线性回归模型在湖北省货运量预测中的应用
09城规2班 N3090810220 黄霞
摘要：物流产业作为综合性很强的经济产业，无论是宏观决策，还是物流企业的规划和经营决策，都需要以正确的预测为前提。本文针对物流需求的特点，运用一元线性回归模型对物流需求进行预测，并以湖北省为例进行了实证。
关键词：物流需求，预测，相关系数，一元线性回归模型，货运量
正文：
预测是普遍存在的客观现象，在政府、经济、商业、金融以及其他许多领域，预测有着广泛的应用。系统预测是重要的，系统预测的正确与否，直接影响系统规划的指向和目标是否出现偏差以及偏离的程度，系统预测是系统管理与控制的基础，是系统优化的前提条件，是为系统决策服务的。
由于预测目标与影响因素之间关系的难以确定性，直接采用某种特定的预测方法就显得不够客观。考虑到这一点，结合一元线性回归模型简单易处理的特征，并将之运用于湖北省货运总量的预测中，得到了很好的应用效果。
物流需求的一元线性回归模型预测——以湖北省为例
第一步，选择变量。分别将湖北省GDP 和货运量作为区域经济和区域物流发展水平的衡量指标来进行分析。获得基础统计数据如下表所示。
湖北省GDP与货运量之间的数据表
年份 年GDP 千万元货运量 万吨20004276.32785.320014662.28812.6520024975.63981.5720035395.911241.920046320.481403.620056484.51669.32006
7497.171726.6
（注：本数据来源于湖北省2005 年年鉴）
一元线性回归方程在某种程度上揭示了两个变量间的线性相关关系。但在应用线性回归的计算公式时会发现，并不需要预先假设两个变量之间一定具有线性相关关系，也就是说，对任意给定的N 组数据都可根据公式确定一条直线而得出预测方程。这样一来，需解决这条直线能否反映出所研究系统的变化规律问题，精确地说，需研究这条直线是否有实际使用价值。
我们曾指出，只有当两个变量之间有大致的线性关系时，用该方法所得到的预测模型才是适用的。能否用一个数量指标来评价两变量大致呈线性关系的程度，以决定用回归分析所得到的数学模型与研究系统的规律相符呢？又怎样确定预测模型的预测精度呢？这就是线性回归检验和精度分析需解决的问题。
所以我们要对其进行相关系数的分析，计算和检验。
相关性分析方法是采用概率论与数理统计中的相关性理论，分析影响因素(自变量)与目标函数(因变量)之间的相关程度，按照相关程度大小进行排序。相关系数是反应两个变量问是否存在相关关系，以及这种相关关系密切程度的一个统计量。相关系数r 的计算公式为：
∑∑∑===----=
n
i i
n
i i
i
n
i i
y y
x x y y
x x r 1
2
2
1
1)()()
)((
()()
∑∑∑===--==
==
n
i i
i
n
i i
n
i i
y y x x n
y
y n
x
x 1
1
1
56
.123189857
.5658
∑=--n i i
i
y y x x 1
))((=（-1382.57857）?（-446.26）+（-996.61857）?（-418.91）
+（-683.26857）?（-249.99）+（-262.98857）?(10.34)+ 661.58143?172.04 + 825.60143?437.74 + 1838.27143 ? 495.04= 2587808.63867
∑=-n
i i
x x 12
)
(=2817.68355
∑=-n
i i
y y 1
2
)
(=950.53362
∑∑∑===----=
n
i i n
i i i
n
i i
y y x x y y
x x r 1
2
2
1
1
)()
()
)((96621.068355
.281753362.95063867
.2587808=?= 相关系数r 的特征有：相关系数取值范围为：-1≤r ≤1。当r>0，称正线性相关，X 上升，Y 呈线性增加。当r<0，称负线性相关，X 上升，Y 呈线性减少。|r|=0，X 与Y 无线性相关关系；|r|=1，完全确定的线性相关关系；0<|r|<1，X 与Y 存在一定的线性相关关系；|r|>0.7，为高度线性相关；0.3<|r|≤0.7，为中度线性相关；|r|≤0.3，为低度线性相关。
指标r 可衡量两变量的线性相关程度，但只提供了相对比较的评价依据，若进行绝对评价，则显得依据不足。因此要进行相关系数的显著性检验。而显著性检验，实际上相当于规定一个合理的、认为能满足使用要求的指标界限，并用该指标界限对系统预测模型的适用性进行绝对评价。r 值的大小取决于X i 、Y i 和数
据数量n 。因此，为任何系统都规定一个统一的标准值是不能反映不同情况的差异的，也是不合理的。显著性检验就是依据所占有的数据量及其分布情况、变量个数等条件，确定一个合理的标准作为评价指标。
检验相关系数0=ρ的临界值（a r ）表
{}?=>a r r ρ
在表中， f 称为自由度 ，其数值为f=n-2，n 为样本数；所以f=5，上方的
?代表不同的置信水平；表内的数值代表不同的置信水平下相关系数0=ρ的临
界值,即a r ;公式{}?=>a r r ρ的意思是当所计算的相关系数r 的绝对值大于在?水平下的临界值a r 时，两要素不相关（即0=ρ）的可能性只有?。
对湖北省货运量与GDP 之间的相关系数，f=7-2=5，在显著性水平10.0=?上，查表，得知：6694.010.0=r 。因为6694.096621.0=>=a r r ，所以，湖北省货运量与GDP 之间的相关性显著。所以可以运用一元线性回归来进行预测。
从货运量和GDP 的数据分析可得到散点图，从图中可看出这些点呈线状分布。
05001000150020000
2000
400060008000
GDP 与货运量之间关系
GDP（千万元）
货运量（万吨）
