第四节 广义积分
在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分，因此，我们需要对定积分作两种推广，从而形成了广义积分的概念. 一. 无穷区间上的广义积分
1.引例1.求下述广义曲边梯形的面积.
（1）由曲线x y e -=，及x 轴、y 轴所围成的图形的面积（作图） 解：0
lim
lim 11b x b
b b A e dx e --→+∞
→+∞??==-=?
??
（2）由曲线x y e =，及x 轴、y 轴所围成的图形的面积（作图） 解：0lim
lim 11x a
a
a a A e dx e →-∞
→-∞??==-=?
??
. 2．定义1.设函数()x f 在区间[)+∞,a 上连续，取a b >.如果极限 ()dx
x f b
a
b ?+∞
→lim
存在，则称此极限为函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分，记作()dx x f a
?
+∞
.
即：()dx x f a
?
+∞()dx
x f b
a
b ?+∞
→=lim
————（1）
这时，也称广义积分()dx x f a
?+∞
收敛；如果上述极限不存在，函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分就没有意义，习
惯上称为广义积分()dx x f a
?
+∞发散.
定义2.设函数()x f 在区间(]b ,∞-上连续，取b a <.如果极限()dx x f b
a
a ?-∞
→lim
存在，则称此极限为函数()x f 在区间[)+∞,a 上的广义积分，记作()dx x f b
?
∞
-.
即：()dx x f b ?
∞
-()dx x f b
a
a ?-∞
→=lim
————（2）
这时，也称广义积分()dx x f b
?
∞
-收敛；如果上述极限不存在，函数()x f 在区间
(]b ,∞-上的广义积分就没有意义，习惯上称为广义积分()dx x f b
?
∞
-发散.
定义3.设函数()x f 在区间()-+∞∞，
上连续，如果广义积 ()dx x f ?
∞
-0
和()dx x f ?
+∞
都收敛，则称上述两广义积分之和为函数()x f 在区间()+∞∞-,上的广义积分，记作：
()()()dx x f dx x f dx x f ?
?
?
+∞
∞
-+∞
∞
-+
=
.------（3）
这时，也称广义积分()dx x f ?
+∞
∞
-收敛；否则，就称()dx x f ?
+∞
∞
-发散.
上述定义的三种广义积分统称无穷限的广义积分. 例1． 求2
211
1
lim
lim arctan lim arctan .1144|b
b b b b dx dx
x b x
x ππ+∞
→+∞
→+∞→+∞?
?===-=??++??
?
?
注意：表面上是代入上、下限作差，其实，这里的上限值是函数的极限。上题中每一步都要带上极限号，太过麻烦了，因此，我们借鉴牛-莱公式的格式，介绍一种简单的写法.
例1的另一写法：2
1
1
arctan ..1244
|dx x x
πππ
+∞+∞==-=+?
例2求|
sin .cos +∞
+∞
=?
x xdx 不存在！
例3．求1p
a
dx x
+∞
?
（)0>a .
解：（1）当1p =时，+∞==+∞+∞
?
|
||ln 1a
a
x dx x
；
（2）当1p <时，1111|p
p
a
a
dx x
x
p +∞+∞-==+∞-?
；
（3）当1p >时，111111
|
p
p
p
a
a
a
dx x
x
p
p -+∞+∞-==
--?
.
总之，1,1,11, 1.
p
p a
a p dx p x p -+∞?>?
=-??+∞≤?
?
例4.求02
2
2
111x x x dx dx dx x
x
x
+∞+∞-∞
-∞
=
+
+++?
?
?
，
由于，2
2
11|
x dx x
x
+∞+∞=+=+∞+?
，
所以，2
1x dx x
+∞-∞
+?发散！
注意：
（1）没有必要再计算02
1x dx x
-∞
+?
，即可断定2
1x dx x
+∞-∞
+?
发散！
（2）如果这样做则是错的，请同学们务必要小心：因为
3
1x x
+是奇函数，所以原式=0.
例5.利用递推公式计算0x n
n I e x dx +∞
-=?
解：1
10
...!|
x n
n
x
n x
n x
n n I e x dx x de x e
n x
e dx nI n +∞
+∞
+∞+∞------=
=-=-+===?
?
?
注意：关于噶玛函数有一个著名的余元公式： ()()()
(
).101.
s i n παααπα
ΓΓ-=
<<
3．无穷限广义积分的审敛法
广义积分的敛、散性，可以通过求被积函数的原函数，然后按定义取极限，根据极限是否存在来判定，但这种方法很麻烦，有时甚至是行不通的。下面我们研究不通过被积函数的原函数判定广义积分敛散性的方法。 定理1。设函数()f x 在区间[),a +∞上连续，且()0.f x ≥若函数 ()()x a
F x f t dt =?
在[),a +∞上有界，则广义积分()a
f x dx +∞?
收敛。
定理2。（比较审敛准则）设函数()(),f x g x 在区间[),a +∞上连续。 （1）若()()()0f x g x a x ≤≤≤<+∞且()a g x dx +∞?收敛，则()a f x dx +∞?也收敛 ； （2）若()()()0g x f x a x ≤≤≤<+∞且()a
g x dx +∞?发散，则()a
f x dx +∞?
也发散 。
二.无界函数的广义积分
1.引例
2.求下述广义曲边梯形的面积. （1）由曲线x y 1=
，x 轴、y 轴及直线3=x 所围成的图形的面积（作图）
解：[]
.32232lim 1lim
03
00=-==+→+→?
εεε
εdx x
A
（2）由曲线x
y -=
1，x 轴、y 轴及直线3-=x 所围成的图形的面积（作图）.
解：3000
001
lim
lim 2322 3.A dx x
ε
εεε--→+→+??==-=??-?
2.定义4.设函数()x f 在区间(]b a ,上连续，而在点a 的右邻域内无界.取0>ε，如果极限 ()dx x f b
a ?
++→ε
ε0lim
存在，则称此极限为函数()x f 在区间(]b a ,上的广义积分，记作()dx x f b
a
?.
即：()dx x f b
a
?()dx x f b
a ?
++→=ε
ε00lim
————（4）
这时，也称广义积分()dx x f a
?
+∞
收敛；如果上述极限不存在，函数()x f 在区间(]b a ,上的广义积分就没有意义，习惯
上称为广义积分()dx x f b a
?发散.
定义5.设函数()x f 在区间[)b a ,上连续，而在点b 的左邻域内无界.取0>ε，如果极限 ()dx x f b a
?
