2014-2015学年福建省南平市建瓯二中高一（上）第二次月考数
学试卷
一.选择题
1．函数y=ln（x+2）的定义域是（）
A．（﹣2，+∞） B． [﹣2，+∞） C．（2，+∞） D．（0，+∞）
2．如图所示，为一个平面图形的直观图，则它的实际形状为（）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
3．已知方程x3﹣x﹣1=0仅有一个正零点，则此零点所在的区间是（）
A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）
4．如图放置的几何体（由完全相同的立方体拼成），其正视图与俯视图完全一样的是（）
A． B． C． D．
5．函数y=（）x，x∈[﹣1，2）的值域是（）
A． [2，4） B．（，2] C． [﹣，） D．（，]
6．下列命题正确的是（）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
7．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则（）
A． a＜b＜c B． c＜a＜b C． c＜b＜a D． b＜c＜a
8．已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面四个命题错误的是（）
A． m⊥α，α⊥β?m∥β B． m⊥α，m⊥n?n∥α或n?α
C． m⊥α，n∥α?m⊥n D．α⊥β，m⊥β，m?α?m∥α．
9．函数f（x）=lg|x|的图象关于（）
A． x轴对称 B． y轴对称 C．原点对称 D． y=x对称
10．边长是2的正方体的外接球的表面积为（）
A． 12π B． 4π C． 6π D． 4π
11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABC1D1与平面ABCD所成二面角的大小为（）
A． 300 B． 450 C． 600 D． 900
12．函数f（x）=log a x在区间[1，2]上的最大值与最小值之差为1，则a=（）
A． 2 B． C． 2或 D． 4
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．若8x﹣1=4x，则x= ．
14．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系
是．
15．函数f（x）=在区间（﹣∞，1）内递增，则a的取值范围是．
16．如图是一个正方体纸盒的展开图，在原正方体纸盒中有下列结论：
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
其中，正确命题的序号是．
三、解答题（共74分，要求写出主要的证明、解答过程）
17．如图，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成．
（1）求此几何体的表面积；（2）求此几何体的体积．
18．计算：（1）﹣（﹣5.9）0+；
（2）log381+2lg5+lg4．
19．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2．
（1）求异面直线BC1与B1D1所成的角；
（2）求三棱锥A1﹣AB1D1的体积．
20．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，
（1）当a=1时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．
21．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点．
（1）求证：BD1∥平面ACE；
（2）求证：平面ACE⊥平面B1BDD1．
22．已知函数f（x）=2x﹣2﹣x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数．
2014-2015学年福建省南平市建瓯二中高一（上）第二次
月考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题
1．函数y=ln（x+2）的定义域是（）
A．（﹣2，+∞） B． [﹣2，+∞） C．（2，+∞） D．（0，+∞）
考点：对数函数的定义域．
专题：函数的性质及应用．
分析：由对数的真数大于0，可得x+2＞0，解之即可．
解答：解：由对数的真数大于0，可得x+2＞0，
解得x＞﹣2，故函数的定义域为（﹣2，+∞），
故选：A．
点评：本题考查函数的定义域，涉及对数函数，属基础题．
2．如图所示，为一个平面图形的直观图，则它的实际形状为（）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
考点：平面图形的直观图．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由直观图可知，AB，CD两条边与横轴平行且相等，边AD与纵轴平行，得到AB与AD 两条相邻的边之间是垂直关系，得到平面图形是一个矩形．
解答：解：根据直观图可知，AB，CD两条边与横轴平行且相等，
故四边形ABCD为平行四边形，
边AD与纵轴平行，
∴AB⊥AD，
∴平面图形ABCD是一个矩形，
故选：B．
点评：本题考查平面图形的直观图，本题是一个基础题．
3．已知方程x3﹣x﹣1=0仅有一个正零点，则此零点所在的区间是（）
A．（3，4） B．（2，3） C．（1，2） D．（0，1）
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据根的存在性定理进行判断．
