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03第三节分部积分法

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《分部积分法》ppt课件

《分部积分法》ppt课件

cos sin
x x
dx
cos x sin x
dx
cos x sin x
dx
1,
1
cos sin
x x
dx
得0=1
ln sin x C
答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 求此积分的正确作法是用换元法 .
21
P191 1 2
22
x)
C
说明: 1。也可设
为三角函数 , 但两次所设类型
必须一致 .
2.有些不定积分经过分部积分后，虽未能求出该积分，
但又出现了与所求积分相同的形式，这时可以从等式中
象解代数方程那样解出所求的积分来。
14
把被积函数视为两个函数之积 ,
按 “ 反对幂指三” 的顺 前者为 u 后者为 v.
序, 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
幂函数的幂次降低一次。即在
Pn (x)exdx Pn (x)sin xdx Pn (x)cos xdx
中，总令
Pn (x) u
7
(ax b)sin xcos xdx
解：原式
(ax
b)
1 2
sin
2xdx
1 4
(ax
b)
sin
2xd
2x
1 4
(ax
b)d
cos
2x
1 4
(ax
b)
cos 2 x
xarccosx 1 x2 C
10
x arctan x dx.
解: 原式
x2 arctanx d .
2
1 x2 arctanx 1
2
2

第三节不定积分的分部积分法PPT培训课件

第三节不定积分的分部积分法PPT培训课件
xf(x)dxx(fx)f(x)dx
2 x 2 e x 2 e x 2 C .
说明５： 被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分；
说明６：利用分部积分法可得求不定积分的递
推公式
例13 求积分 x(lnx)ndx.(nN*)
解
In x(lx n)ndx
(lnx)nd(x2) 2
x 2 2arx ctx 2 a 21 n 1 x 2d x
x 2 2arc x t1 2 a (1 n 1 1 x2)d x
x 2arx c t1(a x a nrx c) tC a . n
2
2
例6 求不定积分 arcsxd ixn. 解 arcsxidnxxarx cs x id (narx)csin
6 、 计 算 x x d ， 可 e x u _ _ _ _ _ _ , d 设 _ _ _ _ v _ _ _ _ _ _ .
二、求下列不定积分：
1、x2co2sxdx； 2
2、(lnx)3 x2
dx；
3、 eaxcosnxdx； 5、cos(lnx)dx；
4、 e3 xdx； 6、 xearctanx dx .
x1
x1
xd(e x)e xdx
x1
x1
x1
xexexd xexd x
x1
xe x C.
二、小结
１.口诀（反、对、幂、三、指）; ２.单纯的反三角函数、对数函数积分， 可直接运用分部积分； ３.不定积分可通过解方程求得，但要注意 结果+C； ４.有时应结合换元积分，先换元后再分部； ５.被积函数中含有抽象函数的导函数，常 考虑用分部积分；
se3cxdx 1 2 (sx e ta c x n ls ne x t ca x ) n C

第三讲：分部积分法及反常积分

第三讲：分部积分法及反常积分
+∞
b
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结束
例1. 计算反常积分 解:
= [ arctan x] −∞ π π = − (− ) = π 2 2
+∞
yOy=来自1 1+x2x
思考: 思考 分析: 分析 原积分发散 !
注意: 注意 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
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0 dx 下述解法是否正确: 1dx
的收敛性 .
1 1 = − + − =∞ = + 解: 2 2 −1 x x −1 x 0+ 1 dx 1 1 0x Q∫ 2 = − = −1−1 = −2 , ∴积分收敛 −1 x 所以反常积分 x −1 发散 .
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结束
若 f (x) ∈C(−∞, + ∞), 则定义
lim ∫a f (x) dx + b→+∞ ∫c f (x) dx a→−∞ lim
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
c b
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分 第一类反常积分. 第一类反常积分 说明: 说明 上述定义中若出现 ∞ − ∞ , 并非不定型 , 它表明该反常积分发散 .
这时称反常积分 就称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f (x) ∈C[a, b), 而在 b 的左邻域内无界, 则定义
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而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义
∫a f (x) dx + ∫c f (x) dx

