单箱多室闭口薄壁截面杆的应力分析
作者：刘盛文， 夏国权， 吕含冰
作者单位：浙江交通工程建设集团 杭州 310003
本文链接：https://www.doczj.com/doc/f77085170.html,/Conference_6526368.aspx
下载时间：2009年11月12日
浅谈数学在建筑薄壁杆件中的应用 关健华刘陈平 （湖南科技工业职业技术学院湖南湘潭 411207） 摘要：数学作为一门应用广泛的学科，在建筑专业中具有及其重要的作用，本文以薄壁杆件为例，探讨应用微积分研究薄壁杆件的扭转和变形。 关键词：微积分；开口截面杆；闭口截面杆；切应力 On mathematics in the building of the application of the thin-walled bar Guan Jianhua Liu Chenping （Hunan science and technology Career Technical College Hunan Xiangtan 411207） Abstract：Mathematics as a widely used discipline, in building professional with and its important role, this paper thin walled bar as an example, this paper discusses the application of differential and integral calculus study thin walled bar torsion and deformation. Key words：Calculus；Open cross section bar；Closed section bar；Shear stress 随着材料强度的不断提高，结构构件的壁厚日益减薄。因此，薄壁杆件弯曲和扭转的研究，在工程结构设计中变得越来越重要。特别是扭转问题，一直是我们工程设计人员比较头痛、敏感的问题。在实际中，我们很多建筑物、组成建筑物的构件都是在弯剪扭多重应力的反复作用下工作。给我们人民的生命财产带来了很大的影响。扭转问题尤为突出，同时使我们的建筑成本提高了很多。 下面笔者就一些薄壁杆件的扭转问题运用数学和力学原理，做一些简单的研究和总结。 薄壁杆件是指杆件的长度，截面的轮廓尺寸和截面的厚度三者是不同级的量。杆件的长度l与截面的宽度a或高度h之比看作：l/b和l/h≥10，就可以认为是薄壁杆件。 在土建工程中，常设计一些开口薄壁截面的构件，如各种轧制型钢、T型截面、Z字型截面，这些开口的薄壁型构件在外力作用下常会发生扭曲变形，为了更合理地充分发挥材料的性能，就要研究它的应力和变形。我们运用数学中微积分知识来分析薄壁杆件在自由扭转时应力和变形的计算。
实验四 薄壁圆筒在弯扭组合变形下主应力测定 实验内容： 构件在弯扭组合作用下，根据强度理论，其强度条件是[]r σσ≤。计算当量应力r σ，首先要确定主应力，而主应力的方向是未知的，所以不能直接测量主应力。通过测定三个不同方向的应变，计算主应变，最后计算出主应力的大小和方向。本实验测定应变的三个方向分别是-45°、0°和45°。 实验目的与要求： 1、用电法测定平面应力状态下一点的主应力的大小和方向 2、进一步熟悉电阻应变仪的使用，学会1/4桥法测应变的实验方法 设计思路： 为了测量圆管的应力大小和方向，在圆管某一截面的管顶B 点、管底D 点各粘贴一个45°应变花，测得圆管顶B 点的-45°、0°和45°三个方向的线应变45ε-o 、 0εo 、45εo 。 应变花的粘贴示意图 实验装置示意图 关键技术分析： 由材料力学公式： 得 从以上三式解得 主应变
根据广义胡克定律1、实验得主应力 大小______ ___ _________ 12 2 4545 450450 2 ()2 ()() 2(1)2(1) E E σεε εεεε σμμ - - + ? =±-+- ? -+ ? o o o o o o 实 实 方向 _______________ 0454504545 2()/(2) tgαεεεεε -- =+-- o o o o o 实 2、理论计算主应力 3、误差 实验过程 1.测量试件尺寸、力臂长度和测点距力臂的距离，确定试件有关参数。附表1 2.拟定加载方案。先选取适当的初载荷P0(一般取P o=lO％P max左右)。估算P max(该实验载荷范围P max<400N)，分4～6级加载。 3．根据加载方案，调整好实验加载装置。 4．加载。均匀缓慢加载至初载荷P o，记下各点应变的初始读数；然后分级等增量加载，每增加一级载荷，依次记录各点电阻应变片的应变值，直到最终载荷。实验至少重复两次。 5．作完试验后，卸掉载荷，关闭电源，整理好所用仪器设备，清理实验现场，将所用仪器设备复原，实验资料交指导教师检查签字。 6.实验装置中，圆筒的管壁很薄，为避免损坏装置，注意切勿超载，不能用力扳动圆筒的自由端和力臂。
