初等数学常用公式：
（一）代数
乘法及因式分解公式
（1）(1)(x+a) (x+b) =x2 + (a+b)x +ab
(2)(a±b)2=a2 ±2ab+b2
(3) (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(4)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
(5)(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3b2c+3bc2+ 3a2c+ 3ac2+ 6abc
(6) a2-b2=(a -b)(a+b)
(7)a3±b3= (a±b) (a2ab +b2).
(8) a n-b n= (a-b)(a n-1 +a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1) (n为正整数)
(9) a n-b n= (a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1) (n为偶数)
(10) a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1) (n为奇数) 2。指数运算（设a,b,是正实数，m,n是任意实数）
1.指数定义
下面（1）--（3）式中，m、n均为正整数．
（1）
= (n个a的乘积）；
a n
(2)
(3)
(4)无理指数幂可用有理指数幂近似表示.
例如
2.指数运算法则
（1）
（2）
(3)
(4)
(5)
式中a.>0 ，b>0；x1，x2，x为任意实数．
3.对数定义
若a x=b (a>0 , a≠1) ，则x称为b的以a 为底的对数，记作
当a=10时，，称为常用对数.
当a=e 时，，称为自然对数.
4.对数的性质
（1）(2)
(3)(4)
(5)换底公式由此可推出：
（a）（在换底公式中取c=b）
(b) （在换底公式中取c=10）
5.对数运算法则
(1)
(2)
(3)（x 为任意实数）
1.基本不等式
在下面1）～5）各式中，设a >b, 则
1) a ±c > b ± c
2) ac > bc (c>0)；ac 3), 4) a n>b n ( n>0, a>0, b>0) ; a n0, b>0) 5) (n为正整数,a>0,b>0) 6）设且b, d同号，则 2. 有关绝对值的不等式 (1)绝对值的定义 实数a的绝对值 实数的绝对值是数轴上点到原点的距离． (2) 有关绝对值的不等式 (a) 若a , b,…, k为任意复数（包含实数），则 (b）若a ,b为任意复数（包含实数），则 (c）若则 -b≤a≤b特别有 （d）若则a>b或a<-b （e） （f）若a , b,…,k为任意复数（包含实数），则 (g）若a , b,…,k为任意复数（包含实数），则有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式 1) sin x 2) cos x<<1 (0 3)() 4)(-∞ 5)( x>0 ) 6) ( 0 7)( 0 8) ( x ≠0 ) 9) ( x <1, x ≠0 ) 10) (n 为自然数，x >0) 11) ( x ≠0 ) 12) ( x >-1, x ≠0 ) 13) ( x >-1, x ≠0 ) 14) ( x > -1, x ≠0 ) 特别取 (n 为自然数 ), 有 15）ln x ≤ x-1 ( x >0 ) 阶乘、排列、组合、二项与多项式 1.阶乘 注：表中n 为自然数 定义 说明 0！=1 规定 n 的阶乘 (-1)!!=0 规定 (21)!(21)!!135(21)2! n n n n n ++=?????+= 奇数的阶乘 0!!=0 规定 偶数的阶乘 2.排列 (a) 从n个不同的元素中每次取出k个(k≤n)不同的元素，按一定的顺序排成一列， 称为排列．其排列种数为： (b) 特别当k=n时，此排列称为全排列．其排列种数为： 3.组合 (a) 从n个不同的元素中每次取出k个(k≤n)不同的元素，不管其顺序合并成一组， 称为组合．其组合种数为： (b) 组合公式 4.二项与多项式 二项式公式 代数方程 1．一元n次代数方程 其中n为正整数；a0 , a1,…, a n是属于数域S（实数域或复数域）的常数；x为未知数. f(x)称为一元n次多项式；方程f(x)=0称为一元n次代数方程；最高次项系数a0称为首项系数. 设c是一常数，使f(c)=0 , 则称c为多项式f(x) 或方程f(x)=0 的根． 代数基本定理每个复数域上n次代数方程 在复数域中至少有一个根． 代数基本定理的推论每个n次代数方程在复数域中有且只有n个根. 2．一元二次方程 方程 根的表达式 根与系数关系 判别式 有两个不等的实根 有两个相等的实根 有两个复根 有两个不等的实根 有两个相等的实根 有两个复根 二. 三角函数公式表 同角三角函数的基本关系式 倒数关系:商的关系：平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2 α （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割， 左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两 个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三 角函数值的平方和等于下顶点的三角函数 值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相 邻两个顶点的三角函数值的乘积。”） 