解答：解：设f（x）=x3﹣x﹣1，因为f（1）=﹣1＜0，f（2）=8﹣2﹣1=5＞0，所以根据根的存在性定理可知，函数f（x）的零点所在的区间为（1，2）．
故选C．
点评：本题主要考查函数零点的判断和应用，利用根的存在性定理是解决本题的关键．比较基础．
4．如图放置的几何体（由完全相同的立方体拼成），其正视图与俯视图完全一样的是（）
A． B． C． D．
考点：简单空间图形的三视图．
专题：常规题型；空间位置关系与距离．
分析：由直观图到三视图注意视角，从而做三视图即可．
解答：解：A不同，正视图由三个正方形拼成，俯视图由两个正方形拼成；
B不同，正视图由三个正方形拼成，俯视图由两个正方形拼成；
C不同，正视图由两个正方形拼成，俯视图由三个正方形拼成；
D相同，都是由两个正方形拼成的矩形．
故选D．
点评：本题考查了三视图的作法，属于基础题．
5．（5分）（2014秋?建瓯市校级月考）函数y=（）x，x∈[﹣1，2）的值域是（）
A． [2，4） B．（，2] C． [﹣，） D．（，]
考点：指数函数的图像与性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据指数函数的单调性即可求出值域
解答：解：∵函数y=（）x为减函数，
当x=﹣1时，y=2，当x=2时，y=，
故函数的值域为（，2]，
故选：B
点评：本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题
6．下列命题正确的是（）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
考点：平面的基本性质及推论．
分析：根据公理2以及推论判断A、B、D，再根据空间四边形判断C．
解答：解：A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；
B、根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故B不对；
C、比如空间四边形则不是平面图形，故C不对；
D、两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面，由公理1知三条直线都在此平面内，故D正确．
故选D．
点评：本题主要考查了确定平面的依据，注意利用公理2的以及推论的作用和条件，可以利用符合题意的几何体来判断，考查了空间想象能力．
7．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则（）
A． a＜b＜c B． c＜a＜b C． c＜b＜a D． b＜c＜a
考点：对数值大小的比较．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．
解答：解：∵a=20.5＞20=1，0＜b=log32＜log33=1，c=log20.1＜log21=0．
∴c＜b＜a．
故选：C．
点评：本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．
8．已知两条直线m，n，两个平面α，β，下面四个命题错误的是（）
A． m⊥α，α⊥β?m∥β B． m⊥α，m⊥n?n∥α或n?α
C． m⊥α，n∥α?m⊥n D．α⊥β，m⊥β，m?α?m∥α．
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．
解答：解：m⊥α，α⊥β?m∥β或m?β，故A错误；
m⊥α，m⊥n?n∥α或n?α，由直线与平面平行的判定定理得B正确；
m⊥α，n∥α?m⊥n，由直线与平行垂直的性质得C正确；
α⊥β，m⊥β，m?α?m∥α，由直线与平面平行的判定定理得D正确．
故选：A．
点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．
9．函数f（x）=lg|x|的图象关于（）
A． x轴对称 B． y轴对称 C．原点对称 D． y=x对称
考点：对数函数的图像与性质；函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：先判断函数为偶函数，继而得到图象关于y轴对称
解答：解：∵函数f（x）=lg|x|的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）
又∵f（﹣x）=lg|﹣x|=lg|x|=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，
即图象关于y轴对称，
故选：B
点评：本题考查了绝对值函数的图象和性质，以及函数的奇偶性，属于基础题
10．边长是2的正方体的外接球的表面积为（）
A． 12π B． 4π C． 6π D． 4π
考点：球的体积和表面积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据正方体与其外接球之间的关系，想办法求出外接球的半径即可．
解答：解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，故
，故R=．
所以S=．
故选A
点评：本题考查了正方体的外接球问题，一般的会考虑正方体的棱长、体对角线等与其外接球、内切球的半径间的关系解决问题．
11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABC1D1与平面ABCD所成二面角的大小为（）
A． 300 B． 450 C． 600 D． 900
考点：二面角的平面角及求法．
专题：空间角．
