因式分解
概述
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
因式分解的方法
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则
1 分解要彻底
2 最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）
基本方法
⑴提公因式法
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式
⑵公式法
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；
完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2；
注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；
完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b)3．
公式：a3+b3+c3+3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
例如：a2+4ab+4b2=(a+2b)2。
（3）分解因式技巧
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式；
②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
3.提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
竞赛用到的方法
⑶分组分解法
分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
几道例题：
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3b y看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2. x3-x2+x-1
解法：=(x3-x2)+(x-1)
=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。
3. x2-x-y2-y
解法：=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。
⑷十字相乘法
这种方法有两种情况。
①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x²+(p+q) x+pq=(x+p)(x+q) ．
②kx²+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
图示如下：
×
c d
例如：因为
1 -3
×
7 2
-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，
所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中
⑸拆项、添项法
这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
⑹配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：x²+3x-40
=x²+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)²-(6.5)²
=(x+8)(x-5)．
⑺应用因式定理
对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．
例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。(事实上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)
注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数；
2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数
⑻换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.
例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时，可以令y=x²+x,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y²+3y+2-12=y²+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x²+x+5)(x²+x-2)
=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．
也可以参看右图。
⑼求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x 3)……(x-xn) ．
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，
则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
⑽图象法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。
例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．
⑾主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
⑿特殊值法
将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则
x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ．
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。
⒀待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
由此可得a+c=-1，
ac+b+d=-5，
ad+bc=-6，
bd=-4．
解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．
则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．
也可以参看右图。
⒁双十字相乘法
双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下:
ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
x、y为未知数，其余都是常数
用一道例题来说明如何使用。
例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．
分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解：图如下，把所有的数字交叉相连即可