-+→ε
ε00lim
存在，则称此极限为函数()x f 在区间[)b a ,上的广义积分，记作()dx x f b
a
?.
即：()dx x f b
a
?()dx x f b a
?
-+→=ε
ε00lim
————（5）
这时，也称广义积分()dx x f b
a
?收敛；如果上述极限不存在，则称为广义积分()dx x f b
a
?发散.
定义6.设函数()x f 在区间[]b a ,上除点()b c a c <<外连续，而在点c 邻域内无界.如果两个广义积分
()dx x f c a
?和()dx x f b
c
?都存在，则定义
()dx x f b
a
?
=()dx x f c
a
?+()dx x f b
c
?.---------（6）
否则，称为广义积分()dx x f b
a
?发散。
例6．讨论dx x ?1
ln 敛、散性
解：
[]1ln 1lim
ln lim
ln 0
01
001
-=+--==+→+→?
?
εεεεε
εxdx dx x .
例7．讨论12
1
1dx x
-?
的敛、散性
解：被积函数()2
1f x x
=
在积分区间[]1,1-上除0=x 外连续且2
1lim
x x
→=∞.
由于21
00
001
1lim
lim 1dx x εεεε--→+→+??
=-=+∞????
?
，即0211dx x -?发散，所以，1211dx x -?发散. 例8．讨论()
1
b q
a
dx x a -?
的敛、散性. （其中0q >，为常数）.
解:(1) 1q =，时
()00
00
0011lim
lim ln ||lim ln ln |
b b b a a
a dx dx x a
b a x a
x a
ε
ε
εεεε++→+→+→+==-=--=+∞???
?--?
?
； (2)1,
q <()
()
()
100
00
1
1
1lim lim 1|
b b b q
q
q
a a
a dx dx x a q
x a x b ε
ε
εε-++→+→+==----?
?
()()111001
1lim
11q q
q b a b a q q εε---→+??=--=-?
?--； （3）1q >时，()
()
()100
00
1
1
1lim
lim
1|b b b
q
q
q
a a
a dx dx x a q
x a x b εε
εε-++→+→+==----?
?
()11001
lim
1q q b a q εε--→+??=--=+∞?
?-；
总之，()
()11
,01,1, 1.
q
b q
a
b a q dx q
x a q -?-<
=-?-?
+∞>??
例9．求由曲线3
2
4x
y x
=
-和它的渐进线所围成的面积S.
解：3
442
4
20
3!!224sin 64sin 64
.44!!2
4x
x x S dx dx x t
tdt x
x
π
π====================
====--?
?
?
3.贝塔函数 （1） 在积分()
1
1
1
01s r x
x dx ---?中有两个参数,r s ，因为点0和1都有可能是奇点，所以要把它分成两个积分来讨论
其敛散性。即 ()
()
()
1
1
11
1
1
1
1
1
2100
2
111s s s r r r x
x dx x
x dx x
x dx -------=
-+
-??
?
（*）
当0,0r s >>时 （1）.由于102
x <≤
，在（*）式右端第一个积分中，0可能是奇点，又因为
()
()
1
11
11111,1,1012,0 1.s r s r r
s
r s x x
x x x
s x
-------?
≥?-?≤-=
≤??<
1
1
10
1s r x x dx ---?收敛。
（2）.由于
112
x ≤<，在（*）式右端第二个积分中，1可能是奇点，又因为
()
()
()
()11
1
1
1111,1,10121,0 1.1s r s r s
r
s r x x
x
x x r x -------?
≥?
-?≤-=
≤?-?<
当0r ≤时，（*）式右端第一个积分中，0是奇点，因为
()
()
11
11
1112,1,1011, 1.s
s r
s r r
r s x x x x x
s x
-------?≥?-?≤-=
≥?
?
1
1
1
1s r x x dx
---?发散。
（2）定义 称函数 ()()()1
1
1
,10,0s r r s x
x dx r s β--=
->>?
为贝塔函数。
可证贝塔函数有下述主要性质： ()()().,,;a r s s r ββ= ()()()()()
.,;r s b r s r s βΓΓ=
Γ+
综合上述讨论知道：当0,0r s >>时，()
1
1
1
1s r x
x dx ---?收敛；其他情况下均发散。
杂例1.证明柯西不等式：（书p154.7）
设函数()()x g x f ,在区间[]b a ,上可积，则
()()()()2
2
2
..b
b b
a a
a f x g x dx f
x dx g x dx ????
??
≤??????
????
??
??? 证明：令()()()()2
,,b a
F t f
x tg x dx t =
+∈-∞+∞????
?
则()()()()()2
2
2
02b
b
b a
a
a
F t t
g
x dx t f x g x dx f
x dx ≤=++
?
??
.
所以，40=?≤()()()()2
2
24..b b b
a a
a f x g x dx f x dx g x dx ??????
-????????????
??? 即：()()()()2
2
2
..b
b
b
a a
a f x g x dx f
x dx g x dx ????
??
≤??????
????
??
??? 杂例2.设函数()x f 在区间[]b a ,上有连续的导数()f x '且()0=a f ，
证明：()()
()2
2
2
2
b
b a
a
b a f
x dx f x dx -'≤
??????
（书p161,14）
证明：()()()2
2
2
1.x
x
a
a f
x f x dx f x dx ?
???''==????????
??
()()()()()2
2
2
22
2
2
1.x x
x
b
a a
a a dx f x dx x a f x x a f x ?????
??
?
''
'
≤=-≤-?????????????
??
?
???? 所以，()()()()
()2
2
2
222
b
b
b
b a
a
a a
b a f
x dx x a f x dx dx f x dx -??''??≤-=??
????
????
杂例3.证明：瓦里斯(Wallis)
()()2
2!!1l i m .
21!!
21
2
n n n n π
→∞??
=
??-+
?? 证明：设,2
0π
≤
≤x 对于任意正整数n,由于
21
221
s i n s i n s i n n n
n x x x
+-≤
≤
-------------------------------（1） 所以，21
221
2220
sin
sin
sin
n n
n xdx xdx xdx π
π
π
+-≤
≤
??
?
()()()()()()!
!12!
!222
!!2!!12!!12!!2--≤
-≤
+?
n n n n n n π
---------------------------（2）
从而，()()()()()()()()!
!12!
!2!!12!!222!!12!!2.!!12!!2---≤
≤
-+?
n n n n n n n n π
-------（3）
注意到：()()()!!1212!!12-+=+n n n ，()(),2!