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）=------—————— 1－tanα 2tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝------—————— 1＋tanα 2tanβ 2tan(α/2) sinα＝--—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝----——————-- 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝-----—————— 1－tan2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 2tanα tan2α＝————— 1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3α cos3α＝4cos3α－3cosα 3tanα－tan3αtan3α＝—————— 1－3tan2α 三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式 α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin———·cos——— 2 2 α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos———·sin——— 2 2 α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos———·cos——— 2 2 α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin———·sin——— 2 2 1 sinα ·cosβ＝---[sin（α＋β）＋sin（α－β）] 2 1 cosα ·sinβ＝---[sin（α＋β）－sin（α－β）] 2 1 cosα ·cosβ＝---[cos（α＋β）＋cos（α－β）] 2 1 sinα ·sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos（α－β）] 2 化asinα ±bcosα 为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）三.初等几何 在下列公式中，字母R ，r 表示高，l 表示斜高，s 表示底面积 1.园：周长2r =π 2.扇形：面积2 12 r = θ??，其中r 为半径，θ为扇形的园心角（以弧度 计）， r θ为扇形的弧长 3.棱锥：体积1 3sh = 4.正园锥：体积2 13 r h =π ； 侧面积rl =π； 全面积()r r l =π+ 5.截圆锥：体积22 ()3 h R r R r π=++； 侧面积()l R r =π+ 6. 体积3 43r = π； 表面积24r =π 直棱柱侧 面积 S=c 2h 斜棱柱侧面积 S=c'?h 正棱锥侧 面积 S=1/2c.?h' 正棱台侧面积 S=1/2 (c+c')?h' 圆台侧面 积 S=1/2(c+c')l=π?(R+r)l 球的表面积 S=4π?r 2 圆柱侧面 积 S=c ?h=2?π?h 圆锥侧面积 S=1/2?c ?l=π?r ?l 弧长公式 l=a ?r a 是圆心角的弧扇形面积公式 s=1/2?l ?r 度数r >0 锥体体积 公式 V=1/3?SH圆锥体体积公式V=1/3?π?r2h 斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧 棱长 柱体体积 公式 V=s?h圆柱体V=π?r2h 常用直线方程（点斜式、斜截式、两点式和截距式） (一)点斜式 已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？ 设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得 注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程． 重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程． 这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式． 当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1． 当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1． (二)斜截式 已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程． 这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得： y-b=k(x-0) 也就是 上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的． 当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距． (三)两点式 已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程． 当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成 这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式． 对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样． (四)截距式 例1 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程． 解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得 就是 这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式． 对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x 轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示． 初等代数研究课后习题 20071115033 数学院 07（1） 杨明 1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即 （1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >. （2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立. 