一元线性回归预测法是分析一个因变量与一个自变量之间的线性关系的预测方法，常用统计指标：平均数、增减量、平均增减量。
一元回归预测的基本思想是确定回归直线，得出回归直线方程，并依此得出预测值。确定直线的方法是最小二乘法，其基本思想是：最有代表性的直线应该是直线到各店距离最近，然后用这条直线进行预测。
一元线性回归预测模型的建立步骤：选取一元线性回归模型的变量；绘制计算表和模拟合散点图；计算变量间的回归系数及其相关的显著性；回归分析结果的应用。下面比较详细地描述一元回归直线的求法。
在取得两个变量的实验数据之后，若在普通直角坐标系上标出各个数据点，若果各点的分布近似乎一条直线，则可考虑采用线性回归法求其表达式。一元线性回归分析法的预测模型为：
bx a Y +=
∑∑==---=
n
i i
n
i i
i
x x y y x x b 1
2
1
)
()
)((，
n x
x n
i ∑==
1
，
n y
y n
i ∑==
1
，x b y a -=
式中：
y ．一预测目标；
X —— 影响因素； a ，b ——回归系数
()()∑∑∑===--==
==
n
i i
i
n
i i
n
i i
y y x x
n
y
y n
x
x 1
1
1
56
.123189857
.5658
∑∑==---=
n
i i
n i i
i
x x y y x x b 1
2
1
)
()
)((32595.056308
.793934063867
.2587808==
x b y a -==1231.56-1844.51799=-612.95799
bx a Y +==-612.95799+0.32595x
模型预测效果检验。为检验上述模型的预测效果，首先利用2000年至2006年的历史GDP 数据预测这7年的货运量，得出以下表：
年份 年GDP 千万元货运量 万吨预测货运量 万吨20004276.32785.3780.9085120014662.28812.65906.7121820024975.63981.571008.8486120035395.911241.91145.8388720046320.481403.61447.2024720056484.51669.31500.6647920067497.171726.61830.74457
将预测值和实际值进行比较，结果如下图所示：
5001000150020000
2000400060008000
实际值与预测值的曲线比较
GDP (千万元）
货运量（万
吨）
货运量 万吨预测货运量 万吨
结论：
通过对湖北省2000到2006年的数据进行一元线性回归预测可以得出如下结论：
（一）湖北省的货运量呈上升趋势
通过对货运量的主要影响因素分析，可知货运量与生产总值紧密联系。从上图曲线比较图可以明显看出，湖北省的货运量呈上升趋势，由此可知货运量与生产总值呈正相关关系。
（二）一元线性回归模型对货运量的预测效果较好、精度较高，适宜对物流需求进行预测。
在湖北省7年历史数据的预测结果中，参数具有较高的显著性。
一元线性回归分析法在预测中有着广泛的用途，文中应用其原理建立一元线性回归预测模型类，并在安阳市货运总量的预测中得到了很好的应用，一元线性回归预测模型类具有一定的理论价值和现实意义。
本文中只分析了生产总值对货运量的影响，而在实际运行中还有许多因素会影响货物周转量，如气候条件、宏观经济政策、微观因素中的运输距离与货运量
等。另一方面货物周转量并不能完全代表物流需求，所以应定期、适时地根据实际情况对其加以补充修正。
参考文献：
1.刘刚，周静，邹飞燕《湖北城乡区域物流与区域经济协调性研究》《物流论坛》 2008年
2.王雪瑞王昭君《基于双变量线性回归模型的物流需求预测——以内蒙古为例》
数学与统计学院实验报告 院（系）：数学与统计学学院学号：姓名： 实验课程：计量经济学指导教师: 实验类型（验证性、演示性、综合性、设计性）：综合性 实验时间：2017年 3 月 1 日 一、实验课题 一元线性回归预测模型 二、实验目的和意义 用回归模型预测木材剩余物 （1）用Eviews软件建立y关于x的回归方程，并对模型和参数做假设检验； （2）求y t的点预测和平均木材剩余物产出量E(y t)的置信区间预测。 （3）假设乌伊岭林业局2000年计划采伐木材20万m3，求木材剩余物的点预测值。 三、解题思路 1、录非结构型的数据； 2、进行描述性统计，列出回归模型；通过看t、f等统计量，检验回归模型是否正确 3、运用forecast进行内预测（1-16样本），可以得到yf的点预测；再运用[yf+se]、[yf-se]进行区间估计（运用excel操作） 4、将样本范围改到17个，令x=20，运用forecast进行外预测（17-17） 四、实验过程记录与结果
翠峦11.69 32.7 乌马河 6.8 17 美溪9.69 27.3 大丰7.99 21.5 南岔12.15 35.5 带岭 6.8 17 朗乡17.2 50 桃山9.5 30 双丰 5.52 13.8 2、用Eviews软件建立y关于x的回归方程，并对模型和参数做假设检验；
模型为：y=0.404280x-0.762928 通过上表t、f统计量的p值<0.05，以及残差图基本在两倍标准差的范围内波动，可以得出该模型通过原假设。 3、求yt的点预测和平均木材剩余物产出量E(yt)的置信区间预测。Yt的点估计：