分析：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D1A⊥AB，DA⊥AB，从而∠D1AD是平面ABC1D1与平面ABCD 所成二面角的平面角，由此能求出平面ABC1D1与平面ABCD所成二面角的大小．
解答：解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵AB⊥平面ADD1A1，D1A?平面ADD1A1，DA?平面ADD1A1，
∴D1A⊥AB，DA⊥AB，
∴∠D1AD是平面ABC1D1与平面ABCD所成二面角的平面角，
∵AD=DD1，AD⊥DD1，
∴∠D1AD=45°，
∴平面ABC1D1与平面ABCD所成二面角的大小为45°．
故选：B．
点评：本题考查二面角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
12．函数f（x）=log a x在区间[1，2]上的最大值与最小值之差为1，则a=（）
A． 2 B． C． 2或 D． 4
考点：对数函数的图像与性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用对数函数的单调性以及分类讨论即可得到结论．
解答：解：当0＜a＜1时，f（x）=log a x在[1，2]上单调递减
故函数的最大值为f（1），最小值为f（2）
则f（1）﹣f（2）=log a1﹣log a2=1，解得a=，
当a＞1时，f（x）=log a x在[1，2]上单调递增
故函数的最大值为f（2），最小值为f（1）
则f（2）﹣f（1）=log a2﹣log a1=log a2=1，解得a=2
故选：C
点评：本题主要考查对数函数单调性的应用，注意要对a进行分类讨论．在处理指数函数和对数函数问题时，若对数未知，一般情况下要对底数进行分类讨论，分为0＜a＜1，a＞1两种情况，然后在每种情况对问题进行解答，然后再将结论综合，得到最终的结果．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．若8x﹣1=4x，则x= 3 ．
考点：有理数指数幂的化简求值．
专题：函数的性质及应用．
分析：直接由有理数指数幂的运算性质化简求值．
解答：解：若8x﹣1=4x，
即23（x﹣1）=22x，
则3（x﹣1）=2x，
解得x=3．
故答案为：3．
点评：本题考查了有理数指数幂的化简求值，是基础题．
14．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4（x）=2x．
考点：函数的最值及其几何意义．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据题意，本题实际考查各类函数的增长模型，通过对四类函数分析，指数函数增长最快，选出选项．
解答：解：根据题意，最终跑在最前面的人一为函数值最大的函数，
通过分析各种类型函数的增长f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x中，f4
（x）=2x增长最快，如图
故答案为：f4（x）=2x．
点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，通过对二次函数，一次函数，对数函数，指数函数的分析选出选项，属于基础题．
15．函数f（x）=在区间（﹣∞，1）内递增，则a的取值范围是[1，+∞）．
考点：指数型复合函数的性质及应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意可得可得函数y=﹣x2+2ax 在区间（﹣∞，1）内递增，再利用二次函数的性质求得a的范围．
解答：解：由函数f（x）=在区间（﹣∞，1）内递增，可得函数y=﹣x2+2ax 在
区间（﹣∞，1）内递增，
故有a≥1，
故答案为：[1，+∞）．
点评：本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
16．如图是一个正方体纸盒的展开图，在原正方体纸盒中有下列结论：
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
其中，正确命题的序号是③④．
考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：证明题．
分析：先利用正方体纸盒的展开图，画出它的直观图，特别注意特殊点的位置，再在正方体中证明线线位置关系以及求异面直线所成的角即可
解答：解：如图为正方体纸盒的直观图：
由图可知：BM与ED异面且垂直，①错误；
CN与BE平行，②错误；
异面直线CN与BM所成的角即∠EBM，由于△EBM为等边三角形，故∠EBM=60°，③正确；因为DM⊥NC，DM⊥BC，NC∩BC=C，所以DM⊥平面NCB，所以DM⊥BN，④正确
故答案为③④
点评：本题考查了空间几何体的展开图与直观图间的关系，空间的线线位置关系及其证明，异面直线所成的角及其求法，将平面图准确的转化为直观图是解决本题的关键
三、解答题（共74分，要求写出主要的证明、解答过程）
17．如图，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边长为2的等边三角形和一个长为2宽为1的矩形组成．
（1）求此几何体的表面积；（2）求此几何体的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由几何体的三视图知：该几何体是一个侧棱长为2，底面直径为2的圆锥和高为1直径为2的圆柱的组合体，由此能求出此几何体的表面积和体积．
解答：解：（1）由几何体的三视图知：
该几何体是一个侧棱长为2，底面直径为2的圆锥和高为1直径为2的圆柱的组合体，
∴此几何体的表面积S=2π×1+2π=4π．