不定积分的分部积分法

不定积分的分部积分法

例4 求不定积分 x arctan xdx.
解
x arctan
x dx
arctan
x
d(
x2 2
)
x2 arctan x 2
x2 2
1
1 x2
dx
x2 arctan x 2
1 2
(1
1
1 x
2
)
dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C.
2
2
例5 求不定积分 arcsin xdx.
1 x2 arctan x ln( x 1 x2 ) C.
xe x
(2) (1 x)2 dx.
解
(1
xe x x
)2
dx
xe xd( 1 ) 1 x
xe x 1 d( xe x ) 1 x 1 x
xe x e xdx 1 x
xe x e x C e x C
n 2
I n1
,(n N * ,n 1),
而
I1 x ln xdx
ln
x
d(
x2 2
)
x2
ln x 2
x2 d(ln x)
2
x2 ln x 2
x dx 2
x2
x2
ln x C
2
2
所以对任意确定的n 1 ,由递推公式都可求得In .
例10
求不定积分
e
x
(
1 x
ln
x
)dx
1 x
1 x
(3)
(
x
1
1)e
x
1 x
dx
.
x
解
原式
(x
1

高等数学课件 分部积分法

高等数学课件 分部积分法

tan x ⋅ lncos x + ∫ tan2 xdx 原式 = = tan x ⋅ lncos x + ∫ (sec2 x −1) dx
= tan x ⋅ lncos x +tan x − x + C
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例7 求 解 令 x= t , 则 x = t 2 , dx = 2t d t 原式 = 2∫ t e d t
− xsin x − cos x x2
说明: 说明 此题若先求出
− cos x + 2sin x + 2cos x d x ∫ x f ′(x) dx = ∫ 2 x x
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例12 求 I = ∫
e
arctan x
2 32 (1+ x )
t
令 u = t , v′ = et
= 2( te − ∫ e dt )
t
t
= 2(t et − et ) + C
= 2e x ( x −1) + C
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例8 求 解 令 u = x2 + a2 , v′ =1, 则 x u′ = 2 2 , v = x
高等数学（ 高等数学（上）
第四章 不定积分
第三节 分部积分法
例3 求 ∫ x arctan x dx. 解 令 u = arctanx, v′ = x 1 1 2 ′= 则 u , v= x 2 2 1+ x 1 2 1 x2 ∴ 原式 = x arctan x − ∫ dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 1 = x arctan x − ∫ (1− ) dx 2 2 2 1+ x 1 2 1 = x arctan x − (x − arctan x) + C 2 2

第三节不定积分的分部积分法演示文稿

第三节不定积分的分部积分法演示文稿

2
2
第8页，共29页。
例6 求不定积分 arcsin xdx.
解 arcsin x dx x arcsin x x d(arcsin x)
x arcsin x
x dx
1 x2
x arcsin x 1 x2 C .
第9页，共29页。
说明２： 单纯的反三角函数、对数函数积分，
( x2 1)e x 2 xd(e x )
( x2 1)e x 2( xe x e x ) C .
( x2 2x 3)e x C .
第5页，共29页。
例4 求不定积分 ( x2 2x)cos xdx. 解 ( x2 2x)cos xdx ( x2 2x)d(sin x)
分部积分法的关键是正确选择 u 和 v . 选择 u 和 v 的原则是:
1) v 不比 v 复杂 , 2) u 比 u 更简单 .
第3页，共29页。
例2 求不定积分 x cos xdx .
若
x cos xdx
cos
xd(
x2 2
)
x2 cos x x2 sin xdx
2
2
显然 , u 和 dv 选择不当，积分更难进行.
( x2 2x)sin x 2 ( x 1)sin xdx ( x2 2x)sin x 2 ( x 1)d( cos x) ( x2 2x)sin x 2[( x 1)( cos x) cos xdx]
( x2 2x)sin x 2cos x ( x 1) 2sin x C ( x2 2x 2)sin x 2cos x ( x 1) C .
x sin(ln x) cos(ln x)dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]

第三节 分部积分法(新编)


4.令u ln(1 x ), dv dx, 则v x
1 ln(1 x )dx x ln(1 x ) 1 x dx x ln(1 x ) ln 1 x C
2017年5月13日2时29分 18
第三节 分部积分法
本节 预备 知识 本节 目的 与要 求
小结
合理选择 分公式
u, v ，正确使用分部积
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
uvdx uv uvdx
后退
主 页 目录 退 出
2017年5月13日2时29分
19
第三节 分部积分法
t
2te 2 e dt 2e (t 1) C 2e ( x 1) C
2017年5月13日2时29分
13
例
13
已 知 f ( x) 的 一 个 原 函 数 是 ex
2
,
求
xf ( xdf ( x ) xf ( x ) f ( x )dx ,
5
第三节 分部积分法
2 x 例5 求积分 cos xdx
本节 预备 知识 本节 目的 与要 求
2 u x , cos xdx d sin x dv, 解 令
2 2 x cos xdx x sin x 2 x sin xdx
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
（再次使用分部积分法）
本节 复习 指导
x2 x2 x sin xdx 2 sin x 2 sin xdx u, v 选择不当，积分更难进行. 显然， 解（二） 令 u x , sin xdx d ( cos x ) dv
1 2 xdx dx dv 2

