北京市西城区2014年高三一模试卷
数 学（理科） 2014.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．设全集U =R ，集合2{|0}A x x =<≤，{|1}B x x =<，则集合()U A B = e（ ） （A ）(,2]-∞
（B ）(,1]-∞
（C ）(2,)+∞
（D ）[2,)+∞
2. 已知平面向量(2,1)=-a ，(1,1)=b ，(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为（ ） （A ）2
（B ）
1
2
（C ）
114
（D ）114
-
3．在极坐标系中，过点π(2,)2
且与极轴平行的直线方程是（ ） （A ）2ρ=
（B ）2
θπ=
（C ）cos 2ρθ= （D ）sin =2ρθ
4．执行如图所示的程序框图，如果输入2,2a b ==，那么输出的a 值为（ ） （A ）4 （B ）16 （C ）256 （D ）3log 16
5．下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ） （A ）()sin =f x x （C ）()cos =f x x （B ）()sin cos =f x x x （D ）2
2
()cos sin =-f x x x
6． “8m <”是“方程22
1108
x y m m -=--表示双曲线”的（ ）
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了()n n *
∈N 年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） （A ）3 （B ）4
（C ）5
（D ）6
8. 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）
（A ） 4个 （B ）6个
（C ）10个
（D ）14个
B
A
D
C
. P
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数
1i
i 2i
x y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______． 10. 若抛物线2
:2C y px =的焦点在直线240x y +-=上，则p =_____；C 的准线方程为_____．
11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是________.
12．若不等式组1,0,26,a
x y x y x y ???
?+??+?≥≥≤≤表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是
_______.
13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）
14．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB =，1CD =，
(0)BC a a =>，P 为线段AD （含端点）上一个动点，设AP xAD = ，PB PC y ?=
，对于函数()y f x =，
给出以下三个结论：
○
1 当2a =时，函数()f x 的值域为[1,4]； ○
2 (0,)a ?∈+∞，都有(1)1f =成立；
○
3 (0,)a ?∈+∞，函数()f x 的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________.
A D C
P
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知2
2
2
b c a bc +=+.
（Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）如果cos =B ，2b =，求△ABC 的面积.
16．（本小题满分13分）
在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.
（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a ，b 的值；
（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了()*
∈n n N 个，如果这n 个灯泡的等级情况恰好与按．三个．．等级分层抽样．．．．．．
所得的结果相同，求n 的最小值； （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X 表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X 的分布列和数学期望.
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 和侧面11BCC B 都是矩形，E 是CD 的中点，1D E CD ⊥，22AB BC ==.
（Ⅰ）求证：1⊥BC D E ； （Ⅱ）求证：1B C // 平面1BED ；
（Ⅲ）若平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π
3
，求线段1D E 的长度.
18．（本小题满分13分）
已知函数2ln ,
,()23,,x x x a f x x x x a >??=?-+-??
≤ 其中0a ≥．
（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）如果对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <，求a 的取值范围.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆22
12
x W y +=：，直线l 与W 相交于,M N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C 、
D 两点，O 为坐标原点.
（Ⅰ）若直线l 的方程为210x y +-=，求OCD ?外接圆的方程；
（Ⅱ）判断是否存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
1
20．（本小题满分13分）
在数列{}n a 中，1
()n a n n
*=∈N . 从数列{}n a 中选出(3)k k ≥项并按原顺序组成的新数列记为{}n b ，并称{}n b 为数列{}n a 的k 项子列. 例如数列1111
,,,2358
为{}n a 的一个4项子
列.
（Ⅰ）试写出数列{}n a 的一个3项子列，并使其为等差数列；
（Ⅱ）如果{}n b 为数列{}n a 的一个5项子列，且{}n b 为等差数列，证明：{}n b 的公差d 满足1
08
d -
<<； （Ⅲ）如果{}n c 为数列{}n a 的一个(3)m m ≥项子列，且{}n c 为等比数列，证明：
1231
122
m m c c c c -++++-
≤.
