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平面向量基础题

一、高考真题体验

1．（2015新课标卷I ）已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4) 2．（2015新课标卷II ）已知

()1,1=-a ,

()

1,2=-b ,则(2)+?=a b a （）

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

3．（2014新课标卷I ）设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EB A.AD B.

AD 21 C. BC 2

D. BC 二、知识清单训练【平面向量概念】

1、定义：大小、方向

2、几何表示：有向线段AB ,a 、

3、基本概念：单位向量、相等向量、相反向量、共线（平行）向量

4．下列判断正确的是 ( )

A.若向量AB 与CD 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线；

B.单位向量都相等；

C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；

D.模为0的向量的方向是不确定的。 5．下列命题正确的是( ) A ．单位向量都相等

B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线

C ．若||||a b a b +=-，则0a b ?=

D ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ?=

6．已知非零向量b a 与反向，下列等式中成立的是

（）

A ．||||||b a b a -=-

B ．||||b a b a -=+

C ．||||||b a b a -=+

D ．||||||b a b a +=+

【线性运算】

1、加法：首尾相连，起点到终点 AC BC AB =+

2、减法：同起点、连终点、指向被减 CB AC AB =-

3、数乘：

????

?=<>=a a a a a a a λλλλλλλ方向相反方向与方向相同；方向与,0,0

7．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则等于 ( ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8．设四边形ABCD 中，有DC =2

AB ，且|AD |=|BC |，则这个四边形是 A.平行四边形 B.等腰梯形

C. 矩形

D.菱形

9．设D ，E ，F 分别为?ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB FC += A ．BC B ．AD C ．

12BC D ．1

AD 10．设P 是△ABC 所在平面内的一点，+

，则（）

A ．+=

B ．+=

C ．

= D ．

11．如图.点M 是ABC ?的重心,则MC MB MA -+为（）

A ．0

B ．4ME

C ．4M

D D ．4MF

【平面向量基本定理】b a c μλ+=，基底

12．如图所示，已知2AB BC =，OA a =，OB b =，OC c =，则下列等式中成立的是( )

(A)3122c b a =

- (B)2c b a =- (C)2c a b =- (D)3122

c a b =- 13．在空间四边形ABCD 中，AB a =，AC b =，AD c =，M ，N 分别为AB 、CD 的中点，则

MN 可表示为（）

1()2a b c +-

B.1

()2a b c -+ C.1()2a b c -++ D.1

()2

a b c -++ 14．在ABC ?中，已知D 是AB 边上一点，若1

2,3AD DB CD CA CB λ==+，则λ=( )

A ．2

B ．

C ．13-

D ．23

【共线定理】1221//y x y x a b b a -==?λ

15．已知1232a e e =+，则与a 共线的向量为

(A) 1223e e -- (B) 1264e e - (C) 1264e e + (D) 1232e e -+ 16．平面向量(1,2)=-a ，(2,)n =-b ，若a // b ，则n 等于

A ．4

B ．4-

C ．1-

D ．2

【坐标运算】

1、已知()()2211,,,y x B y x A ==，则()1212,y y x x AB --=

2、已知()()2211,,,y x b y x a == 则

()

2121,y y x x b a ++=+，

()

2121,y y x x b a --=-，

)

,(11y x a λλλ=，

2121y y x x b a +=?

17．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则+=a b

A B

C O

A ．()1,5-

B ．()1,5

C ．()1,3--

D ．()1,3 18．若向量(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BC =（） A ．(1,1) B ．(1,1)-- C ．(3,7) D ．(3,7)-- 19．已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，则2a b -=

A ．（5,7）

B ．（5,9）

C ．（3,7）

D ．（3,9）

【数量积】 1、定义：2

121cos y y x x b a b a +==?θ，

2、投影：

cos a b a 方向上的投影在

3、模： 21212

y x a

a +==

4、夹角：2

2221212

121,cos y x y x y y x x b

a b a b a +++=

?>=<

5、垂直：

02121=+?=??⊥y y x x b a b a

20．已知||6a =，||3b =，12a b ?=-，则向量a 在向量b 方向上的投影是（） A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 21．已知3a =，23b =，3a b =-，则a 与b 的夹角是 A. 30? B. 60? C. 120? D. 150?