1. 表1列出了某地区家庭人均鸡肉年消费量Y 与家庭月平均收入X ，鸡肉价格P 1，猪肉价格P 2与牛肉价格P 3的相关数据。 年份 Y/千 克 X/ 元 P 1/(元/千克) P 2/(元/千克) P 3/(元/千克) 年份 Y/千克 X/元 P 1/(元/ 千克) P 2/(元/ 千克) P 3/(元/千克) 1980 2.78 397 4.22 5.07 7.83 1992 4.18 911 3.97 7.91 11.40 1981 2.99 413 3.81 5.20 7.92 1993 4.04 931 5.21 9.54 12.41 1982 2.98 439 4.03 5.40 7.92 1994 4.07 1021 4.89 9.42 12.76 1983 3.08 459 3.95 5.53 7.92 1995 4.01 1165 5.83 12.35 14.29 1984 3.12 492 3.73 5.47 7.74 1996 4.27 1349 5.79 12.99 14.36 1985 3.33 528 3.81 6.37 8.02 1997 4.41 1449 5.67 11.76 13.92 1986 3.56 560 3.93 6.98 8.04 1998 4.67 1575 6.37 13.09 16.55 1987 3.64 624 3.78 6.59 8.39 1999 5.06 1759 6.16 12.98 20.33 1988 3.67 666 3.84 6.45 8.55 2000 5.01 1994 5.89 12.80 21.96 1989 3.84 717 4.01 7.00 9.37 2001 5.17 2258 6.64 14.10 22.16 1990 4.04 768 3.86 7.32 10.61 2002 5.29 2478 7.04 16.82 23.26 1991 4.03 843 3.98 6.78 10.48 （1） 求出该地区关于家庭鸡肉消费需求的如下模型： 01213243ln ln ln ln ln Y X P P P u βββββ=+++++ （2） 请分析，鸡肉的家庭消费需求是否受猪肉及牛肉价格的影响。 先做回归分析，过程如下： 输出结果如下：
SPSS—非线性回归(模型表达式)案例解析 2011-11-16 10:56 由简单到复杂，人生有下坡就必有上坡，有低潮就必有高潮的迭起，随着SPSS 的深入学习，已经逐渐开始走向复杂，今天跟大家交流一下，SPSS非线性回归，希望大家能够指点一二！ 非线性回归过程是用来建立因变量与一组自变量之间的非线性关系，它不像线性模型那样有众多的假设条件，可以在自变量和因变量之间建立任何形式的模型非线性，能够通过变量转换成为线性模型——称之为本质线性模型，转换后的模型，用线性回归的方式处理转换后的模型，有的非线性模型并不能够通过变量转换为线性模型，我们称之为：本质非线性模型 还是以“销售量”和“广告费用”这个样本为例，进行研究，前面已经研究得出：“二次曲线模型”比“线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的趋势变化”，那么“二次曲线”会不会是最佳模型呢？ 答案是否定的，因为“非线性模型”能够更好的拟合“销售量随着广告费用的增加而呈现的变化趋势” 下面我们开始研究： 第一步：非线性模型那么多，我们应该选择“哪一个模型呢？” 1：绘制图形，根据图形的变化趋势结合自己的经验判断，选择合适的模型 点击“图形”—图表构建程序—进入如下所示界面：
点击确定按钮，得到如下结果：
放眼望去, 图形的变化趋势，其实是一条曲线，这条曲线更倾向于"S" 型曲线，我们来验证一下，看“二次曲线”和“S曲线”相比，两者哪一个的拟合度更高！ 点击“分析—回归—曲线估计——进入如下界面
在“模型”选项中，勾选”二次项“和”S" 两个模型，点击确定，得到如下结果： 通过“二次”和“S “ 两个模型的对比，可以看出S 模型的拟合度明显高于
常见非线性回归模型 1.简非线性模型简介 非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。有一些非线性回归模型可以通 过直接代换或间接代换转化为线性回归模型,但也有一些非线性回归模型却无 法通过代换转化为线性回归模型。 柯布—道格拉斯生产函数模型 y AKL 其中L和K分别是劳力投入和资金投入, y是产出。由于误差项是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。 对于联立方程模型,只要其中有一个方程是不能通过代换转化为线性,那么这个联立方程模型就是非线性的。 单方程非线性回归模型的一般形式为 y f(x1,x2, ,xk; 1, 2, , p) 2.可化为线性回归的曲线回归 在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y与解释变量x之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为
线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。如下列模型。 （1）y 0 1e x （2）y 0 1x2x2p x p （3）y ae bx (4)y=alnx+b 对于（1）式，只需令x e x即可化为y对x是线性的形式y01x，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。 对于（2）式，可以令x1=x,x2=x2,?,x p=x p,于是得到y关于x1,x2,?, x p 的线性表达式y 0 1x12x2 pxp 对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得lnylnabx ,令 y lny, 0 lna, 1 b，于是得到y关于x的一元线性回归模型： y 0 1x。 乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为yt本身是异方差的，而lnyt是等方差的。加性误差项模型认为yt是等 方差的。从统计性质看两者的差异，前者淡化了y t值大的项（近期数据）的作用， 强化了y t值小的项（早期数据）的作用，对早起数据拟合得效果较好，而后者则 对近期数据拟合得效果较好。 影响模型拟合效果的统计性质主要是异方差、自相关和共线性这三个方面。 异方差可以同构选择乘性误差项模型和加性误差项模型解决，必要时还可以使用 加权最小二乘。
