初一二命题集-----俞博云
已知△ABC 是等边三角形，CO 是△ABC 的中线，D 是CO 上的一点，且DO=BO=6cm ，OF ⊥AB (1)求BC 的长
(2)求证∠1=30°（用两种不同方法解） (3)求△ABC 的面积
(1)因为CO 是等边三角形ABC 的中线，DO=BO=6cm
∴AO=BO=6cm=1
2
AB
∴BC=AB=2AO=12cm
(2)1因为CO 是等边三角形ABC 的中线∴CO ⊥AB 于O,CO 平分∠BCA,OF ⊥AB
∴∠2=1
2
∠ACB=30°
∴∠B+∠1=∠B+∠2=90°∴∠1=∠2=30°
2RT ABC 斜边上的中线
∴OP=12
BC
又因为∠2=30°
∴BO=12
BC
∴OP=PC=OB 因为∠2=30°,∠BOC=RT ∠∴∠3=∠2=30°,∠BOP=60°因为OF ⊥BP ∴OF 平分∠BOP ∴∠1=30°
(3)因为BO=6cm=1
2
AB
∴
∴S
4
*144=363cm 2
如图，在RT△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点O是BC的中点，连结OA
(1)若点M,N分别在线段AB,AC上移动，在移动中始终保持AN-BM,请判断△OMA的形状，并说明理由
(2)若点M,N分别在线段BA,AC的延长线上运动，在移动中始终保持AN=BM,请判断△OMN的形状，并说明理由
(1)ΔOMN是等腰直角三角形，理由如下：
连结OA,
因为O是BC的中点，∠C=90°
∴OA=OB
因为AC=AB
∴AO平分∠CAB，∠B=45°
∴∠1=(1/2)∠CAB=45°
∴∠1=∠B
因为AN=AM
∴ΔANO?ΔBMO
∴ON=OM,∠2=∠3
因为∠4+∠3=90°
∴∠2+∠4=90°
∴ΔOMN是等腰直角三角形。
(2)ΔOMN是等腰直角三角形，理由如下：
连结OA,
因为O是BC的中点，∠C=90°
∴OA=OB
因为AC=AB
∴AO平分∠CAB，∠B=45°
∴∠1=(1/2)∠CAB=45°
∴∠1=∠B
因为AN=AM
∴ΔANO?ΔBMO
∴ON=OM,∠2=∠3
因为∠4+∠3=90°
∴∠2+∠4=90°
∴ΔOMN是等腰直角三角形。
初三命题集-----俞博云
小明在探索弦图的过程中,研究了几个问题其中有几个问题小明已经得到了解决,但有几个问题他还是得不到解决,希望你能给他支支招成功解决问题。
题目：已知正方形ABCD其边长为4，
(1)如图1在正方形中ABCD有四个全等的直角三角形,其中∠A=∠B=∠C=∠D=90°,设AF=x,S正方形EFGH=y,求y关于x的函数表达式x的取值范围
(2)如图2在正方形中ABCD有四个全等的直角三角形,其中∠AFB=∠CGB=∠CHD=∠AED=90°,设AF=x,S正方形EFGH=y,求y关于x的函数表达式x的取值范围
(3)如图3在正方形中ABCD有四个全等的直角三角形,其中∠A=∠B=∠C=∠D=90°,EF交KL 于点P,交IJ于点M,GH交KL于点O,交IJ于点N,已知IE=1,设AF=x,S正方形MNOP=y,求y 关于x的函数表达式x的取值范围
(4)如图4在正方形中ABCD有四个相似的直角三角形,其中∠A=∠BFG=∠C=∠D=90°,BE交AH于点E,交FG于点F,设AE=x,S四边形EFGH=y,求y关于x的函数表达式x的取值范围
(1)由题意得AE=4-x
∴y=EF 2=x 2+4-x ()2=2x 2-8x+16其中0﹤x ﹤4()(2)由题意得BF=16-x 2，∴GF=16-x 2-x ∴y=GF 2=-2x 16-x 2+16其中0﹤x ﹤4()(3)由题意得AE=5-x ，∴EF=2x
2-10x+25
∵IE=1,正方形ABCD 其边长为4,IEM ~AEF,IEM
?KEP
∴5-x
x
∴y=PM 2=2x 2-10x+25-x (2
=2x 2+-10x+20
2x 2+-10x+25,
∵D 是E 的一个极端，B ∴1≤x ≤4
(4)由题意得四边形
EFGH 为矩形，BE=16-x 2，∵
ABE ~ADH ∴AH 4=4BE ,
AH 44
∴
4x
∴
16-x 24x
∵
∴2
∴y=EH×16-x
216-x 2256-32x 2+x ∵当点E 与点F 重合时为极端∴0﹤x ﹤22
注：第（4）小题答案有误
如图直线y=-2x+3交y 轴于A ，x 轴于C ，B 是双曲线y=上的点，且B （2,2）在平面内有
一点D ，AB=AD ，且D,C,B 三点共线 （1）求点D 的坐标
（2）若在双曲线上有一点G ，作GF ⊥x 于点F ，作DE ⊥x 于点E ，试问四边形DEFG 的面积可能为3吗？若能求出点G 的坐标如不能请说明理由
（1）由题意可求出C(3
2
,0)，A(0,3)
则可设直线CD 的解析式，并把点B,C 的坐标得直线CD 为y=4x-6
同理可设直线AB 的解析式，并把点B,A 的坐标得直线AB 为y=-1
2
x+3
作AB 的中垂线l,则可设直线l 的解析式为y=2x+b ，并把线段AB 中点的坐标代入直线得直线l 为y=2x+12
于是把直线l 和直线CD 的解析式联立可得D(134,7)
（2）存在，可设EF=x
当G 在DE 右侧时则由题意可得12（7+4
13
4
+x ）x=3
化简可得28x 2+83x-78=0∴Δ=15625=1252
∴x=34或-26
7(不合题意，舍去）
当x=3
4
时可得G(4,1)；
当G 在DE 左侧时则由题意可得12（7+4
13
4
-x ）x=3
化简可得28x 2+83x-78=0∴Δ
∴56
3.97＞13
(不合题意，舍去）
当
如图ABC ，AB=52，BC=65，AC=5，在ABC 的内部作线段BD ，CF,且D 是CF 的中点，∠FDB=45°，连结并延长AF,交于点E,E BD 的中点。(1)求证:EF=FD=2ED (2)求AE ，AF (3)过FD 的中点G 并延长交AC 于H ，求证:EH ⊥AC
(1)将图画入网格中则可直接看出EF=FD=2ED (2)同上做法可求得AE=25,AF=5,
(3)以E 点为原点建立直角坐标系（有多种建立直角坐标系的方法答案只为其中一种）则通过网格可以看出G （2,1.5），C （5,0），G （2,4）
∴直线AC 为y=-43x+203，直线GE 为y=3
4
x
∵-1-43=
34∴AC ⊥EG
已知P为平面内任意一点,平行四边形ABCD在这个平面内，连结AC,BD,CP,BP,O为AC与BD的交点,
M、N分别为PB,PC的中点,连结AN，BM,Q为AN与DM的交点,
求证: (1)O,P,Q三点共线
(2)PQ=2OQ.
