《九章算术》对中国古代和现代数学的影响
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近代着名科学家伽利略曾提到“自然这本大书是用数学的语言写成的。”数学不仅在人类探索宇宙和研究自然的过程中起到了重要的作用,而且作为一种生产工具和
认识世界的方法论,在人类社会的不同时期,对社会的发展和进步都起了至关重要的作用。中国最早记载数学史料的是《甲骨文书》,从结绳计数到算术、几何、再到
微积分,都包含了人类共同智慧的结晶。而《九章算术》就是中国古代数学着作中
最闪亮的一颗星。
一、《九章算术》对中国古代数学的影响
《九章算术》在汉朝时期着成,但是它所记载的内容可以追溯到公元前7世纪。在
书中涉及到了农业、商业、工程、测量、方程解法以及直角三角形的性质等。它是中国古代数学知识的缩影,全书包含246道应用问题,分成九章编写。分别为:方田———以御田畴界域;栗米———以御交质变易衰分———以御贵贱禀税少广———以御积幂方圆商功———以御功程积实均输———以御远近劳费盈不足———以御隐杂互见方程———以御错糅正负勾股———以御高深广远在书中,在每个问题
之后,不仅给出问题的答案,而且还给出相应的方法。在一部分类似的问题后,又统
一对方法加以说明,体现出数学是一个举一反三的过程。同时,这也反应出数学这门科学是通过对生活中的事物进行观察、比较、分析、归纳概括后的产物,是源于生
活又应用于生活的。
(一)《九章算术》的内容
《九章算术》第一章(方田)的内容是求长方形、正方形、圆形等图形的面积计算公式;第二章(粟米)的内容是谷物粮食的按比例折换;提出比例算法,称为今有术;第三章(衰分)的内容是比例分配问题,并介绍了开平方、开立方的方法,其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。第四章(少广)内容是已知面积、体积,反求其
一边长和径长等;第五章(商功)的内容是土石工程、体积计算;除给出了各种立体体积公式外,还有工程分配方法;第六章(均输)的内容是合理摊派赋税;用衰分术解决
赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法,构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形
成类似的全套方法。第七章(盈不足)专讲盈亏问题及其解法;第八章(方程)的内容
可以说是为了研究粮食产量引出的线性方程组及其解法。它所提出的通过系数的矩阵消去法,直到今天还在使用。
这种解法是最早提出最完整的解决线性方程组的方法。第九章(勾股)中包含两部分,一部分就是勾股定理———也称毕达哥拉斯定理。另一部分是根据相似直角三角形的性质,进行高、深、宽、远的测量方法。
因此,我们可以看出,《九章算术》首先是生活以实际为研究对象,得到的结论是通
过实践中观察、实验、分析归纳的结果;其次,它在内容上按照问题来编排,同时有
专题讲解和基本的理论;最后,在专题讲解中,着重逻辑的叙述,更便于研究和应用。
(二)《九章算术》的影响
《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作;其中盈不足的算法更是一
项令人惊奇的创造;“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面,《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法
法则;中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。该书的
一些知识还传播至印度和阿拉伯,甚至经过这些地区远至欧洲。《九章算术》成书
后直至公元16世纪,中国数学家所编写的数学方面的着作都是与它同体系的。其中大多数算法典籍都仿效《九章算术》的编写体例,并且以其中的算法理论作为进一
步研究的起点。着名数学家刘徽和祖冲之都给《九章算术》作过注释,刘徽为《九
章算术》作注时说:“周公制礼而有九数,九数之流则《九章》是矣”。并在注释的过程中展开了自己的研究。另有一些数学家给自己的着作冠以“九章”之名,以表
达追随《九章算术》的意向。《九章算术》很早传到东南亚等国,并且对这些国家
的数学发展起了重要的启迪作用和促进作用。《九章算术》由于其内容的基础性决定了应用的广泛性,其主要内容深刻说明了数学与现实生活的休戚相关,体现了数学是多元复合体,也体现了数学的合作性与民主性。其成书过程折射出的合作与民主
精神也是当代社会不可或缺的。《九章算术》对古代中国数学发展的贡献包括:(1)多元一次方程的解法,相当于高斯消元法。(2)开方的计算方法,也反映了古代中国
算术的发展。(3)负数的引入,特别是正负数的加减法则的定义等。《九章算术》是先秦至汉代数学的系统总结,对于中国数学的发展有着极为深远的影响,并且在中国和世界数学史上都占有重要的地位。《九章算术》是以社会经济因素中所反映出的问题来选题的,因此中国传统数学与实际生活是紧密相连的。而且以后的数学着作
也是延续这一思想编着,注重在实际生活中提炼出数学问题,并给出相应的解决方法。
《九章算术》的精髓就是机械化思想,以构造性与机械化为其特色的算法体系。其实,算法就是所谓的“术”,就是方法的意思。我国古代数学以解决实际问题为最终目标,一切从实际问题出发,形成算法,寓理于算,并进一步应用于解决各种实际问题;同时,数学的内容、思想和方法的发展不受理论框架的限制,注重实际效果(如负数、无理数的创立),并且在内容的表达形式上以归纳体系为主……。