多元线性回归分析预测法 (重定向自多元线性回归预测法) 多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法） [编辑] 多元线性回归分析预测法概述 在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。 多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑] 多元线性回归的计算模型[1] 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释
因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一 个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加一 个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b0 + b1x1 + b2x2 + e 建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为 解此方程可求得b0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得
第四节 非线形回归模型 一、 可线性化模型 在非线性回归模型中，有一些模型经过适当的变量变换或函数变换就可以转化成线性回归模型，从而将非线性回归模型的参数估计问题转化成线性回归模型的参数估计，称这类模型为可线性化模型。在计量经济分析中经常使用的可线性化模型有对数线性模型、半对数线性模型、倒数线性模型、多项式线性模型、成长曲线模型等。 1．倒数模型 我们把形如: u x b b y ++=110；u x b b y ++=1110 （3.4.1） 的模型称为倒数(又称为双曲线函数)模型。 设：x x 1*=，y y 1*=，即进行变量的倒数变换，就可以将其转化成线性回归模型。 倒数变换模型有一个明显的特征：随着x 的无限扩大，y 将趋于极限值0b (或0/1b )，即有一个渐进下限或上限。有些经济现象(如平均固定成本曲线、商品的成长曲线、恩格尔曲线、菲利普斯曲线等)恰好有类似的变动规律，因此可以由倒数变换模型进行描述。 2．对数模型 模型形式： u x b b y ++=ln ln 10 （3.4.2） (该模型是将u b e Ax y 1=两边取对数，做恒等变换的另一种形式，其中A b ln 0=)。 上式lny 对参数0b 和1b 是线性的，而且变量的对数形式也是线性的。因此，我们将以上模型称为双对数(double-log)模型或称为对数一线性(log-liner)模型。 令：x x y y ln ,ln **==代入模型将其转化为线性回归模型： u x b b y ++=*10* （3.4.3） 变换后的模型不仅参数是线性的，而且通过变换后的变量间也是线性的。 模型特点：斜率1b 度量了y 关于x 的弹性：
多元线性回归统计预测模型 摘要:本文以多元统计分析为理论基础，在对数据进行统计分析的基础上建立多元线性回归模型并对未知量作出预测,为相关决策提供依据和参考。重点介绍了模型中参数的估计和自变量的优化选择及简单应用举例。 关键词：统计学;线性回归;预测模型 一．引言 多元线性回归统计预测模型是以统计学为理论基础建立数学模型，研究一个随机变量Ｙ与两个或两个以上一般变量X 1,X ２，…,Xp 之间相依关系,利用现有数据,统计并分析，研究问题的变化规律，建立多元线性回归的统计预测模型,来预测未来的变化情况。它不仅能解决一些随机的数学问题,而且还可以通过建立适当的随机模型进而解决一些确定的数学问题,为相关决策提供依据和参考。 目前统计学与其他学科的相互渗透为统计学的应用开辟新的领域。并被广泛的应用在各门学科上,从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工业、农业、商业及政府部门。而多元线性回归是多元统计分析中的一个重要方法,被应用于众多自然科学领域的研究中。多元线性回归分析作为一种较为科学的方法,可以在获得影响因素的前提下，将定性问题定量化，确定各因素对主体问题的具体影响程度。 二.多元线性回归的基本理论 多元线性回归是多元统计分析中的一个重要方法，被广泛应用于众多自然科学领域的研究中。多元线性回归分析的基本任务包括:根据因变量与多个自变量的实际观测值建立因变量对多个自变量的多元线性回归方程；检验、分析各个自变量对因自变量的综合线性影响的显著性；检验、分析各个自变量对因变量的单纯线性影响的显著性，选择仅对因变量有显著线性影响的自变量，建立最优多元线性回归方程;评定各个自变量对因变量影响的相对重要性以及测定最优多元线性回归方程的偏离度等。由于多数的多元非线性回归问题都可以化为多元线性回归问题,所以这里仅讨论多元线性回归。许多非线性回归和多项式回归都可以化为多元线性回归来解决,因而多元线性回归分析有着广泛的应用。 2.1 多元线性回归模型的一般形式 设随机变量y 与一般变量12,, ,p x x x 线性回归模型为 01122...p p y x x x ββββε=+++++ （2.1） 模型中Ｙ为被解释变量(因变量）,而12,,,p x x x 是p 个可以精确测量并可控制的一般变 量，称为解释变量（自变量）。p ＝1时，(２.1)式即为一元线性回归模型，p 大于2时，(2.1)