证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B == （1）“?” b a <，则B B ??,,使,~B A ，A B B ~, ?∴,a b >∴ “?” a b >，则B B ??,,使A B ~,，B B A ?∴,~,b a <∴ 综上 对任何N b a ∈,，b a （2）由（1）b a b a <∴与b a >不可能同时成立， 假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ??,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立， 综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.. 2、证明自然数的加法满足交换律. 证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合 先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立 φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则 +++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1 k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N + ∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+ 3、证明自然数的乘法是唯一存在的 证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ?∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合， ()()1f b g b a ==? 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ?∈，()()f b g b = 高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - 初等数学研究期末专题论文 函数方程与函数的奇偶性 摘要 函数的奇偶性是函数的一种重要性质，也是高中数学教学中的重点内容，如何让学生正确理解函数的奇偶性并能灵活应用，是每位数学教师不断探论的问题。本文详细讲述了函数奇偶性的判断方法，以及应该注意的地方，对比较抽象的题目给出合适的证明方法。 关键词：函数 奇偶性 方程 性质 1.关于函数奇偶性的定义 （1）一般地，如果对函数()x f 的定义域内任意一个x 都有 ()()0 f x f x --=（()()x f x f =-），那么函数()x f 就叫做偶函数，如：2)(x x f =，()x x f =。 （2）一般地，如果对函数()x f 的定义域内任意任意一个x 都有()()0=-+x f x f (()()x f x f -=-)，那么函数()x f 就叫做奇函数，如：()x x f = , ()x x f 1 = 。 例1：判断函数())1lg(2x x x f -+=的奇偶性。 解：x x x ≥>+221 ∴函数()x f 的定义域为R 又()())1lg()1lg(22x x x x x f x f +++-+=-+ 01lg )1lg(22==-+=x x 。 ∴ ()x f 为奇函数。 例2：判断函数x x e e x f -+=)(的奇偶性。 解：显然)(x f 的定义域为R 又)()(x f e e x f x x -=+=- ∴)(x f 为偶函数。 2.函数奇偶性的几个性质 2.1 对称性 函数的定义域关于原点对称 如： 2.2 整体性 奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立。 2.3 可逆性 )()()(x f x f x f ?=-是偶函数 )()()(x f x f x f ?-=-是奇函数 2.4 等价性 0)()()()(=--?=-x f x f x f x f 0)()()()(=-+?=-x f x f x f x f 2.5 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 2.6 可分性 根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。 3.判断函数奇偶性的方法 3.1定义法 1．任取自变量的一个值x ，x -是否有定义，如果存在一个属于定义域的0x 但在0x -没有定义，则既不是奇函数也不是偶函数，若)(x f -存在，则进行下一步。 2．)()(x f x f ±=-着相当于证明一个恒等式，有时，为了运算上的方便可转而验证 0)()(=-±x f x f ， 1)() (±=-x f x f ，???=-+偶函数 奇函数)(20)()(x f x f x f 判断步骤如下： ① 定义域是否关于原点对称； 在Word 表格中使用公式 您可以使用公式在表格中执行计算和逻辑比较。“公式”命令位于“表格工具”的“布局”选项卡上的“数据”组中。 当您打开包含公式的文档时，Word 中的公式会自动更新。您也可以手动更新公式结果。有关详细信息，请参阅更新公式结果部分。 Word 表格中的公式是一种域代码。有关域代码的详细信息，请参阅“另请参阅”部分。 本文内容 ?在表格单元格中插入公式 ?更新公式结果 更新特定公式的结果 更新表格中的所有公式结果 更新文档中的所有公式 ?锁定或取消锁定公式 ?示例：使用位置参数对表格中的数字进行求和 ?可用函数 ?在公式中使用书签名或单元格引用 RnCn 引用 A1 引用 在表格单元格中插入公式 1. 选择需要在其中放置结果的表格单元格。如果该单元格不为空，请删除其内容。 2. 在“表格工具”的“布局”选项卡上的“数据”组中，单击“公式”。 3. 使用“公式”对话框创建公式。您可在“公式”框中键入公式，从“编号格式”列表中选择编 号格式，并使用“粘贴函数”和“粘贴书签”列表粘贴函数和书签。 更新公式结果 在Word 中，插入公式后，当包含公式的文档打开时，会计算公式的结果。 您也可以手动更新： ?一个或多个特定公式的结果 ?特定表格中的所有公式的结果 ?文档中的所有域代码（包括公式） 更新特定公式的结果 1. 选择要更新的公式。您可在选择公式时按住Ctrl 键，从而选择多个公式。 