高三文科数学模拟卷
本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．以下四个命题：
①“若x y =，则2
2
x y =”的逆否命题为真命题
②“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件 ③若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题
④对于命题p ：0x R ?∈，2
0010x x ++<，则p ?为：x R ?∈，210x x ++≥
其中真命题的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．已知x 0是函数f （x ）=ln x -1
x
（x ＞0）的一个零点，若x 1∈（0，x 0），x 2∈（x 0，+∞）则（ ） A ．()10f x <,()20f x > B ．()10f x >,()20f x < C ．()10f x <,()20f x <
D ．()10f x >,()20f x >
3．已知0.50.6
0.910.80.60.5a og b c ===，，，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．a c b >>
4．已知f （x ）是定义域为[-3，3]的奇函数，且在[-3，0]上是减函数，那么不等式f （x +1）＞f （3-2x ）的解集是（ ） A ．2,
3?
?-∞ ???
B ．[]
0,2
C ．20,
3??
????
D ．2,3??+∞
???
5．函数f （x ）=x 2ln|x |的图象大致是( ).
A ．
B ．
C ．
D ．
6．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若22()6c a b =-+，且,,A C B 成等差数列，则ABC △的面积是（ ） A ．
33
2
B ．
3
2
C ．3
D ．337．数列{}n a 中,115a =-,且12n n a a +=+,则当前n 项和n S 最小时,n 的值为( ) A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
8．若对任意的[1,3]x ∈，不等式230x x m --<都成立，则实数m 的取值范围为（ ）. A ．(2,)-+∞
B ．9
(,)4
-+∞
C ．9(,0)4
-
D ．(0,)+∞
9．设1x >，则函数2
()231
f x x x =++-的最小值为（ ） A ．9
B ．8
C ．6
D ．5
10．关于直线m 、n 及平面α、β，下列命题中正确的是（ ） A ．若m α⊥,//m β,则αβ⊥ B ．若//m α,//n α,则//m n C ．若//m α,m n ⊥,则n α⊥
D ．若//m α,n αβ=I ,则//m n
11．已知抛物线C ：2
8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =u u u r u u u r
，
则||QF =( )
A ．6
B ．
5
2
C ．3
D ．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，3BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若3AB AF ?=u u u r u u u r ，则AE BF
?u u u r u u u r
的值是______.
13．若实数,x y 满足004312
x y x y ≥??≥??+≤?
，则23
1x y z x ++=+的取值范围是__________．
14．已知一组数1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.
15．已知某圆锥的母线与其底面所成角的大小为60?，若此圆锥的侧面积为8π，则该圆锥的体积为______. 16．给出下列四个命题：
①函数()y f x =，x ∈R 的图象与直线x a =可能有两个不同的交点；
②函数2
2log y x =与函数22log y x =是相等函数；
③对于指数函数2x y =与幂函数2
y x =，总存在0x ，当0x x >时，有2
2x
x >成立；
④已知1x 是方程lg 5x x +=的根，2x 是方程105x x +=的根，则125x x +=. 其中正确命题的序号是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．在ABC ?中，a ， b ， c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin -sin )()(sin sin )a A B c b B C =-+. （1）求角C 的值：
（2）设函数3
()cos sin()34
f x x x π
=?+-，求(A)f 的取值范围.
18．已知{}n a 为等差数列，且138a a +=，2412a a +=.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2
12k k a a S +=?，求正整数k 的值.
19．如图，在三棱锥V -ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC =BC =2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．
（1）求证：VB ∥平面MOC ； （2）求证：平面MOC ⊥平面VAB （3）求三棱锥V -ABC 的体积．
20．上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组；第二组；……；第六组，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；
（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间内的概率．
21．已知椭圆(222:122x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2
2
PF =
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O
为坐标原点，且OM =，求AOB ?面积的最大值.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+??=?（α为参数），曲线2C 的参数方程为325
415x t y t
?=+????=+??
（t
为参数）.
（1）求曲线1C 的极坐标方程；
（2）若曲线1C 与曲线2C 交于P ，Q 两点，且()2,1A ，求11
AP AQ
+的值. 23．已知函数()|21|f x x =-． （1）解不等式()||3f x x <+；
（2）若对于x ，y R ∈，有1|31|3x y -+≤
，1|21|6y -≤，求证：(6
7
)f x ≤．
参考答案
1．C 2．A 3．A 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D 9．A 10．A 11．C
由题,设Q 在第一象限,则作QM x ⊥轴于M 点,设准线l 交x 轴于N ,因为4FP FQ =u u u r u u u r
, QM ∥PN ,故4FN FM =u u u r u u u u r
,又(2,0),(2,0)F N -,故(1,0)M ,所以Q 的横坐标也为1.
