河西区2020—2021学年度第一学期高二年级期末质量调查
数学试卷
一?选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列1
，-
1
2
，4
-，14，…的一个通项公式为（ ） A. 1
12n -??
-
???
B. 2n
?- ??
C. (
)1
12n n -?
?-
? ???
D. (
)1
112n n -+?
-
??
【答案】D 【解析】 【分析】
可知该数列是一个以1
为首项，2
-
为公比的等比数列，即可求出通项公式. 【详解】根据数列可知，该数列是一个以1
为首项，
所以该数列的通项公式为()(
)(
)1
1
1
21+11111222n n n n n ----??
??
?-=-?-?=-? ? ?
??
????
.
故选：D.
2. 设函数2()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A. 2.1 B. 0.21 C. 1.21 D. 0.121
【答案】A 【解析】 【分析】
根据平均变化率的公式求解即可.
【详解】 1.110.1x ?=-=，2
2
(1.1)(1) 1.11(11)0.21y f f ?=-=---= 所以函数2
()1f x x =-在区间[1,1.1]上的平均变化率为
(1.1)(1)0.21
2.10.1
y f f x x ?-===??.
故选：A
3. 已知数列{}n a 满足12a =，1
12n n a a -=-，则5a =（ ）
A.
65
B.
76
C.
54
D.
56
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递推关系依次求出2345,,,a a a a 即可.
【详解】
12a =，1
12n n a a -=-
，
∴211322a a =-
=，321423a a =-=，431524a a =-=，541625
a a =-=. 故选：A.
4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A. 1 B. 2
C. 4
D. 8
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列的通项公式与求和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得到公差．
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，
61165
6615482
S a d a d ?=+
=+=， 联立11
2724
61548a d a d +=??
+=?，解得4d =. 故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的简单应用，注意计算，属于基础题．
5. 已知函数()
y f x
=，其导函数()
y f x
'
=的图象如图，则对于函数()
y f x
=的描述正确的是（）
A. 在(),0
-∞上为减函数
B. 在0
x=处取得最大值
C. 在()
4,+∞上为减函数
D. 在2
x=处取得最小值
【答案】C
【解析】
分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．
详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知：
f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0
当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可知C正确，A错误；
由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误．
故选C．
点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变.
6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 6
【答案】C
【解析】 【分析】
可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列{}n a ，根据7381S =即可求出. 【详解】设顶层的灯数是1a ，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列{}n a ， 由题可得()717
1238112
a S -==-，解得13a =，
故塔的顶层的灯数是3. 故选：C. 7. 函数()21
2cos x y e x x -+=-+的导数为（ ）
A. ()()
21
222sin (21)cos x y e
x x x x x -+?=-+--'?
B. ()()21
222cos (21)sin x y e
x x x x x -+??'=--+--??
C. ()()
21
222sin (21)cos x y e x x x x x -+??'=--+--??
D. ()()21
222cos (21)sin x y e
x x x x x -+??'=-+--??
【答案】B 【解析】 【分析】
由导数运算法则可求出. 【详解】
()212cos x y e x x -+=-+，
()()()212212
cos +cos x x e x x e x y x -+-+''??-+-+'?∴?
= ()()()2122122cos sin 2+1x x e x x e x x x -+-+=--+--+?-
()()()2122
cos +2+1si 2n x e x x x x x -+??=--+--+??
()()21222cos (21)sin x e x x x x x -+??=--+--??.
故选：B.
8. 已知等比数列的首项为-1，前n 项和为n S ，若
10531
32
S S =，则公比q =（ ）
A. 2
B. -2
C.
12
D. 12
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等比数列前n 项和公式，可求得105,S S 表达式，结合题干条件，即可求得q 的值.
【详解】当公比1q =时，1052S S =，不满足题意，当1q ≠时，101011q S q -=-，5511q S q
-=-， 所以10510551
31111321q S q q q S q
--==+=--，解得12q =-， 故选：D
9. 已知函数()ln ,111,14
x x f x x x >??
=?+≤??，()g x ax =则方程()()g x f x =恰有两个不同的实根时，
实数a 的取值范围是（ ）． A. 10,
e ?
? ???
B. 11,4e ??
????
C. 10,4
?? ??
?