第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析 4－1 扭转切应力公式p /)(I M x ρρτ=的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。 （A ）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B ）等截面圆轴； （C ）等截面圆轴与椭圆轴； （D ）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 正确答案是 A 。 解：p )(I M x ρρτ=在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。 4－2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为max 1τ和max 2τ，切变模量分别为G 1和G 2。试判断下列结论的正确性。 （A ）max 1τ＞max 2τ； （B ）max 1τ＜max 2τ； （C ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＞max 2τ； （D ）若G 1＞G 2，则有max 1τ＜max 2τ。 正确答案是 C 。 解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即γγγ==21由剪切胡克定律γτG =知21G G >时，max 2max 1ττ>。 4－3 承受相同扭矩且长度相等的直径为d 1的实心圆轴与内、外径分别为d 2、)/(222D d D =α的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W 1/W 2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A ）234)1(α-； （B ）)1()1(2234αα--； （C ）)1)(1(24αα--； （D ）)1/()1(2324αα--。 正确答案是 D 。 解：由max 2max 1ττ=得 ) 1(π16π164 323 1 α-= D M d M x x 即 314 2 1)1(α-=D d （1） ) 1(2 2 22 1 2 12 1α-= = D d A A W W （2） （1）代入（2），得 23 2 42 11)1(α α--= W W 4-4 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G 1和G 2，且G 1 = 2G 2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。 正确答案是 C 。 解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等21γγ=，因212G G =，由剪切胡克定律得交界面上：212ττ=。 4-5 图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN ·m 。试求： 习题4-4图
梁弯曲时横截面上的正应力 在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b、 同时存在，故梁在这些段内c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力F Q 发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯 ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。曲。在其CD段内各段截面，只有弯矩M而无剪力F Q 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象： ⑴横向线m—m和n—n任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 ⑵纵向线a—a和b—b弯成了曲线，且a—a线缩短，而b—b线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵
向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b 中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c ）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必相等。 ⑶在图2-54b 所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。 ⑷横截面上的正应力沿y 轴呈线性分布，即ky =σ（k 为特定常数），如图2-55、图2-56所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。 由于距离中性层上、下的纵向纤维的线应变与到中性层的距离y 成正比，当其正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知 y E y E E ?=?=?=ρρεσ 2-24 对于指定的横截面，ρE 为常数（即为上述k 的值）看，由于此时梁轴线的曲率 半径ρ还是一个未知量，通过静力学平衡关系∑z F )(=0，可得
弹塑性力学及有限元法 题目：试分析图1薄壁圆筒在载荷作用下的应力和应变（载荷个数、大小、薄壁圆的参数自己选择）。 1.三维建模 3D 模型是对部件进行分析和改进的结果，模型建立的越精确，有限元分析中的网格划分也就越细致，那么得到的结果相应的也就更加的准确，考虑到薄壁圆筒的结构性，将其适当的简化，用SOLIDWORKS 建模（如图2）。 图2 薄壁圆筒三维模型 图1 薄壁圆筒受力分析 其中:外圆柱直径为100mm,高度为20mm,中间圆柱直径为70mm,高度为90mm,孔的直径为60mm,为通孔.
