目录
摘要.............................................................................................I ABSTRACT......................................................................................III 第1章绪论 (1)
1.1课题背景及研究意义 (1)
1.2课题的研究概况 (3)
1.2.1算子方程的研究概况 (3)
1.2.2再生核空间的研究概况 (5)
1.3本文的主要研究内容 (9)
第2章再生核空间W m
(D)中的算子方程 (12)
2
2.1再生核投影法 (12)
2.1.1引言 (12)
2.1.2数值方法 (12)
2.1.3误差估计 (14)
(D)中的有界算子的谱分析 (17)
2.2再生核空间W m
2
2.2.1引言 (17)
2.2.2预备知识 (18)
2.2.3谱分析 (19)
2.3本章小结 (33)
第3章再生核空间中构造算子方程求解几类非线性二阶边值问题 (34)
3.1一类非线性二阶两点边值问题的数值方法 (34)
3.1.1引言 (34)
3.1.2数值方法 (35)
3.1.3数值算例 (45)
3.2一类有限奇异点的二阶非线性微分方程的数值解 (50)
3.2.1引言 (50)
3.2.2数值方法 (50)
3.2.3数值算例 (58)
-V-
3.3一类二阶非线性偏微分方程的数值方法 (60)
3.3.1引言 (60)
3.3.2数值方法 (61)
3.3.3数值算例 (65)
3.4本章小结 (68)
第4章再生核空间中求解一类非线性四阶边值问题的数值方法 (70)
4.1引言 (70)
4.2数值方法 (70)
4.2.1算子的谱方法 (70)
4.2.2再生核-Adomian分解方法 (72)
4.2.3再生核-搜极小值方法 (73)
4.3数值算例 (78)
4.4本章小结 (81)
第5章再生核直和空间中用投影算子求解变系数微分方程组 (82)
5.1引言 (82)
5.2用投影算子在直和空间中求解问题 (82)
5.2.1直和空间的构造 (82)
5.2.2投影算子方程的构造 (85)
5.2.3数值方法 (86)
5.3数值算例 (91)
5.4本章小结 (95)
结论 (96)
参考文献 (97)
攻读博士学位期间发表的论文及其他成果 (107)
哈尔滨工业大学学位论文原创性声明和使用权限 (108)
致谢 (109)
个人简历 (110)
-VI-
Contents
Abstract(In Chinese)..........................................................................I Abstract(In English)..........................................................................III Chapter1Introduction.. (1)
1.1Background and Signi?cance of Subject (1)
1.2Development of Subject (3)
1.2.1Development of Operator Equation (3)
1.2.2Development of Reproducing Kernel Space (5)
1.3Main Research Contents of This Dissertation (9)
Chapter2Operator Equation in Reproducing Kernel Space W m
(D) (12)
2
2.1Reproducing Kernel Projection Method (12)
2.1.1Introduction (12)
2.1.2Numerical Method (12)
2.1.3Errors Analysis (14)
2.2Spectral Analysis of the Bounded Operator in Reproducing Kernel Space
(D) (17)
W m
2
2.2.1Introduction (17)
2.2.2Preliminaries (18)
2.2.3Spectral Analysis (19)
2.3Summary of the Chapter (33)
Chapter3Tectonic Operator Equation To Solve Several Nonlinear Second-Order Boundary Value Problems in Reproducing Kernel Space (34)
3.1Numerical Method for a Class Nonlinear Second-Order Two-Point Bound-
ary Value Problems (34)
3.1.1Introduction (34)
3.1.2Numerical Method (35)
3.1.3Numerical Examples (45)
3.2Numerical Solution of a Class Second Order Non-Linear Differential E-
quation with Finitely Many Singularities (50)
3.2.1Introduction (50)
-VII-
3.2.2Numerical Method (50)
3.2.3Numerical Examples (58)
3.3Numerical Method of a Class Second Order Non-Linear Partial Differential
Equation (60)
3.3.1Introduction (60)
3.3.2Numerical Method (61)
3.3.3Numerical Examples (65)
3.4Summary of the Chapter (68)
Chapter4Numerical Method for a Class Nonlinear Fourth-Order Boundary Value Problems in Reproducing Kernel Space (70)
4.1Introduction (70)
4.2Numerical Method (70)
4.2.1Operator Spectrum Method (70)
4.2.2Reproducing Kernel-Adomian Decomposition Method (72)
4.2.3Reproducing Kernel-Searching Least Value Method (73)
4.3Numerical Examples (78)
4.4Summary of the Chapter (81)
Chapter5Solve the System of Differential Equations with Variable Coef?-cients by Projection Operator in Direct Sum Space of Reproducing
Kernel Space (82)
5.1Introduction (82)
5.2Solve the Problems by Projection Operator in Direct Sum Space (82)
5.2.1Construction of the Direct Sum Space (82)
5.2.2Construction of Projection Operator Equation (85)
5.2.3Numerical Method (86)
5.3Numerical Examples (91)
5.4Summary of the Chapter (95)
Conclusions (96)
References (97)
Papers published in the period of https://www.doczj.com/doc/f816317192.html,cation (107)
Statement of copyright and Letter of authorization (108)
Acknowledgements (109)
Resume (110)
-VIII-
第1章绪论
1.1课题背景及研究意义
随着科学技术的迅猛发展，各种复杂的具有现实意义的方程越来越多的出现在科学计算和工程应用领域里，包括附有各种复杂定解条件的微分方程、积分方程、微分—积分方程、偏微分方程及分数阶微分方程等复杂方程。因此，寻找这些复杂方程的求解方法就变得越来越重要。
通常情况下，为了便于求解这些复杂方程是将方程放在某个特定的空间里写成统一的形式——算子方程。算子方程能把复杂的方程在特定的抽象空间里表示成算子的形式，讨论解的存在性、唯一性、稳定性及数值求解方法。因此，算子方程及其解的求解方法具有广泛的实际应用背景，它从科学研究和生产生活中产生，是分析和解决科学与工程问题的十分有力的工具，在数学理论、科学计算及工程应用等领域中有着非常重要的地位和广阔的研究空间。
例如，在核物理、经济学、化学工程及地下水流等应用数学和物理学的众多领域，许多问题可以描述成以下两点边值问题
???????????[xαy′(x)]′=f(x,y),x∈(0,1) y(0)=a,y(1)=b
其中α∈[0,1]，a和b是有限常数。利用非一致网格上的有限差分方法[1,2]、二阶样条有限差分方法[3,4]及参数样条方法[5]已经解决了上述问题，但对于不同的α值，能否在较少计算量和较高精度的前提下得到统一处理，以上方法就难以实现。
经典的Sturm-Liouville边值问题源自于Sturm-Liouville的经典著作[6–8]，奠定了微分算子理论的基础，在经典物理学和近代量子物理学中有重要的应用背景。
????????????????????(p(x)y′(x))′+q(x)y(x)=λy(x)
U1(y)=a11y(a)+a12y′(a)+b11y(b)+b12y′(b)=0 U2(y)=a21y(a)+a22y′(a)+b21y(b)+b22y′(b)=0
其中x∈[a,b]，a,b∈R，a i j,b i j∈C，i,j=1,2.利用常数变易法[9]和分析法[10]
-1-