x 2y 2
①②③
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
双十字相乘法其步骤为：
①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；
②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+
2)(3y+6)；
③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。
多项式因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”
几道例题
1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
（分解因式的过程也可以参看右图。）
当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。
3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
∴(a-c)(a+2b+c)=0．
∵a、b、c是△ABC的三条边，
∴a＋2b＋c＞0．
∴a－c＝0，
即a＝c，△ABC为等腰三角形。
4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．
因式分解四个注意：
因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例可供参考
例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3 x－2y）（3x＋2y）的错误
例2把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。
分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。
考试时应注意：
在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。
因式分解的应用
1、应用于多项式除法。
2、应用于高次方程的求根。
3、应用于分式的运算。
8.4 因式分解 一、知识梳理 1. 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2. 提公因式法 多项式ma ＋mb ＋mc ，各项都有一个公共的因式m ，我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式． 由m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc 可得ma ＋mb ＋mc ＝m （a ＋b ＋c ）．这样就把ma ＋mb ＋mc 分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式（a ＋b ＋c ）是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商．像这种分解因式的方法叫做提公因式法． 3. 公式法 （1）分解因式的平方差公式： ))((22b a b a b a -+=- （2）分解因式的完全平方公式法： 222)(2b a b ab a ±=+± 二、例题精讲 题型一：提公因式法 【例1】分解因式 （1）c ab b a 323128+-； （2）)()()(y x c x y b y x a -+---； 【变式1】分解因式 （1）y x xy x 2221239-+- （2）)2()2(x y y x x ---
题型二：公式法 【例2】下列各式：①22y xy x -+-；②222 121b ab a ++；③2244b a ab +--；④xy y x 129422-+； ⑤22363y xy x +-，能用完全平方公式分解的有 .（填序号） 【变式2】因式分解. （1） 224 1b ab a +- （2） 222y x xy --- （2） 9)(6)(2++++b a b a （4）22)(9)(25b a b a --+ （5）22)()(y x y x --+ （6）14-x 【例3】若多项式42++mx x 能用完全平方公式分解因式，则m 的值为 . 【变式3】若222)32(924y x y kxy x +=+-，则k 的值是 . 题型三：分组分解法 【例4】因式分解. （1）b a b a 24422-+- （2）1222-+-y xy x （3）22269y y x x -++ （4）by ax b a y x 222222++-+-
初一数学因式分解专项训练 班级：__________ 姓名：__________ 学号：______ 一：用十字相乘法分解因式 (1) t 2-15t+36 （2） x 2-7x+6 (3) a 2-a-12 (4)m 2-8m-20 （5）x 2- 2x-3 （6）x 2-7x+6 （7）x 2-10x+24 (8) a 2+4a-21 (9) p 2-10p-11 (10)x 2-3x-28 (11)b 2+11b+28 (12)2x 2-6x-8 （13）2x 2+15x+7 (14)3a 2-8ab+4b 2 （15）4x 2y 2-5xy 2-9y 2 （16）4m 2+8mn+3n 2 （17）6x 2-11xy+3y 2 （18）a 4-13a 2+36 (19)2x 2-6x-8 (20)6x 2-13x+6 （21）2x 2+3x+1 （22）(x+y)2-5(x+y)-14 （23）ap 2-8ap+7a （24）a a a 12423+-- （25）24129x x -+ （26）24359a a -- （27）2 5()14()8x y x y -+-+ \
二：利用分组分解分解因式 (1) 3a-ax-3b+bx (2) 3ax+4by+4ay+3bx (3) xy-y2-yz+xz （4）20(x+y)+x+y (5)p-q+k(p-q) (6)ac+bc+2a+2b (7)a2+ab-ac-bc (8)x2-y2+ax+ay (9)4a2-b2+6a-3b (10) m2-n2+am+an （11）xy-xz+y-z(12) 4m2-4m+2n-n2 (13) 9y2+6y-4x-4x2(14) x2-6x+9-y2(15) 16a2+8a-b2+1 （16）x2-a2-2x-2a (17)4x2-y2+2x-y (18) x2y2-y2+1-x2(19)4x2-4xy+y2-a2 (20)x2-2xy-m2+y2 (21)1-a2+2ab-b2 （22）x2+2xy+y2-a2(23) 4xy-3xz+8y-6z (24) x2-4y2+x-2y (25)x2-y2-z2+2yz (26) 1-m2-n2+2mn (27)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2