第三节分部积分法58535精品


x
对比 P370 公式(128) , (129)
25
作业
P213
1---24
26
备用题. 1.求不定积分
解：方法1 (先分部 , 再换元)
d (ex 1)
令 u ex 1, 则
u2 11
4
4(u arctan u) C
27
方法2 (先换元,再分部)
令 u ex 1, 则
∴ 原式 xsin x sin x dx
xsin x cos x C
思考: 如何求
提示: 令 u x2 , v sin x, 则
原式
3
例2. 求 x ln x dx.
解: 令 u ln x , v x
则 u 1 , v 1 x2
x
2
原式 = 1 x2 ln x 1 x dx
x
x
sin x 2 cos x C
x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.

x
f
( x)
dx




cos
x

2 sin x
x

2 cos x2
x

d
x
20
内容小结
分部积分公式 u vdx u v uv dx
1. 使用原则 : v易求出, uv dx易积分
则
u

(
x2
2nx a2 )n1
,
v

x

In

(x2
x a2)n
2n
(x2
x2 a2 )n1
dx

第三节 换元法、分部积分法


b
a vdu
（2）
几点注记：
b a
u
d
v
uv
b a
b
v du
a
（1）使用定积分的分部积分公式的方法或技巧 同不定积分的情形完全相同，其目的还是要快 捷、方便地求出原函数。
（2）使用分部积分法不需要变换积分上、下限.
（3）分部积分法常与换元法结合使用。
例1：计算
1
0
xe x dx
解：
n
I 0 1 sin 2x dx
aT
解: (1) 记 (a) a f (x)dx, 则
(a) f (a T ) f (a) 0
可见 (a)与a无关，因此 (a) (0), 即
并由此计算
例12：设f
(x)
1 x2 ex
x0 ,求
x0
3
f ( x 2) d x
1
解：
3 1
b
F(b) F(a) a f (x)d x
几点注记：
b
a
f ( x)d x
f [ (t)] '(t)d t
（1）换元的基本思路是方便有效地找出被积函
数的原函数。这与不定积分的换元思路相同。
（2）换元的同时一定要相应地变换积分的上、 下限。
（3）同不定积分的换元法不同的是，在用换元 法求出原函数后，不必代回原来的变量，这使 问题变得更加方便、简单。
第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 不定积分的换元法
• 第一类换元公式
u (x)
f [(x)] '(x) d x
f (u) du (1)
• 第二类换元公式
x (t)
f (x) d x f [ (t) ] '(t)dt (2)

第三节 不定积分的分部积分法


第一次时若选 u1 cos x
e x cos xdx e x cos x e x sin xdx
第二次时仍应选 u2 sin x
例9 解
求积分
sin(ln x )dx .
sin(ln x)dx x sin(ln x ) xd[sin(ln x )]
1 x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x
总结:
exsin x dx , ex cos x dx 类型的积分,
可采用分部积分, 可把任一项取为vdx .
一般要连续分部两次再把所求的不定积分 用解方程方法求得 .
说明:
在接连几次应用分部积分公式时, 应注意: 前后几次所选的 u 应为同类型函数.
例
e x cos xdx
e x sin x [e x cos x e x d (cos x ) ]
e (sin x cos x ) e sin xdx 注意循环形式
x x
e e sin xdx (sin x cos x ) C . 2
x
x
若被积函数是正(余)弦函数和指数函 数的乘积, 可把任一项取为vdx 即对
x arctan x dx . 例11 求积分 2 1 x
x 解 1 x , 2 1 x x arctan x 2 dx arctan xd 1 x 1 x2
2



