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基本不等式的使用

均值不等式的使用

一、公式的意义和使用条件：

1、a2 + b2>2ab,aG R,bGR,当a=b 时取"="。逆运用公式：ab<^.aGR,bGR,当a=b时取"=”。

例：求y=sinxcosx的最大值。［』(使用三角函数和均值不等式两种解法) 结论：积为常数时，平方和有最小值；平方和为常数时，积有最大值。

2、a+b>2VS； aG R+,b6 R+,当沪b时取“=”。［带同学们分析两个公式的使用差别］逆运用公式：ab< (^)2, aG R+,bE R+,当a=b 时取''=”。

例：求y=x(5-x)的最大值。［#］

例：设a, b, c都是正数，求证：匹+牛+也2a + b+c.

a b c

证明Va t b, c都是正数肚，* 凹都是正数.

a b c

厂ca ca ah

???—+于鼻25当且仅当a=b时等号成立，当且仅当b=c时等号成立，a b b c

-+-^2b,当且仅当a=c时等号成立.三式相加，得2(-+v+-)^2(a+b+c), c a a b c

he ca ah

即一+—+「$3+b+c?当且仅当a = b = c时等号成立.

a b c

3、字 N(罟y aGR.bGR,当a=b时取“=”［可通过求差比较法得到］, 化简后：a2 + b2>^- 逆运用公式：a+b< 2Va2 + b2

注：直接建立和与平方和的运算关系

例：已知Vx + 7y= L求x + y的最小值。

解法一：(Vx + Vy) =x + y + 2\/xy x + y =l-2Vxy

所以求x + y的最小值，只需当问取最大时即可。

Vx +Vy > 2』辰吕SU 辰S，此时x + y的最小值为补，当x=y=j取=。

4 2 4

解法二：x + y > gy当x二y斗取=。

倪：已知：a> 0, n> 0, n+ ￡7= 1,求证：Ja + ；+ Jb + ?<2

解法一：(Ja + $ + Jb + ； ) = a+b T +2 J

(a + :

求J总 + J电的最大值，则需满足处最大即可.

解法二：直接利用公式。

注意：①公式中的字母可以是一个字母、数字或者式子;

② 公式中的字母取值围

③ 取“==”条件是否满足

例：［意义考察］下列函数中.最小值为2的是：(D )

C y=sinx + — (0

D y=3x + 3"x sinx 2

例：如果 0

,片扣。￡a+log|b), Ja*log*(￡+Z>),那么 P, Q,的大小顺序是 (B ) A. P>Q)M B. Q>P>M C. Q)\f>P D. M>Q)P

解析因为 dog ；*3/' S*(log|卄logjb), 4*log*(a+b),

$+方 ___ ci-\- b a~\~ b ____ 日+方 2

所以只需比较「厂，7石，7日+Z?的大小,显然一厂>7^?又因为~7爲+〃(因为日+方〉 --------- ［—,也就是字<1)，所以5/卫>牛>個，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q>P 〉H.

注意：①若公式中的字母是负数，处理方式是提负号；若公式中的字母是可正可负，处理方式是分正负讨论。例:y=x-2 +— , xv 2求y 的取值围。

例：y=tanx + —;

—?求y 的取值围。 2tanx

②当取二条件无法满足，或者求取值围时，可借助对勾函数的单调性。

补充：对勾函数y 二x+三的单调性，并指明优点是即可以求最大值也能求最小值，而均值不等式的局限性在 X 于只能求某一最值

例：y=sinx + —— (0

例：y=3x+—,其中4

例：y=sinx + 求值域。

2sinx

二、公式使用中的配常数问题

［分式配凑］例：已知xvj 求函数y = 4x — 2 +丄的最大值。(答案为1)

4x-5

例：求函数的值域。 x-l

例：x> 3求y 上今值域。

X —3

例：设x,y,z 均为正实数，满足x-2y+3z=0.则二最小值为(3)

a+b> 2yab^=>ab<

BTogx +化（1VXV 10）

解：y二学代入，原式三（孑+ ￥+6） >3 （体现消元思路）［根式配凑］例：求函数y二鳥的最小值。

r .> ―— 4

Y X2+6 X2+2+4

解:

当后巨=占即X=±V2时，取等号。

x"+a+l

已知">0,求函数尸的最小值.