（2）此几何体的体积：
V=π×1+=（+1）π．
点评：本题考查几何体的表面积和体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．
18．计算：（1）﹣（﹣5.9）0+；
（2）log381+2lg5+lg4．
考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）利用指数的性质和运算法则求解．
（2）利用对数的性质和运算法则求解．
解答：解：（1）﹣（﹣5.9）0+
==1．
（2）log381+2lg5+lg4
=4+lg（25×4）
=4+2
=6．
点评：本题考查对数式和指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意运算法则的合理运用．
19．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2．
（1）求异面直线BC1与B1D1所成的角；
（2）求三棱锥A1﹣AB1D1的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）连结BD，DC1，由BD∥B1D1，得∠DBC1是异面直线BC1与B1D1所成的角，由此能求出异面直线BC1与B1D1所成的角．
（2）由=，利用等积法能求出三棱锥A 1﹣AB1D1的体积．
解答：解：（1）连结BD，DC1，
∵BD∥B1D1，∴∠DBC1是异面直线BC1与B1D1所成的角，
∵BD=BC1=DC1，
∴∠DBC1=60°，
∴异面直线BC1与B1D1所成的角为60°．
（2）∵AA1⊥平面A1B1D1，且AA1=2，
==2，
∴=
===．
点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]，
（1）当a=1时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数．
考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．
专题：常规题型；计算题．
分析：（1）先求出二次函数的对称轴，结合开口方向可知再对称轴处取最小值，在离对称轴较远的端点处取最大值；
（2）要使y=f（x）在区间[﹣5，5]上是单调函数，只需当区间[﹣5，5]在对称轴的一侧时，即满足条件．
解答：解：（1）f（x）=x2+2ax+2=（x+a）2+2﹣a2，
其对称轴为x=﹣a，当a=1时，f（x）=x2+2x+2，
所以当x=﹣1时，f（x）min=f（﹣1）=1﹣2+2=1；
当x=5时，即当a=1时，f（x）的最大值是37，最小值是1．（6分）
（2）当区间[﹣5，5]在对称轴的一侧时，
函数y=f（x）是单调函数．所以﹣a≤﹣5或﹣a≥5，
即a≥5或a≤﹣5，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）时，
函数在区间[﹣5，5]上为单调函数．（12分）
点评：本题主要考查了利用二次函数的性质求二次函数的最值，以及单调性的运用等有关基础知识，同时考查分析问题的能力．
21．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点．
（1）求证：BD1∥平面ACE；
（2）求证：平面ACE⊥平面B1BDD1．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：计算题．
分析：（1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得EO∥BD1，从而证明直线BD1∥平面ACE．
（2）证明AC⊥BD，DD1⊥AC，可证AC⊥面BDD1B1，进而证得平面ACE⊥平面BDD1B1 ．
解答：证明：（1）设AC和BD交于点O，连EO，
因为E，O分别是DD1，BD的中点，
所以EO∥BD1，
因为EO?平面PAC，BD?平面PAC，
所以直线BD1∥平面ACE．
（2）由题意可得：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD，
所以底面ABCD是正方形，
所以AC⊥BD．
又因为DD1⊥面ABCD，
所以DD1⊥AC．
∵BD?平面BDD1B1，D1D?平面BDD1B1，BD∩D1D=D，
∴AC⊥面BDD1B1．
∵AC?平面ACE，
∴平面ACE⊥平面BDD1B1 ．
点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点．
22．已知函数f（x）=2x﹣2﹣x．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）证明：函数f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数．
考点：指数函数综合题．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）首先明确函数的定义域为R，然后利用奇偶函数的定义判断．
（2）根据增函数的定义进行证明．
解答：解：（1）函数f（x）的定义域是R，
因为f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），
所以函数f（x）=2x﹣2﹣x是奇函数；
（2）设x1＜x2，
则f（x1）=2﹣2，f（x2）=2﹣2，
∴f（x1）﹣f（x2）=2﹣2﹣（2﹣2）
=，
∵x1＜x2，
∴，1+＞0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性，直接利用定义解决即可．