华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2016~2017学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 年级专业
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．函数1ln
1x
y x
-=+的定义域是 。 2．设arcsin y =dy = 。 3．lim(
)x
x x a x a
→∞
+=- 。 4．不定积分21
x
x
e e dx +?= 。 5．反常积分1
1
(1)
dx x x +∞
+?
= 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．设1sin ,0()1sin ,0
x x
f x x x x ?>??=??
，那么0lim ()x f x →不存在的原因是 （ ）
A ．(0)f 无定义
B ．0
lim
()x f x -
→不存在 C ．0
lim ()x f x +→
不存在 D ．0
lim ()x f x -→和0
lim ()x f x +
→都存在但不相等 2．设偶函数()f x 二阶可导，且''(0)0f >，那么0x = （ ）
A ．不是()f x 的驻点
B ．是()f x 的不可导点
C ．是()f x 的极小值点
D ．是()f x 的极大值点
3．设20
2()sin x x t dt Φ=?，则'()x Φ= （ ）
A ．42sin x x -
B ．22sin x x
C ．22sin x x -
D ．42sin x x
4．下列函数中不是函数sin 2x 的原函数的有 （ ）
A ．2sin x
B ．2cos x -
C ．1sin 22x
D ．1
cos 22
x -
5．求由曲线xy a =与直线x a =，2x a =（0a >）及0y =所围成的图形绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积。 （ ）
A ．12a π
B ．a π
C ．21
2
a π D ．22a π
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
1. 求极限 2
0cos(sin )1
3lim
x x x →-。
2. 设2,1
(),1x x f x ax b x ?≤=?+>?
，试确定a ，b 的值，使得()f x 在1x =可导。
3. 设参数方程(sin )(1cos )
x a t t y a t =-??=-?确定y 是x 的函数，求dy dx 和22d y
dx 。
4．计算不定积分2(ln )x dx ?。
5．设方程sin()y e x y =+确定隐函数()y y x =并满足()02
y π
=，求2
'
x y π=
。
6．设曲线322y ax bx cx =+++在1x =处有极小值0，且(0,2)为拐点，求,,a b c 的值。
7．计算定积分1
-?。
四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
1．证明不等式：当1x >时，2(1)2
x e
e x >+。
2．一抛物线的轴平行于x 轴，开口向左且通过原点与点(2,1),求当它与y 轴所围的面积最小时的方程。
3. 已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)可导，且(0)0f =，(1)1f =。证明：（1）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=-；（2）存在两个不同的点η，(0,1)ζ∈，使得
()()1f f ηζ''=。
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2016~2017学年第1 学期 考试科目：高等数学A Ⅰ参考答案 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．[1,1]- 2
．
3．2a e 4．arctan x e C + 5．ln 2
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．C 2．C 3．A 4．C 5．D
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）
1. 求极限
20cos(sin )1
3lim
x x x →-。
解：20cos(sin )13lim x x x →-0sin(sin )cos 6lim x x x
x
→-=．．．．．．．．．．．．．．．．2分 001sin(sin )sin =cos []6sin lim lim x x x x
x x x →→-??．
．．．．．．．．．．．．．．5分 1=6-．．．．．．．．．．．．．．．．7分
2. 设2,1
(),1x x f x ax b x ?≤=?+>?，试确定a ，b 的值，使得()f x 在1x =可导。
解：因为
211()1lim lim x x f x x -
-
→→==．
．．．．．．．．．．．．．．．1分 11()()lim lim x x f x ax b a b +
+
→→=+=+．
．．．．．．．．．．．．．．．2分 而(1)1f =，因为()f x 在1x =处连续，所以1
1
()()(1)lim lim x x f x f x f +-
→→==，故 1a b +=．
．．．．．．．．．．．．．．．3分 2'
00(1)(1)(1)1
(1)lim lim 2x x f x f x f x x
---
→→+-+-===．．．．．．．．．．．．．．．．4.5分
'0
0(1)(1)(1)1
(0)lim lim x x f x f a x b f a x x
+
+
+→→+-++-===．．．．．．．．．．．．．．．．6分 因为()f x 在1x =处可导，所以''(1)(1)f f -+=，从而2a =，所以 1b =-．
．．．．．．．．．．．．．．．7分
3. 设参数方程(sin )(1cos )
x a t t y a t =-??=-?确定y 是x 的函数，求dy dx 和22d y
dx 。
1.5CM
解：
sin sin cot (1cos )1cos 2
dy a t t t dx a t t ===--．．．．．．．．．．．．．．．．3分 2
2(cot )'
2[(sin )]'
t
d y dx a t t =-．．．．．．．．．．．．．．．．5分 2
1csc 2
2(1cos )
t a t -=-
41csc 42
t a =-
．．．．．．．．．．．．．．．．7分 4．计算不定积分2(ln )x dx ?。
解：222
(ln )(ln )(ln )x dx x x xd x =-??