如图，已知线段AB，C是它的三等分点，BC=2AC,D,E是平面内任意两点（起码有一点不在直线AB上），
连结BD,BE,DE,作BD,BE的中点M,N，作射线DA,MC交于点F,作射线EA,NC,交于点G,连结DG,GF,FE。求证四边形DEFG是平行四边形。
B
(1)作AF DC,连结DF ，则可得四边形AFDC 是平行四边形∴DF=AC=DB,∠FDB=60°∴BF=BD ∵BF
≥FA+BA ∴BD ≥FA+BA
(2)作AF DC,连结DF ，则可得四边形AFDC 是平行四边形∴DF=AC=DB,∠FDB=θ∴BF=2sin θBD ∵BF ≥FA+BA
∴2sin θBD ≥FA+BA
F
4.定义：对角线相等的四边形为等对角线四边形
(1)当四边形ABCD 为等对角线四边形时，且对角线的夹角为60°，且交于点为E 求边AD 与BC 之和与其中一条对角线的大小关系
(2)当四边形ABCD 为等对角线四边形时，且对角线的夹角为θ ，且交于点为E 求边AD 与BC 之和与其中一条对角线的大小关系
如图△ABC 与△ECF 均为等腰直角三角形，∠CEF=∠ABC=90°,C 是它们的公共顶点连结AF ，M 是AF 的中点，连结BM,EM,请证明无论∠BCE 的度数为多少时BM 始终等于EM ，且∠BME=90°
F
A
证明：对于BC 反射三角形ABC 于三角形CBD,对于CE 反射三角形CEF 于三角形CEG ，连结DF ，AG(如图)∵CBD 由ABC 对于BC 反射得来∴AB=DB ，即B 是AD 的中点∵M 是AF 的中点∴DF=2BM 同理AG=2FM
由反射可知AC=CD ,CF=CG ,∠ACB=∠DCB,∠FCE=∠GCE ∵△ABC 与△ECF 均为等腰直角三角形，∠CEF=∠ABC=90°∴,∠ACB=∠DCB=∠FCE=∠GCE=45°∴∠ACD=∠GCF=90°
即∠ACG+∠GCD=∠FCD+∠GCD=90°∴∠ACG=∠FCD ∴AGC ?DFC
∴AG=DF,AGC 可看作DFC 绕点C 旋转90°所得的图形∴BM=FM ，AG ⊥DF
∵BM ，FM 分别为ADF,FAG 的中位线∴BM ⊥FM
在平面直角坐标系中有函数y = (3/x)在第一象限的一个分支和函数y = (5/x)在第三象限的一个分支，我们规定横纵坐标均为整数的点叫整点。已知A,B是整点，A在函数y = (3/x)上，B在函数y = (5/x)上,且A,B关于点C(-1,0)中心对称，在平面内有点D使△ABD为等腰直角三角形（点D不在坐标轴上和一，三象限）
(1)求点A,B的坐标，
(2)求出所有D点的坐标和所有D点连接而成的图形的面积
(3)设直线AB与在不同象限内的点D所连接的线段m交于点E(E不与C重合)，点F,G分别是函数y = (3/x)和y = (5/x)上的除A,B以外的整点连接EF,EG，用两种不同方法求证：E,F,G三点共线；直线AB,m,FG三线共点
（改编）如图，是正方形ABCD，AC，BD是正方形ABCD两条对角线且交于点O，F是射线DC上一点.作直线AF交射线BC于E，连结并延长OF，DE交于点G.
(1)求∠EGF的度数.
(2)若正方形ABCD边长为2，求当点F运动时G点所经过的轨迹的长.（如果轨迹的一端或两端取不到可以用“无限接近于###”表示）
如图，是直角三角形ABC，∠C=90°,以AB边向外做一个正三角形ABD，延长CB至点E(E不
再线段CB上），使∠DEB=45°，若CE=
(1)请用两种不同的几何方法求S△ABD的最小值
(2)若设CB=x，请画出S关于x的函数图象