1 x 2 arctan x 1 x 2 d (arctan x )
1 x arctan x
u x , e x dx dv
( x 1)e 2( xe e ) C . ( x 2 2 x 3)e x C .
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第三节分部积分法★ 分部积分公式★ 几' 点说明★ 例1★ 例2 ★ 例 3 ★ 例 4★ 例5 ★ 例6 ★ 例 7 ★ 例 8★ 例9 ★ 例10 ★ 例 11 ★ 例 12★ 例13 ★ 例14 ★ 例 15★ 例 16★ 例17 ★ 例18★ 分部积分的列表法★ 例19★ 例20 ★ 例 21★ 例 22★ 内容小结★ 课堂练习★习题4-3积函数常考虑应用分部积分法(其中m, n 都是正整数).例题选讲例1 (E01)求不定积分x cos xdx .x 2解一 令 u cosx, xdx d 一 dv,2显然，u,选择不当，积分更难进行解二 令 u x,cosxdx dsinx dv,xcosxdxxd si nx xsinx sin xdx xsi nx cosx C.分布图示2cosxd —22x cosx 2xcosxdx2sin xdx,2内容要点分部积分公式：udv uvvduuv dx uvu vdx(3.1) (3.2)(或微分)的逆运算• 一般地，下列类型的被nx sin mx nx .e sin mx n mxx en .x arcsin mx x n cos mxnxe cosmx x n (ln x)nx arccosmxx n arctanmx 等.分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数例2 (E02)求不定积分 x 2e x dx .解 u x 2,e x dx de x dv2 x2 x 2 xx 2 x x 2 x x xx e dx x de x e 2 xe dx x e 2 xde x e 2(xe e ) C. 注：若被积函数是幕函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积，可设幕函数为u,而将其余部分凑微分进入微分号 ,使得应用分部积分公式后，幕函数的幕次降低一次.注：若被积函数是幕函数与对数函数或反三角函数的乘积 u,而将幕函数凑微分进入微分号 ，使得应用分部积分公式后 例 5 (E05) 求不定积分 e x sin xdx.解e x sin dx sin de xxe sin x e x d (sin x) e x sin xe x cos xdxxe sin xcosxde xxxe sin x (e cosxe x d cosx)e x (s in x cos x)e x sin xdxxe x sin dx(sin x cos x) C.注：若被积函数是指数函数与正 (余)弦函数的乘积,u, dv 可随意选取，但在两次分部积分中,必须选用同类型的u,以便经过两次分部积分后产生循环式,从而解出所求积分.例3 (E03)求不定积分xarctanxdx. 解 令 u arctanx, xdx 2xd —2 dv,x arcta n xdx arcta n xdx 22 x arcta nx 22xd (arcta nx) 22x arcta n x 2x 2^dx 1 x 22x arcta nx 21 2 dx1 x 22x arcta nx 212(xarcta nx) C.例4 (E04)求不定积分In xdx.解令 u In x,x 3dxx 4dv,x 3 ln xdxx 4 In xd -4-x 4ln x 4x 3dx■ in x 414x 16C.为 失.,可设对数函数或反三角函数,对数函数或反三角函数消例6 (E06)求不定积分 sin(ln x)dx .x 解sin (I n x)dx xsin (I n x)xd [s in (I n x)]x[sin (I n x) cos(l n x)] sin (I n x)dxsin(1 n x)dx x[sin(ln x) cos(ln x)] C.灵活应用分部积分法，可以解决许多不定积分的计算问题 •下面再举一些例子，请读者悉心体会其解题方法.例7 (E07)求不定积分 sec xdx .解seC 3 xdxsecxd tanx secxtanx secxtan 2xdx23secxtanxsecx(sec x 1)dx secxtanxsec xdx secxdx3secx ta nx In | secx tanx| sec xdx2.1 x arcs inxx arcta nx ―: dx 、1 x231 sec xdx (secxtanx In |secx tanx|) C.22,便得求不定积分 arcs in ..x dx. 、1 xarcs in . x ,dx、1 x2 arcs inxd1 x2.1 x arcs in 、x 2 .1 xd arcs in 、xxsin(In x)xcos(ln x)1dxxsin(In x) xcos(ln x)xd[cos(ln x)]由于上式右端的第三项就是所求的积分sec xdx,把它移到等号左端去，再两端各除以2-1 x arcs in . x 2 x C.求不定积分x arcta n x ----------- dx. 1 x 2arcta nxd 1 x 21 x 2I2..1 x 2 arctanx 1 x 2d(arctanx)原式.1 x 2 arctanx ln(x x 2) C.