!2!!22n
n n =
-----------（4）
()()()()2
2
2!!2!!1121!!21221!!2n n n n n n π
?????≤≤????
-+-????----------------（5） 所以，()()()()2
2
2!!2!!1110221!!2121!!221n n n n n n n π??????
≤-≤-???? ?-+-+??
????
(因为（2）式) ()()()()22!!11
1..021!!21222n n n n n n π??
????=≤→→∞????
-+??????. 故，由夹逼准则知：()()2
2!!1lim .21!!212
n n n n π
→∞
??=??-+??
杂例4.求概率积分B=2
x
e
dx +∞-?的值.
解：（一）
（ⅰ）由不等式[)1,0,t
e t t ≥+∈+∞.
故(令2t x =) ()2
21,,x e x x ≥+?∈-∞+∞
()2
2
22
111.1x x x e e x
--+≤?≤
+----------------------（1）
（ⅱ）由t e 麦克劳林展开式
. ()2
11,,.
!
2!
t
t e
e t t t ξ
=+
+
>+∈-∞+∞ 故(令2t x =-) ()2
2
1,,x
e
x x -≥-?∈-∞+∞
（2）
总之，对2
2
2
1,1.1x
x x e
x
-?-≤≤
+---------------------（3）
（二）.由（3）式：()()
2
1
20
2
11n
nx
n
dx
x dx e
dx x +∞+∞--≤
≤
+??
?
——————（4）
其中，()
()()1
2
221
2
200
______________
2!!
1sin cos .cos cos
21!!
n
n
n n x
dx x t
t tdt tdt n π
π
+-==
=
+??
?
—（5）
2
2
2
()t
nx
t
e
B e
dx dt B e
dt n
n
-∧
+∞+∞+∞--=
=
=
?
?
?
———————（6）
()
()()2
22
2220
2
23!!1tan sec cos
..sec
22!!2
1n n
n
n dx
x t
tdt tdt t
n x
π
π
π
+∞
-
============
-==
=
-+?
?
?
———————（7） 所以，
()()()()2
.
!!22!!32!
!12!
!2π
--≤
≤
+n n n
B n n ——————————————（8）
（8）式两边平方：()()()()2
2
2
2
2!!23!!21!!22!!4
n n n B n n n π????-≤≤????
+-???? 左=()()()()2
22!!2!!11lim lim ..21!!2121!!21224n n n n n n n n n n ππ
→∞→∞????????===??????++-+????????（瓦里斯）. 右=()()()()()2222223!!21!!2lim lim 2122!!442!!2121n n n n n n n n n n n n ππ→∞→∞????????--????=+???????? ?--+???
??????????? =
2
12
.
..4
2π
π
——————————————————（9） 所以，由夹逼准则：
2
4
4
B π
π
≤≤
，所以B=2
.2
x
e
dx π
+∞-=
?
杂例5.求概率积分12??
Γ ???
的值. 解：12
12x
x
e dx +∞-
-??
Γ=
???
?
（令2
,2x t dx tdt ==）
，则 2
2
10
1..222
2.
.22
t
t
t e
tdt e
dt B π
π+∞+∞---??
Γ=
==== ???
?
?
杂例6.求概率积分35
,22β??
???
的值. 解：()2113113531...22222352282,.352243!1622πβ????
??????????ΓΓΓΓΓ ? ? ? ? ?
????????????????????
==== ?Γ????
Γ+ ???
杂例7.求积分12
1dx x x
-?
的值.
解：()1
1
1111
1
2
22
1111dx dx x
x x x
x x
--=
=
---?
?
?
(
)
22
111.11222,.11220!22βπ
π??????ΓΓΓ ? ? ?
????????
====
= ?????
Γ+ ???
杂例8.求积分4
11dx x
+∞+?
的值.
解：令4
1
,1t x =
+则1
4
11,x t ??=- ???
于是
()()
313
30
14
4
44
4
1
111.11144dx t t t dt t
t dt x
+∞----
??=
--=
-??+??
?
?
?
()()31
111440131.1,311
.sin 444.3112244444t t dt βπ
ππ--????ΓΓ ? ?????==??=-=
???
=Γ??Γ+ ???
?
第六节 定积分的应用 一．元素法
首先介绍一下定积分应用的一个核心思想：元素法 一般地，如果某一实际问题中所求的量U 符合下列条件： （1）U 与变量x 的变化区间有关； （2）U 对区间[],a b 具有可加性；
（3）在代表区间[],x x x +?上U 的部分量可近似表示为().U f x dx ?≈ 那么所求量().b a
U f x dx =
?
并称()f x dx 为所求量U 的元素，记为().du f x dx =
二．平面图形的面积 记住几个常用求面积公式 （1）x 轴上的曲边梯形的面积().b a A f x dx =?
（2）y 轴上的曲边梯形的面积().d
c
A g y dy =
?
例1.计算由曲线22,y x y x ==所围成平面图形的面积. 解：(
)1
2
1
.3A x x
dx =
-=?
例2.计算由曲线22,4y x y x ==-所围成平面图形的面积.
解：由22,8,
2, 2. 4.4.
x x y x y y y x ==?=??????=-==-???或，故两曲线的交点为()()2,2,8,4.A B -
若以x 为积分变量，则 (
)(
)
()(
)
28
02
222418.A x x
dx x x dx =
--+
--=?
?
若以y 为积分变量，则
2
4
2418.2y A y dy -??
=+-=????
? 例3.求椭圆
222
2
1x y a
b
+
≤的面积.
.A ab π=
例4.求曲线y x =的一条切线L ，使该曲线与切线L 及直线x=0,x=2所围成的平面图形的面积最小.
解：设y x =
上任意一点(
)
,
M t t ，则过M 点的切线方程为
()12y t x t t
-=
-，即.2x t y t
+=
则()20
142.3
2x t
A t x dx t t t ??+=
-=+
-
???
?
令()1110,222t A t t t
t
t t
-'=-
+
=
=得 1.t =
当01t <<时，()0;A t '<当1t >时，()0.A t '>所以，当1t =时，()A t 为最小值。 此时，所求切线方程为 1.22x y =
+
下面再举一个参数方程下求面积的例子.
例5.求星形线2
2
2
333x y a +=所围成的面积.
解：()0
3323212
2
44sin .cos 12sin .cos .sin A A a td a t a t t tdt ππ===-??
(
)2
4
2
2
20
312s i n 1
s i n .
8
a
t t d t a
π
π
=-=?