D. 1,e 4?? ???
【答案】B 【解析】 【分析】
作出函数()f x 与()g x 的图象,讨论交点个数可求出a 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象,见下图. 若()g x 与()ln 1y x x =>相切,求导得1
y x
'=
,设切点为()00,x y ,则00ln y x =,切线斜率为01x ,即切线方程为:()0001ln y x x x x -=
-,该切线过原点,则()000
1
0ln 0x x x -=-,解得0e x =,此时1e a =,显然()1
e
g x x =与()f x 的图象只有一个交点,即方程()()g x f x =只有
一个实根;
若
11
4e
a ≤<,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时无交点,在1x >时有2个交点,符合题意; 若1
04
a <<,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时有1个交点,在1x >时有2个交点,不符合题意;
若0a ≤,直线()g x 与()f x 的图象在1x ≤时有1个交点,在1x >时无交点,不符合题意; 若1
e
>
a ,,直线()g x 与()f x 的图象至多有一个交点,不符合题意. 所以只有11
4e
a ≤<符合题意. 故选:B.
【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的关系,考查了曲线的切线方程的求法,利用数形结合的数学方法是解决本题的关键,属于难题.
二?填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.
10. 在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，若412S =，840S =，则16S =________. 【答案】144 【解析】 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式求出首项和公差，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为d ，
则4181434+122878+40
2S a d S a d ??==?????==??
，解得13,12a d ==，
1631615
16+114422
S ?∴=??=.
故答案为：144. 11. 函数ln ()x f x x
=，其导函数为函数()'
f x ，则()f e '=________. 【答案】0 【解析】 【分析】
根据()f x 解析式，可求得()'
f x 解析式，代入数据，即可得答案.
【详解】因为ln ()(0)x f x x x
=
≠，所以222
1
ln (ln )ln 1ln ()x x
x x x x x x f x x x x ?-''--'===， 所以2
1ln ()0e
f e e
-'==， 故答案
：0
12. 已知数列{}n a 的
通项公式2
1
n a n n
=
+，n S 为其前n 项的和，则99S =________. 【答案】
99100
【解析】 【分析】
根据数列{}n a 的通项公式2111
1
n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求解. 【详解】因为数列{}n a 的通项公式2111
1
n a n n n n ==-++， 所以991111
11991122399100100100S ??????=-+-++-=-= ? ? ?????
??
， 故答案
：
99100
13. 函数3()3f x x x =-的单调递增区间是________. 【答案】()1,1- 【解析】 【分析】
求出函数的导数，令()0f x '>即可求出.
【详解】
3()3f x x x =-，()2
33f x x '∴=-，
令()0f x '>，即2330x ->，解得11x -<<，
()f x ∴的单调递增区间是()1,1-.
故答案为：()1,1-. 14. 已知数列{}n a 的
通项公式为3
217
n n a n -=
-，前n 项和为n S ，则n S 取得最小值时n 的值为
_________. 【答案】8 【解析】 【分析】
求出数列在n 的不同取值范围的正负判断出n S 的单调性可求出. 【详解】令3
0217n n a n -=
≥-，解得3n ≤或172
n ≥，
∴当3n ≤时，0n a ≥，n S 单调递增，
当47n ≤≤时，0n a <，n S 单调递减， 当8n ≥时，0n a >，n S 单调递增， 所以n S 取得最小值时n 的值为8. 故答案为：8.
【点睛】本题考查数列前n 项和的最值的求法，解题的关键是根据数列的正负判断n S 的单调性.
15. 将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为_________. 【答案】1 【解析】 【分析】
由题可得该方盒的容积()3
2
424+36V x x x x =-，03x <<，利用导数判断其单调性可求出最值.
【详解】由题可得03x <<，可知该方盒的底面是一个边长为62x -， 则该方盒的容积()()2
3262424+36V x x x x x x =-?=-，03x <<，
()()()21248+361213V x x x x x '∴=-=--，
则当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 单调递增， 当()1,3x ∈时，()0V x '<，()V x 单调递减，
∴当1x =时，()()max 116V x V ==，
故当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为1. 故答案为：1.
三?解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知函数3
1()443
f x x x =
-+. （1）求()f x 的极值； （2）求()f x 在[]0,3上的最值. 【答案】（1）极大值为28
3
，极小值为43-；（2）最大值为4，最小值为43-.