考虑到ANSYS 和SOLIDWORKS 有很多数据接口，例如IGES,PARA,以及SAT 等等，为了保证零件导入的完整性，选择另存为PARASOLID （*.x_t ）文件，在将其导入ANSYS 中的workbench 协同仿真环境中。 2.有限元分析 2.1定义单元的属性 1）定义材料属性：选择菜单Toolbox ：Static Structural(ANSYS)>Project Schematic>Engineer Data>Edit>View>Outline 在材料属性窗口Material 选择Structural Steel ，View>Properties 在弹出的对话框中设置Young's Modulus （弹性模量）为2E11，Poisson's Ratio （泊松比）为0.3，density （密度）为7850，单击OK 即可。 2）导入模型：选择菜单Static Structural(ANSYS)：Geometry>Import Geometry>Browse 将之前存入的PARASOLID （*.x_t ）文件导入环境中，并且选择单位为Millimeter(毫米)。 3）定义单元的类型：ANSYS 提供了190 多种不同的单元类型, 从普通的线单元、面单元、实体单元到特殊的接触单元、间隙单元和表面效应单元等。选择合适的单元类型是进行各类有限元分析的基础, 在满足计算精度的同时可以有效的简化单元划分的难度。实体单元类型也比较多, 实体单元也是实际工程中使用最多的单元类型。常用的实体单元类型有solid45, solid92, solid185, solid187 等几种。 4）在此, 选择单元类型为Solid185, 因为Solid185 单元是3 维8 节点实体, 该单元用来模拟3 维实体, 由8 个节点定义, 每个节点3 个自由度: X ,Y , Z 方向. 具有塑性, 超弹性应力, 超大许用应变, 大变形, 大应变能力(如图3）。选择菜单Static Structural(ANSYS)：Model>Geometry>Solid>Inset>Command 在右方出现的命令栏中输入et,matid, 185,回车确定。即选择单元类型为三维实体单元 Solid 185. 图3 SOLID185几何图形
课程分析 COURSE ANALYSIS 题目：薄壁容器受力分析 系别：机械工程系 专业：机械设计制造及自动化 学制：四年 姓名： 学号： 导师： 20 14 年6 月8 日
分析3：薄壁容器受力分析 姓名：班级：学号： 一、概述 此次分析的模型为一薄壁压力容器，其结构及尺寸如下图所示。（单位：mm） 该容器底部侧边完全约束，其所有外表面均承受MPa 1.0外压作用。已知材料的许用应力为MPa 200，泊松比为3.0。 140，弹性模量为GPa 试据此确定合适的壁厚。（选择的壁厚使得容器最大应力在~ Shell单元模拟）100之间均认为满足设计要求，可选用181 130 MPa 二、模型及约束情况 通过观察模型的结构及尺寸，先将模型尺寸化为国际单位。 1、模型创建 先创建一个m 1.0? ?的长方体，再在XY平面分别以长方 .0 m2.0 m 25 体在Y方向上的边的中点为圆心创建两个半径为m 2.0的 .0高度为m 125
圆柱体，并将三个体求和，删除体单元。再将模型上下两个面内的所有相交面求和。模型创建完毕，如下图所示。 2、材料定义 定义单元类型为181 Shell单元，并在实常数中先预定义壳体的厚度为m 200，泊松比为3.0。 .0。然后定义材料的弹性模量为GPa 004 3、网格划分 通过meshtool工具设置网格划分尺寸，并进行网格划分。划分结果如下图所示。
4、模型约束及载荷施加 按照要求将模型底部各边施加完全约束，将模型所有面施加1.0外压作用。结果如下图所示。 MPa 5、模型求解 完成上述步骤之后即可进行模型求解。
题目：试分析图1薄壁圆筒在载荷作用下的应力和应变（载荷个数、大小、薄壁圆的参数自己选择）。 1.三维建模 3D 模型是对部件进行分析和改进的结果，模型建立的越精确，有限元分析中的网格划分也就越细致，那么得到的结果相应的也就更加的准确，考虑到薄壁圆筒的结构性，将其适当的简化，用SOLIDWORKS 建模（如图2）。 图2 薄壁圆筒三维模型 考虑到ANSYS 和SOLIDWORKS 有很多数据接口，例如IGES,PARA,以及SAT 等等，为了保证零件导入的完整性，选择另存为PARASOLID （*.x_t ）文件，在将其导入ANSYS 中的workbench 协同仿真环境中。 2.有限元分析