极坐标下求平面图形的面积一般不会出题，不过还是应该提一提，毕竟这个知识点大纲是要求了解的. 首先要记住曲边扇形的面积公式()2
1
2A r
d β
α
θθ=
?
例6.求曲线2cos r a θ=所围成的平面图形（圆）的面积。
解：所求平面图形的面积为
()2
2
22
222
2
12cos .2
A r
d a
d a π
π
π
π
θθ
θθπ-
-
=
==?
?
例7.求曲线3cos ,1cos r r θθ==+所围成的平面图形的公共部分的面积.
解：()
()
2
2
2
3
3
1121cos 23cos 2
2
A d d π
π
πθθθθ=++?
?
()2
2
2
3
3
12cos cos 9cos d d π
π
π
θθθθθ=
+++??
23033
s i n 2s i n 25
2s i n 9.2
42
44
||π
π
π
θθ
θπθθ????=+++
+= ? ????? 三．旋转体的体积
用定积分所能直接计算其体积的立体仅限于旋转体和平行截面面积已知的立体. 先回顾三个经典公式：
（1）由x 轴上的曲边梯形（即由曲线()0,0,,y f x x x a x b =≥===所围成的平面图形）绕x 轴旋转，()
2
b x a
V f
x d x π=?
；
（2）由y 轴上的曲边梯形（即由曲线()0,,,0x g y y c y d x =≥===所围成的平面图形）绕y 轴旋转，()2
d
y c
V g
y dy π
=?
；
（3）由x 轴上的曲边梯形（即由曲线()0,0,,y f x x x a x b =≥===所围成的平面图形）绕y 轴旋转，()2.b
xy a V x f x dx π=?.
例8.求曲线3y x =与2,0x y ==所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：（一）绕x 轴 ()
2
2
3
128;7x V x dx π
π==
?
（二）绕y 轴
23
642..5
xy V x x dx π
π==
?
例9.证明半径为,R 高为H 的球缺的体积为2.3H V H R π??
=-
??
?
证明：(
)
2
22
2.3R R H H V R y
dy H R π
π-?
?=-=- ???
?
例10.求圆盘222x y a +≤绕(0)x b b a =->>旋转所成旋转体的体积. 解：方法一（选y 为积分变量） 右半圆 2
2
1;x a y =
-左半圆 2
2
2.x a y =--
取 [],y y dy +上的体积元素
()()2222
124dV x b x b dy b a y dy πππ??=+-+=-??
故22
22
48a a
a
V b a y dy b a y dy ππ-=
-=-?
?
2
2222
018arcsin 2.2
2|a a y b y a y a b a ππ??=-+=????
方法二（选x 为积分变量）. 取 [],x x dx +上的体积元素
()()
2
2
2.|2|4dV x b y dx x b a x dx ππ=+=+-
故()2
2
2222
482.a a a
V x b a x dx b a x dx a b πππ-=
+-=-=?
?
2
2222
018arcsin 2.2
2|a a y b y a y a b a ππ??=-+=????
例11.设抛物线2
y ax bx c =++过原点，当01x ≤≤时，0.y ≥又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围图形的面积为
1,3
使确定,,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小。（研89）
解：抛物线过原点，则0.c =又由题意有 ()1
2
1
3
2
3
a b A ax
bx c dx =
++=
+
=
?，即()21.3
b a =
-
()
()()22
22
1
22
1415235327a a a ab b a V ax
bx dx a π
ππ-??
??=+=++=++-?
? ?????
?
令
()()218451210,53271354dV
a a a a da π??
??=+-+-=+= ?
??????得5.4a =- 当54
a <-时，
0dV da
<；
当54
a >-时，
0.dV da
>所以，54
a =-
是唯一的极小值点。所以， 53,04
2
a b c =-
=
=，，
旋转体的体积最小.
下面举一个平行截面面积已知的立体的体积的求法.
例12.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心，并与底面成角α，如图所示。计算该平面截圆柱体所得立体的体积。 解：取这个平面与圆柱体的底面的交线为x 轴，底面上过圆心且垂直于x 轴的直线为y 轴，那么，底面圆的方程为
2
2
2
,x y R +=立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形，它的两条直角边的边长分别为,.tan y y α
从而截面面积函数为()()2
2
11
.tan tan .2
2
A x y y R x
αα==
-
故()3
2tan .3
R R
V A x dx R α-=
=
?
四． 平面曲线弧的弧长
根据不同的坐标系,可分为以下三种计算公式 (一) 在直角坐标系下
1.设曲线方程为()()y f x a x b =≤≤,则 ()
()()2
2
2
2
11ds dx dy y dx f x dx ''=+=
+=
+
()
2
1b a
s f x d x
'
=
+?
2.设曲线方程为()()x g y c y d =≤≤,则
()
()()2
2
2
2
11dx ds dx dy dy x y dy dy ??
'=
+=
+=
+ ???
()
2
1d c
s x y d y
'=
+?
例13．计算曲线()2ln 1y x =-上相应于102
x ≤≤
的一段弧的长度.
解: ()2
1
1
2
22200
2111x s f x dx dx x -??'=
+=
+ ?
-??
?
?
1
1
1
1
2222
22
2
12
1111ln
ln 3.1112
2
|
x x dx dx dx x
x
x
-+=
=
-
=-
=-
++-?
?
?
例14．求曲线()2
11ln 14
2
x y y y e =
-
≤≤的长度.
解: ()2
2
1
1
11122e
e
y s x y dy dy y ??'=
+=
+- ???
?
?
2
2
1
11.24
e
y e dy y
++=
=
?
(二)在参数方程下
设曲线的参数方程为()()(),.
x x t t y y t α
β=??≤≤?
=??
()
()()()2
2
2
2
ds dx dy x t y t dt '
'
=+=
+
()()2
2
s x t y t dt β
α
'
'
=
+
?
(三).在极坐标系下
设曲线方程为()().r r θαθβ=≤≤则
()()2
2s r
r d β
α
θθθ'=
+?
例15.求星形线()33
cos ,
02,0sin ,
x a t t a y a t π?=≤≤>?=?的长度. 解:()()2
2
3cos .sin ,3s .cos .x t a t t y t a in t t ''=-=
()()22
2
2
3cos .sin 3sin .cos 3cos .sin ds a t t a t t dt a t t dt =
-+=
所以,2
2
2
00
43sin .cos 6sin 6.s a t tdt t a π
π
??===??? 例16.证明椭圆
()222
2
10x y a b a
b
+
=>>的弧长等于正弦曲线sin
x y c b
=的一波之长.其中22
c a b =-.