《因式分解》提高测试（100分钟，100分） 姓名 班级 学号 一 选择题（每小题4分，共20分）： 1．下列等式从左到右的变形是因式分解的 是………………………………………（ ） （A ）（x ＋2）（x –2）＝x 2－4（B ）x 2－4＋3x ＝（x ＋2）（x –2）＋3x （C ）x 2－3x －4＝（x －4）（x ＋1）（D ）x 2＋2x －3＝（x ＋1）2－4 2．分解多项式 bc c b a 2222+--时，分组正确的是………………………（ ） （A ）（)2()222bc c b a --- （B ）bc c b a 2)(222+-- （C ）)2()(222bc b c a --- （D ）)2(222bc c b a -+- 3．当二次三项式 4x 2 ＋kx ＋25＝0是完全平方式时，k 的值是…………（ ） （A ）20 （B ） 10 （C ）－20 （D ）绝对值是20的数 4．二项式15++-n n x x 作因式分解的结果，合于要求的选是………………（ ） （A ）)(4n n x x x -+ （B ）n x )(5x x - （C ）)1)(1)(1(21-+++x x x x n （D ）)1(41-+x x n 5.若 a ＝－4b ，则对a 的任何值多项式 a 2＋3ab －4b 2 ＋2 的值………………（ ） （A ）总是2 （B ）总是0 （C ）总是1 （D ）是不确定的值 二 把下列各式分解因式（每小题8分，共48分）： 1．x n ＋4－169x n ＋2 （n 是自然数）； ２．（a ＋2b ）2－10（a ＋2b ）＋25； 解： 解： 3．2xy ＋9－x 2－y 2； ４．322)2()2(x a a a x a -+-； 解： 解：
第六章 因式分解综合测试 一、精心选一选(每小题3分，共30分) 1．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是 （ ） A ．(x+1)2=x 2+2x+1 B ．x 2一10x+25=(x 一5)2 C ．(x+7)(x －7)=x 2－49 D ．x 2一2x+2=(x 一1)2+1 2．下列提取公因式正确的是 ( ) A ．6mx 4y －－4mx 3Yy 2+8mx 2y 3=2mx 2(3x 2y －－2xy 2+4y 3) B ．a(x 一a)+b(a —x)一c(x —a)=(x 一a)(a 一b 一c) C ．一15a 3b 2一20a 2b 3=5a 2b 2(一3a+4b) D ．4x 2n+1b —2x 2n －1a=2x 2n+1(2b 一a) 3．能用完全平方公式分解因式的多项式是 （ ） A ．(x+y)2一10(x+y)+25； B ．－4a 2+4a+1； C ．91 m 2+3 1m+n 2；D ．4c 2一12cd 一9d 2 4．下列多项式中，能分解因式的是（ ） A ．x 2+2xy 一y 2 B ．一l 一9m 2 C ．9x 2—6x+1 D ．2x 2+4y 2 5．下列多项式中，分解因式后含有因式(a+3)的是( ) A ．a 2—6a+9 B ．a 2+2a 一3 C ．a 2—6 D ．a 2一3a 6．计算210+(－2)11的结果是 A ．210 B ．一210 C ．2 D ．一2 7．观察下列计算962×95+962× 5的运算，其中最简单的方法是( ) A ．962× 95+962×5=962×(95+5)=962×100=96200 B ．962×95+962× 5=962× 5(19+1)=962×(5×20)=96200 C ．962× 95+962× 5=5×(18278+962)=96200 D ．962×95+962×5=91390+4810=96200 8．若p kx x ++212是一个完全平方式，那么P 应等于 A ．k 2 B ．k 41 C ．2 41k D ．2161k 9．将(m+n)2一(m 一n)2 分解因式，其结果为 A ．4n 2 B ．24 C ．4mn D ．一4mn 10．若x 2一x 一m=(x —m)(x+1)，则m 等于
《因式分解》教案 教学目标： (一)教学知识点 使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系． (二)能力训练要求 通过观察，发现因式分解与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力． (三)情感与价值观要求 通过观察，推导因式分解与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系． 教学重、难点： 教学重点： 1．理解因式分解的意义． 2．识别因式分解与整式乘法的关系． 教学难点： 通过观察，归纳因式分解与整式乘法的关系． 教学过程： 一、创设情境，导入新课 [师]大家会计算(a+b)(a-b)吗？ [生]会．(a+b)(a-b)=a2-b2． [师]对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子(a+b)(a-b)= a2-b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2-b2 =(a+b)(a-b)是否成立呢？ [生]能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2-b2与(a+b)(a-b)既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立． [师]很好，a2-b2=(a+b)(a-b)是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题． 二、明确目标，互助探究： 1?想一想 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？ [生]由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是因式分解，这两种过程正好相反． [生]由(a+b)(a-b)=a2-b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2-b2=(a+b)(a-b)
七年级下册数学因式分解专题练习 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式： （1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解： （1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式： （1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1
9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2 10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式： （1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2． 因式分解专题过关