22．设(1,2)a =，(2,)b k =，若(2)a b a +⊥，则实数k 的值为（） A ．2- B ．4- C ．6- D ．8- 23．已知,a b 是平面向量，若(2)a a b ⊥-，(2)b b a ⊥-，则a 与b 的夹角是 A ．

6π B ．3π C ．23π D ．56

24．空间四边形OABC 中，OB OC =，3

AOB AOC π

∠=∠=

，则cos <,OA BC >的值是（）

21 B.22 C.－2

1 D.0

25．设向量,a b 满足||1,||3,()0a a b a a b =-=

?-=，则|2|a b +＝( )

A ．2

B ．23

C ．4

D ．43 26．已知等边ABC ?的边长为1，则=?BC AB A ．2

B ．23-

C ．21

D ．23

27．在Rt ABC ?中，D 为BC 的中点，且AB 6AC 8==，，则AD BC ?的值为 A 、28- B 、28 C 、14- D 、14

28．若同一平面内向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且1a =，1b =，3c =，则a b c ++等于（）

A ．2

B ．5

C ．2或5

D ．2或5

【课后练习】

29．已知ABC 和点M 满足0=++MC MB MA .若存在实数m 使得AM m AC AB =+成立，则m =

（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．3

30．设向量12,e e 是夹角为23

的单位向量，若13a e =，12b e e =-，则向量b 在a 方向的投影为（） A ．

32 B ．12 C ．1

- D ．1 31．已知平面向量a ，b 满足3a =，2b =，3a b ?=-，则2a b +=（） A ．1 B ．7 C ．43+ D ．27 32．已知1,2,()a b a a b ==

⊥-且，则向量a 与向量b 的夹角为（）.

（A ）30 （B ）45 （C ） 90 （D ）135 33．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（） A ．AB DC = B ．AD AB AC += C ．AB AD BD -= D ．AD CD BD +=

34．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，(2,4)AB =，(1,3)AC =，则DA ＝（） A ．（2,4） B ．（3,5） C ．（1，1） D ．（－1，－1）

35．如下图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ＝x OA ＋y OB ，且BP ＝3PA ，则（）．

A 、x ＝

23，y ＝13 B 、x ＝13，y ＝23 C 、x ＝14，y ＝34 D 、x ＝34，y ＝14

36．已知向量(1,2),(4,)a b m ==-，若2a b +与a 垂直，则m =（） A ．-3 B ．3 C ．-8 D ．8 37．已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ?，且2,1a

b ，则向量a 与b 的夹角为（）

A ．6π

B ．3π

C ．32π

D ．6

5π

38．已知向量(2,1),(5,3)a b →

→

==-，则a b →→

?的值为 A ．-1 B ．7 C ．13 D ．11

39．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则实数m 的值为（） A ．1 B ．4 C ．1- D ．4-

40．已知平面向量AB ()1,2=，AC ()3,4=，则向量CB =（） A ．(4,6)-- B ．(4,6) C ．(2,2)-- D ．(2,2)

41．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于（） A ．()2,1-- B ．()2,1 C ．()3,1- D ．()3,1-

42．已知两点A(4，1)，B(7，-3)，则与向量AB 同向的单位向量是（） A ．(

53，-54) B ．(-53，54) C ．(-54，53) D ．(54，-5

3) 43．若向量

，满足条件

，则x=

（）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

44．设R y x ∈,，向量()()(),4,2,,1,1,-===c y b x a 且c b c a //,⊥，则=+b a ( ) A.5 B.10 C ．25 D ．10

45．已知向量(1,2),(2,1)a b ==-，下列结论中不正确．．．的是（） A ．//a b

B ．a b ⊥

C ．||||a b =

D ．||||a b a b +=-

平面向量基础题参考答案

1．A 【解析】

试题分析：∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(-7,-4)，故选A. 考点：向量运算 2．C 【解析】

试题分析：由题意可得2112=+=a ,123,?=--=-a b 所以

()222431+?=+?=-=a b a a a b .故选C.

考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算. 3．A 【解析】

试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在BEF ?中，

EB EF FB EF AB =+=+，同理

FC FE EC FE AC =+=+

，则

11111

()()()()22222

EB FC EF AB FE AC AB AC AB AC AD

+=+

++=+=+=．考点：向量的运算 4．D

【解析】解：因为

A.若向量AB 与CD 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线；可能构成四边形。

B.单位向量都相等；方向不一样。

C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；不一定。

D.模为0的向量的方向是不确定的，成立 5．C 【解析】

对于A ，单位向量模长都为1，但方向不确定，所以不一定相等；

对于B ，若0=b ，此时若a 与b 共线，b 与c 共线，但a 与c 不一定共线；对于C ，若|-a b |=|a +b |，则两边平方，化简可得0=?b a ，C 正确；对于D ，若a 与b 都是单位向量，θcos 11??=?b a . 6．C

【解析】解：因为非零向量b a 与反向，所以则有根据向量的加法法则可知，

||||||b a b a -=+，选C.