解:椭圆的参数方程为()cos ,
02sin ,
x a t t y b t π=?≤≤?=?.
椭圆的弧长 ()()()
()222
2
22
10
s cos s x t y t dt a int b t dt π
π
''=
+=
+?
?
正弦曲线sin
x y c b
=的一波之长为
()2
222
20
11cos b b
c
x s y x dx dx b
b ππ??'
=
+=+ ????
?(令x u b =)
()2222
2
2
2
2
1cos cos c u d bu b c u du b
ππ=
+
=
+?
?
()2222
2
2
2
2
2
2
cos
cos sin b a b
u du a u b u du π
π
=+-=
+?
?
(令t u π=-) 2
2
2
2
c o s s i n a t b t
d t π
π
-
=
+?2
2
2
2
2c o s s i n a t b
t d t π
=+?
(令
2
s π
?=-)
2
222
2
10
4s c o s a
i n b d s
π
??
?=+=?. 例17.求心形线()()1cos 0r a a θ=+>的长度. 解: ()()2
2
222cos
8.2
s r
r d a d a ππ
θ
θθθθ'
=+==?
?
例18.求由星形线()33
cos ,
02,0sin ,
x a t t a y a t π?=≤≤>?=?绕直线y x =旋转所得的旋转曲面的侧面积. 解:由于曲线关于y x =对称,只需考虑3,
44t π
π??
∈
?
???
的一段曲线. 任取曲线上的一微元,端点坐标()()()()33,cos ,sin x t y t a t a t =.它到直线y x =的距离是 ()33
sin cos 2
a t a t
l t -=
曲线微元的弧长()()2
2
2
2
3cos .sin 3sin .cos 3cos .sin ds a t t a t t dt a t t dt =
-+=
因此曲线微元绕直线y x =旋转所得的曲面微元的面积为 33
sin cos dA=2.3cos .sin 2
a t a t
a t t dt π
-
()32
3
3
4
4
6A=2sin
cos .cos .sin 2
a t t t t dt π
π
π?
-?
()()32
33
33
24
4
4
=62sin cos .cos .sin sin cos .cos .sin a t t t tdt t t t tdt π
π
ππ
π
??--
-????
??
()
2
34
21.5
a
π=-
例19.求由星形线()33
cos ,
02,0sin ,x a t t a y a t π?=≤≤>?=?
绕直线x 轴旋转所得的旋转曲面的侧面积. 解:()()()2
2
32
220
012224sin 3cos sin .5
A y t x t y t dt a t a t tdt
a π
π
πππ'
'
=+
=?=
??
五.定积分的简单物理应用
(一)转动惯量
有些机器上装有飞轮.正在转动的飞轮,一旦切断机器的动力电源,它不会立即停止转动.转动物体的这种能够保持原有转动状态的性质,称为转动惯量.
我们知道,一个平动物体的动能等于2
12
E m v =
.现在假设有质量为m 的质点绕固定轴旋转,若它离转轴的垂直距离为
r ,转动的角速度为ω,则它转动时的动能为
()()2
2
2
11
2
2
E m r m r ωω=
=
把它与物体平动时的动能公式2
12
E m v =
做对比,ω相当于平动时的速度v ,而2
mr 就相当于平等物体的质量.因此用
2
J mr =定义转动质点的转动惯量.(单位:千克.米2
).
例7.设有个质量均匀分布的飞轮,半径为R ,厚度为h ,体密度为ρ.求它绕中心转动时的转动惯量.
解::要解决这个问题,不能直接套用公式2
J mr =因为半径不同的圆周上的点的转动惯量是不相等的.为此,我们设想把飞轮分成一个套一个的园环.当每个园环的宽度x ?很小时,可以近似认为同一个园环上的各点都处在同提个圆周上.故相
应于[],x x x +?上的这个园环上的转动惯量近似等于 ()
2
2...J x h x x
πρ?≈? 于是得()2
2..dJ x h x dx πρ=,()()2
2
2
01
2 (2)
R
J x h x dx R h R πρπρ==
?
2
1.2
m R =
)(其中2
..m R h πρ=,为飞轮总质量).
计算结果说明,均匀飞轮的转动惯量等于全部质量集中到飞轮边沿时转动惯量的 一半.
例20.设有一根细直棒,AB 长为a ,横截面为S ,体密度为(ρ常数).求它对通过端点A 且垂直于AB 的轴L 的转动惯量. 解:如图建立坐标系,以A 为坐标原点, AB 为x 轴,L 为y 轴,在AB 上任取一小段[],x x x +?,则该小段的质量为
..m S x ρ?=?当x ?很小时,可以近似认为小块对轴的距离为x ,从而小块对轴的转动惯量为2
2
J x m Sx x ρ?≈?=?.
故2dJ Sx dx ρ=.由元素法的思想, AB 绕轴L 的转动惯量为 2
3
1.3
a J Sx dx Sa ρρ=
=
?
(二)变力沿直线做功
例21.用铁锤将一铁钉击入木板.设木板对铁钉之阻力与铁钉进入木板之深度成正比.在铁钉被击第一次时,能将铁钉击入木板1厘米.如果铁锤每次打击木板时所做的功相等,问铁锤击第二次时,钉又进多少? 解:设钉进入木板之深度为()x cm ,则()F x kx =(k 为比例常数). 铁锤击第一次时所作的功 ()1110
;2k W F x dx kxdx =
=
=
?
?
设铁锤击第二次时,钉进入木板的总深度为h ,则铁锤击第一次时所作的功
()()2
21
1
1;2
h
h
k
W F x dx kxdx h =
=
=
-?
?
由题设12W W =,故 2.h =因此铁锤击第二次时,钉又进()21.cm -
(三)压力
由物理学知识,水深为h 处的压强为P gh ρ=,其中ρ为水的密度.
(或P h γ=,其中γ为水的比重.)如图,如果有一面积为A 的平板水平放置在水深为h 处,那么平板一侧所受的水压力为
.F P A =
但,如果平板垂直放置在水中,由于水深不同的点处压强不相等, 平板一侧所受的水压力就不能用上述方法去求.请看下例.
例22.一个横放着的援助形水桶,桶内盛有半桶水,设桶的底半径为R ,水的比重为γ,计算桶的一个端面所受的压力. 解:桶的一个端面是圆片,所以现在要计算的是当水平面通过圆心时,垂直放置的一个半圆片的一侧所受到的压力.
如图所示,在这个圆片上取过圆心且垂直向下的直线为x 轴,过圆心的水平直线为y 轴.对此坐标系来说,所讨论的半圆
方程为222
x y R +=.()0x R ≤≤(右半圆).