中国古代数学以《九章算术》为核心,并日渐完备,逐渐形成我国古代初等数学体系,不仅影响着世界数学的创造与发展,也为日后我国数学知识体系的不断完善与发展
打下了坚实的基础。
二、《九章算术》对中国现代数学的影响
《九章算术》流传的繁荣时期是三国到唐代初期,特别是隋唐时期,不仅把它列为主要的教科书在国内大量流传,而且也传到了朝鲜、日本等邻国。而且早已有人认为
印度的几何学来源于中国和希腊。可见,《九章算术》不仅对中国数学而且对世界
数学的影响都是深远的。但是到了14世纪中期之后,中国古典数学进入到了低落时期,而西方数学开始蓬勃发展起来。直到16世纪末,西方传教士将西方数学文化传
入到中国,并且欧几里得的《几何原本》的前6卷在17世纪译成中文,这些都有力
地冲击了中国数学文化的发展。但是当时国内的数学模式仍然延续了《九章算术》的精神,即着重解决实际的应用问题,忽略了对于基本数学概念、定理的探究。中国传统式数学一直处于实用主义的文化背景下,数学一直被认为是一种工具与手段,并没有“纯数学”的哲学概念。因此直到19世纪,西方传教士在中国设立学校,中国
学生开始接触西方逻辑体系的数学书,这种情形才稍微有所改变。我国的教育工作
者终于意识到中国教育上存在的问题,但是一直到了上世纪60年代初期,我国才开
始真正研究教学改革问题。人们认识到学生了解抽象结论的形成是远远不够的,还
应该让学生积极地参与到这个认知过程中。由此将原来的注入式教学转变为启发式教学。
(一)《九章算术》对中国现代数学教学思想的推进
《九章算术》作为“算经十书”之首,它所体现出来的思想方法在很大程度上反映
了我国传统数学的基本思想方法,如开放式的归纳体系、算法化的内容、模型化的
方法等等。这些思想方法对于培养学生的数学能力有着重要的意义。
1.数形结合思想
数形结合就是使抽象思维和形象思想相互作用,实现数量关系与图形性质的相互转化,将抽象的数学关系和直观的图形结合起来研究数学问题。在《九章算术》中,如“方田”、“商功”章的平面图形和立体图形的求积问题,都用数的计算,即着重于考察图形中的数的关系,算出确定的数值。同时,亦用形的直观来解释数的算法。在《刘注》中,刘徽“析理以辞,解体以图”,将数的计算来解决形的研究,证明了书中的很多问题。其中他提出了“令出入相补,各从其类”的出入相补原理,用图形的分、合、移、补证明了不少数学恒等式,开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究
方法。
数形结合的思想在各个领域融会贯通,特别是应用在课堂上,可以给学生留下深刻的印象,有助于发挥思维的整体性。是现代教学最常应用的方法之一。
2.算法化思想
算法是在12世纪出现的,指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。算法可以理解为有基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤。或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列,并且这样的步骤和序列可以解决一类问题。《九章算术》的基本内容就是“术”,其数学理论都是以“术”的形式表示出来的。而这些“术”符合现代算法的一些重要的特征,如可行性、确定性、有穷性、有效性和普
遍性等。
“术”是在人们对算筹,尤其是运筹动作的直觉把握的基础上得出来的:采用某种方法运算,就可得出某种结果,以对运算动作直觉把握的某种信息来保证其正确性。而运筹动作是建立在人的经验基础上的,因而通过算筹和运筹动作的直觉把握是在经
验的基础上实现的。这种直觉把握是一种直觉方法,直觉方法是一种创造性思维方法,它有助于人们在经验基础上的创造,这可以说是中国古代数学取得一系列重要成就的原因之一。
3.极限的思想
极限是一个过程量。是描述一个变量在变化过程中,另一个变量得到的最终状态。
极限思想就是用联系变动的观点,把所考察的对象看作是某对象在无限变化过程中
变化的结果的思想。这个思想贯穿微积分的始终,是微积分的基本思想。在刘晖求
圆的面积时,用内接正n边形的方法,n越大,正n边形的面积就越接近圆的面积。
当n趋向于无穷大时,就可以用正n边形的面积求出圆的面积了。这里面应用的就
是极限的思想。这个思想对于引导我们求所有不规则图形的面积都是有指导意义的。
4.模型化思想
“数学模型乃是针对或参照某种事物系统的的或数量相依关系,采用形式化数学语言,概括地或近似地表述出来的一种数学结构。”从广义来讲,“一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式以及公式系列构成的算法系列构成的算法系统等等可称之为数学模型。”数学模型是为解决数学原型的问题而建立的。
(二)《九章算术》对于现代数学思想的制约
现代的数学教育是将数学知识系统化。这里所谓的“系统”有两个含义,第一,按认知规律将数学的知识点由浅入深地按认知的系统展示出来,这个系统着重在心理学、教育学意义上。第二,按数学的内在规律,逻辑地展现数学发展的过程,这个系统是
着重在数学的本质特征的推理系统。第三,进入到数学专业,则一门课程就是一个系统,每门课程从集合论上立论,然后按逻辑展开,形成一个完整的数学体系。这个完整的数学系统其实就是一个逻辑演绎系统,从公理到定理到推论,都要严格论证。