7．C 【解析】

试题分析：如图，

BA CB CD CA DC DA +-=+=，故选：B ．

考点：向量加减混合运算及其几何意义． 8．B

【解析】解：因为四边形ABCD 中，有DC =

AB ，且|AD |=|BC |，，因此一组对边平行，另一组对边相等的四边形为等腰梯形，选B 9．B 【解析】

试题分析：由向量加法法则得()12BE BA BC =

+，()

CF CB CA =+，因此()

EB FC BA BC +=-

+ ()12CB CA -+()()

111

2222BA CA AB AC AD AD =-+=+=?=，故答案为B. 考点：向量加法法则的应用. 10．A 【解析】∵+=2，

∴﹣=﹣

，

∴=， ∴﹣=， ∴

故选A ． 11．D 【解析】

试题分析：点

是ABC ?的重心，所以有F 点是中点，

1132

MF CF CM

==2MA MB MF +=

24MA MB MC MF CM MF ∴+-=+=

考点：向量的加减法

点评：向量的加减法运算遵循平行四边形法则，三角形法则，加法：将两向量首尾相接由起点指向中点；减法：将两向量起点放在一起，连接终点，方向指向被减向量 12．A 【解析】

试题分析：()

OB OC OA BC OA AC OA OC -+=+=+=33,所以OA OB OC 2

23-=. 考点：向量的三角形法则. 13．C 【解析】

试题分析：取AC 的中点E ，连接ME,NE ，则

()

1111=2222MN ME EN BC AD AC AB AD +=

+=-+=1

()2

a b c -++. 考点：向量的加减运算；向量加法的三角形法则。

点评：我们要注意向量加法的三角形法则的灵活应用。属于中档题。 14．D 【解析】 15．C 【解析】

试题分析：因为1232a e e =+，那么则与a 共线的向量要满足b a λ→

→

=，那么对于选项A,分析不满足比例关系，对于选项B ，由于不存在实数满足b a λ→

→=，因此不共线，同理可知选项D ，也不满足，排除法只有选C. 考点：共线向量

点评：主要是考查了向量共线的概念的运用，属于基础题。 16．A 【解析】

试题分析：根据向量共线的条件，可知1(2)(2)4x ，所以4x .

考点：向量共线的坐标表示. 17．A 【解析】

试题分析：根据向量的加法运算法则，可知(23,14)(1,5)a b +=-+=-，故选A ．考点：向量的加法运算． 18．B 【解析】试

题

分

析

：

因

为

向

量

(2,4)AB =，(1,3)AC =，所以

)1,1()4,2()3,1(A B C --=-=-=AB C ．故选B ．

考点：向量减法的坐标的运算． 19．A 【解析】

试题分析：根据向量的坐标运算可得：()()()24,81,15,7a b -=--=，故选择A 考点：向量的坐标运算 20．A 【解析】

试题分析：向量a 在向量b 方向上的投影是a

θcos ?（θ是a ，b 的夹角），

a θcos ?=

=?b

b a -4.

考点：向量的数量积运算. 21．C 【解析】

试题分析：根据题意，由于3a =，23b =，3a b =-，那么可知a 与b 的夹角是

ab -31

=-||||62

a b =，因此可知其夹角为120?，选C.

考点：向量的数量积

点评：主要是考查了向量的数量积的基本运算，属于基础题。 22．C 【解析】试

题

分

析

：

因

为

)

4,4(2k b a +=+，

60212)4(214)2(-=?=+=++??⊥+k k k a b a

考点：1．平面向量的坐标运算；2．非零向量0=??⊥b a b a ；3．数量积公式的坐标形式； 23．B 【解析】

试题分析：根据题意，由于,a b 是平面向量，若(2)a a b ⊥-，(2)b b a ⊥-，则可知

a a -2

b a -2a b =b b -2a b -2a b =b =a

→

→→

→→→→→→

→→→

→→??∴（）=00,（）=00，

a b

11cos a,b a,b 223|a ||b |

→→

→→→→→→

=∴<>=∴<>=可知a 与b 的夹角3π，选B 考点：向量的数量积

点评：主要是考查了向量的数量积的运算，属于基础题。 24．D

【解析】

试题分析：利用OB=OC ，以及两个向量的数量积的定义化简cos ＜,OA BC ＞的值，根据题意

，

因

为

OB OC

=，则

cos <,OA BC >=

()0||||||||||||

OA BC OA OC OB OA OC OA OB

OA BC OA BC OA BC --=== ,故可知答案为D.

考点：向量的数量积

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用 25．B. 【解析】

2()0,1a a b a a b ?-=∴=?=,222

2||23,4,a b a a b b b -=-?+=∴=

|2|4444423a b a a b b ∴+=+?+=++=,故选B.

26．A 【解析】

试题分析：BC AB ?＝2111cos 32

π??=-．考点：平面向量的数量积． 27．D 【解析】

试题分析：由题意得，1

,(),2

AB AC AD AC AB BC AC AB ⊥=

-=-, 22111

()()()(6436)14222

AD BC AC AB AC AB AC AB ∴?=+?-=-=?-=.