2.1定义单元的属性 1）定义材料属性：选择菜单Toolbox：Static Structural(ANSYS)>Project Schematic>Engineer Data>Edit>View>Outline在材料属性窗口Material选择Structural Steel，View>Properties 在弹出的对话框中设置Young's Modulus（弹性模量）为2E11，Poisson's Ratio（泊松比）为0.3，density（密度）为7850，单击OK即可。 2）导入模型：选择菜单Static Structural(ANSYS)：Geometry>Import Geometry>Browse 将之前存入的PARASOLID（*.x_t）文件导入环境中，并且选择单位为Millimeter(毫米)。 3）定义单元的类型：ANSYS 提供了190 多种不同的单元类型, 从普通的线单元、面单元、实体单元到特殊的接触单元、间隙单元和表面效应单元等。选择合适的单元类型是进行各类有限元分析的基础, 在满足计算精度的同时可以有效的简化单元划分的难度。实体单元类型也比较多, 实体单元也是实际工程中使用最多的单元类型。常用的实体单元类型有solid45, solid92, solid185, solid187 等几种。 4）在此, 选择单元类型为Solid185, 因为Solid185 单元是3 维8 节点实体, 该单元用来模拟3 维实体, 由8 个节点定义, 每个节点3 个自由度: X ,Y, Z 方向. 具有塑性, 超弹性应力, 超大许用应变, 大变形, 大应变能力(如图3）。选择菜单Static Structural(ANSYS)：Model>Geometry>Solid>Inset>Command 在右方出现的命令栏中输入et,matid, 185,回车确定。即选择单元类型为三维实体单 元 Solid 185. 2.2 网格划分 有限元网格数目过少，容易产生畸变，并影响计算精度；而数目过大，不仅对提高精度作用不大，反而大大增加了计算工作量. 图3 SOLID185几何图形
一、横截面上的切应力 实心圆截面杆和非薄壁的空心圆截面杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截面上的切应力象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布 导出这类杆件横截面上切应力计算公式，关键就在于确定切应力在横截面上的变化规律。即横截面上距圆心τp任意一点处的切应力p与p的关系 为了解决这个问题，首先观察圆截面杆受扭时表面的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表面上的切应变γp，即γp与p的几何关系利用切应力与切应变之间的物理关系，再利用静力学关系求出横截面上任一点处切应力τp的计算公式 实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状均不变，而且在小变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变 图8-56 扭转时的平面假设：等直圆杆受扭时它的横截面如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截面上任一根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度φ 图8-57 现从等直圆杆中取出长为dx的一个微段，从几何、物理、静力学三个方面来具体分析圆杆受扭时的横截面上的应力
图8-58 1.几何方面 小变形条件下 dφ为dx长度内半径的转角，γ为单元体的角应变 图8-59 或 因为dφ和dx是一定的，故越靠近截面中心即半径R越小，角应变γ也越小且γ与R成正比例(或线性关系) 由平面假设：对同一截面上各点 θ表示扭转角沿轴长的变化率，称为单位扭转角，在同一截面上其为常数
所以截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离p成正比 p为圆截面上任一点到轴心距离，R为圆轴半径 图8-60 上式为切应力的变化规律 2.物理方面(材料在线性弹性范围内工作)由剪切胡克定律 由于G和为常数，所以 上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径p 的圆周上各点处大小相同，但它们随p做线性变化 同一横截面上的最大切应力在横截面的边缘处。这些切应力的方向均垂直于各自所对应的半径，指向与扭矩对应 3.静力学方面 前面已找出了受扭等直圆杆横截面上的切应力τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。所以一般情况下还不能计算τp的大小 现利用静力学关系求T