考点：基本不等式在最值问题中的应用.

专题：计算题.

分析；先整理函数的解析式，当O

小而求得函数的最小值，最后综合笞案可得?

解箸:解：尸丙盍，

当0W1B寸，y=j K2+a+j=>2,

当且仅当茫±打韦B寸取等号，ymin=2-

当a>l时，令t=存二（矗込）?

7=￡（t） =t+—- f （t）=1-- >0.

七t二

???f （t）在［轴十8）上为増函數.

? -f（艮）=冷丄，等号当品即泸0时成HI，Fmin二碎

丄

综上，O

a>i 时,ymin=^■-

［条件性配凑］

侃：若x> 6>Kx2+ —= 1,则xJ1 + y2的最大值为（）

解：原式=乎娅/TT砕V亨竺芋已乎，当V2X=/1+7SP X^, y2 = > = o 例：x> a y>

6> x+2y=2.求3xy 的最大值（）

解：3xy=^x2y<^（—）2^，当x=2y=l 时取等号。

注：多次使用増值不等式的条件：同向且取二条件能同时满足。

例：已知a2 + b2= l,x2+y2 = 4,求ax+by的最大值

错解：ax< — , by< —— =>ax+by< " " :' +：'冷,取=条件无法满足。

1 -

2 = X x）< 丁?byW（2b?y）S于wx+byS心叽"J

当x=2a且y=2b时取等号。

》6吕所以原不等式成立.（8分）

丹当且仅当a=b=c=34时，原弍等号成立?⑴分）己知4b>0,求a 2

+-l^-的最小值. b (a-b)

考点：基本不等式在最值问题中的应用.

专题：计算题.

分析：先利用基本不等式求得b （a-b ）范圉，逬而代入原式，遊一步利用基本不等式求得问题答案.

解笞: 解：Vb Ca-b) < (啤±) 2=￡, 2 4

.?,2+二汀+令16.

b (a-b) 犷

b=a-b

a 2=8 "啓时取等号.

（2010-辽宁）已知a, b, c 均为正数〉证明：a 2+b 24-c 24-（1-t-l+l ）2>6^3并确定心b, c 为何值时，善号成立.

llikS —>

a 2+

b 2^2ab

因为a, b,匚均为正数，白基本參等式得< b 2+32

^2bc c2 十厶2 A2au 所以/+b ^+c^>al+bc+ac?

同理△丄丄》电+丄■丄①（6分） a 2『c 2 ab be ac

故 a 2+b 2+c 2+ （丄 +丄+丄）2?

a b c

》ab+b c+ac+3—+3—+3 ab be 丄

当且仗当貝胡寸，①式和②式寻号成立，当且仅当沪b",

三、数字代换及等式代换

例：已知3>0,b>0?且丄+；=「求a+b 的最小值。（4）

a b

分析：两种思路解一下。

例：已知 3>0.b>0, c>0g+2b+3c=6 求证：世+ 工 +空 nl2

a b c

r 阳 a+6 , b+3 , c+2 _o .6,3,2

忙明：一+ —+一=3+ -+「+-

a b c a b c

6 3 2 1 , ■ ci ■ c、/ . 3 .冬 l 八c 3a . 12b . 18c . 2a . 9c . 4b\ °

- +「+ ；二&(a + 2b+ 3c)(- + - + ^--(18+—+ — + — + — + — + —) >9

当a =2.b=l,c=|时，取等号。

例：已知：x> 0, □沁且x+y=l.求三+?的最小值。

x y

解:-+-= (-+-) (x+y) =7+^ + ->7+4V3

X y X y X y

当* = —?联立x+y 二l=>x 二2诟一3,y = 4 — 2花、等号成立。

4 例：已知日>0, b>0, 方=2,则『=可+乙的最小值是（c ）?