§2.5 一元线性回归模型的置信区间与预测 多元线性回归模型的置信区间问题包括参数估计量的置信区间和被解释变量预测值的置信区间两个方面，在数理统计学中属于区间估计问题。所谓区间估计是研究用未知参数的点估计值（从一组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围，是一个必须回答的重要问题。 一、参数估计量的置信区间 在前面的课程中，我们已经知道，线性回归模型的参数估计量^ β是随机变量 i y 的函数，即：i i y k ∑=1 ?β，所以它也是随机变量。在多次重复抽样中，每次 的样本观测值不可能完全相同，所以得到的点估计值也不可能相同。现在我们用参数估计量的一个点估计值近似代表参数值，那么，二者的接近程度如何？以多大的概率达到该接近程度？这就要构造参数的一个区间，以点估计值为中心的一个区间（称为置信区间），该区间以一定的概率（称为置信水平）包含该参数。 即回答1β以何种置信水平位于() a a +-1 1?,?ββ之中，以及如何求得a 。 在变量的显著性检验中已经知道 ) 1(~^ ^ ---= k n t s t i i i βββ (2.5.1) 这就是说，如果给定置信水平α-1，从t 分布表中查得自由度为(n-k-1)的临界值2 αt ，那么t 值处在()2,ααt t -的概率是α-1。表示为 α αα-=<<-1)(2 2 t t t P 即
α ββαβα-=<-< -1)(2 ^ 2 ^ t s t P i i i α ββββαβα-=?+<
matlab建立多元线性回归模型并进行显着性检验及预测问题 例子; x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x]; 增加一个常数项Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) 得结果：b = bint = stats = 即对应于b的置信区间分别为[，]、[,]; r2=, F=, p= p<, 可知回归模型y=+ 成立. 这个是一元的，如果是多元就增加X的行数！ function [beta_hat,Y_hat,stats]=regress(X,Y,alpha) % 多元线性回归(Y=Xβ+ε)MATLAB代码 %？ % 参数说明 % X：自变量矩阵，列为自变量，行为观测值 % Y：应变量矩阵，同X % alpha：置信度，[0 1]之间的任意数据 % beta_hat：回归系数 % Y_beata：回归目标值，使用Y-Y_hat来观测回归效果 % stats：结构体，具有如下字段 % =[fV,fH]，F检验相关参数，检验线性回归方程是否显着 % fV：F分布值，越大越好，线性回归方程越显着 % fH：0或1，0不显着；1显着(好) % =[tH,tV,tW]，T检验相关参数和区间估计，检验回归系数β是否与Y有显着线性关系 % tV：T分布值，beta_hat(i)绝对值越大,表示Xi对Y显着的线性作用% tH：0或1，0不显着；1显着 % tW：区间估计拒绝域，如果beta(i)在对应拒绝区间内，那么否认Xi对Y显着的线性作用 % =[T,U,Q,R]，回归中使用的重要参数 % T：总离差平方和，且满足T=Q+U % U：回归离差平方和 % Q：残差平方和 % R∈[0 1]：复相关系数，表征回归离差占总离差的百分比，越大越好% 举例说明 % 比如要拟合y=a+b*log(x1)+c*exp(x2)+d*x1*x2，注意一定要将原来方程线化% x1=rand(10,1)*10; % x2=rand(10,1)*10; % Y=5+8*log(x1)+*exp(x2)+*x1.*x2+rand(10,1); % 以上随即生成一组测试数据 % X=[ones(10,1) log(x1) exp(x2) x1.*x2]; % 将原来的方表达式化成Y=Xβ，注意最前面的1不要丢了
一元线性回归在公司加班制度中的应用 院（系）： 专业班级： 学号姓名： 指导老师： 成绩： 完成时间：
一元线性回归在公司加班制度中的应用 一、实验目的 掌握一元线性回归分析的基本思想和操作，可以读懂分析结果，并写出回归方程，对回归方程进行方差分析、显著性检验等的各种统计检验 二、实验环境 SPSS21.0 windows10.0 三、实验题目 一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的程度，决定认真调查一下现状。经10周时间，收集了每周加班数据和签发的新保单数目，x 为每周签发的新保单数目，y 为每周加班时间（小时），数据如表所示 y 3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0 2. x 与y 之间大致呈线性关系？ 3. 用最小二乘法估计求出回归方程。 4. 求出回归标准误差σ∧ 。 5. 给出0 β∧与1 β∧ 的置信度95%的区间估计。 6. 计算x 与y 的决定系数。 7. 对回归方程作方差分析。 8. 作回归系数1 β∧ 的显著性检验。 9. 作回归系数的显著性检验。 10.对回归方程做残差图并作相应的分析。
11.该公司预测下一周签发新保单01000 x=张，需要的加班时间是多少？ 12.给出0y的置信度为95%的精确预测区间。 13.给出 () E y的置信度为95%的区间估计。 四、实验过程及分析 1.画散点图 如图是以每周加班时间为纵坐标，每周签发的新保单为横坐标绘制的散点图，从图中可以看出，数据均匀分布在对角线的两侧，说明x和y之间线性关系良好。 2.最小二乘估计求回归方程
用SPSS 求得回归方程的系数01,ββ分别为0.118,0.004，故我们可以写出其回归方程如下： 0.1180.004y x =+ 3.求回归标准误差σ∧ 由方差分析表可以得到回归标准误差：SSE=1.843 故回归标准误差： 2= 2SSE n σ∧-，2σ∧=0.48。 4.给出回归系数的置信度为95%的置信区间估计。 由回归系数显著性检验表可以看出，当置信度为95%时：