取x 为积分变量,它的变化区间为[]0,.R 设[],x x dx +为[]0,.R 上任一小区间,半圆上相应于[],x x dx +上窄条上各点处的压强近似于,x γ这窄条的面积近似等于
22
22ydx R x dx =-.因此,这窄条一侧所受到压力近似为
222dF x R x dx γ=- 于是所受到的压力为22
3
22.3
R F x R x dx R γγ=
-=
?
例23.设有一个等腰梯形闸门,上底为2m ,下底为1m ,高为3m ,较短的边在下,垂直立于水中,露出水面1m 时,求水闸对闸门的压力.
解:如图所师,建立坐标系,使闸门的上沿为x 轴(其方向向右),闸门的中线为y 轴(其方向向下.).则右腰的直线方程为
1
16x y =-
(该直线过点()11,0,,3.2??
???
在水深为y 处,介于[],y y dy +之间的梯形小块所承受的压力的微分为 ()21.1.6y d F y d y γ?
?=-
- ?
?
?(其中, 梯形小块的面积216y dy ?
?- ??
?,梯形小块所受压强为()
1y γ-.所以
(
)3
4
1
2222
21.
19800
2.410
69
9
y F y d y γγ?
?=
--=
=
?≈? ??
??
(牛) (其中3
.109.89800g γρ==?=) (四)引力
例24.设棍长为,a 其线密度为常量ρ.距棍右端延长线上a 处有一质量为m 的质点,求棍子对该质点的引力.F 解:建立如图所示的坐标系(以棍子的左端点为原点,棍子所在直线为x 轴) ()
2
.,2d x m
d F k
a x ρ=-故()
2
.22a m
km F k
dx a
a x ρρ=
=-?
例25.长为l ,质量为M 的均匀棍子,如图所示.今将点(2A l 处)的一质量为2m 的质点移动到(3)B l .求克服引力所做的功. 解:()()
[]222
1
1,2,3.l km dx
F x km x l l x l x x r ρρ??
=
=-
∈ ?-??
-?
所以32221
14ln .3l l
M W km dx km x l x ρρ??
=
-
= ?
-??
?
例26.设有一长为l 的均匀细棒,线密度为ρ,求细棒对位于其一端垂直上方、距离为a 、质量为m 的质点的引力. 解:建立坐标系.在细棒x 处任取一小段[],x x dx +,则该小段的质量为dx ρ.于是对质点的引力微元的大小为
2
2
m dx dF k
a x
ρ=+.
它的两个分量分别为
2
2
2
2
2
2
2
2
.
,.
x y m dx x m dx a dF k
dF k
a x
a x
a x
a x
ρρ==-++++
因此整个细棒的对质点m 的引力的两个分量为
()
322
2
2
2
1
1
;l x m x
F k
dx k m a a l a
x
ρρ??=
=-
?+??+?
()
32
2
2
2
2
.l y m a
k m l F k dx a a l
a
x
ρρ=-=-
++?
(五)函数平均值
在实际问题中,常常用一组数据的算术平均值来描述这组数据的概貌.然而,有时还需要考虑一个连续函数()f x 在
[],a b 上所取得的一切值的平均值.例如,求气温在一昼夜间的平均温度.下面就讨论如何规定及计算连续函数()f x 在[],a b 上的平均值.
1.先把[],a b 分成n 等份,设分点为011.n n a x x x x b -=<<<<= 每个小区间的长度为().1,2,,i b a x i n n
-?=
=
2,设在分点处的()f x 的函数值依次为011,,,n y y y - 的平均值
011
n y y y n
-
+++
来近似表达函数()f x 在[],a b 上所取得的一切值的平均值.
显然,如果n 比较大,上述平均值就能比较确切地表达()f x 在[],a b 上所取得的一切值的平均值.为此,称 011
l i m
n n y y y y n
-
→∞
+++=
为函数在[],a b 上的平均值. 3. 现在011
011lim
lim
.n n n n y y y y y y b a
y n
b a n
--→∞
→∞
++++++-==-
()()11
11
lim
..n
b i i a
n i f
x x f
x dx b a
b a
-→∞
==
?=
--∑
?
这就是说连续函数()f x 在[],a b 上的平均值y ,等于函数()f x 在[],a b 上的定积分除以区间的长度b a -,定积分中值定理中的()f ξ就是()f x 在[],a b 上的平均值.
例27.计算纯电阻电路中正弦交流电sin m i I t ω=在一个周期上的功率的平均值(简称平均功率). 解:设电路的电阻为R ,那么这电路中电压
sin ,m u iR I R t ω==
而功率 22
sin .m p ui I r t ω==
因此在长度为一个周期20,πω??
??
??
上的平均值为
22
22
1sin 22
2
m m m
m I R I U p I R tdt π
ω
ωπ
ω
=
=
=
?
这就是说,纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的一半. (六)均方根
非恒定电流(如正弦交流电)是随时间的变化而变化的,那么为什么一般使用的非恒定电流的电器上却标明着确定的电流值?原来这些电器上标明的电流值都是一种特定的平均值,习惯上称为有效值. 周期性非恒定电流(如正弦交流电)的有效值规定如下:
当()i t 在它的一个周期T 内在负载电阻R 上消耗的平均功率等于固定值I 的恒定电流在R 上消耗的功率时,称这个I 值为()i t 的有效值.
固定值I 的恒定电流在R 上消耗的功率为2I R ; 非恒定电流()i t 在R 上消耗的功率为()()()2
u t i t i
t R =,它在[]0,T 上的平均值为
()()2
2
1,T T R i
t R dt
i
t dt T
T
=
?
?
从而
()()2
2
2
2
1,T T R I R i
t dt I i
t dt T
T
=
?=
?
?
故
()2
1T I i
t dt T
=
?
特别地,对于正弦交流电()sin m i t I t ω=,有效值为
22
2
1sin .22
m m I I I tdt πωωπ
ω
=
=
?
这就是说,正弦交流电()sin m i t I t ω=的有效值是它峰值的
1.2
注意:我们把
()2
1
.b a
f
x dx b a
-?称作()f x 在[],a b 上的均方根.