A. j

B. 4

C.|

D. 5 例：(2012 ?)若正数匕y 满足x+3y=5xy,则3x+4y 的最小值是(c )

.”T（3卄保）供+4+9+乎）斗+炉喲卑討仔孚5（当且畑 =2y 时取等号），???3x+4y 的最小值为5?

例：函数y=log.X%+3） — 1 （a>0,且日Hl ）的图象恒过定点/I,若点力在直线仍x+〃y+l= 0上，其中仍,

1 2

〃均大于0,则-+二的最小值为（C ）

A. 2

B. 4 C ? 8 D ? 16

解?析点水一2, —1）,所以2nr\-n= 1.

所以丄+'= （2刃+/7）（丄+丄）=4+仝+切M8,当且仅当n=2/n.即m=\.刀=专时等号成

m n nj m n 4 2

例：已知加、n y s 、f€R.*, m-\~n=2,彳+彳=9,其中刃、"是常数，且s+七的最小值是满足条件的点 5, ”）

是圆（A -2）2+（7-2）2=4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为一 .答案x+y -2=0

解析因（s+r ）（有+#）=〃+/?+仝+彳2/?7+刀+2寸嬴，所以 /n+n+2yfmn=4,

从而砌=1,得 H 即点（1,1）,而已知圆的圆心为（2.2）,所求弦的斜率为一1, 从而此弦的方程为x+y-2=0?

例：已知不等式（x+y ）（￡+勺29对任意正实数x, y 恒成立，则正实数a 的最小值为（4 ）解析 Vx>0, y>0,

由x+ 3y= 5砂得紀+￡) =1

不等式经典题型专题练习(含答案)-

不等式经典题型专题练习（含答案）：__________ 班级：___________ 一、解答题 1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 25 233x x -+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．若不等式组21{ 23x a x b -<->的解集为-1

5．解不等式组：并写出它的所有的整数解． 6．已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x＞0，y＞0，数a的取值围． 6．求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a﹣5≤3的a的整数解． 8．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值围． 9．若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >，求k的取值围.

10．解不等式组5134122 x x x x ->-???--??≤并求它的整数解的和． 11．已知x ，y 均为负数且满足：232x y m x y m +=-?? -=?①②，求m 的取值围． 12．解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225 x y m x y m +=+??-=-?的解是一对正数，则：（1）求m 的取值围（2）化简：42m m -++ 15．我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？

不等式与不等式组专题复习

不等式与不等式组专题复习 (一)不等式考点1：不等式的定义知识点： 1.不等式：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。（像a+2≠a-2这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。） 2.常见不等式的基本语言有： ①x 是正数，则x ＞0； ②x 是负数，则x ＜0； ③x 是非负数，则x≥0； ④x 是非正数，则x≤0； ⑤x 大于y ，则x －y ＞0； ⑥x 小于y ，则x －y ＜0； ⑦x 不小于y ，则x ≥ y ； ⑧x 不大于y ，则x ≤ y 。例1.下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2＜5 x+3>6 4x-2y ≤0 a-2b a+b ≠c 5m+3=8 8+4<7 考点2：不等式的解集知识点： 1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例1.判断下列数中哪些是不等式的解: 76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60 —————————————————————————————————— 变式练习： 1.下列说法正确的是( ) A. x=3是2x+1>5的解 B. x=3是2x+1>5的唯一解 C. x=3不是2x+1>5的解 D. x=3是2x+1>5的解集 2.在下列表示的不等式的解集中，不包括-5的是（） A.x ≤ 4 B.x ≥ -5 C.x ≤ -6 D.x ≥ -7 考点3：不等式解集在数轴上的表示方法知识点： 1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③定方向. 2.用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律: 大于向右画,小于向左画;有等号(≥ ,≤)画实心点, 无等号(>,<)画空心圆. 例1.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（） A 、x ≥－ 2 B 、x ＜1 C 、x ≠、x ＜0 变式练习： 1.不等式2≤x 在数轴上表示正确的是（） 5032 >x 0-1-2