薄壁圆筒弯扭组合内力素测定 一、实验目的 1．测定薄壁园筒弯扭组合变形时指定截面上的弯矩、扭矩和剪力，并与理论值比较。 2．学习布片原则、应变成份分析和各种组桥方法。 二、设备和仪器（同§4） 三、试样 薄壁圆筒（见图7-1a ）左端固定，籍固定在圆筒右端的水平杆加载。在截面I-I 处粘贴有应变片m 、n 、a 、b 、c 、d 、e 和f ，在截面II-II 处粘贴有应变片g 和h ，其中应变片m 和n 粘贴于圆筒最高点和最低点，其方位均沿圆柱面母线。其余各应变片粘贴 的位置如图7-1a 和图7-1b 所示，它们的方位均与圆周线成45°或-45°角，展开图如图（7-1c ）所示。 圆筒用不锈钢1C r 18N i 9T i 制造，材料弹性模量202E Gpa =，泊松比0.28μ=，圆筒外径D=40mm ，内径d=36.40mm 。 四、实验原理 在进行内力素测定实验时，应变片布置采用如下原则：若欲测的内力引起单向应力状态，应变片沿应力方向粘贴；若欲测的内力引起平面应力状态，则应变片沿主应力方向粘贴。应变片粘贴的位置应选在测试截面上由欲测的内力所产生的最大应力处。 1．弯矩测定 为测定弯矩，可使用应变片m 和n 。此处弯曲正应力最大，而弯曲切应力为零，因此它们只能感受到弯矩产生的应变，且 g h a b c d m n e f (b ) g h a m b e c n d f 图12-1 (c ) 图7-1 图7-2
D 图7-4 ,m M n M εεεε==-（M ε为最大弯曲正应变的绝对值），将它们组成如图11-2所示之半桥， 据电桥的加减特性，则仪器读数为： ()M n m du εεεε2=--= 根据M ε就能计算出弯矩M 。 2．扭矩测定 为测定扭矩，有多种布片和组桥方案。现以一种方案为例来说明应变成份分析和组桥原理。 应变成份分析。在应变片a 处取单元体（因应变片a 处在圆筒背面，故用虚线表示），其应力状态如图（7-3）所示，其上有弯曲正应力aM σ、扭转切应力aT τ和弯曲切应力aQ τ，并可看作三部分的叠加。 aT aQ ττ-σ aQ aT 图7-3 aM σ和aT τ均使应变片a 产生拉应变，aQ τ使应变片a 产生压应变，于是可对应变片a 感受到的应变作如下分解： a aM aT aQ εεεε++- =++ （2a ） （上标+、- 分别表示是拉应变或压应变） 对应变片C 作类似分析，可得： c cM cT cQ εεεε-++ =++ （2b ） 由于a ，c 分处于圆筒直径的两端，距中性轴距离相同，故,aM cM aQ cQ εεεε==。 扭矩测定。注意到 aT cT T εεε==（T ε为扭转主应变的绝对值）。若如图11-4组桥（图中R t 为温度补偿片），则 2du a c aT cT T εεεεεε=+=+= 说明仪器读数是扭转主应变的两倍。由T ε就能计算出扭矩T 。 对应变片b 、d 作类似分析，可得同样结果。 消除圆筒内、外圆不同心的影响。如果薄壁圆筒内、外圆不同心，用这样的布片和组桥
利用ANSYS计算复杂薄壁杆件的截面特性 胡晓伦杨鸿波 同济大学桥梁工程系，上海 200092 [ 摘要 ] 利用有限元通用软件ANSYS中用户自定义截面的功能，计算薄壁杆件复杂截面的几何特性，文中给出了详细的实施步骤和技巧，并计算了开闭口、分离式和组合薄壁截面三种 典型情况，可供工程技术人员参考。 [ 关键词]薄壁杆件；几何特性；自定义截面；ANSYS Determining Geometrical Properties of Complex Thin-walled Beams with ANSYS Xiaolun HU Hongbo YANG Department of Bridge Engineering,Tongji University,Shanghai,200092 [ Abstract ] ANSYS can create custom cross sections with a user-defined mesh and multiple materials. It can determine the geometrical properties of complex thin-walled beams. This paper presents the detailed operations and skills, and calculates the geometrical proper [ Keyword ] thin-walled beam; geometrical properties; custom cross section; ANSYS 1前言 薄壁杆件在建筑、型钢、船体、桥梁等工程结构中应用极为广泛。