多元线性回归模型案例分析 ——中国人口自然增长分析一·研究目的要求 中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平。此后，人口自然增长率（即人口的生育率）很大程度上与经济的发展等各方面的因素相联系，与经济生活息息相关，为了研究此后影响中国人口自然增长的主要原因，分析全国人口增长规律，与猜测中国未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。 影响中国人口自然增长率的因素有很多，但据分析主要因素可能有：（1）从宏观经济上看，经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；（2）居民消费水平，它的高低可能会间接影响人口增长率。(3)文化程度，由于教育年限的高低，相应会转变人的传统观念，可能会间接影响人口自然增长率（4）人口分布，非农业与农业人口的比率也会对人口增长率有相应的影响。 二·模型设定 为了全面反映中国“人口自然增长率”的全貌，选择人口增长率作为被解释变量，以反映中国人口的增长；选择“国名收入”及“人均GDP”作为经济整体增长的代表；选择“居民消费价格指数增长率”作为居民消费水平的代表。暂不考虑文化程度及人口分布的影响。 从《中国统计年鉴》收集到以下数据（见表1）： 表1 中国人口增长率及相关数据
设定的线性回归模型为： 1222334t t t t t Y X X X u ββββ=++++ 三、估计参数 利用EViews 估计模型的参数，方法是： 1、建立工作文件：启动EViews ，点击File\New\Workfile ，在对 话框“Workfile Range ”。在“Workfile frequency ”中选择“Annual ” (年度)，并在“Start date ”中输入开始时间“1988”，在“end date ”中输入最后时间“2005”，点击“ok ”，出现“Workfile UNTITLED ”工作框。其中已有变量：“c ”—截距项 “resid ”—剩余项。在“Objects ”菜单中点击“New Objects”，在“New Objects”对话框中选“Group”，并在“Name for Objects”上定义文件名，点击“OK ”出现数据编辑窗口。 年份 人口自然增长率 （%。） 国民总收入（亿元） 居民消费价格指数增长 率（CPI ）% 人均GDP （元） 1988 15.73 15037 18.8 1366 1989 15.04 17001 18 1519 1990 14.39 18718 3.1 1644 1991 12.98 21826 3.4 1893 1992 11.6 26937 6.4 2311 1993 11.45 35260 14.7 2998 1994 11.21 48108 24.1 4044 1995 10.55 59811 17.1 5046 1996 10.42 70142 8.3 5846 1997 10.06 78061 2.8 6420 1998 9.14 83024 -0.8 6796 1999 8.18 88479 -1.4 7159 2000 7.58 98000 0.4 7858 2001 6.95 108068 0.7 8622 2002 6.45 119096 -0.8 9398 2003 6.01 135174 1.2 10542 2004 5.87 159587 3.9 12336 2005 5.89 184089 1.8 14040 2006 5.38 213132 1.5 16024
1.3非线性回归问题, 知识目标：通过典型案例的探究，进一步学习非线性回归模型的回归分析。 能力目标：会将非线性回归模型通过降次和换元的方法转化成线性化回归模型。 情感目标：体会数学知识变化无穷的魅力。 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学方式：合作探究 教学过程： 一、复习准备： 对于非线性回归问题,并且没有给出经验公式,这时我们可以画出已知数据的散点图,把它与必修模块《数学1》中学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数,然后采用适当的变量代换,把问题转化为线性回归问题,使其得到解决. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 1. 给出例1：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的/y 个 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. ② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量. ③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为 0.272 3.843z x =-，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.272 3.843x y e -=. ⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 三、合作探究 例 2.：炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包,在使用过程中,由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀,使其容积不断增大,请根据表格中的数据找出使用次数 x 与增大的容积y 之间的关系.