．．．．．．．．．．．．．．．．2分
2(ln )2ln x x xdx =-?．
．．．．．．．．．．．．．．．4分 2(ln )2ln 2ln x x x x xd x =-+?．
．．．．．．．．．．．．．．．6分 2(ln )2ln 2x x x x x C =-++．．．．．．．．．．．．．．．．7分
5. 设方程sin()y e x y =+确定隐函数()y y x =并满足()02y π
=，求2
'
x y π=
。
解：方程两边对x 求导，得
'cos()(1')y e y x y y ?=+?+．．．．．．．．．．．．．．．．3分
cos()
'cos()
y x y y e x y +∴=
-+．．．．．．．．．．．．．．．．5分
又2x π
=
，得0y =，．．．．．．．．．．．．．．．．6分
代入得
2
'=0x y π
=
．．．．．．．．．．．．．．．．7分
6．设曲线322y ax bx cx =+++在1x =处有极小值0，且(0,2)为拐点，求,,a b c 的值。
解：2'32,y ax bx c =++．．．．．．．．．．．．．．．．1分
''62,y ax b =+．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由题意得
20
000223206020a b c a b c a b c a b +++=???+?+?+=?
?
++=???+=?
．．．．．．．．．．．．．．．．6分 解得1,0,3a b c ===-．．．．．．．．．．．．．．．．7分 7
．计算定积分1
-?
。
解：令t =，则1
2
dx tdt =-．．．．．．．．．．．．．．．．1分
21
1351
4()2t t dt t --=-?
?．．．．．．．．．．．．．．．．3分
1
231(5)8t dt =--?．
．．．．．．．．．．．．．．．4分 31311
(5)83t t =--．
．．．．．．．．．．．．．．．6分 16
=．．．．．．．．．．．．．．．．7分 四、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
1．证明不等式：当1x >时，2(1)2
x e
e x >+。
证明：设2()(1)(1)2
x e
f x e x x =-+>．．．．．．．．．．．．．．．．1分
'()x f x e ex =-．．．．．．．．．．．．．．．．2分
所以''()0x f x e e =->．．．．．．．．．．．．．．．．3分 所以'()x f x e ex =-单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．4分 当1x >时，'()'(1)0f x f >=．．．．．．．．．．．．．．．．5分
所以当1x >时，2()(1)(1)2
x e
f x e x x =-+>单调递增．．．．．．．．．．．．．．6分
所以当1x >时，()(1)f x f >，即2(1)2x e
e x >+．．．．．．．．．．．．．．7分
2．一抛物线的轴平行于x 轴，开口向左且通过原点与点(2,1),求当它与y 轴所围
1.5CM
的面积最小时的方程。
解：设2x ay by c =++．．．．．．．．．．．．．．．．1分 它通过原点，因此0c =．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又通过(2,1)，所以2b a =-．．．．．．．．．．．．．．．．3分 所以满抛物线为2(2)(0)x ay a y a =+-<
这抛物线与y 轴的另一交点是2(0,1)a
-．．．．．．．．．．．．．．．．4分
它与y 轴所围面积为
21220
42()[(2)]136
a
a
S a ay a y dy a a -=+-=
-+-
?
．．．．．．．．．．．．．．．．5分 令32
821
'()036
S a a a =-
+-= 得4,2a a =-=（舍）．．．．．．．．．．．．．．．．6分 所以246x y y =-+．．．．．．．．．．．．．．．．7分
3．已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)可导，且(0)0f =，(1)1f =。证明：（1）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξξ=-；（2）存在两个不同的点η，(0,1)ζ∈，使得
()()1f f ηζ''=。
解：（1）令()()1g x f x x =+-，．．．．．．．．．．．．．．．．2分 则()g x 在[0,1]上连续，且(0)10g =-<，(1)10g =>，
故由零点定理知存在(0,1)ξ∈，使得()()10g f ξξξ=+-=，即()1f ξξ=-。
．．．．．．．．．．．．．．．．3分 （2）由题设及拉格朗日中值定理知，存在(0,)ηξ∈，(,1)ζξ∈，使得
()(0)1()0f f f ξξ
ηξξ--'==-，．．．．．．．．．．．．．．．．5分
(1)()1(1)()111f f f ξξξ
ζξξξ
---'=
==---，
从而1()()11f f ξξ
ηζξξ
-''=
=-．证毕．．．．．．．．．．．．．．．．．7分