2. 执行下列操作之一： ?右键单击公式，然后单击“更新域”。 ?按F9。 更新表格中的所有公式结果 ?选择包含要更新的公式结果的表格，然后按F9。 更新文档中的所有公式 此过程可更新文档中的所有域代码，而不仅仅是更新公式。 1. 按Ctrl+A。 2. 按F9。 锁定或取消锁定公式 您可以锁定公式以防止其结果更新，也可以取消锁定已经锁定的公式。 ?请执行下列操作之一： 锁定公式选择公式，然后按Ctrl+F11。 取消锁定已经锁定的公式选择公式，然后按Ctrl+Shift+F11。 姓名：苏章燕学号：201102024002 班级：师范1班 分类思想 摘要：分类讨论的问题在这学期做高考题和中考题过程中，很多题上面都有体现。是在问题的解答出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们往往把可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这种思想方法就是分类的思想。 关键词：分类讨论、函数、例题、集合分类 一、分类要素 分类的思想运用到每个具体数学问题中都有三个基本内容，即分类三要素，在分类的合定义中，三要素就是全集，子集和子集的分类根据。分类的逻辑定义中，三要素是母项，子项和分类标准。 二、分类的规则 在问题讨论前，首先应弄清楚我们所研究对象的范围，即全集。分类就要在这个特定范围内进行，要防止在全集不明确的情况下或全集外进行讨论。 每次分类都必须以同一本质属性为标准，被分概念或集合有若干本质属性，确定某一个作为分类标准。那么在分类过程中就要始终使用这个标准。同一次讨论中标准只能是一个。如实数在讨论绝对值时，可分为整数、负数和零；在讨论其他性质和运算时可分为有理数与无理数。又如函数按自变量个数可分为一元函数、二元函数乃至多元函数；按单调性可分为增函数、减函数和非单调函数（在某一区间内）；按定义域可分为在R上都有意义的函数与定义域不是R的函数；按奇偶性可分为奇函数、偶函数和非奇非偶函数（在定义域内）；按属性可分为代数函数和超级函数。诸如此类，按不同标准就有不同的分类。 分类的完整性，把集合A分为A1、A2、···An等n个子集的分类，集合A应是这n 个子集的并集，集合的每一个元素都属于且仅属于其中的一个子集，分类时必须防止遗漏，如把角分为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角，就不是一个完整的分类，因为终边落在坐标轴上的角就不在其中。 分类的互斥性，分类中分成的各部分必须是互相排斥的，即分类中各个子集的交集是空集，如平面几何中把三角形分为锐角三角形、等腰三角形······的分类就是不正确的分类，因为存在着等腰锐角三角形，这是由于破坏了分类的互斥性。 分类的逐级性，被分概念必须分成与它最邻近的概念。有些问题必须要连续分类，这就要求严格按层次逐级进行划分、讨论。 分类的种类，人们对事物的认识有一个由现象到本质逐步深化的无线过程，因此分类也有一个从现象分类到本质这样一个逐步深化的过程。 现象分类就是根据事物的外部标志或外部联系所进行的分类，这种分类往往会把本质上相同的事物分为不同的类别，而把本质上不相同的事物归为同一类别。如平面几何中多边形按边数分类就是一个现象分类，因为凸多变形和凹多边形即使边数相同其性质也大相径庭，而正多边形（不管它边数多少）都具有很多共性，它们本质上是相同的。 本质分类就是根据事物的本质特征或内部联系所进行的分类，本质分类能够揭示数学对象之间的规律，如含角的三角函数的绝对值，用零点分段法对角进行的分类就属于本质分类。 分类方法的解题步骤，确定分类标准，这就是要运用辩证的逻辑思维，对具体事物作具体分析，从表面上极为相似的事物之间看出它们本质的相同点，发现事物的本质特征，只有这样才能揭示数学对象之间的规律，对数学对象进行有意义的分类。 恰当地进行分类，在确定分类标准的基础上，遵守分类的五条规则，对所讨论的问题恰当地分类，问题能否顺利讨论的关键是对所讨论对象进行正确的分类。 逐类讨论，根据分好的各类情况，逐类地加以研究，深入进行讨论，分门别类逐一把 1、 因式分解：32 35113x x x ---= 2、 已知21x a x x =++，则2 421 x x x =++ 3、 已知1abc =，求 111a b c a ab b bc c ca ++++++++的值； 4、 已知 111a b c a ab b bc c ca ++++++++=1，求证1abc =； 5、 = 6、 解不等式： 2233132 x x x x +-≤-+ 7、 求一个方程，使其各根分别等于方程43 67620x x x x -++-=的各根减去2。 8、 解方程22223223132231 x x x x x x x x ++++=-+-+。 9、 求不定方程7517x y -=的整数解。 10、 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(f x y f x f y x y x y R +=++∈、，(1)2f =，则(3)f -等于 11、 若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域是 12、 0= 13、 将多项式32 22x x x -++表示成(1)x -的方幂形式是 14、 将分式22233(1)(25) x x x x x ----+分解成部分分式之和 15、 求函数2 y =的值域 16、 已知5,4x <求函数14245 y x x =-+-的最大值。 17、 解方程：4322316320x x x x +-++= 18、 已知x y z 、、是互不相等的正数，且1,x y z ++=求证：111(1)(1)(1)8x y z ---> 19、 利用多项式对称性因式分解： （1）555()()()()f x y z x y y z z x =-+-+-、、 设222(,,)()()()[()()],f x y z x y y z z x L x y z M xy yz xz =---+++++ （2）5555 ()()f x y z x y z x y z =++---、、 设222()()()[()()]x y y z z x k x y z m xy yz zx ++++++++ 1 、查找重复内容公式：=IF(C0UNTIF(A:A,A2)>1,"重复","") 2 、用出生年月来计算年龄公式：=TRUNC((DAYS360(H6,"2009/8/30",FALSE))/360,0) 3 、从输入的18 位身份证号的出生年月计算公式：=CONCATENATE(MID(E2,7,4),"/",MID(E2,11,2),"/",MID(E2,13,2)) 4 、从输入的身份证号码内让系统自动提取性别，可以输入以下公式: =IF(LEN(C2)=15,IF(MOD(MID(C2,15,1),2)=1," 男","女"),IF(MOD(MID(C2,17,1),2)=1,"男","女))公式内的“C 代表的是输入身份证号码的单元格。 