《九章算术》是以构造性和机械化为算法体系的。注重实际是它最大的特点。它虽然满足了人们当时社会生产和生活的需要,但是对于知识的根源却缺乏相应的反思与论证,这就挫伤了人们的创新精神,失去了寻根求底的科学精神。这也是中国古典数学到了明代出现停滞的部分原因。没有创新就不会有发展。《九章算术》是按照问题→归类→模型化→程序化筹算的过程来解决问题的,这样就使中国古代数学走上了模式化的道路。实用主义思想,述而不作的研究方法都严重制约了中国数学家的思维方式,从而无法突破创新。而西方传统的数学的程序是:定义→公理→定理。这是由逻辑演绎的思维程序,从对几何图形的观察和归纳得到了公理系统及其定义与命题。《几何原本》用公理法建立数学体系,西方数学的内容主要是证明定理,西方数学是着重推理论证的演绎体系,它的特色是公理化。吴文俊说,中国古代数学根本没有定理的概念,它的主要内容是四则计算和解方程。中国数学是着重解决各式各样的问题,着重具体计算的一种算法体系,它的特色是机械化。
这种机械化的思维方式虽然很大程度上促进了数学的发展,但是忽视理论的研究,忽视各种算法之间内部逻辑联系的研究,加上我国经历了漫长的封建社会阶段,延缓了数学家探索新理论和新思想的步伐。
三、结束语
《九章算术》是中国古代数学的核心,其数学水平是处于当时世界先进行列的,对中华数学文化的发展也起到了十分重要的作用。但随着社会发展及世界数学文化交流的需要,《九章算术》不能完全满足生产和生活的需要,于是数学家们就将东西方的数学基础进行有机的融合。数学的发展历史,就是东西方数学相互影响和此消彼长的历史。笛卡尔的数学研究中,经常会出现逻辑与算法相互影响的痕迹,其中,让几何问题代数化和借助于机械化手段去解决高次曲线作图的思想与中算家的做法不无相同。我们大家熟知的微积分,曾经在算法传统下被主宰数年,直到19世纪才被逻辑传统的数学家加以重建。因此,数学的发展中,算法与逻辑相互补充,使得数学符号体系的完善、抽象概念的形成,严密逻辑体系的建立,各项数学分支如雨后春笋般破土而出,使数学发展步入新的繁荣时期。
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【必考题】高三数学下期末试题及答案(5) 一、选择题 1．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 2．()6 2111x x ??++ ??? 展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 3．已知函数()()sin f x A x =+ω?()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ） A ．[] 6,63k k ππ+，k Z ∈ B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈ C ．[]6,63k k +，k Z ∈ D ．[]63,6k k -，k Z ∈ 4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ． 49 B ． 29 C ． 12 D ． 13 5．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和3 4 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A ． 12 B ． 512 C ． 14 D ． 16 6．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）
A ．2 B ．3 C ．22 D ．32 7．对于不等式2n n + 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{lg(2)}A x y x ==-∣，{ } 2 120B x x x =--<∣，则A B ?=（ ） A ．()2,4 B ．()3,4- C ．()2,3 D ．()4,3- 2．若复数21i z i -= +，复数z 在复平面对应的点为Z ，则向量OZ （O 为原点）的模OZ =（ ） A ．2 B C ．52 3．已知α，β表示不同平面，则//αβ的充分条件是（ ） A ．存在直线a ，b ，且,a b α?，//a β，//b β B ．存在直线a ，b ，且a α?，b β?，//a β，//b α C ．存在平面γ，αγ⊥，βγ⊥ D ．存在直线,a a α⊥，a β⊥ 4．《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国最著名的数学著作．经过两千多年的传承，它的贡献一方面是所解决生活应用问题的示范，另一方面是所蕴涵的数学思想，这对我国古代数学的发展起着巨大的推动作用．如在第一章《方田三七》中介绍了环田计算方法，即圆环的面积计算：即将圆环剪开拉直成为一个等腰梯形，如图，计算这个等腰梯形的面积就是圆环的面积．据此思想我们可以计算扇环面积．中国折扇扇面艺术也是由来已久，传承着唐宋以来历代书画家的诗情画意．今有一扇环折扇，扇面外弧长 40cm ，内弧长20cm ，该扇面面积为2450cm ，则扇面扇骨（内外环半径之差）长为（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25 5．6 12x x ??+- ??? 的展开式中含5 x 项的系数为（ ） A ．12 B ．12- C ．24 D ．24- 6．已知函数2 ()f x ax bx c =++，满足(3)(3)f x f x +=-，且(4)(5)f f <，则不等式 (1)(1) f x f -<的解集为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(4,0)- D ．