SPSS--回归-多元线性回归模型案例解析！(一） 多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为： 毫无疑问，多元线性回归方程应该为： 上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示： 那么，多元线性回归方程矩阵形式为： 其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样） 1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。 2：无偏性假设，即指：期望值为0 3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。 今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示：
点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：
将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入） 如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于0.05，当概率值大于等于0.1时将会被剔除）
楚雄师范学院 2012年数学建模竞赛 第一次实战训练（一）第一题论文 题目多元非线性回归拟合模型 姓名郜红霞杨环刘发稳 2012年8月20日
多元非线性回归拟合模型 摘要：本文推论了多元非线性数据拟合的通用数学模型,利用最小二乘法和极值原理,导出求解多元非线性回归方程的规范方程组。并用矩阵形式对规范方程组进行表述,在所表述的诸矩阵中,结构矩阵是其基础。用它可方便地转化出其他矩阵,这将大大简化程序的编制和规范方程组的解算。计算机根据输入数据自变量的个数和实验所作次数的多少,求解出相应的多元非线性回归方程及其评估方程质量的数据。 关键字：规范方程；非线性回归方程；最小二乘法；结构矩阵；极值原理；对称矩阵；数据分析；计算机拟合；矩阵形式自变量。
1 问题重述
要求：1.检验强影响点； 2.正态性检验； 3.相关性检验； 4.自变量的多重共线性检验； 5.残差的相关性分析，模型的合理分析。 x=（470 81 82 50 13.7 225）'。 6.预测 2 问题分析 先建立基础的多元线性回归方程，以初步确定输入变量与输出变量的关系，若预测效果不理想，则需要对方程进行进一步优化，考虑建立非线性回归方程模型或其他更优模型，反复进行判断和优化，最后得到较理想的预测方程。并用一定的评价标准对得出的预测方程进行判定，最后，用实验数据对模型预测的精度进行验证。 3 基本假设与符号说明
Q 残差平方和 E 拟合误差 ε 无偏估计值 2s 方差 R 复相关系数 SE 标准误差 4 模型建立 3.1 问题分析 3.2 模型建立 （1）我们先假设输入变量和输出变量之间的关系是线性函数关系，建立多元线性回归模型。 {) ,0(~ (2) ' '110'σεε βββN x x Y m m ++++= (2)为了在研究两个指定变量之间的相关关系的同时，控制可能对其产生影 响的其他变量，我们在研究任意两个输入变量的相互作用的判断中，运用了偏相关分析先对任意两个输入变量之间是否有交互作用进行判断。 设随机变量X 、Y 、Z 之间彼此存在着相关关系，为了研究X 和Y 之间的关系，就必须在假定Z 不变的条件下，计算和Y 的偏相关系数，记为z xy r .。 在考察多个变量时，i X （i =1，2...，p ）之间的p-1阶偏相关关系可由如下的递推式定义： 2 ) 1)...(1)(1...(12.2 ) 1...(1 2.0) 1)...(1)(1...(12.0)1...(12.0)1)...(1)(1...(12.0)...1)(1...(12.011-+---+---+-+---= p i i ip p p p i i ip p ip p i i i p i i i r r r r r r 计算得出输出变量的相关性检验。 （3）我们建立部分多元非线性回归模型，来判断在Y 与i X 的模型中有交互
matlab建立多元线性回归模型并进行显著性检 验及预测问题 例子; x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; X=[ones(16,1) x]; 增加一个常数项 Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]'; [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X) 得结果：b = bint = stats = 即对应于b的置信区间分别为[，]、[,]; r2=, F=, p= p<, 可知回 归模型 y=+ 成立. 这个是一元的，如果是多元就增加X的行数！ function [beta_hat,Y_hat,stats]=regress(X,Y,alpha) % 多元线性回归(Y=Xβ+ε)MATLAB代码 % % 参数说明 % X：自变量矩阵，列为自变量，行为观测值 % Y：应变量矩阵，同X % alpha：置信度，[0 1]之间的任意数据 % beta_hat：回归系数 % Y_beata：回归目标值，使用Y-Y_hat来观测回归效果 % stats：结构体，具有如下字段 % =[fV,fH]，F检验相关参数，检验线性回归方程是否显著 % fV：F分布值，越大越好，线性回归方程 越显著 % fH：0或1，0不显著；1显著(好) % =[tH,tV,tW]，T检验相关参数和区间估计，检验回归系数β是 否与Y有显著线性关系 % tV：T分布值，beta_hat(i)绝对值越大, 表示Xi对Y显著的线性作用 % tH：0或1，0不显著；1显著 % tW：区间估计拒绝域，如果beta(i)在对 应拒绝区间内，那么否认Xi对Y显著的线性作用 % =[T,U,Q,R]，回归中使用的重要参数 % T：总离差平方和，且满足T=Q+U % U：回归离差平方和 % Q：残差平方和 % R∈[0 1]：复相关系数，表征回归离差占总 离差的百分比，越大越好 % 举例说明 % 比如要拟合 y=a+b*log(x1)+c*exp(x2)+d*x1*x2，注意一定要将原来方程 线化 % x1=rand(10,1)*10;