考点：平面向量的线性运算和数量积

28．C 【解析】

试题分析：因为同一平面内向量a ，b ，c 两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是

120时，

222

||2221191334

a b c a b c a b a c b c ++=+++?+?+?=++---=，即

||2a b c ++=，

所以当三个向量所成的角都是

0时，||1135a b c ++=++=，故||2a b c ++=或5.

考点：平面向量的数量积，向量的模的求法. 29．B 【解析】

试题分析：由题根据0MA MB MC ++＝，则M 为△ABC 的重心．

根据0MA MB MC ++＝知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则2211

33332((3

))AM AD AB AC AB AC AB AC AM m =

?+=+∴+∴=＝，＝，，

故选B 考点：平面向量的几何意义

30．A 【解析】

试题分析：因为向量12,e e 是夹角为23π的单位向量，所以=?21e e 2

132cos ||||21-=πe e 向

量

在

方

向的投影为

3323

33|

3|)

(3,cos ||2

11211=+

?-=

-?=

?=e e e e e e e a

b a b a b . 考点：向量数量积的运算.

31．B 【解析】

试题分析：根据题意结合向量的运算可得：22|2|447+=+?+=a b a a b b . 故选B.

考点：向量模的运算 32．B 【解析】试

题

分

析

：

由

,0)(2

=?=?-?-⊥b a b a a b a a ，则

1,cos ==

??>=

a b a b a ，向量a 与向量b 的夹角为45，选B . 考点：平面向量的数量积和向量夹角；

33．C 【解析】

试题分析：由向量的有关知识可知AB DC =，AD AB AC +=，AD CD BD +=正确．而AB AD BD -=错误．选C 考点：向量的运算和性质 34．C ．【解析】

试题分析：()(1,1)DA AD AC AB =-=--=．考点：平面向量的线性运算． 35．D 【解析】

试题分析：由已知BP ＝3

PA ，得)(3?→?-?→?=?→?-?→?OP

OA OB OP ，整理，

?→?+?→??=?→?-?→?=?→?-?→?OB

OA OB OP 41

43)(3，可得x ＝34，y ＝14 考点:向量的加、减运算． 36．A 【解析】

试题分析：由已知2(2,4)a b m +=-+，所以(2)22(4)0a b a m +?=-++=，解得

3m =-．故选A ．

考点：向量垂直的坐标运算．

37．C 【解析】

试题分析：本题考查向量的夹角的求法，难度较小．由条件得1a b ?=-，所以

cos ,2||||

a b a b a b ?<>=

=-?，故2,3a b π<>=，故选C ．

考点：向量的夹角．

38．B 【解析】

试题分析：因为(2,1)(5,3)1037a b →→

?=?-=-=，所以应选B ．考点：1、平面向量的数量积； 39．D 【解析】

试题分析：因为//a b ，所以4022-=∴=-?-?m m )(1．故选D ．考点：向量平行的充要条件． 40．C 【解析】

试题分析：由向量的减法法则()2,2--=-=AC AB CB ,所以选C ；考点：1．向量的减法； 41．A

【解析】试题解析：a ∥b 2(2)4x ?=?-=- ∴a +b (2(4),1(2))(2,1)=+-+-=-- 考点：本题考查向量的坐标运算

点评：解决本题的关键是注意向量平行坐标公式 42．A 【解析】试题分析：

()()()

=7-3-4,1=3-4AB ，，，

()2

2=3+-4=5

AB ，与向量AB 同向的单位向

量是()13434,5

55AB

AB ??=?-=- ?

??，. 考点：向量的坐标表示、单位向量. 43．A 【解析】∵，

，

∴8=（8，8）﹣（2，5）=（6，3）

∵

∴12+3x=30 ∴x=6 故选A 44．B 【解析】试

题分析：

()

2402//4223,1a c x x b c y y a b ⊥∴-=∴=∴-=∴=-∴+=-10a b ∴+=

考点：向量的坐标运算及向量位置关系点

评

：

若

()()

,,,a x y b m n ==则

()

,a b x m y n +=++，

,0a b xn my a b xm yn ?=⊥?+=

45．A

【解析】

试题分析：根据题意，由于(1,2),(2,1)a b ==-，那么可知

(1,2)(2,1)=0a b a b =-∴⊥，故选项B 正确，对于C ，由于||=||=5a b 成立，根据向

量的几何意义可知，垂直向量的和向量与差向量长度相等，故D 成立，因此选A. 考点：向量的概念和垂直的运用

点评：解决的关键是利用向量的数量积以及向量的共线来得到结论，属于基础题。 46．D 【解析】

试题分析：设()()

()(),1,321,325,3D x y CD x y CD AB x y ∴=+-=∴+-=-

9,3x y ∴==-()9,3D ∴-

考点：向量的坐标运算

点评：向量坐标等于向量终点坐标减去起点坐标，两向量相等，其对应横纵坐标相等