(2,4) 九师联盟3月在线公益联考 高三数学(理科) 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若全集U ＝R ，M ＝{x|1x <1}，则U eM ＝ A.{x|x ≤1} B.{x|0≤x ≤1} C.{x|x ≥0} D.{x|x<0或x>1} 2.若13z i i =-+(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数的模是 A.22 B.20 C.25 D.8 3.在“新零售”模式的背景下，自由职业越来越流行，诸如淘宝店主、微商等等。现调研某行业自由职业者的工资收入情况，对该行业10个自由职业者人均年收入y(千元)与平均每天的工 作时间x(小时)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且线性回归方程为?y ＝12x ＋60、若自由职业者平均每天工作的时间为5小时，估计该自由职业者年收入为 A.120千元 B.72千元 C.60千元 D.50千元 4.函数f(x)＝()sin x x e e x x --的部分图象大致是 5.2020年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场。若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者蛙泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队参赛的安排共有 A.144种 B.8种 C.24种 D.12种 6.《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，它们曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书。十部书的名称是：《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《五曹算经》《孙子算经》《夏侯阳算经》《张丘建算经》《五经算术》《缉古算经》《缀术》。小明计划从这十部书中随机选择两部书购买，则选择到《九章算术》的概率是 A.12 B.310 C.25 D.15 7.若执行如图所示的程序框图，则输出k 的值是 A.8 B.10 C.12 D.14 8.已知菱形ABCD 边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝2DF ，则AE AF ?=u u u r u u u r A.－2 B.2 C.1 D.－1 9.将函数f(x)＝2sin(3x ＋φ)(0<φ<π)图象向右平移 8π个单位长度后，得到函数的图象关于直线x ＝3π对称，则函数f(x)在[8π，8 π]上的值域是 A.[－1，2] B.[32] c[2，1] D.[2，2] 10.已知三棱锥D －ABC 的体积为2，△ABC 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D －ABC 的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为 合肥市2020年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科） （考试时间:120分钟满分:150分） 第I 卷（满分60分） 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1. 若集合2230|2x A x x x B x --≤≥＝｛｜｝，＝｛，则A B =I ＝ A ． 1,32?????? B ． 1,12?????? C ． 13,2??-??? ? D ．[]2,3 2.欧拉公式i cos sin e θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos sin θθ和联系在一起， 充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足i (i)i e z π+=g 则z = A ． 1 B ． 2 C ． 2 D 3.若实数x ，y 满足约束条件240403230x y x y x y +-≥??-+≥??+-≥? 则2z x y -＝的最小值是 A ． 5- B ． 4- C ． 7 D ．16 4.已知f x （）为奇函数，当0x ＜时，2x f x e ex --（）＝（e 是自然对数的底数）则曲线 y f x ＝（）在1x ＝处的切线方程是 A ． y ex e =-+ B ． y ex e =+ C ． y ex e =- D ．1 1(2)2y e x e e e =--+ 5. 若cos801m o o ＝ ，则m ＝ A ． 4 B ． 2 C ． 2- D ．4- 6.已知函数tan 002f x x πω?ω?（）＝（＋）（＞，＜＜）的图象关于点6π （，0）成中心对称，且与直线y a ＝的两个相邻交点间的距离为 2 π，则下列叙述正确的是 A.函数f x （）的最小正周期为π B.函数f x （）图象的对称中心为(0)6 k k Z π π∈＋，（） C.