1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式3p整理即可； （2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q）， （2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）； （2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式： （1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2． 分析：（1）直接提取公因式x即可； （2）利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； （4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可． 解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；
初一数学上因式分解练习题精选 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式2353515y y y ?=中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。
15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（10分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6， B 、m=2，k=12， C 、m=—4，k=—12、 D m=4，k=12、 3、下列名式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公 式分解因式的有（ ） A 、1个， B 、2个， C 、3个， D 、4个 4、计算)1011)(911()311)(211(2232---- 的值是（ ） A 、21 B 、20 11.,101.,201D C 三、分解因式：（30分） 1 、234352x x x -- 2 、 2633x x - 3 、 22)2(4)2(25x y y x --- 4、22414y xy x +-- 5、x x -5
因式分解 概述 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 分解因式与整式乘法互为逆变形。 因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)） 基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2；
3．1 多项式的因式分解 1．理解因式分解的概念；(重点) 2．会判断一个变形是否是因式分解．(难点) 一、情境导入 学校有一个长方形植物园，面积为a2－b2，如果长为a＋b，那么宽是多少？ 二、合作探究 探究点一：因式分解定义的理解 下列从左到右的变形中是因式分解的有() ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个B．2个C．3个D．4个 解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；②④是因式分解；故选B. 方法总结：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式． 探究点二：因式分解与整式乘法的关系 【类型一】检验因式分解是否正确 检验下列因式分解是否正确． (1)x3＋x2＝x2(x＋1)； (2)a2－2a－3＝(a－1)(a－3)； (3)9a2－12ab＋4b2＝(3a－2b)2. 解析：分别计算等式右边的几个多项式的乘积，再与左边的多项式相比较看是否相等． 解：(1)因为x2(x＋1)＝x3＋x2，所以因式分解x3＋x2＝x2(x＋1)正确； (2)因为(a－1)(a－3)＝a2－4a＋3≠a2－2a－3，所以因式分解不正确； (3)因为(3a－2b)2＝9a2－12ab＋4b2，所以因式分解9a2－12ab＋4b2＝(3a－2b)2正确．
方法总结：检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与等式左边的多项式是否相等． 变式【类型二】 求字母的值 已知三次四项式2x 3－5x 2－6x ＋k 分解因式后有一个因式是x －3，试求k 的值及另一个因式． 解析：此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x 2－mx －k 3 )，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k 的值． 解：设另一个因式为2x 2－mx －k 3，∴(x －3)(2x 2－mx －k 3)＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，2x 3－mx 2－k 3 x －6x 2＋3mx ＋k ＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，2x 3－(m ＋6)x 2－(k 3－3m )x ＋k ＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，∴m ＋6＝5，k 3 －3m ＝6，解得m ＝－1，k ＝9，∴另一个因式为2x 2＋x －3. 方法总结：因为整式的乘法和分解因式互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式． 三、板书设计 多项式的因式分解?????因式的概念因式分解的概念因式分解与整式乘法的关系 本节课从生活中的实例出发，引导出因式分解这一课题，让学生认识到因式分解与整式乘法是互逆的变形，因此可以利用整式乘法来检验因式分解是否正确．本节课重在通过因式分解概念的学习，激发学生的学习兴趣，为本章后继学习奠定坚实的基础
先提后套完全平方 1. （2011山东东营）分解因式：22x y xy y -+=________________________________. 2. （2011安徽芜湖）因式分解 3222x x y xy -+= ． 3. （2011安徽）因式分解：a 2b+2ab+b = 4 （2011安徽芜湖）因式分解 3222x x y xy -+= ． 5. （2011江苏扬州，11,3分）因式分解：x x x 4423+-= 6. （2011山东菏泽）因式分解：2a 2－4a ＋2= ______________ ． 7 （2011四川凉山州）分解因式：32214 a a b ab -+- = 。 把代数式作为一个整体 1. （2011山东莱芜）分解因式(a+b)3－4(a+b)=______________. 2. （2011山东威海）分解因式： =+---16)(8)(2y x y x . 3. （2011江苏南通）分解因式：3m (2x －y )2－3mn 2＝ 分组分解法（分组再套公式） 二二分法:（一般是先分组再用两次提公因式法解决，注意有时要提负号） 1．（2011山东潍坊）分解因式：321a a a +--=_________________ 2、因式分解：bc ac ab a -+-2=_________________. 3. （2011广东中山）因式分解：22a b ac bc -++ ． 4、因式分解：y y x x ---22=__ ______. 先整式运算化简再因式分解 1. （2011广东广州市）分解因式8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy ．