企业销售额影响因素分析及回归模型学号：1003131014 姓名：李绍林班级：10级人力资源管理 一、问题提出 （一）研究问题： 随着市场经济的进一步发展，也加剧了企业在市场运行中的不确定性，如何在复杂多变的市场中占据主导，如何在经济流通的过程中，充分利用各种有利的因素，来确保企业销售额的增长，如何控制经济流通中的各项开支，如何组合来服务于企业销售额的增长。因此，在这里通过分析某家公司的企业销售状况，试图研究影响企业销售额的各因素及其之间的关系，建立企业销售额及其因素的回归模型，并进行经济分析。（二）数据来源 某企业开支与销售额关系表：
二、定性分析 为了研究企业销售额的影响因素，我们对相关数据进行简单的定性分析，并各因素同因变量的相关关系做了一个简单的预测。 个人可支配收入反映一个地区或市场上消费者的购买能力，单独来看，应与企业的销售额呈正相关关系，即企业产品的目标市场群体的个人可支配收入起高，企业所能获得的销售额也会相应提高。 商业回扣是企业为了改善销售商之间的关系，同时加强同销售商之间的合作，通过商业回扣的方式来吸引销售商，商业回扣作为企业的一个重要的营销策略，这也会减少企业的利润，商业回扣作为影响企业销售额的重要因素，商业回扣投入情况同企业的销售额多少有一定的关系。 商品价格能够通过企业产品的需求来影响企业的销售量，两者共同作用于企业的销售额，是影响企业销售额的一个关系因子。如何制定价格策略来提高企业的销售额，具有重要的现实意义。 研究与发展经费反映企业的研发能力和对市场的捕捉能力，能够适应市场需求来适应开发新的产品，不断开拓新的市场，提高产品的质量和水平，这能够为企业的扩大市场份额和企业销售额的提高。 广告费用是企业为了对产品进行推广和让消费者更好地了解产品和创造需求，引导消费者的购买欲望，同时有利于树立产品和企业的形象。当然广告费用的支出也是影响企业销售额的一个重要因子。 销售费用是企业为了产品的销售在产品的流通和销售过程中发生的一系列费用的总和，其与企业的销售额有一定的关系。 因此，我们选择企业的销售额作为被解释变量y ，选取个人可支配收入、商业回扣、商品价格、研究与发展经费、广告费、销售费作为解释变量，分别设其为x1、x2、x3、x4、x5、x6 。 三、相关分析 （一）数据基本描述 Descriptive Statistics
多元线性回归分析模型 企业销售额影响因素分析及回归模型 学号:1003131014 姓名:李绍林班级:10级人力资源管理 一、问题提出 (一) 研究问题: 随着市场经济的进一步发展，也加剧了企业在市场运行中的不确定性，如何在复杂多变的市场中占据主导，如何在经济流通的过程中，充分利用各种有利的因素，来确保企业销售额的增长，如何控制经济流通中的各项开支，如何组合来服务于企业销售额的增长。因此，在这里通过分析某家公司的企业销售状况，试图研究影响企业销售额的各因素及其之间的关系，建立企业销售额及其因素的回归模型，并进行经济分析。 (二) 数据来源 某企业开支与销售额关系表: 序号个人可支配商业回商品价研究与发展广告费销售费年销售额 收入(X1) 扣(X2) 格(X3) 经费(X4) (X5) (X6) (Y) 1 328 123 77.14 19.60 87.51 210.60 4787.36 2 412 149 78.2 3 35.7 4 26.49 258.0 5 4647.01 3 417 120 80.6 4 34.92 83.18 257.40 5512.13 4 418 13 5 78.59 34.69 74.47 269.75 5035.62 5 429 125 74.1 6 11.3 7 83.29 217.75 5095.48 6 441 120 79.85 15.50 50.05 267.15 4800.97 7 455 126 77.93 21.59 94.63 232.70 5315.63 8 461 132 82.28 26.54 91.22 266.50 5272.21 9 462 112 73.20 14.84 92.51 282.75 5711.86
线性回归分析的SPSS操作 本节内容主要介绍如何确定并建立线性回归方程。包括只有一个自变量的一元线性回归和和含有多个自变量的多元线性回归。为了确保所建立的回归方程符合线性标准，在进行回归分析之前，我们往往需要对因变量与自变量进行线性检验。也就是类似于相关分析一章中讲过的借助于散点图对变量间的关系进行粗略的线性检验，这里不再重复。另外，通过散点图还可以发现数据中的奇异值，对散点图中表示的可能的奇异值需要认真检查这一数据的合理性。 一、一元线性回归分析 1．数据 以本章第三节例3的数据为例，简单介绍利用SPSS如何进行一元线性回归分析。数据编辑窗口显示数据输入格式如下图7-8（文件7-6-1.sav）： 图7-8：回归分析数据输入 2．用SPSS进行回归分析，实例操作如下： 2.1.回归方程的建立与检验 （1）操作 ①单击主菜单Analyze / Regression / Linear…，进入设置对话框如图7-9所示。从左边变量表列中把因变量y选入到因变量（Dependent）框中，把自变量x选入到自变量（Independent）框中。在方法即Method一项上请注意保持系统默认的选项Enter，选择该项表示要求系统在建立回归方程时把所选中的全部自变量都保留在方程中。所以该方法可命名为强制进入法（在多元回归分析中再具体介绍这一选项的应用）。具体如下图所示：
图7-9 线性回归分析主对话框 ②请单击Statistics…按钮，可以选择需要输出的一些统计量。如Regression Coefficients(回归系数)中的Estimates，可以输出回归系数及相关统计量，包括回归系数B、标准误、标准化回归系数BETA、T值及显著性水平等。Model fit项可输出相关系数R，测定系数R2，调整系数、估计标准误及方差分析表。上述两项为默认选项，请注意保持选中。设置如图7-10所示。设置完成后点击Continue返回主对话框。 图7-10：线性回归分析的Statistics选项图7-11：线性回归分析的Options选项 回归方程建立后，除了需要对方程的显著性进行检验外，还需要检验所建立的方程是否违反回归分析的假定，为此需进行多项残差分析。由于此部分内容较复杂而且理论性较强，所以不在此详细介绍，读者如有兴趣，可参阅有关资料。 ③用户在进行回归分析时，还可以选择是否输出方程常数。单击Options…按钮，打开它的对话框，可以看到中间有一项Include constant in equation可选项。选中该项可输出对常数的检验。在Options对话框中，还可以定义处理缺失值的方法和设置多元逐步回归中变量进入和排除方程的准则，这里我们采用系统的默认设置，如图7-11所示。设置完成后点击Continue返回主对话框。 ④在主对话框点击OK得到程序运行结果。