函数f x （）的图象可由tan 2y x ＝的图象向左平移6 π得到 2020 年荆门市高三年级高考模拟考试 理科数学试题 全卷满分150 分，考试用时120 分钟 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知 i 是虚数单位，若复数 z 2i3 1 i ，则z =（） A.1i B.1i C. 1i D. 1i 2．已知集合 1 1 , B x y lg(3 x ) A x ，则（） x A. A B (,1) B. A B (0,3) C. A C B D.C A B [1,) R R 3.已知等差数列 a ，其前 n 项和 为 n S ，且a 1 3a a m ，则 n 5 9 2a 6 S 9 a 7 =（） A. m 5 B. m 9 C. 1 5 D. 1 9 4．已知a,b R ，则“ab 1”是“a b 2 ”的（） A.充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．2019 冠状病毒病（CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情， 但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。 小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00 之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午 4: 30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（） A. 1 8 B. 1 4 C. 3 4 D. 7 8 2020年湖北省荆门市高三4月高考模拟考试 理科数学试题 全卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i 是虚数单位，若复数i i z -=123，则z =（ ） A.i -1 B.i +1 C.i --1 D.i +-1 2．已知集合{})3lg(,11x y x B x x A -==? ?????>=，则（ ） A.)1,(-∞=B A I B.)3,0(=B A Y C.φ=B C A R I D.),1[+∞=B A C R Y 3.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且m a a a =++9513，则9 762S a a -=（ ） A.5m B.9m C.51 D.9 1 4．已知+∈R b a ,，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ） A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。 小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ） A.81 B.41 C.43 D.8 7 湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2020届高三下学期 数学自主检测十二 一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知i 是虚数单位,若复数3 2,1i z i =-则z = A.1-i B.1+i C. -1-i D.- 1+i 2.已知集合1{| 1},{|lg(3)}A x B x y x x =>==-，则 A.A∩B=(-∞,1) .(0,3)B A B ?= .()R C A C B ?=? ).()[1,R C A B D ?=+∞ 3.已知等差数列{},n a 其前n 项和为,n S 且1593,a a a m ++= 则679 2a a S -= .5m A .9m B 1.5C 1.9D 4.已知,,a b R +∈则“ab>1”是“a+b>2"的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.2019冠状病毒病( Corona Virus Disease 2019( COVID-19))是由新型冠状病毒( 2019-nCoV )引发的疾病，目前全球感染者以百万计.我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下,已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学,所有学生按照停课不停学的要求,居家学习.小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00~5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30- 5:00,则小李父亲收到试卷无需等待的概率为 1.8A 1.4B 3.4C 7.8 D 6.已知[x]表示不超过x 的最大整数(如[1.2]=1, [-0.5]=-1) ，执行如图所示的程序框图输出的结果为 A.49850 B.49950 C.50000 D.50050 密★启用前 试卷类型:A 2019年广州市普通高中毕业班综台测试（一） 理科数学 2019.3 本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事顶：1.答卷前，考生务必将自己的名和考生号、试室号、座位号填在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A ），填涂在答题相应置上。