单乘单 1、计算 (－3x 2y)3·(－2xy 3z)2 [2(a －b)3][－3(a －b)2][－32(a －b)] 3 4233 32435?? ? ??-???? ??-?c ab b a ab ·c b a c ab 532243—= 2、计算(－4x n ＋1y n )3[(－xy)n ]2的结果是( ) A .64x 5n+3y 5n B. －64x 5n+3y 5n C .12x 5n+1y 5n D.－12x 5n+1y 5n 3、若9 92 21 3 y x y x y x n n m m =?++-,则 n m 43-的值为（ ） （A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6 多乘多 1、(x+5)(x-7)= 2、计算 ()()514+-y y (3x 2－2x －5)(－2x ＋3) (x －1)(2x －3)(3x ＋1) ()()()()4321----x x x x 3、若()()1532-+=++kx x m x x ，则 m k +的值为（ ） （A ）3- （B ）5 （C ）2- （D ）2
完全平方公式 1、(2x-4y)2 = 2、(-3a-5b)2= 3、(m －n －3)2 4、(2x ＋3y －z)2 5、下列式子中一定相等的是（ ） A 、（a- b ）2 = a 2 － b 2 B 、(a+ b)2 =a 2 + b 2 C 、(a - b)2 = b 2 －2ab + a 2 D 、(-a - b)2 = b 2 －2ab + a 2 6、已知2 2 49x mxy y -+是关于,x y 的完全平方式，则m = ； 7、若二项式4m 2 +1加上一个单项式后是一含m 的完全平方式，则单项式为 8、有个多项式，它的中间项是12xy ，它的前后两项被墨水污染了看不清，请你把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，你有几种方法？（要求至少写出两种不同的方法）. 多项式： +12xy+ = （ ）2 多项式：+12xy+ = （ ）2 完全平方公式的关系 1、x 2＋y 2=（x+y ）2－ ＝（x －y ）2＋ . 2、已知若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2 a b -= ； 已知（a+b ）2 =144 (a-b)2 =36, 求ab 与a 2 + b 2 的值 3、已知x+y=0，xy=－6，则x 3y+xy 3的值是（ ） A ．72 B ．－72 C ．0 D ．6 4、若a ＋ 35 1=a ，则221a a +＝______若,41=+ x x 求 44 1x x + = *5、已知a 2 －3a ＋1＝0．求a a 1 + 、22 1a a +和2 1??? ? ? -a a 的值；
七年级数学因式分解练习题及答案 一、选择 1.下列各式由左到右变形中，是因式分解的是 A.a=ax+ay B. x-4x+4=x+4 C. 10x-5x=5x D. x-16+3x=+3x 2.下列各式中，能用提公因式分解因式的是 A. x-y B. x+2x C. x+y D. x-xy+1 3.多项式6xy-3xy-18xy分解因式时，应提取的公因式是 A.xy B.3xy C.xy D.3xy 4.多项式x+x提取公因式后剩下的因式是 A. x+1 B.x C. x D. x+1 5.下列变形错误的是 A.-x-y=- B.= - C. –x-y+z=- D.= 6.下列各式中能用平方差公式因式分解的是 A. –xy B.x+y C.-x+y D.x-y 7.下列分解因式错误的是 A. 1-16a= B. x-x=x C.a-bc= D.m-0.01= 8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是 A.x－xy
二、填空 9.ab+ab-ab=ab. 10.-7ab+14a-49ab=-7a. 11.3+2=___________ 12.x-y=____________. 13.-a+b= 14.1-a=___________ 15.99-101=________ 12422222222222223222222222223222223332222322222222B. x＋xyC. x－y D. x＋y2222 16.x+x+____= 17.若a+b=1,x-y=2,则a+2ab+b-x+y=____。222 三、解答 18.因式分解： ①?4x3?16x2?24x ②8a2?123 ③2am?1?4am?2am?1 ④2a2b2-4ab+2 ⑤2-4x2y2 ⑥2-4 19.已知a+b-c=3,求2a+2b-2c的值。
实用标准文档 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多 数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需 的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍 了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解 的方法、技巧和应用作进一步的介绍： 一、提公因式法. ： ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法： 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （ 1）平方差公式： a 2 b2 (a b)(a b) （ 2）完全平方公式： a 2 2ab b 2 (a b)2 ,a 2 2ab b 2 (a b)2 （ 3）立方和公式： （ 4）立方差公式： 例 . 已知a，b，c是ABC 的三边，且a2 b2 c2 ab bc ca ，则ABC 的形状是（） A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca (a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 0 a b c 三、分组分解法： （一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式：am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多 项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式 = (am an) (bm bn) =a(m n) b(m n)每组之间还有公因式！ =(m n)(a b) 例 2、分解因式：2ax 10ay 5by bx 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解：原式 = (2ax10ay ) (5by bx)原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =2a(x 5 y) b(x 5 y)=x(2a b) 5 y(2a b) =( x 5y)(2a b)=(2a b)( x 5y) 练习：分解因式1、a2ab ac bc2、xy x y 1