利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离有||=1+2=3QF 12．9
2
-
建立如图所求的直角坐标系，则(0,0),(3,0),3),3)A B C D ，3
(3,
)2
E ，设(3)
F x ，则(3,0)AB =u u u r ，(3)AF x =u u u r
，
∴33AB AF x ?==u u u r u u u r
，1x =，
∴(3)BF =-u u u r ，又3
AE =u u u r ，
∴393(2)32
AE BF ?=?-+?=-u u u r u u u r ．
13．9,74?????? 14．
265 15．833
π 16．③④
根据函数定义，对定义域内的任意一个x 值，只有唯一的y 值与之对应，∴函数()y f x =，
x ∈R 的图象与直线x a =可能有一个或0个交点，因此①错；
22log y x =中定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，函数22log y x =的定义域是(0,)+∞，定义域不
相同，不是同一函数，②错； 当4x >时，22x x >，因此③正确；
如图，12,x x 分别是函数lg y x =、10x
y =的图象与直线5y x =-的交点P 、Q 的横坐标，由于lg y x =与10x
y =是互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，而直线5y x =-与
直线y x =垂直，因此,P Q 两点关于直线y x =对称，直线5y x =-与直线y x =的交点为
55(,)22，∴125
252
x x +=?=．④正确．故答案为：③④． 17．解：（1）由正弦定理得：222a ab bc c b bc -=+--， ∴222a b c ab +-=，∴1
cos 2
C =，∴60C =?. （2）
(
)1cos sin cos 224f x x x x ??=+- ? ??
?
()11cos 21sin 2sin 260422x x x +==+o
， ∵0120A ?<
=+∈-????
o . 18．解：（1）根据题意，设数列{}n a 的公差为d ，
由题意知()()111
128
312a a d a d a d ++=??+++=?，解得12,2a d ==，
则1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=，即2n a n =； （2）由（1）可得12,2n a a n ==， 则()12(1)2
n n a a n n n S n n +=
=+=+，又21
2k
k a a
S +=?，
则有()2
2(2)(3)k a k k =++，即22421012k k k =++，
变形可得：2560k k --=，解可得6k =或1k =-（舍），故6k =． 19．解：（1）证明：∵O ,M 分别为AB ,VA 的中点,
∴OM ∥VB ,∵VB ?平面MOC ,OM ?平面MOC ,∴VB ∥平面MOC ； （2）∵AC =BC ,O 为AB 的中点,
∴OC ⊥AB ,∵平面VAB ⊥平面ABC ,OC ?平面ABC ,
∴OC ⊥平面VAB ,∵OC ?平面MOC ,∴平面MOC ⊥平面VAB （3）在等腰直角三角形ACB 中,AC =BC
,∴AB =2,OC =1, ∴等边三角形△VAB 中,S △VAB
=
122sin 23
π
???=, ∵OC ⊥平面VAB , ∴V C -VAB =1
3
OC ?S △VAB
=
∴V V -ABC =V C -VAB
20．解：（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间[)80,90内的频率为
()10.00520.0150.0200.045100.1-?+++?=.
所以平均分0.05450.15550.45650.2075x =?+?+?+?0.10850.059568+?+?=， 众数的估计值是65.
（2）设A 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间[]90,100内”，
由题意可知成绩在区间[)80,90内的学生所选取的有：0.01010404??=人， 记这4名学生分别为a ，b ，c ，d ，
成绩在区间[]90,100内的学生有0.00510402??=人，记这2名学生分别为e ，f ， 则从这6人中任选2人的基本事件为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，
(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共15种，
事件“至少有1名学生的成绩在区间[]90,100内”的可能结果为：(),a e ，(),a f ，(),b e ，
(),b f ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共9种，所以()93155
P A =
=． 21．解：（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >
，由题知，点,P c ? ??
，b =
则有2
22
212
c a ? ??+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22
182
x y +=；
（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥，
由OM =
可得AB =
1
2
AOB S OM AB ?=
?=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，
由22
182x y y kx t ?+=???=+?
，得()222
148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，2122
4814t x x k
-=+，从而224,1414kt t M k k -?? ?++??
已知OM =()2
222
214116k t k
+=
+.
()(
)()222
2
2
2
1
2
122284814141414kt t AB k
x x x x k k k ??
--????=++-=+-??? ???++??????
Q ()
()
()
222
2
21682114k t k
k -+=++.设O 到直线AB 的距离为d ，则2
2
2
1t d k
=+， ()()()
22
22
2
2221682114114AOB
k t t S k k k ?-+=+?++. 将()
2222
214116k t k
+=
+代入化简得()
()
222
2
219241116AOB k k S k ?+=
+.
令2
116k p +=，
则()()
()2
2
2
22
211211192414116AOB
p p k k S p k ?-??-+ ?+??==+2
11433433p ????=--+≤?? ???????.
当且仅当3p =时取等号，此时AOB ?的面积最大，最大值为2.
22．解：（1）曲线1C 的普通方程为()2
224x y -+=，即22
40x y x +-=.
将cos sin x y ρθ
ρθ
=??
=?代入化简得1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.
（2）将2C 的参数方程代入1C 的普通方程()2
224x y -+=中，得2
8
305
t t +
-=， 设P ，Q 两点的参数分别为1t ，2t ，则12
128530
t t t t ?
+=-???=-
121212
1111
t t AP AQ t t t t -+=+=
==
=
. 23．解：（1）由()||3f x x <+得|21|||3x x -<+，
则12213x x x ?≥???-<+?，或102
123
x x x ?
<
或012 3.x x x ≤??-<-+?， 解得
1
42x ≤<，或102
x <<，或20x -<≤，即24x -<<， 所以不等式()||1f x x <+的解集为{|24}x x -<<.
（2）证明：由
1
|31|
3
x y
-+≤，
1
|21|
6
y-≤，
所以
217 ()|21||2(31)3(21)|2|31|3|21|
326 f x x x y y x y y
=-=-++-≤-++-≤+=.