基本不等式练习题及答案解析

1．若xy＞0，则对x y＋ y x说法正确的是() A．有最大值－2B．有最小值2 C．无最大值和最小值D．无法确定答案：B 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400 B．100 C．40 D．20 答案：A 3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4 x有最小值____．答案：2 4 4．已知f(x)＝12 x＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．解：(1)∵x＞0，∴12 x，4x＞0. ∴12 x＋4x≥2 12 x·4x＝8 3. 当且仅当12 x＝4x，即x＝3时取最小值83， ∴当x＞0时，f(x)的最小值为8 3. (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则－f(x)＝12 －x ＋(－4x)≥2 12 －x ·?－4x?＝83，当且仅当12 －x ＝－4x时，即x＝－3时取等号． ∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8 3. 一、选择题 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是() A．x＋1 2x B．x 2－1＋ 1 x2－1 C．2x＋2－x D．x(1－x) 答案：C 2．函数y＝3x2＋ 6 x2＋1 的最小值是() A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－3

解析：选D.y＝3(x2＋ 2 x2＋1 )＝3(x2＋1＋ 2 x2＋1 －1)≥3(22－1)＝62－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100 C．50 D．20 解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程： ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a＋ a b≥2 b a· a b＝2； ②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lg x＋lg y≥2lg x·lg y； ③∵a∈R，a≠0，∴4 a＋a≥2 4 a·a＝4； ④∵x，y∈R，，xy＜0，∴x y＋ y x＝－[(－ x y)＋(－ y x)]≤－2?－ x y??－ y x?＝－2. 其中正确的推导过程为() A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑． ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b a， a b∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，∴ ②的推导过程是错误的； ③∵a∈R，不符合基本不等式的条件， ∴4 a＋a≥24 a·a＝4是错误的； ④由xy＜0得x y， y x均为负数，但在推导过程中将全体 x y＋ y x提出负号后，(－ x y)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确． 5．已知a＞0，b＞0，则1 a＋ 1 b＋2ab的最小值是() A．2 B．2 2 C．4 D．5 解析：选 C.∵1 a＋ 1 b＋2ab≥ 2 ab ＋2ab≥22×2＝4.当且仅当 ?? ? ??a＝b ab＝1 时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()

高二数学不等式练习题及答案

不等式练习题一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n )

不等式与不等式组专题复习

不等式与不等式组专题复习（一）不等式考点1：不等式的定义知识点： 1. 不等式：用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。（像2≠2 这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。） 2. 常见不等式的基本语言有： ①x是正数，则x>0；②x是负数，则x<0；③x是非负数，则x≥ 0； ④x是非正数，则x≤0；⑤x大于y ，则x－y> 0； ⑥x小于y，则x－y < 0； ⑦x不小于y，则x ≥ y ；⑧x不大于y，则x ≤ y 。例1. 下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2 <5 3>6 42y ≤0 2b ≠c 53=8 8+4<7

考点2：不等式的解集

1. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2. 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例 1. 判断下列数中哪些是不等式的解 : 76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60 23x 50 变式练习： 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 3 是 21>5的解 B. 3 C. 3 不是 21>5的解 D. 3 2. 在下列表示的不等式的解集中，不包括 -5 的是 ( ≤ 4 ≥ -5 ≤ -6 ≥ -7 考点 3：不等式解集在数轴上的表示方法是 21>5 的唯一解

1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③ 定方向. 2.用数轴表示不等式的解集, 应记住下面的规律大于向右画,小于向左画;有等号(≥ , ≤)画实心点, 无等号(>,<) 画空心圆. 例1. 图中表示的是不等式的解集，其中错误的是( ) A、x≥－* 2- 2 - 1 0 B C、x ≠0 D 变式练习： 1. 不等式x 2在数轴上表示正确的是( ) A． C．