经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、
定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分
经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)
1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点
怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立
定积分 练习与解析1 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内 1.根据定积分的定义，dx x ?2 02=( ) A. n n i n i 112 1???? ??-∑= B. n n i n i n 1 12 1lim ??? ? ??-∑=∞→ C. n n i n i 2 22 1??? ? ??∑= D. n n i n i n 222 1lim ??? ? ??∑=∞→ 解析：由求定积分的四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限.可知选项为D 2、?-+22 )cos (sin π πdx x x 的值为（ ） A 0 B 4 π C 2 D 4 解析：?-+22 )cos (sin π πdx x x =() 22 sin cos ππ- +-x x ?? ? ?????? ??-+??? ??---??? ??+-2sin 2cos 2sin 2cos ππππ=2， 故选C. 3、直线4-=x y 与抛物线x y 22=所围成的图形面积是（ ） A 15 B 16 C 17 D 18 解析：直线4-=x y 与抛物线x y 22=的交点为()().4,8,2,2-结合图像可知面积 ()()[]1812303 1213021248221 4 2 3242=-=?-=---?+= --?y dy y s .此题选取y 为积分变量较容易. 选D. 4.以初速度40m/s 素质向上抛一物体，ts 时刻的速度 21040t v -= ，则此物体达到最高时的高度为（ ） A . m 3160 B. m 380 C. m 340 D. m 320 解析：由 2 1040t v -==0，得物体达到最高时 t =2.高度 () ()m t t dt t h 3160310401040203202= ??? ? ? -=-=? 5.一物体在力()5232+-=x x x F （力单位：N ，位移单位:m ）作用下沿与()x F 相同的方向由m x 5=直线运动到 m x 10=处作的功是（ ）
年 级 高二 学科 数学 内容标题 定积分的计算 编稿老师 马利军 一、教学目标： 1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：? b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分? b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ） 与x=a ，x=b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下. ? b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、 函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=? ，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=? ，在图（3）中：dx )x (f b a ? 表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于? b a dx x f )(，仅 当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于 ? b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）?? =b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3） ?? ?+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ，b ］上，? ≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则
1.曲边梯形的面积 设在区间*I上：；--L ,则由直线工’=■<、応匚、V 1及曲线■V °/W所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间-八「中任意插入若干个分点将宀…-分成n个小区间 兀5 5 <…，小区间的长度&广呜一為」（T三12… 在每个小区间- ：-一I〕上任取一点-■■作乘积 求和取极限：则面积取极限
J=1 其中；'1 ； J L厂V '…，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度| I「是上*的连续函数，且1■求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在「〔[内插入若干分点■- _ "将其分成 n 个小区间「—，小区间长度■- _■'.-1, ■1丄。任取? _ _ 做 求和取极限：则路程一取极限 将分成n个小区间-，其长度为2 - —，在每个小区间 上任取一点「:，作乘积■- ' ■'，并求和 r ， 记1■r 1，如果不论对怎样分法，也不论小区间[:■ 上的 点「怎样取法，只要当「「I;时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数-—I在区间上的定积分，记作J '，即 定义设函数」?、在L?二上有界，在-亠二中任意插入若干个分点
其中叫被积函数，一’，八叫被积表达式，'‘叫积分变量，二叫积分下限, 「叫积分上限，-’」叫积分区间。■叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称-’’」在区间-仁丄可积，下面两类函数在区间 上…-可积，（1）」在区间-LL■- - 上连续，则■' J'-在可积。（2）-’八在区间-‘丄-上有界且只有有限个间断点，则在--"-■ 上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所 3.
一、教学目标：1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题. 2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析 1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：?b a dx x f )( 2. 定积分的几何意义： （1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分?b a dx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x= b 及x 轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.?b a dx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x= b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号. 在图（1）中：0s dx )x (f b a >=?，在图（2）中：0s dx )x (f b a <=?，在图（3）中：dx )x (f b a ?表示 函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和. 注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于?b a dx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于?b a dx x f )(. 3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）???±=±b a b a b a dx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [ （2）??=b a b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数） （3）???+=b c b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( （4）若在区间［a ， b ］上，?≥≥b a dx x f x f 0)(,0)(则 推论：（1）若在区间［a ，b ］上，??≤≤b a b a dx x g dx x f x g x f )()(),()(则 （2）??≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| （3）若f （x ）是偶函数，则??=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=?-a a dx x f 4. 微积分基本定理： 一般地，若)()()(],[)(),()('a F b F dx x f b a x f x f x F b a -==?上可积，则在且 注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据
数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如
高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程：
规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。
定积分的计算 班级 姓名 一、利用几何意义求下列定积分 （1）dx x ? 1 1 -2-1 (2)dx x ? 2 2-4 （3） dx x ? 2 2-2x （4） ()dx x x ? -2 4 二、定积分计算 （1）()dx ?1 7-2x （2）( ) d x ?+2 1 x 2x 32 （3）dx ?3 1 x 3 （4）dx x ?π π - sin （5）dx x ?e 1 ln （6）dx ? +1 x 112 （7）() dx x x ?+-10 2 32 （8）()dx 2 31 1-x ? （9）dx ?+1 1 -2x x 2）（ （10）( ) d x x ?+21 2x 1x （11）() dx x x ?-+1 1 -352x （12）() dx e e x x ?+ln2 x -e （13）dx x ?+π π --cosx sin ） （ （14）dx ? e 1 x 2 （15）dx x ?2 1 -x sin -2e ）（ （16）dx ?++2 1-3x 1 x x 2 （17）dx ? 2 1x 13 （18）()dx 2 2 -1x ?+
三、定积分求面积、体积 1求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积。 2．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1 3 x 所围成图形的面积． 3．求由曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积 4.如图求由两条曲线y ＝－x 2 ，y ＝－14 x 2 及直线y ＝－1所围成的图形的面积． 5、求函数f(x)＝???? ? x ＋1 (－1≤x<0)cosx (0≤x ≤π 2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积。 6．将由曲线y ＝x 2，y ＝x 3所 围成平面图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 7．将由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积。 8.由曲线y ＝x 与直线x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形绕x 周旋转一周，求所得旋转体的体积