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合{ }2 20A x x x =-<，{ } 2x B x =>1，则 A.A B =? B.A B R = C.B A ? D.A B ? 答案：D 考点：集合的运算，一元二次不等式，指数运算。 解析：{} 02A x x =<<，{} 0B x x =>，所以，D 正确。 2. 已知a 为实数，若复数()()12a i i +-为实数，则a = A.2- B. 12 C.－1 2 D.2 答案：B 考点：复数的概念与运算。 解析：()()12a i i +-＝2(12)a a i ++-为实数，所以，12 a = 3. 已知双曲线22 2:1y C x b -=的一条渐近线过圆()()22 :241P x y -++=的圆心，则C 的离心率为 B.32 5 D.3 答案：C 考点：双曲线的性质。 【必考题】七年级数学下期末试题(含答案) 一、选择题 1．不等式组213312 x x +??+≥-?＜的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x 人，买鸡的钱数为y ，依题意可列方程组为（ ） A ．8374x y x y +=??+=? B ．8374x y x y -=??-=? C ．8374x y x y +=??-=? D ．8374x y x y -=??+=? 3．为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，所列方程组正确的是（ ） A ．783230x y x y +=??+=? B ．782330x y x y +=??+=? C ．302378x y x y +=??+=? D ．303278x y x y +=??+=? 4．方程组23x y a x y +=??-=?的解为5x y b =??=? ，则a 、b 分别为( ) A ．a=8，b=﹣2 B ．a=8，b=2 C ．a=12，b=2 D ．a=18，b=8 5．如图，已知两直线1l 与2l 被第三条直线3l 所截，下列等式一定成立的是（ ） A ．12∠∠= B ．23∠∠= C ．24∠∠+=180° D ．14∠∠+=180° 6．关于x 的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是 A ．32b -≤<- B ．32b -<≤- C ．32b -≤≤- D ．-3 绝密★启用前 鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中 2018届高三第二次联考 理科数学试题 命题学校：鄂南高中 命题人：陈佳敏 审题人：吕 骥 审题学校：襄阳四中 审定人：王启冲 张 婷 1．设集合{|2,}x A y y x R ==∈，{|1,}B x y x x R ==-∈，则A B = A ．{}1 B ．(0,)+∞ C ．(0,1) D ．(0,1] 2．若复数z 满足22zi z i +=-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则1z += A ．5 B ．2 C ．3 D ．3 3．在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ?与ADP ?的面积都不小于2的概率为 A ． 14 B ．13 C ．47 D ．49 4．已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解集为 A ．(2,4) B ．(,2)(4,)-∞+∞ C ．(1,1)- D ．(,1)(1,)-∞-+∞ 5．已知双曲线22 2 12x y a a -=-的离心率为2，则a 的值为 A ．1 B ．2- C ．1或2- D ．-1 6．等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为,,A B C ，则 A ．A B C += B ．2B AC = C ．3A B C B +-= D ．22 ()A B A B C +=+ 7．执行如图所示的程序框图，若输入0,2m n ==，输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件为 A ．1?m n -< B ．0.5?m n -< C ．0.2?m n -< D ．0.1?m n -< 8．将函数()2sin 23f x x π??=+ ???图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为 A ．24x π=- B ．4x π= C ．524x π= D ．12x π= 9．在239(1)(1)(1)x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数是 A ．119 B ．120 C ．121 D ．720 10．我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤 无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只 有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三 视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为 A ．