例10 (E08) 求不定积分 e 护dx. 解令 t ... x,则 x t 2,dx 2tdt,于是e x dx 2 e t tdt2 tde t 2te t 2 e t dt7x dx.代入上式，得2te t 2e t C 2e t (t 1) C2e x(x 1)C. 11求不定积分 In (1.x)dx.令 tx,则 xt 2,ln(1 . x )dxIn (12 2t)dt t ln(1 t)t 2dl n(1 t) t 2l n(1 t)1 2-dt t2dt 2t 2t) Ct ln(1 t) (t1)dtt ln(1 t) 1 t2t ln(1(x 1)1 ln(1 ■- x) x -C.例解1 /3..1 x 2 arctanx1dxx tant, -sec 2 tdt 1 tan 21sectdt |n( sect tan t) C ln(x 1 x 2) C.12解法 1先分部积分，后换兀 •设u 1/3xe,dv 丄dx,则 3 xdu2/31/3xedx,v3 2/3x2再设3 2/3 x ex1/31ex1/3dx2t 3,则 dx 3t 2dt,于是Y 1 /3e dx2 t2 13 t e dt 3t ete t dt 3t 2e t 6te t e t dt 3(t 22t 2)e tC...1 x 2 arctanx1I 3x2/3 e x1/323(3..X223.X2x1/32)e x C 3(3.. x1/31)e x C.解法2先换元,后分部积分.设x t3,dx3t2dt,则te 2 t3t2dt 3 te t dtt再设u t,dv e t dt,则I 3te t 3 e t dt 3te t3e t c 3(\. x 1 /31)e x c.13求不定积分(1 x) arcsi n(1 x) dx.,2x x2x,则dx dt,原式tarcsi ntdt.1 t2arcsi ntd(』1 t2)其中C C1 1.14 (E09) 求不定积分用分部积分法,dx(x2 a2)n1I nI nI n1 t2 arcsint■-1 t2arcsint：2x x2arcsin(1dx(x2 a1时有x (x2 a2)n1x (x2 a2)n1x ~~22、n 1 (x a ) 2(n 1)( I n2(n2(n12a2 (n 1) 以此作递推公式，并由1.1x)卒，其中t21 t2dtC.n为正整数.a2l n).(2n 3)I m11 — arctan' C,即可得I n.a a2例15 (E10) 已知f (x)的一个原函数是 e x ,求xf (x)dx . a2dx,解 xf (x)dx xdf(x) xf (x) f(x)dx.根据题意 f (x)dx ex 2C,再注意到 f (x)dx f (x), 两边同时对x 求导，得 2 f(x) 2xe xxf (x)dx xf (x) 2 f (x)dx 2x e x2 e x2 C. 16求不定积分 3sin x xCOs x e 2cos x 先折成两个不定积分，再利用分部积分法 • si nx si nx原式 e x cosxdx e — dxcos x sin xsinxsinx ■e xe e dxcosxsinx . e dx17 求不定积分 sin xln(tan x)dx.sin xln(tan x)dx In(tan x)d cosxcosxln(tan x)18 求不定积分(xxj 2)2 xx e ,于是2 xx e .2dx (x 2)2x 2e x d sin xxde sin xxecosxln(tan x) 注：本题选u x 2e x 比选e sinx d 丄cosx1 sin x e C. cosxcosxd In(tan x)1dx cosxln(tan x) In |cscx sin xx 2e x—d(x 2e x ) 2cotx | C.x 2e x x 22xe x x2 xx e x 2 2 xxxx e, xxe dxxdex 2xx e x xe x 2x e x x xe e dxx 2e x C.2x x 更能使解题方便.(x 2)2例19计算不定积分 xln xdx.解 In x 不易求积分，只能放在左列，而 x 放在右列，列表如下：()ln例20计算不定积分 in xdx.1 in x,将in x 放在左列,1放在右列，列表如下1in xdx xlnx — xdx xinx x c. x例21计算不定积分 xsin xdx.解 函数x 和sinx 都是易求原函数的函数，都可放右列，但考虑到左列的函数应是求 导后逐渐简单的，故 x 放左列，sinx 放右列列表如下：xsinxdx xcosx 1 ( sinx) c例22计算不定积分e x cos xdx..解 函数e x ,cosx 都是易求原函数的函数，且它们的导函数分别是稳定的sinx （或cosx ）形式，故它们的左右位置可随意选取 .例如选取e x 为左，cosx 为右，可得e x cosxdx e x sin x e x ( cosx) e x ( cosx)dx ，x移项得 e x cosxdx — (sin x cosx) c.2课堂练习212 1 1 2 , 1 2 , 11 2 ,1 2xin xdx in x x— x dx x in x xdx x in x x c 2x 2 22 2 4( )-x 22 1in x 可看作乘积形式xcosx sinx c.e x 和cosxsi nxcosx1. 求不定积分xsin2 xdx;2 求不定积分e x sin 2xdx .。