《因式分解综合训练》例题精讲与同步练习 因式分解综合训练 一、 本节的重点是因式分解的综合训练，重点和难点均在于四种因式分解方法的灵活运用。四种方法分别是：提公因式法、运用公式法、分组分解法、形如x 2+（p +q ）x +pq 的二次三项式的因式分解（也就是十字相乘法）。 1. 因式分解时要注意四种方法的使用次序：①先提公因式②再运用公式③再用十字相 乘法④最后考虑分组分解法 2. 三项式通常用公式法或十字相乘法分解因式； 四项或四项以上的式子通常用分组分解法。 3. 因式分解一定要彻底，不可半途而废。 4. 因式分解最终结果一定要进行整理： 如果有同类项，应当合并； 如果在相同因式，如：（x +y ）（x +y ）（x －y ）应当写成（x +y ）2（x －y ）； 如果有中括号应当去掉中括号…… 总之应当满足最简原则！ 二、例题分析（例题较难，练习题会相对容易些） 例2 分解因式：－2x 3+4x 2－10x 解：原式=－2x （x 2－2x +5） 此题中公因式为－2x ，因此括号中所有项均要变号 例3 分解因式：－7（m －n ）3+21（n －m ）2－28（n －m ）3 解：原式=7（n －m ）3+21（n －m ）2－28（n －m ）3 =7（n －m ）2[])(43)(m n m n --+- 这里易误把公因式当成（n －m ）2 =7（n －m ）2（－3n +3m +3） 这里产生了新的公因式：－3 =－21（n －m ）2（n －m －1） 例4 分解因式：－x 2－4y 2+4xy 解：原式=－（x 2－4xy +4y 2） 注意因式分解的思维顺序：先提公因式 =－（x －2y ）2 例5 分解因式：－3x 7+24x 5－48x 3 解：原式= －3x 3（x 4－8x 2+16） 先提公因式 = －3x 3（x 2－4）2 x 4－8x 2+16可用完全平方公式分解 = －3x 3[]2 )2)(2(-+x x x 2－4还可以用平方差继续分解 = －3x 3（x +2）2（x －2）2 例6 分解因式：9m 2－6m +1－n 2 解：原式=（9m 2－6m +1）－n 2 =（3m －1）2－n 2 =（3m +n －1）（3m －n －1） 例7 ax 2+ay 2－2axy －az 2 解：原式=a （x 2+y 2－2xy －z 2） 先提公因式 = a [（x 2+y 2－2xy ）－z 2] 四项式用分组分解法进行分解 =a [（x －y ）2－z 2] = a （x －y +z ）（x －y －z ）
专题训练六：利用平方差公式分解因式因式分解练习题题型(一)：把下列各式分解因式，使等式成立。专项训练一、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”222 = ，，3、1、= ，2、= y9?a1?x?4、21、)__(ab?bx?y?__(x?y)?a? 222222 = ，6、，= ，5、= 4、zyy?4xx?b1?252??2、 4 3、)?y?___(xy?x)z__(y???zy? 412222 = 8、7、，= ，xa?bm0.01?43346、5、)xy)?__()y??(x?(y?x)?__(x?y 99专项训练二、用提取公因式法把下列各式分解因式。2222= ，= ，10、9、y94x?n36?m 2、= ，= 1、，2ny?nx aba?2222= 1 2、，11、= ，q?25p49ba16?0.81 232，= 4 ，3、= 、 mn2mn?x4x?682422414、13、yba?x1?x 222223y12xyz?x25xy?15xy9 = 、，= 6 5、，22 y3y?ay?6a3，、7 = = ，8、b?9ab?ab5 12xz??x?xy、9 = ，44444、15、16 ba?16m16ab?81322yxy?y12?2824?x，= 10、 专项训练三：用提取公因式法把下列各式分解因式。 1、2、)?y(2))(?bx(a?)ya?b(5xx?y?yx (二)：把下列各式分解因式题型2222 2、1、)?n?()m(3m?2n?(xp))?(x?q 4 、、 3)?(mn)(P)(?npq?(qp?qp6q(?)4p(?))?q?m22)?yx)?()?(aab?abyyxx(?)?(6、5、 2222)9(x?y)??b)4(x?16(a?b)y?9(a、3 4、2)?(xxy(yx?x)?)(xy?8、7、)?b?)(2?(2aba3)3?baa(2 222210 9、、)xp(?2(33)a)?yxm(???a(?y)q)c(b)?c?4a(a?b?c)??(a?b、56、 2223)yxx(?)??)?()?(axy?byxxy)?y2(x?(、11、12 题型(：把下列各式分解因式三) 2235ay?4axxx?，1、= ，2、= 专项训练四、利用因式分解计算。33xab2x?2ab16?，，4、= 3、= 、21、 1.186? 2.1861.237??1.237199.8?1.9199.8?4.3199.8?7.6??2324xyax??3ay4x36、，= 、5 = ，
第4章因式分解复习课 教学目标： 1、进一步巩固因式分解的概念; 2、巩固因式分解常用的三种方法 3、选择恰当的方法进行因式分解 4、应用因式分解来解决一些实际问题 5、体验应用知识解决问题的乐趣 教学重点：灵活运用因式分解解决问题 教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习 教学过程： 一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值 利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。 二、知识回顾 1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.（教师提问） 判断下列各式哪些是因式分解?（让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系） (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2πR+2πr=2π(R+r) 因式分解 2、.规律总结（教师讲解） 分解因式与整式乘法是互逆过程. 分解因式要注意以下几点:
(1).分解的对象必须是多项式. (2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. (3).要分解到不能分解为止. 3、因式分解的方法 提取公因式法：-6x 2+6xy+3x=-3x(2x-2y-1) 公因式的概念；公因式的求法 公式法 平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a 2+2ab+b 2=(a+b)2 4、强化训练 试一试把下列各式因式分解: (1).1-x 2＝（1＋x ）（1－x ） (2).4a 2+4a+1＝（2a+1）2 (3).4x 2-8x ＝4x(x-2) (4).2x 2y-6xy 2 ＝2xy(x-3y) 通过以上的复习，使学生对因式分解有一个更深层次的理解。 5、例题讲解 例1 分解因式 (1)－x 3y 3+x 2y+xy (2)6（x-2）+2x （2－x ） (3) 2224 25y x x (4)y 2+y+41 例2 分解因式 1、a 3-ab 2= 2、(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)= 3、(a+b) 2+2(a+b)-15= 4、-1-2a-a 2= 5、x 2-6x+9-y 2 6、x 2-4y 2+x+2y=