1、求和：=SUM(K2:K56) ――对K2到K56这一区域进行求和; 2、平均数：=AVERAGE(K2:K56) ――对K2 K56这一区域求平均数; 3、排名：=RANK(K2，K$2:K$56) ――对55名学生的成绩进行排名; 4、等级：=IF(K2>=85,"优',IF(K2>=74,"良",IF(K2>=60,"及格","不及格"))) 5、学期总评：=K2*0.3+M2*0.3+N2*0.4 ――设K列、M列和N列分别存放着学生的平时总评”、期中”期末"三项成绩 6、最高分：=MAX(K2:K56) ——求K2至U K56区域(55名学生)的最高分; 7、最低分：=MIN(K2:K56) ——求K2到K56区域(55名学生)的最低分; 8、分数段人数统计: (1) =COUNTIF(K2:K56,"100") ――求K2到K56区域100分的人数；假设把结果存放于K57单元格; (2) =COUNTIF(K2:K56,">=95") —K57 ――求K2至U K56区域95? 99.5分的人数；假设把结果存放于K58单元格; (3) =COUNTIF(K2:K56,">=90") —SUM(K57:K58)――求K2 到K56 区域90? 94.5 分的人数；假设把结果存放于K59 单元格; (4) =COUNTIF(K2:K56,">=85") —SUM(K57:K59)――求K2 到K56 区域85-89.5 分的人数；假设把结果存放于K60 单元格; (5) =COUNTIF(K2:K56,">=70") —SUM(K57:K60)――求K2 到K56 区域70-84.5 分的人数；假设把结果存放于K61 单元格; (6) =COUNTIF(K2:K56,">=60") —SUM(K57:K61)――求K2 到K56 区域60-69.5 分的人数；假设把结果存放于K62 单元格; (7) =COUNTIF(K2:K56,"<60") ------ 求K2到K56区域60分以下的人数；假设把结果存放于K63单元格; 第一章 1、自然数集是有序集 2、自然数集具有阿基米德性质即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使na>b 3、自然数集具有离散型即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b， 使a 值 例：求00080cos 40cos 20cos ??8 120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 480cos 40cos 40sin 220sin 280cos 40cos 20cos 20sin 2000000 0000 0000= ===???=解：原式N c N a N c N b N b N a ac b c b a log log log log log log :1,,2=--=求证， 的正数，且是不等于例：设原式右边原式左边所以，得证明：由==-?-?=--=-=-+==a N c N b N c N a N a N b N c N c N b N b N a N b N c N a N b N c N a N b N a c b log log )log (log log )log (log log log 1log 1log 1log 1log log log log log log log 2213cot cot cot 3tan tan tan =-+-θθθθθθ例：求证的值 内的两相异实根，求在为方程、例：已知)sin(),0()0(cos sin βαπβα+≠=+mn p x n x m 原式右边（原式左边证明：（综合法）==?-?-?-?-=--?-+?-=13tan cot 3cot tan 23tan cot 3cot tan 2)3cot )(cot 3tan tan 3tan cot 13cot tan 1θ θθθθθθθθθθθθθθθ 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+ 14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++ 《初等数学研究》教学大纲Research on elementary mathematics 课程名称：初等数学研究英文名称：课程性质：专业必修课 4 学分： 64 理论学时： 64 总学时：适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析，高等代数，解析几何一、教学目的与要求应使学生在掌握近、通过本课程的开设，初等数学研究是数学教育专业开设的必修课程。现做到初等与高等相结合。系统深入掌握中学数学内容有关的初等数学知识，代数学的基础上，以填补学生在中学数现代数学思想方法，尽量反映近、一方面，通过初等数学内容的研究，处学与高等数学之间的空白；另一方面，试图用近、现代数学的思想方法居高临下地分析、为当好一名使学生对中学数学内容有个高屋建建瓴的认识与理解，研究中学数学内容，理、使学生进行解题策略的训练，同时通过本课程的开设，中学数学教师打下扎实的知识基础。具有一定的解题能力。由于学生对初等数学内容并非一无所知，因此，必须突出与强调课程的研究性质。在每章、以帮助学生形成自主探索、研究，每节之后提出若干问题让学生进行探索、合作交流的学习方式，以便他们将来走向教学岗位后，能较快地适应课程改革的形势。必要时运用小组合作的方式进行适学生自学为辅的教学方法，本课程主要采用以讲授为主、当的专题讨论。周，有32八学期开设，安排---初等数学研究是专业选修课，系主干课程。一般情况下第七课时。