→＝(2，－2，0)，→＝(0，－3，1). 设平面 BDC 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z)， ??n·→＝0， ?2x －2y ＝0， ∴? ∴? ??n·→＝0， ?－3y ＋z ＝0， 令 y ＝1，则 x ＝1，z ＝3，∴n＝(1，1，3). 设 PD 与平面 BDC 所成的角为 θ， ? PD ? → ? ? ? ? 2 22 . 即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为 2 22 11 . 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标. 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示，在多面体 A B D DCBA 中，四边形 AA B B ，ADD A ，ABCD 均为正方 1 1 1 1 1 1 1 形，E 为 B D 的中点，过 A ，D ，E 的平面交 CD 于 F. 1 1 1 1 (1)证明：EF∥B C. 1 (2)求二面角 EA D B 的余弦值. 1 1 (1)证明 由正方形的性质可知 A B ∥AB∥DC，且 A B ＝AB ＝DC ，所以四边形 A B CD 为平行 1 1 1 1 1 1 A B C D P 《立体几何》专题 练习题 1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点， P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点， （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面； （2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β． 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标； ②求异面直线EF 与AD 所成的角； ③求点C 到截面AEFG 的距离． 4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD 平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （III ）求二面角C-PA-B 的余弦值． 5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的余弦值． 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A （Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1； （Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长. 7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证： （Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1； （Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值． 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且60DAB ∠=，1AD AA =F 为 棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点． （Ⅰ）求证：直线MF //平面ABCD ； （Ⅱ）求证：直线MF ⊥平面11ACC A ； （Ⅲ）求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体，P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点，满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ??? E ， F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）? ?????CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD B C? （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C . 求证：（1）EF∥平面ABC （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC， 因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1， 又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D， 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 故平面A1FD⊥平面BB1C1C P A B C D D P A B C F E （2010年第16题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离． 证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ． 解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝ 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2． （方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3 ． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝ 2 2 ． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3 ，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2． 【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳 一、选择题 1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． 643 π B ．8316π π+ C ．28π D ．8216π π+ 【答案】B 【解析】 【分析】 结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】 结合三视图，还原直观图，得到 故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+，故选B ． 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等． 2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ） A ．7 B ．3 C ．1+3 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值， Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠o o o 221111111113 2cos 13223()72 MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??- ??= 故选A ． 【点睛】 本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题． 3．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）. A 10 B ．3:1 C ．2:1 D 102 【答案】A 年高考数学试题知识分类大全立体几何 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 2007年高考数学试题汇编 立体几何 一、选择题 1．（全国Ⅰ?理7题）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中， AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为（ D ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．5 4 2．（全国Ⅱ?理7题）已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于（ A ） A ． 6 B ． 10 C ． 2 2 D ． 3 3．（北京理3题）平面α∥平面β的一个充分条件是（ D ） A ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥ B ．存在一条直线a a a αβ?，，∥ C ．存在两条平行直线a b a b a b αββα??，，，，∥，∥ D ．存在两条异面直线a b a a b αβα?，，，∥，∥ 4．（安徽理2题）设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l α⊥”是l m ⊥且“l n ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也 不必要条件 5．（安徽理8题）半径为1的球面上的四点D C B A ,,,是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（ ） A ．)33arccos(- B ．)36arccos(- C ．)31arccos(- D ．)4 1arccos(- 6．（福建理8题）已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ D ） A ．,,//,////m n m n ααββαβ??? B ． //,,//m n m n αβαβ??? C ．,//m m n n αα⊥⊥? D ． //,m n n m αα⊥?⊥ 2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何 一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个 球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的 厚度则球的体积为 ） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的 直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（ ）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积 之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为 （ ） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何 体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正 方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如 图所示则该四棱台的体积是 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 - 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . （一） 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 （一） 1.D 2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=， 由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，()1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0,0,{n AB n PB ?=?