1603 B ．160 C ．2563 D ．64 湖南省六校2019届高三数学4月联考试题 理 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时量120分钟，满分150分。答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z 满足(1＋i)z ＝||－4i ，则z ＝ A ．2＋2i B ．1＋2i C ．1－2i D ．2－2i 2．已知集合A ＝???? ??x|x ＋31－x ≥0，则?R A ＝ A ．[－3，1) B ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) C ．(－3，1) D ．(－∞，－3]∪(1，＋∞) 3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析． ①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x 等于 绝密★启用前 湖南省2019届高三六校联考试题 数 学（理科） 由 常德市一中 师 大 附 中 湘潭市一中长沙市一中 岳阳市一中 株洲市二中 联合命题 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时量120分钟，满分150分。答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z 满足(1＋i)z ＝||－4i ，则z ＝ A ．2＋2i B ．1＋2i C ．1－2i D ．2－2i 2．已知集合A ＝???? ?? x| x ＋31－x ≥0，则?R A ＝ A ．[－3，1) B ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) C ．(－3，1) D ．(－∞，－3]∪(1，＋∞) 3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析． ①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x 等于 合肥市2020届高三第二次教学质量检测 数学试题(理科) (考试时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{}2230A x x x =--≤，{} 22x B x =≥，则A B =I A.1 32??????， B.1 12?? ???? ， C.13 2??-????， D.[]2 3， 2.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+将自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数sin θ、cos θ联系在一起， 充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数z 满足()i e i z i π +?=，则z = 2323.若实数x ，y 满足约束条件240 40 3230 x y x y x y +-≥?? -+≥??+-≥? ， ， ，则2z x y =-的最小值是 A.-5 B.-4 C.7 D.16 4.已知()f x 为奇函数，当0x <时，()2x f x e ex -=-(e 是自然对数的底数)，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是 A.y ex e =-+ B.y ex e =+ C.y ex e =- D.1122y e x e e e ? ?=--+ ?? ? 5.若cos8031m =o o ，则m = A.4 B.2 C.-2 D.-4 6.已知函数()()tan f x x ω?=+(0 02πω?><<，)的图象关于点( 06 π ，)成中心对称，且与直线 y a =的两个相邻交点间的距离为2 π ，则下列叙述正确的是 A.函数()f x 的最小正周期为π B.函数()f x 图象的对称中心为 06k ππ? ?+ ?? ?，()k Z ∈ C.函数()f x 的图象可由tan 2y x =的图象向左平移6 π 得到 D.函数()f x 的递增区间为2326k k ππππ?? -+ ?? ?，()k Z ∈ 7.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是 ①由图1和图2面积相等得ab d a b =+； 绝密★启用前 湖南省2019届高三六校联考试题 数 学（理科） 由 常德市一中 师 大 附 中 湘潭市一中长沙市一中 岳阳市一中 株洲市二中 联合命题 炎德文化审校、制作 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时量120分钟，满分150分。答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z 满足(1＋i)z ＝||－4i ，则z ＝ A ．2＋2i B ．1＋2i C ．1－2i D ．2－2i 2．已知集合A ＝???? ?? x| x ＋31－x ≥0，则?R A ＝ A ．[－3，1) B ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) C ．