对这些结构进行建模分析时,常将其简化为梁单元，需要计算其截面几何特性, 特别是扭转常数和翘曲 常数。对于一些简单的等壁厚截面，可以用公式直接求出。若壁厚不等，需要采用符拉 索夫开口截面薄壁杆件理论和乌曼斯基闭口截面薄壁杆件理论，逐段积分运算；若带有 U肋或是开闭口组合截面，需要按照乌曼斯基第二理论计算，首先求得主扇形极点和主 扇形面积，再得到其它截面常数，较为繁琐。文献[1]根据箱形薄壁梁约束扭转计算的 乌曼斯基第二理论，得出了梯形截面薄壁箱梁扭心位置的显式表达式，可考虑壁厚、形 状不同,但该表达式经过了简化，得到的是近似结果，且只适用于单箱室截面。文献[2] 根据势能驻值原理导出截面单元扇形坐标控制方程，采用有限元比拟的方法，建立了计
第三节扭转时横截面上的应力 一、应力分布规律 为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。 取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩m A、m B，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点： 1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变； 2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度γ，原来的矩形变成平行四边形。两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度?，叫做相对扭转角，见下图。观看动画，理解微元体的获得。
通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果： ★各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生； ★圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力； ★变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。 由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。 下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。 为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动d?，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角γ，而经过半径O2D上任意点H的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度γρ，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注意，上述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。设H点到轴线的距离为ρ，由于构件的变形通常很小，即 所以 (a) 由于截面O2DC象刚性平面一样地绕杆轴线转动，图上△O2HH'与△O2DD'相似，得 (b) 将式(b)代入(a)式得(1-40)
第三章杆件横截面上的应力应变分析 利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。 第一节应力、应变及其相互关系 一、正应力、剪应力 观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为： （3-1） 亦称为面积上的平均应力。一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。 (3-2) 式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。称为正应力，称为切应力。 在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。 二、正应变、切应变
杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。相对变形 (3-3) 表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为 (3-4) 式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。用完全相似的方法，还可讨论沿y和z方向的线应变。 弹性体的变形不但表现为线段长度的改变，而且正交线段的夹角也将发生变化，变形前MN 和ML正交，变形后变为∠LˊMˊNˊ，变形前后角度的变化是（π/2-∠LˊMˊNˊ）。当N和L趋于M点时，上述角度变化的极限值称为M点在xy平面内的切应变。 =(π/2-∠LˊMˊNˊ) (3-5) ε为无量纲量；的单位为rad（弧度），它们是度量一点处变形程度的两个基本量。构件是由无数的点组成的，各点处应变的累积将形成构件的变形。 三、虎克定律 由正应力、切应力、正应变与切应变的定义可以看出，与线应变ε相对应的应力是正应力σ，与切应变相对应的是切应力τ。试验表明，对于工程中常用材料制成的杆件，在弹性范围内加载时（应力小于某一极限值），若所取微元只承受单方向正应力或只承受切应力，则正应力与线应变以及切应力与切应变之间存在着线性关系： σ=Eε(3-6) τ=G(3-7)
# 梁弯曲时横截面上的正应力 在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b、 同时存在，故梁在这些段内c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力F Q 发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。在其CD段内各段截面，只有弯矩M而无剪力F ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。 Q 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象： ⑴横向线m—m和n—n任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 》 ⑵纵向线a—a和b—b弯成了曲线，且a—a线缩短，而b—b线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必
实验四-薄壁圆筒在弯扭组合变形下主应力测定
实验四 薄壁圆筒在弯扭组合变形下主应力测定 实验内容： 构件在弯扭组合作用下，根据强度理论，其强度条件是[]r σσ≤。计算当量应力r σ，首先要确定主应力，而主应力的方向是未知的，所以不能直接测量主应力。通过测定三个不同方向的应变，计算主应变，最后计算出主应力的大小和方向。本实验测定应变的三个方向分别是-45°、0°和45°。 实验目的与要求： 1、用电法测定平面应力状态下一点的主应力的大小和方向 2、进一步熟悉电阻应变仪的使用，学会1/4桥法测应变的实验方法 设计思路： 为了测量圆管的应力大小和方向，在圆管某一截面的管顶B 点、管底D 点各粘贴一个45°应变花，测得圆管顶B 点的-45°、0°和45°三个方向的线应变45ε-o 、 0εo 、45εo 。 应变花的粘贴示意图 实验装置示意图 关键技术分析： 由材料力学公式： 得 从以上三式解得 主应变
根据广义胡克定律 1、实验得主应力 大小 ______ ____________12 245454504502()2()()2(1)2(1) E E σεεεεεεσμμ--+?= ±-+-?-+?o o o o o o 实实 方向 _______________ 0454*******()/(2)tg αεεεεε--=+--o o o o o 实 2、理论计算主应力 3、误差 实验过程 1.测量试件尺寸、力臂长度和测点距力臂的距离，确定试件有关参数。附表1 2.拟定加载方案。先选取适当的初载荷P 0(一般取P o =lO ％P max 左右)。估算P max (该实验载荷范围P max <400N)，分4～6级加载。 3．根据加载方案，调整好实验加载装置。 4．加载。均匀缓慢加载至初载荷P o ，记下各点应变的初始读数；然后分级等增量加载，每增加一级载荷，依次记录各点电阻应变片的应变值，直到最终载荷。实验至少重复两次。 5．作完试验后，卸掉载荷，关闭电源，整理好所用仪器设备，清理实验现场，将所用仪器设备复原，实验资料交指导教师检查签字。 6.实验装置中，圆筒的管壁很薄，为避免损坏装置，注意切勿超载，不能用力扳动圆筒的自由端和力臂。