= 即 30 30x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0,m 0,{PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27cos ,727 m n ==- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27- （二） 1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 23 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1， DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 . 3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D 5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P 2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角 1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证： 1AB ⊥平面1A BC ； (2)若15360AC BC A AB ==∠=?，，,求二面角11B A C C --的余弦值. 2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面 平面，点为的中点． （1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 2AB AD =， BD =，且PD ⊥底面ABCD . （1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ； （2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ?=u u u v u u u v ，求二面角Q BD C --的大小. 4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面. （1）求证：； （2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值. 5．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点. （1）求证： //EF 平面PCD ； （2）若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=，求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值. 6．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; （Ⅱ）求证:平面PQB ⊥平面PAD ; （Ⅲ）若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值. 历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解） （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ， 因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1， 又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题） 2021年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试（十）理 新人教A 版 一、选择题 1．空间中四点可确定的平面有( ) A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．1个或4个或无数个 答案 D 解析 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面． 2．一个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图，如图所示，则这个几何体的体积为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 答案 C 解析 根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；它的底面三角形的面积为S 底面＝1 2×2×1＝1，棱柱高为h ＝2，∴棱柱的体积为S 棱柱＝S 底面·h ＝1×2＝2. 3．下列命题中，错误的是( ) A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面 B ．平面α∥平面β，a ?α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥a C ．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ所成的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥d D ．一条直线与两个平面成等角，则这两个平面平行 答案D 解析A正确，三角形可以确定一个平面，若三角形两边平行于一个平面，而它所在的平面与这个平面平行，故第三边平行于这个平面；B正确，两平面平行，一面中的线必平行于另一个平面，平面内的一点与这条线可以确定一个平面，这个平面与已知平面交于一条直线，过该点在这个平面内只有这条直线与a平行；C正确，利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定C是正确的；D错误，一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，故应选D. 4．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．不能确定 答案B 解析作AE⊥BD，交BD于E， ∵平面ABD⊥平面BCD， ∴AE⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AE⊥BC， 而DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DA⊥BC， 又∵AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD， 而AB?平面ABD，∴BC⊥AB， 即△ABC为直角三角形．故选B. 5．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( ) 05 立体几何 （三）立体几何初步 1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. (4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2.点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ? 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A．90πB．63π C．42πD．36π 【答案】B 【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规 则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 考向二 球的组合体 样题4 （2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．π B ． 3π4 C ． π2 D ． π4 【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示： 由题意可得：， 结合勾股定理，底面半径， 由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B. 【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解. 样题5 （2017江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12 O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则 1 2 V V 的值是 . 2019届高考理科数学专题 高考中的立体几何问题 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.一个多面体的三视图如图4-1所示,则此多面体的表面积是() 图4-1 A.22 B.24- C.22+ D.20+ 2.如图4-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积 是() 图4-2 A.+π B.+π C.4+π D.+π 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为,则该正方体的棱长为() A. B. C.3 D.2 4. [数学文化题]如图4-3为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱 的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表 面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为() A. B.2 C.6 D.2 5. [数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图4-4所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为() 图4-4 A.2 cm B.cm C.cm D.cm 6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为 AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为() 图4-5 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积 为. 8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0 （2018 文 I ）在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． ⑴证明：平面平面； ⑵为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积． （2018 文 I I ）如图，在三棱锥中，， ，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． ABCM 3AB AC ==90ACM =?∠AC ACM △M D AB DA ⊥ACD ⊥ABC Q AD P BC 2 3 BP DQ DA ==Q ABP -P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC PO ⊥ABC M BC 2MC MB =C POM A B C P O M （2018 文 III ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． ⑴证明：平面AMD ⊥平面BMC ； ⑵在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由． （2017 文 I ）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA=PD=AB=DC,90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为8 3 ，求该四棱锥的侧面积. （2017 文 II ）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD , 1 ,2 AB BC AD BAD == ∠90.ABC =∠=? （1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为P ABCD -的体积. （2017 文 III ）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD=CD ． （1）证明：AC ⊥BD ； （2）已知△ACD 是直角三角形，AB=BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．高中数学立体几何测试题及答案一)
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