基本不等式练习题及标准答案

基本不等式练习题及答案

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________．考向一利用基本不等式求最值【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________．【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．考向二利用基本不等式证明不等式【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ．

不等式练习题(带答案)

不等式基本性质练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）１．若a >0, b >0,则)11)( (b a b a ++ 的最小值是（） A ．2 B ．22 C ．24 D ．4 2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的（） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．必要或充分条件 3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是（） A ． 111<+ b a B ．111≥+b a C ． 211<+ b a D ． 211≥+b a 4．已知a 、b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是（） A ．a c ≥b B ．a b ≥c C ．bc ≥a D ．a b ≤c 5．设a =2，b=37- ，26- = c ，则a 、b 、c 间的大小关系是（） A ．a >b>c B ．b>a >c C ．b>c>a D ．a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式 b a m b m a >++ （） A ．当a < b 时成立 B ．当a > b 时成立 C ．是否成立与m 无关 D ．一定成立 7．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=(sin x +cos x )2，则P 、Q 之间的大小关系是（） A ．P ≥Q B ．P ≤Q C ．P>Q D ． P b 且a + b <0，则下列不等式成立的是（） A ． 1>b a B ． 1≥b a C ． 1

广东高考数学(理)一轮题库：7.4-基本不等式(含答案)

第4讲基本不等式一、选择题 1．若x＞0，则x＋4 x 的最小值为( )． A．2 B．3 C．2 2 D．4 解析∵x＞0，∴x＋4 x ≥4. 答案 D 2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1 a ＋ 4 b 的最小值是( )． A.7 2 B．4 C. 9 2 D．5 解析依题意得1 a ＋ 4 b ＝ 1 2? ? ? ? ? 1 a ＋ 4 b( a＋b)＝ 1 2? ? ? ? ? ? 5＋ ? ? ? ? ? b a ＋ 4a b≥ 1 2? ? ? ? ? 5＋2 b a × 4a b ＝9 2 ，当且仅当 ?? ? ?? a＋b＝2 b a ＝ 4a b a＞0，b＞0 ，即a＝ 2 3 ， b＝4 3 时取等号，即 1 a ＋ 4 b 的最小值是 9 2 . 答案 C 3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a

又v －a ＝2ab a ＋ b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b ＝0，∴v >a . 答案 A 4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1 b 有最大值4 B ．ab 有最小值1 4 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值 22 解析由基本不等式，得ab ≤a 2＋b 2 2 ＝ a ＋b 2 －2ab 2 ，所以ab ≤1 4 ，故B 错； 1 a ＋1 b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由基本不等式得a ＋b 2 ≤ a ＋b 2 ＝ 1 2 ，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝1 2，故D 错．答案 C 5．已知x >0，y >0，且2x ＋1 y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )． A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C ．(－2,4) D ．(－4,2) 解析 ∵x >0，y >0且2x ＋1 y ＝1， ∴x ＋2y ＝(x ＋2y )? ???? 2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y ≥4＋2 4y x ·x y ＝8，当且仅当4y x ＝x y ，即x ＝4，y ＝2时取等号， ∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min >m 2＋2m 恒成立，即8>m 2＋2m ，解得－4

基本不等式应用-解题技巧归纳

基本不等式应用解题技巧归纳应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。技巧三：分离例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2 y = 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈

2．已知01x <<，求函数y = 的最大值.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值。变式：（1）若+∈R y x ,且12=+ y x ，求y x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2 ＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

高中不等式的基本知识点和练习题(含答案)

不等式的基本知识（一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式（二）解不等式 1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x

不等式与不等式组专项训练(含答案详解)

