Barbalat引理证明
、Barbalat引理的基本形式：
引理1 设x:[0, ) R为一阶连续可导，且当t 时有极限，则如果X(t),t [0,) 一致连续，那么]imX(t) 0
如果x&t)存在且有界，那么引理1中X(t)的一致连续性条件可用x&t)的有界性来代替，从而可以得到如下形式的引理
引理2 设x:[0, ) R为一阶连续可导，且当t 时有极限，则如果x&t),t [0,)存在且有界，那么lim x(t) 0
可以得到如下推论。
t
推论1 若x:[0, ) R 一致连续，并且t im 0x( )d存在且有界，那么
lim x(t) 0。
其中引理1的证明如下：
因为x(t),t [0,) 一致连续，所以：
0 0,对任意的t1有：
% ) x(t1) 2
另外由lim x(t) K可知：
t
对于给定的，t o，当t1 t o时有:
x(tj
同理：K -
4
x(t1 )K -
4
利用泰勒展开则: x(t1 )x(tj & )其中：(t」
所
以：
x(t1 )K x(t1)K 双) 4
由此可知：
x& ) 「心K I
t
i
则：
X& )
显然:
所以由X(t)的一致连续性可知:
x&)&训 2
贝U ：
x
&t i )2
)
即：对于 0 ,
t o ，当t i t o 时有：
%)
由此得证：lim X(t) 0
t
二、Barbalat 引理的集中变形形式：
Barbalat 引理的基本形式虽然在一定程度上能判断系统的渐近收敛性，但 由于不易与Lyapunov 理论相结合，故在实际应用中具有一定局限性。为此，对 Barbalat 基本形式进行延展和变形，得到如下集中 Barbalat 引理的表达形式。
引理3 若x:[0, ) R 一致连续，且存在p [1,)，使得x L p ，那么
lim x(t) 0。
t
1/ p
注：L p : {x x:[0, ) R ，且 0 x(t) p dt
}， p [1,)。
证明：
当p 1时，因||x 2 X 』x 2 x j ，则由x 的一致连续性可知I X 亦为一致连续 的。令
F(t) : X d ,t 0。则应用引理1易证F(t) x t ，进而得到x(t)的 收敛性。
当p 1时，用反证法证之。假设limx(t) 0不成立，那么存在常数 °
0，
对任意T 0,存在t T 0，有|x(t j
。基于此，可以得到无限时间序列
t i ，i 1,2,L ，使x(t i ) 0， t i 。因为x(t)是一致连续的，故对给定的