【解析】 【分析】
（1）求导，解对应的不等式，可得函数的单调性，从而可知函数的极值. （2）根据（1）的结果，再计算端点值，比较大小，即可得出最值. 【详解】（1）
()31
443
f x x x =-+，()()()2422f x x x x =-=+-'
令()0f x '=，解得2x =-或2x =，
当x 变化时，()'
f x ，()f x 的变化情况如下表：
故当2x =-时，()f x 取得极大值，()28
23
f -=
；当2x =时，()f x 取得极小值，()8428433
f =-+=-；
（2）由（1）可知()f x 的极大值为28
3
，极小值为43-，
又()04f =，()391241f =-+=，
因为4
143-
<<，所以()f x 在[]0,3上的最大值为4，最小值为43
-. 【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求函数的极值与闭区间上的最值，设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，求()f x 在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： ①求函数()y f x =在(),a b 内的极值；
②将函数()y f x =)的各极值与端点处的函数值()(),f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 17. 已知函数()()ln 2x
f x e x =-+.
（1）求()f x 在()()
0,0f 处的切线方程； （2）求证：()0f x >. 【答案】（1）1
1ln 22
y x =+-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）求出()f x 的导函数，由()0k f '=，可得答案.
（2）求出()f x 的导函数，讨论出函数()f x 的单调性，得出其最小值，可证明. 【详解】（1）解：1
()2
x
f x e x '=-+， 当0x =时，()102
k f '==， 又()01ln 2f =-，
所以切线方程为()11ln 22y x --=
，即1
1ln 22
y x =+-.
（2）解：1
()2
x
f x e x '=-
+在区间()2,-+∞上单调递增， 又()10f '-<，()00f '>，
故()0f x '=在区间()2,-+∞上有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-， 当()02,x x ∈-时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>， 从而当0x x =时，()f x 取得最小值. 由()00f x '=，得0
01
2
x e
x =
+，()00ln 2x x +=-， 故()()2
000011
()022
x f x f x x x x +≥=+=>++. 【点睛】本题考查求函数在某点出的切线方程和利用导数证明不等式.解答本题的关键是由
1
()2
x f x e x '=-
+在区间()2,-+∞上单调递增，得出()0f x '=在区间()2,-+∞上有唯一实根0x ，从而得出()f x 的单调区，即()()2
000011
()22
x f x f x x x x +≥=+=++，属于中档题. 18. 对于数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 是前n 项和，且1(1)n n n S n S a n +-+=++，
111a b ==，132,n n b b n N *+=+∈.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令2()
(1)
n n n a n c n b +=
+，求数列{}n c 的前n 项和n T .
【答案】（1）2
n a n =，1231n n b -=?-;（2）11525
443
n n n T -+=
-?． 【解析】
试题分析: （1）先根据和项与通项关系，将条件转化为项之间递推关系：121n n a a n +=++，再根据叠加法求数列{}n a 的通项公式；而求{}n b 通项公式，需变形构造一个等比数列
{1}n b +，这是由于132n n b b +=+可变形得()1131n n b b ++=+，然后通过求等比数列通项公
式，转化求{}n b 通项公式，（2）由于1
1
3n n n c -+=
，所以利用错位相减法求和，求和时注意错位相减，减式中项的符号变化，合并时项数的确定，最后结果要除以1.q -
试题解析:（1））因为()11n n n S n S a n +-+=++，所以121n n a a n +=++， 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()212331n n =-+-+
++
()2112
n n -+=
2n =，
所以数列{}n a 的通项公式为2
n a n =，
由132n n b b +=+，可得()1131n n b b ++=+，
所以数列{1}n b +是首项为112b +=，公比为3的等比数列，所以1
123n n b -+=?， 所以数列{}n b 的通项公式为1
231n n b -=?-．
（2）由（1）可得(
)21
1
21233n n n n n n c n --++==?，
所以012212341
33333n n n n n T --+=
+++++ ①， 0013223341
333333
n n n n n T --?+=+++++ ②，
②-①得1221111
11111115253261613333322313
n n n n n n n n n T ------
+++??=++++?+-=+-=- ????-， 所以11525443
n n n T -+=-?．