(－3，1) D ．(－∞，－3]∪(1，＋∞) 3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析． ①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 荆门市高三年级高考模拟考试 理科数学试题 全卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i 是虚数单位，若复数i i z -=123，则z =（ ） A.i -1 B.i +1 C.i --1 D.i +-1 2．已知集合{})3lg(,11x y x B x x A -==? ?????>=，则（ ） A.)1,(-∞=B A I B.)3,0(=B A Y C.φ=B C A R I D.),1[+∞=B A C R Y 3.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且m a a a =++9513，则9 762S a a -=（ ） A.5m B.9m C.51 D.9 1 4．已知+∈R b a ,，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ） A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。 小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ） A.81 B.41 C.43 D.8 7 湖北省荆门市2020届高三数学4月模拟考试试题 理 全卷满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知i 是虚数单位，若复数i i z -=123 ，则z =（ ） A.i -1 B.i +1 C.i --1 D.i +-1 2．已知集合{})3lg(,11x y x B x x A -==? ?? ???>=，则（ ） A.)1,(-∞=B A B.)3,0(=B A C.φ=B C A R D.),1[+∞=B A C R 3.已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且m a a a =++9513，则 9 7 62S a a -=（ ） A. 5m B.9m C.51 D.9 1 4．已知+ ∈R b a ,，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ） A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．2019冠状病毒病（ CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV ）引发的疾病，目前全球感染者以百万计，我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习。 小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00～5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30～5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为（ ） A. 81 B.41 C.43 D.8 7 2019届华大新高考联盟高三4月教学质量测评数学（理）试 题 一、单选题 1．已知集合{} 21A x x =∈-< 本题考查复数的除法运算和复数的几何意义. 复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下： (1)分子、分母同时乘分母的共轭复数； (2)对分子、分母分别进行乘法运算； (3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式． 3．甲、乙、丙、丁四人商量是否参加志愿者服务活动.甲说：“乙去我就肯定去.”乙说：“丙去我就不去.”丙说：“无论丁去不去，我都去.”丁说：“甲、乙中只要有一人去，我就去.”则以下推论可能正确的是( ) A．乙、丙两个人去了B．甲一个人去了 C．甲、丙、丁三个人去了D．四个人都去了 【答案】C 【解析】直接利用甲、乙、丙、丁四位同学所说结合丙说：“无论丁去不去，我都去．”分别分析得出答案． 【详解】 对于选项A，∵丙说：“无论丁去不去，我都去．”∴丙一定去出游，故A选项错误；对于选项B，∵乙说：“丙去我就不去．”，∴由选项A可知，乙一定没去，故选项B错误；对于选项C，∵丁说：“甲乙中至少有一人去，我就去．”∴由选项B可知，甲、丁一定都出游，故甲、丙、丁三个人去了，此选项正确； 对于选项D，∵乙说：“丙去我就不去．”∴四个人不可能都去出游，故此选项错误．故选：C． 【点睛】 此题主要考查了推理与论证，依次分析得出各选项正确性是解题关键． 4．对某网店一周内每天的订单数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），若已知该周内的平均订单是32个，则该周内的订单数的方差是（） A．908 7 B． 909 7 C．130 D． 911 7 【答案】A2021届高三下学期第二次联考数学(理)试题含答案
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