《不等式与不等式组专项训练》一、选择： 1．下列不等式一定成立的是（） A．a≥﹣a B．3a＞a C．a D．a+1＞a 2．若a＞b，则下列不等式仍能成立的是（） A．b﹣a＜0B．ac＜bc C．D．﹣b＜﹣a 3．解不等式中，出现错误的一步是（） A．6x﹣3＜4x﹣4B．6x﹣4x＜﹣4+3C．2x＜﹣1D． 4．不等式的正整数解有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 5．在下列不等式组中，解集为﹣1≤x＜4的是（） A．B．C．D． 6．若不等式≥4x+6的解集是x≤﹣4，则a的值是（）A．34B．22C．﹣3D．0 二、填空： 7．用不等式表示“6与x的3倍的和大于15”． 8．不等式的最大正整数解是，最小正整数解是．9．一次不等式组的解集是． 10．若y=2x+1，当x时，y＜x． 11．关于x的不等式ax+b＜0（a＜0）的解集为． 12．若方程mx+13=4x+11的解为负数，则m的取值范围是． 13．若a＞b，则的解集为．

14．某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对道．三、解不等式或不等式组： 15．解不等式或不等式组：（1）3（x﹣2）﹣4（1﹣x）＜1 （2）1﹣≥x+2 （3）（4）．四、解答下列各题： 16．x取什么值时，代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）的值大于x+2的相反数． 17．k取什么值时，解方程组得到的x，y的值都大于1． 18．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数． 19．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克，生产1件B种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克，请你提出安排生产的方案．

基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

基本不等式及其应用 1．基本不等式若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当时取“＝”．这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 .

(3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即.

设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42，当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A.

不等式计算专项练习及答案

不等式计算专项练习一、解答题 1．解不等式组，并且把解集在数轴上表示出来. 2．求不等式组的整数解. 3．计算下列不等式（组）：（1）x-＜2-. （2）-2≤≤7 （3）；（4） 4．已知：y1=x+3，y2=－x+2，求满足下列条件时x的取值范围：（1）y1＜y2 （2）2y1－y2≤4 5．解不等式组： 6．求下列不等式组的解集 7．（1）计算：（-2）-2×|-3|-（）0 （2）解不等式组： 8．解不等式组，并指出它的所有整数解． 9．解不等式组：，并写出该不等式组的整数解．

11．解不等式组并写出的所有整数解. 12．(1)解方程：. (2)求不等式组：. 13．求不等式组的整数解． 14．（1）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．（2）解不等式组： 15．求不等式组的非负整数解． 16．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来（1）；（2） 17．（1）解不等式组（2）在（1）的条件下化简：|x+1|+|x-4| 18．已知关于x，y的方程组的解为正数．（1）求a的取值范围；（2）化简|-4a+5|-|a+4|． 19．（1）解不等式2-＞+1，并把它的解集在数轴上表示出来；（2）求不等式组的整数解． 20．解不等式组：． 21．解不等式组 22．解不等式组，并把它们解集表示在数轴上，写出满足该不等式组的所有整数解．

23．解不等式组：；在数轴上表示出不等式组的解集，并写出它的整数解． 24．解不等式组：． 25．解不等式组 26．解不等式组 ) 27．当x 是不等式组的正整数解时，求多项式（1﹣3x ）（1+3x ）+（1+3x ） 2 +（﹣x 2）3÷x 4的值． 28．解方程与不等式组：解方程：；解不等式组： 29．解不等式组． 30．解不等式组，并写出不等式组的整数解. 31．（1）解不等式组: (2)解方程： 32．解不等式组： . 33．解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 34．（1）解方程： ; （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