第三章内压薄壁容器的应力分析 本章重点：薄膜理论的应用 本章难点：薄膜理论 建议学时：4学时 第一节回转壳体的应力分析—薄膜应力理论 回忆薄壁容器的概念 一、薄壁容器及其应力特点 1、内压薄壁容器的结构与受力（参看图形） 2、内压薄壁容器的变形（拉伸变形） 3、内压薄壁容器的内力（周向应力，经向应力，边缘应力） 二、基本概念和基本假设 1、回转壳体中的基本的几何概念 （一）面 1、中间面：平分壳体厚度的曲面称为壳体的中间面，中间面与壳体内外表面等距 离，它代表了壳体的几何特性。 2、回转曲面：由平面直线或平面曲线绕其同平面内的回转轴回转一周所形成的曲 面。 3、回转壳体：由回转曲面作中间面形成的壳体称为回转壳体。 轴对称问题：几何形状，所受外力，约束条件 （二）线 1、母线：绕回转轴回转形成中间面的平面曲线。 2、经线：过回转轴的平面与中间面的交线。 3、法线：过中间面上的点且垂直于中间面的直线称为中间面在该点的法线。（法线 的延长线必与回转轴相交） 4、纬线：以法线为母线绕回转轴回转一周所形成的圆锥法截面与中间面的交线平 行圆：垂直于回转轴的平面与 5、中间面的交线称平行圆。显然，平行圆即纬线。 （三）半径 1、第一曲率半径：中间面上任一点M处经线的曲率半径为该点的“第一曲率半
径”R1，R1=MK1。 数学公式： ()232 1 1 y y R '' ' + = 2、第二曲率半径：通过经线上一点M的法线作垂直于经线的平面与中间面相割形 成的曲线MEF，此曲线在M点处的曲率半径称为该点的第二曲率半径R2。第 二曲率半径的中心落在回转轴上，其长度等于法线段MK2，即R2=MK2。 二、回转壳体的无力矩理论及两个基本方程式 （一）壳体理论的基本概念 壳体在外载荷作用下，要引起壳体的弯曲，这种变形由壳体内的弯曲和中间面上的拉或压应力共同承担，求出这些内力或内力矩的理论称为一般壳体理论或有力矩理论，比较复杂；但是，对于壳体很薄，壳体具有连续的几何曲面，所受外载荷连续，边界支承是自由的，壳体内的弯曲应力与中间面的拉或压应力相比，中到可以忽略不计，认为壳体的外载荷只是由中间面的应力来平衡，这种处理方法，称为薄膜理论或无力矩理论。 1．有力矩理论 2．无力矩理论（应用无力矩理论，要假定壳体完全弹性，材料具有连续性、均匀性各各向同性，此外，对于薄壁壳体，通常采用以下三点假设使问题简化） 1）小位移假设 2）直法线假设 3）不挤压假设 （二）回转壳体应力分析及基本方程式
安徽工程大学-薄壁圆筒有限元分析
题目：试分析图1薄壁圆筒在载荷作用下的应力和应变（载荷个数、大小、薄壁圆的参数自己选择）。 图1 薄壁圆筒受力分析 1.三维建模 3D模型是对部件进行分析和改进的结果，模型建立的越精确，有限元分析中的网格划分也就越细致，那么得到的结果相应的也就更加的准确，考虑到薄壁圆筒的结构性，将其适当的简化，用SOLIDWORKS建模（如图2）。
其中:外圆柱直径为 100mm,高度为20mm,中间 圆柱直径为70mm,高度为 90mm,孔的直径为66mm, 为通孔. 图2 薄壁圆筒三维模型 考虑到ANSYS和SOLIDWORKS有很多数据接口，例如IGES,PARA,以及SAT 等等，为了保证零件导入的完整性，选择另存为PARASOLID（*.x_t）文件， 在将其导入ANSYS中的workbench协同仿真环境中。 2.有限元分析 2.1定义单元的属性 1）定义材料属性：选择菜单Toolbox：Static Structural(ANSYS)>Project Schematic>Engineer Data>Edit>View>Outline在材料属性窗口Material选择Structural Steel，View>Properties 在弹出的对话框中设置Young's Modulus （弹性模量）为2E11，Poisson's Ratio（泊松比）为0.3，density（密度）为7850，单击OK即可。 2）导入模型：选择菜单Static Structural(ANSYS)：Geometry>Import Geometry>Browse 将之前存入的PARASOLID（*.x_t）文件导入环境中，并 且选择单位为Millimeter(毫米)。 3）定义单元的类型：ANSYS 提供了190 多种不同的单元类型, 从普通 的线单元、面单元、实体单元到特殊的接触单元、间隙单元和表面效应单元等。 选择合适的单元类型是进行各类有限元分析的基础, 在满足计算精度的同时 可以有效的简化单元划分的难度。实体单元类型也比较多, 实体单元也是实际 工程中使用最多的单元类型。常用的实体单元类型有solid45, solid92, solid185, solid187 等几种。 4）在此, 选择单元类型为Solid185, 因为Solid185 单元是3 维8 节点实 体, 该单元用来模拟3 维实体, 由8 个节点定义, 每个节点3 个自由度: X ,Y, Z 方向. 具有塑性, 超弹性应力, 超大许用应变, 大变形, 大应变能力(如图 3）。选择菜单Static Structural(ANSYS)：Model>Geometry>Solid>Inset>Command 在右方出现的命令栏中输入 et,matid, 185,回车确定。即选择单元类型为三维实体单元Solid 185.