七年级下册数学因式分解 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
因式分解 常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法…… 一、提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。 例1. 232y x +6512x y －62xy 2105ax ay by bx -+- 用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．第（2）题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组。 例2.把2222()()ab c d a b cd ---因式分解． 二、公式法：根据平方差和完全平方公式 例3、 22925x y - 2633x x - 811824+-x x 三、配方法： 例4、 2616x x +- 241227x x --
这种配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验． 四、十字相乘法： （1）．2()x p q x pq +++型的因式分解 例5、把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 例6、把下列各式因式分解： (1) 2524x x +- (2) 2215x x -- 例7、把下列各式因式分解：
(1) 226x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++ (2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+． （2）．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 例8、把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +- 综合练习： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_______。 2、22)(n x m x x -=++则m =______n =______。 3、232y x 与y x 612的公因式是__________。 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。
七年级数学下册《因式分解》知识点归纳 湘教版 七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版 第三章因式分解 1.因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变 形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：axbx 13131 x(ab) 3 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法 的逆过程。 2.因式分解的方法： （1）提公因式法： ①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个 变形就是提公因式法分解因式。 公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可 以是一个数字或字母，也可以是一个单项式 或多项式。 系数——取各项系数的最大公约数 字母——取各项都含有的字母
指数——取相同字母的最低次幂 例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因 式是 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分 分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部 3232 分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc. ②提公因式的步骤第一步：找出公因式； 第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可 用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩 下的另一个因式。 注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要 先提取符号。 2233 例1：把12ab18ab24ab分解因式. 解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的 最低次幂是ab，故公因式为6ab。 2233 解：12ab18ab24ab
因式分解 一、知识梳理 1、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解. 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解. 2、提取公因式法 把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下： ()ma mb mc m a b c ++=++ 注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 3、运用公式法 把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法. ⅰ）平方差公式 22()()a b a b a b -=+- 注意：①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么. ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=- 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式； ③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）； ④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量. 补充：常见的两个二项式幂的变号规律： ①22()()n n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） 4、十字相乘法 借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l 的二次三项式,2q px x ++ 寻找满足,ab q a b p =+=的