人教版七年级数学下册不等式与不等式组专项练习

不等式与不等式组专项练习（能力提高） 1.已知方程组3133x y k x y +=+?? +=?的解x 、y,且2-4)5(的解集． 7.已知A ＝2x 2＋3x ＋2，B ＝2x 2－4x －5，试比较A 与B 的大小． 8.（类型相同）当k 取何值时，方程组? ??-=+=-52,53y x k y x 的解x ，y 都是负数． 9（类型相同）已知???+=+=+1 22,42k y x k y x 中的x ，y 满足0＜y －x ＜1，求k 的取值范围． 10.已知a 是自然数，关于x 的不等式组? ??>-≥-02,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值． 11.关于x 的不等式组???->-≥-1 23,0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围． 12.（类型相同）k 取哪些整数时，关于x 的方程5x ＋4＝16k －x 的根大于2且小于10? 13.（类型相同）已知关于x ，y 的方程组? ??-=-+=+34,72m y x m y x 的解为正数，求m 的取值范围． 14.若关于x 的不等式组???????+<+->+a x x x x 3 22,3215只有4个整数解，求a 的取值范围．五、解答题 1. 在一次爆破中,用1米的导火索来引爆炸药,导火索的燃烧速度为0.5cm/s, 引爆员点着导火索后,至少以每秒多少米的速度才能跑到600m 或600m 以外的安全区域?

基本不等式(含答案)

§3.4 基本不等式：ab ≤ a ＋ b 2 材拓展 1．一个常用的基本不等式链设a >0，b >0，则有： min{a ，b }≤21a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max{a ，b }，当且仅当a ＝b 时，所有等号成立．若a >b >0，则有： b <21a ＋1b 0，则a b ＋b a ≥2. 3．利用基本不等式求最值的法则基本不等式ab ≤a ＋b 2 (a ，b 为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值． (1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab ≤????a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．注意：利用基本不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”． 4．函数f (x )＝x ＋k x (k >0)的单调性在求最值中的应用有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f (x )＝x ＋k x (k >0)的单调性加以解决．利用函数单调性的定义可以证明函数f (x )＝x ＋k x (k >0)在(0，k ]上单调递减，在[k ，＋∞)上单调递增．因为函数f (x )＝x ＋k x (k >0)是奇函数，所以f (x )＝x ＋k x (k >0)在(－∞，－k ]上为增函数，在[－k ，0)上为减函数．

基本不等式应用题

基本不等式应用题最值问题一．教学目标：1．进一步掌握用均值不等式求函数的最值问题； 2．能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题。二．教学重点、难点：化实际问题为数学问题。三．教学过程：（一）复习：1．均值不等式： 2．极值定理：（一）练习题 1、已知R y x ∈,，且2=+y x ，求xy 的取值范围。 2、已知R y x ∈,，且2=xy ，求y x +的取值范围。 3、已知R y x ∈,，且2=+y x ，求22y x +的取值范围。 4、已知0,>y x ，且211=+y x ，求y x 2+的最小值。 5、已知0,,>z y x ，且4=++c b a ，求证：abc c b a 8)4)(4)(4(≥---。 6、（选做题）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求y x +的取值范围。 7 1.4,2224,24x y x y x y x y +=++=+已知求的最小值。变式题：已知求的最小值。22222.,4,log log ,24,log log x y R x y x y x y R x y x y ++∈+=+∈+=+已知、求的最大值。变式题：已知、求的最大值。

3+1,a b R x y x y ∈+=+已知a,b,x,y ，且求的最小值（二）新课讲解：例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？例3．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？例4．如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于P ，设AB x =，求ADP ?的最大面积及相应的x 值。例5．甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/ 时，已A

一元一次不等式精选拔高专题及答案

不等式与不等式组专题一、选择题 1. 如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )． (A)1>b a (B)b a ＜1 (C)b a 11< (D)ab ＜1 2. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． (A)若a ＞b ，则a 2＞b 2 (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b 3. ｜a ｜＋a 的值一定是( D )． (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4. 若由x ＜y 可得到ax ＞ay ，应满足的条件是( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 5. 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 6. 九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元．一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有( )． (A)2人 (B)3人 (C)4人 (D)5人 7. 某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是( B )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 8. 若不等式组? ??>≤+<+1,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是( )． (A)m ≤2 (B)m ≥2 (C)m ≤1 (D)m ≥1 10. 对于整数a ，b ，c ，d ，定义bd ac c d b a -=，已知34 11<

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