定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a 定积分训练题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．将和式的极限)0(.......321lim 1 >+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 （ ） A ．dx x ?101 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n x p ?10)( 2．下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ．dx x ?+10 )1( C ．dx ? 1 01 D ．dx ?1 021 3．dx x |4|1 02 ? -= （ ） A ． 321 B ．322 C ．3 23 D ．325 4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ） A ．320gt B ．2 0gt C ．2 2 0gt D ．6 2 0gt 5．曲线]2 3 ,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ） A ．4 B ．2 C ．2 5 D ．3 6．dx e e x x ? -+1 )(= （ ） A ．e e 1 + B ．2e C ． e 2 D ．e e 1- 7．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ） A ．［0，2e ］ B ．［0，2］ C ．［1，2］ D ．［0，1］ 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （ ） A ．()[]dy y y ?--1 1 B ． ()[]dx x x ?-+-210 1 C ． ()[]dy y y ?--210 1 D ．()[]dx x x ? +--10 1 9．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 （ ） A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.28 10．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米， 则该正方形薄片所受液压力为 （ ） A ．? 3 2 dx x ρ B ． ()?+2 1 2dx x ρ C ．? 1 dx x ρ D ． ()?+3 2 1dx x ρ 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．将和式)21 .........2111( lim n n n n +++++∞ →表示为定积分 ． 12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ． 13．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ． 1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴ b a xdx ? （a b <）； 【解】第一步：分割 在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b a x k n -=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b a a k a k n n --+-+， （1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b a n -?=， 取每个小区间的右端点k b a x a k n -=+， （1,2,,k n =）， 第二步：求和 对于函数()f x x =，构造和式 1 ()n n k k k S f x ==??∑1 n k k k x ==??∑1 ()n k b a b a a k n n =--=+ ?∑ 1()n k b a b a a k n n =--=+∑1 ()n k b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1) []2 b a b a n n na n n ---=+? ^ 1()[(1)]2b a b a a n -=-+ ?-1 ()()22b a b a b a a n --=-+-? 1 ()()22b a b a b a n +-=--? 第三步：取极限 令n →∞求极限 1 lim lim ()n n k k n n k S f x →∞ →∞ ==??∑1 lim()( )22n b a b a b a n →∞ +-=--? ()(0)22 b a b a b a +-=--?()2b a b a +=-222b a -=， 即得 b a xdx ? 22 2 b a -=。 高中数学定积分知识点Newly compiled on November 23, 2020 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 5、常见的函数导数 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表 f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大格，检查/() 值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求) f在[]b a,上的最大值与最小值的步骤如下： (x a,上的极值； ⑴求) (x f在[]b ⑵将) f a f b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小 f的各极值与(),() (x 值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤（“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 第一节 定积分的概念与性质 一、选择题 1. A ； 2. C . 二、填空题 1. （1）1; （2）0; （3）4 π. 2. （1）1 2 x dx ? > 1 30 x dx ? ， （2）2 1ln xdx ? > () 2 2 1ln x dx ?， （3） 20 xdx π ? < 20 sin xdx π ? ， （4）4 3 ln xdx ? < () 4 2 3ln x dx ?. 三、 解 由于()3f x x =在[]0,1上连续，故积分2 21 x dx -? 是存在的，且它与分法无关，同 时也与点的取法无关. 将区间[]0,1n 等分，得1 i x n = ，取() 1,2,, i i i n n ξ== 作和 ()2 3 2 1 1 13 344 0001114 n n n n i i i i i n n i S x i n n n n ξ---===+??==== ???∑∑∑ 于是 1 lim 4n n S →∞= 即 13 014 x dx =?. 四、 细棒的质量()0 l x dx ρ?. 五、 1 13 x e dx -+? 311 x e dx +-=-?. 设()()1 1,0x x f x e f x e ++'==>，所以()f x 在[]1,3-内单调增加， 从而 ()()()13f f x f -≤≤，即1 41x e e +≤≤. 于是 3 141 44x e dx e +-≤≤? 从而 1 4 13 44x e e dx -+-≤ ≤-? . 六、 设()()2 21,41f x x x f x x '=-+=-，令()0,f x '=得驻点1 4 x = . ()17101,,1482f f f ???? === ? ????? .所以 min ()f x =1, max ()f x =78. 1≤≤ 由定积分性质，得 1 2012≤≤ ?. 三、教学过程 1、复习： 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为 2 1 ()T T v t dt ? 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2 1 ()T T v t dt ? =12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算 ()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? 证明：因为()x Φ= ()x a f t dt ? 与()F x 都是()f x 的原函数，故 ()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。 令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ= ()a a f t dt ? =0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a f t dt ? 令x b =，有 ()()()b a f x dx F b F a =-? 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求 定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 [学习目标] 1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题. 知识点一 定积分在求几何图形面积方面的应用 1.求由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )及y ＝0所围成的平面图形的面积S . (1)如图①，f (x )＞0，??a b f (x )d x ＞0，所以S ＝??a b f (x )d x . (2)如图②，f (x )＜0，??a b f (x )d x ＜0，所以S ＝??????a b f (x )d x ＝－??a b f (x )d x . (3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )≤0，??a c f (x )d x ＜0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≥0，??a b f (x )d x ＞0.所以 S ＝???? ? ?a c f (x )d x ＋??c b f (x )d x ＝－??a c f (x ) d x ＋? ?c b f (x )d x . 2.求由两条曲线f (x )和g (x )(f (x )＞g (x ))，直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )所围成平面图形的面积S . (1)如图④，当f (x )＞g (x )≥0时，S ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . (2)如图⑤，当f (x )＞0，g (x )＜0时，S ＝? ?a b f (x )d x ＋??????a b g (x )d x ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . 3.当g (x )＜f (x )≤0时，同理得S ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . 思考 (1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ (2)当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？ 答案 (1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可. (2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以 S ＝??a b (0－f (x ))d x ＝－??a b f (x )d x . 4.利用定积分求平面图形面积的步骤： (1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)写出平面图形面积的定积分表达式； (5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案. 知识点二 定积分在物理中的应用 1.在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积?(1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量? 数学选修2-2导数及其应用（定积分）知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 第五章定积分 一、基本要求： 1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质. 2.理解积分上限的函数，并掌握其求导法则. 3.掌握牛顿——莱布尼兹公式. 4.掌握定积分的换元法和分布积分法. 5.理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法. 6.了解定积分的近似计算方法. 二、主要内容 Ⅰ. 定积分概念： 1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2, ,)i i x x i n -=，小 区间的长度记为1,(1,2, ,)i i i x x x i n -?=-=，在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1 ()n i i i f x ξ=?∑， 若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=??∑ 1(max{})i i n x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分. 记为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==??∑? 当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。 3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分 ()b a f x dx ? 在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面 积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负) Ⅲ. 定积分的性质 1. 补充规定：(1)当a b =时， ()0b a f x dx =? (2)当a b >时, ()()b a a b f x dx f x dx =-?? 2. 性质： (1) [()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx - -+=+? ?? (2) ()(),()b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 (3) ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? (4) b a dx b a =-? (5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则 ()0,()b a f x dx a b ≥
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