北京市西城区2014年高三一模试卷参考答案及评分标准
高三数学（理科） 2014.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．C 2．B 3．D 4．C 5．D 6．A 7．A 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．2
5
-
10．8 4x =-
11． 12．(3,5) 13．48
14．○2,○3
注：第10题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为 2
2
2
b c a bc +=+，
所以 2221
cos 22
b c a A bc +-=
=， ……………… 3分
又因为 (0,π)∈A ，
所以 π
3
A =. ……………… 5分
（Ⅱ）解：因为 cos 3
=
B ，(0,π)∈B ，
所以 sin B ==. ………………7分
由正弦定理 sin sin =
a b
A B
， ………………9分
得 sin 3sin ==b A
a B
. ………………10分
因为 222
b c a bc +=+，
所以 2
250--=c c ，
解得 1=±c 因为 0>c ，
所以 1=c . ………………11分
故△ABC 的面积1sin 22
S bc A ==. ………………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：0.15a =，30b =. ……………… 2分
（Ⅱ）解：由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，
所以优等品、正品和次品的比例为50:100:501:2:1=. ……………… 4分
所以按分层抽样法，购买灯泡数24()*
=++=∈n k k k k k N ，
所以n 的最小值为4． ……………… 6分
（Ⅲ）解：X 的所有取值为0,1,2,3. ……………… 7分
由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.10.150.25+=， ……… 8分
从本批次灯泡中购买3个，可看成3次独立重复试验， 所以0
3
31
27(0)C (1)4
64
P X ==?-=
，
123
1127
(1)C (1)4464P X ==??-=， 2
213119(2)C ()(1)4464P X ==?-=
， 333
11
(3)C ()464
P X ==?=. ……………… 11分
所以随机变量X 的分布列为：
(12)
分
所以X 的数学期望2727913()0123646464644
E X =?
+?+?+?=． (13)
分
（注：写出1
(3,)4
X B ，3311()C ()(1)4
4
k
k
k
P X k -==-，0,1,2,3k =. 请酌情给分）
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 和侧面11BCC B 是矩形，
所以 BC CD ⊥，1BC CC ⊥， 又因为 1= CD CC C ，
所以 BC ⊥平面11DCC D ， ………………2分
因为 1D E ?平面11DCC D ， 所以 1BC D E ⊥. (4)
分
（Ⅱ）证明：因为 1111//, BB DD BB DD =，
所以四边形11D DBB 是平行四边形. 连接1DB 交1D B 于点F ，连接EF ，则F 为1DB 的中点. 在1?B CD 中，因为DE CE =，1DF B F =，
所以 1//EF B C . ………………6分
又因为 1?B C 平面1BED ，?EF
平面1BED ，
所以 1//B C 平面1BED . (8)
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知1BC D E ⊥， 又因为 1D E CD ⊥，BC CD C = ，
所以 1D E ⊥平面ABCD . ………………9分
设G 为AB 的中点，以E 为原点，EG ，EC ，1ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴 如图建立空间直角坐标系，
设1D E a =，则11(0,0,0), (1,1,0), (0,0,), (0,1,0), (1,2,), (1,0,0)E B D a C B a G . 设平面1BED 法向量为(,,)x y z =n ，
因为 1(1,1,0), (0,0,)EB ED a ==
，
由10,0,
EB ED ??=???=??
n n
得0,0.x y z +=??=? 令1x =，得(1,1,0)=-n . ………………11分
设平面11BCC B 法向量为111(,,)x y z =m ，
因为 1(1,0,0), (1,1,)CB CB a ==
，
由10,0,
CB CB ??=???=?? m m
得1111
0,
0.x x y az =??++=?
1
令11z =，得(0,,1)a =-m . (12)
分
由平面11BCC B 与平面1BED 所成的锐二面角的大小为π3
， 得
||π
|cos ,|cos 3?<>===m n m n m n ， ………………13分
解得1a =. ………………14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由题意，得()(ln )ln 1f x x x x ''==+，其中0x >， ……………… 2分
所以 (1)1f '=， 又因为(1)0f =， 所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-. (4)
分
（Ⅱ）解：先考察函数2
()23g x x x =-+-，x ∈R 的图象，
配方得2
()(1)2g x x =---， (5)
分
所以函数()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞单调递减，且max ()(1)2g x g ==-.
(6)
分
因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，
所以 1a ≤
. ……………… 8分
以下考察函数()ln h x x x =，(0,)x ∈+∞的图象，
则 ()ln 1h x x '=+，
令()ln 10h x x '=+=，解得1
e
=x . ……………… 9分
随着x 变化时，()h x 和()h x '的变化情况如下：
即函数()h x 在1(0,)e
上单调递减，在1(,)e
+∞上单调递增，且
min 11
()()e e
==-h x h . ……………… 11分
因为对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，都有12()()f x f x <成立，
所以 1
e
≥a . (12)
分
因为 1
2e
->-（即min max ()()h x g x >）
， 所以a 的取值范围为1
,e
[1]. (13)
分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为直线l 的方程为210x y +-=，
所以与x 轴的交点(1,0)C ，与y 轴的交点1
(0,)2
D . ……………… 1分
则线段CD 的中点11(,)24，||2
CD ==， ……………… 3分
即OCD ?外接圆的圆心为11(,)24，半径为
1||24
CD =，
所以OCD ?外接圆的方程为22115
()()2416
x y -+-=. ……………… 5分
（Ⅱ）解：结论：存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点.
理由如下：
由题意，设直线l 的方程为(0)y kx m km =+≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则 (,0)m
C k
-，(0,)D m ， ……………… 6分
由方程组22
12
y kx m x y =+???+=?? 得222
(12)4220k x kmx m +++-=， ……………… 7分
所以 2
2
16880k m ?=-+>， （*） ……………… 8分
由韦达定理，得122
412km
x x k
-+=+, 21222212m x x k -=+. ……………… 9分
由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合. 所以 1224120km x x k m
k
-+==+-
， ………………10分
解得
2
k =±. ……………… 11分
由,C D 是线段MN 的两个三等分点，得||3||MN CD =.
12|x x -= ……………… 12分
即
12||3||m
x x k
-==， 解得
5
m =±
. (13)
分
验证知（*）成立.
所以存在直线l ，使得,C D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为
2y x =
2y x =-± ……………… 14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：答案不唯一. 如3项子列
12，13，1
6
； ……………… 2分 （Ⅱ）证明：由题意，知123451
0b b b b b >>>>>≥， 所以 210d b b =-<. ……………… 3分
若 11b = ，
由{}n b 为{}n a 的一个5项子列，得21
2
b ≤， 所以 2111122
d b b =--=-
≤. 因为 514b b d =+，50b >，
所以 515411d b b b =-=->-，即14
d >-. 这与1
2
d -
≤矛盾. 所以 11b ≠.
所以 112
b ≤， ……………… 6分
因为 514b b d =+，50b >， 所以 51511422d b b b =-->-≥，即18
d >-， 综上，得1
08
d -<<. ……………… 7分
（Ⅲ）证明：由题意，设{}n c 的公比为q ，
则 2
1
1231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++ .
因为{}n c 为{}n a 的一个m 项子列， 所以 q 为正有理数，且1q <，111
()c a a
*=∈N ≤. 设 (,K
q K L L
*=
∈N ，且,K L 互质，2L ≥）. 当1K =时，
因为 11
2
q L =≤，
所以 2
1
1231(1)m m c c c c c q q q -++++=++++
21111
1()()222≤-+
+++ m ， 11
2()2-=-m ，
所以 1
12312()2
m m c c c c -++++- ≤. (10)
分
当1K ≠时，
因为 1
1
111m m m m K c c q a L
---==?是{}n a 中的项，且,K L 互质，
所以 1
*()-=?∈m a K
M M N ，
所以 2
1
1231(1)m m c c c c c q q q
-++++=++++
1232111111()----=
++++ m m m m M K K L K L L
. 因为 2L ≥，*
K M ∈N ，， 所以 21112311111()()2()2222m m m c c c c --+++++
+++=- ≤. 综上， 1231
1
22m m c c c c -++++-
≤. (13)
分