64共,周36条件时可安排二、教学内容与学时分配序 号章节名称学时分配 1 第一章绪论 2 2 第二 章集合与逻辑 6 3 第三章数与式的理论 8 4 第四章函数的理论 8 5 第五章方程、不等式 8 6 公理化方法与演绎推理 6 7 第七章几何变换 8 8 第八章几何的向量结构及坐标 法 6 9 第九章排列、组合 6 10 第十章中学数学解题策略 6 合计学时数 64 三、各章节主要知识点与教学要求课时） 2第一章绪论（中学数学与初等数学的关系，中学数学的特点，中学数学的发展历程，包括数学研究的对象，本课程的研究 对象，学习本课程的目的意义，等等本章重点：中学数学的 特点本章难点：无掌握中学数学的特点，中学数学的发展历程；要求学生了解数学研究的对象，本章教学要求：中学数 学与初等数学的关系，掌握本课程的研究对象，学习本课程的 目的意义课时）6第二章集合与逻辑（集合集合的特性， 集合的运算。集合的运用命题的逻辑演算命题的特征，简 单命题，复合命题的真值定义，等价命题，简单命题的演算 命题中的量词假言命题的四种形式，量词的否定，存在量词， 全称量词，开语句的复合，真值集，开语句，充分条件与必要 条件集合与逻辑的关系本章重点：复合命题的真值定义， 等价命题，假言命题的四种形式本章难点：假言命题的四种 形式，开语句的复合，本章教学要求：要求学生掌握假言命题 初等数学研究答案1 大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一 1答：原则：（1）A ?B （2）A 的元素间所定义的一些运 算或基本关系，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （3）在A 中不是总能施行的某种 运算，在B 中总能施行。 (4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。 方式：（1）添加元素法；（2）构造法 2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。 a=b ，M 11b 1a ∈∴?=?∴， 假 设 bc ac M c =∈，即，则 M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='， 由归纳公理知M=N ，所以命题对任意 自然数c 成立。 （ 2）若a < b ，则 bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈?即，，由，使得 则ac 常用公式表（一） 1。乘法公式 （1）（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 (2)(a-b)2=a 2-2ab+b 2 (3)(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (4)a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2) (5)a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2) 2、指数公式： (1)a 0 =1 （a ≠0） （2）a P -=P a 1（a ≠0） （3）a m n =m n a （4）a m a n =a n m + （5）a m ÷a n =n m a a =a n m - （6）（a m ）n =a mn （7）（ab ）n =a n b n （8）（b a ）n =n n b a （9）（a ）2=a （10）2a =|a| 3、指数与对数关系： （1）若a b =N ，则N b a log = （2）若10b =N ，则b=lgN （3）若b e =N ，则b=㏑N 4、对数公式： （1）b a b a =log , ㏑e b =b （2）N a aN =log ，e N ln =N （3）a N N a ln ln log = （4）a b b e a ln = （5）N M MN ln ln ln += （6）N M N M ln ln ln -= （7）M n M n ln ln = （8）㏑n M =M n ln 1 5、三角恒等式： （1）（Sin α）2+（Cos α）2=1 （2）1+（tan α）2=(sec α)2 （3）1+(cot α)2=(csc α)2 （4）αααtan cos sin = （5）αα α cot sin cos = （6）ααtan 1cot = （7）ααcos 1csc = （8）α αcos 1 sec = 初等数学研究期末复习题：选择题与填空题 一．选择题 1．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )． A C B D A ．2 B ．4 C ． 6 D ． 8 2．若M =223894613x xy y x y -+-++(x ，y 是实数)，则M 的值一定是( )． A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．整数 3．已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点．若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4．设A =22211148()34441004 ?++???+---，则与A 最接近的正整数是( )． A ．18 B ．20 C ．24 D ．25 5．设a 、b 是正整数，且满足于5659a b ≤+≤，0.90.91a b <<，则22b a -等于( )． A ．171 B ．177 C ．180 D ．182 6 的结果是( )． A ．无理数 B ．真分数 C ．奇数 D ．偶数 7．设4r ≥，1 1 1a r r =-+ ，b = ，c =，则下列各式一定成立 的是( )． A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >> 8．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－ x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345 x x x x x ++++的未位数字是( )． A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 9． 已知1m = 1n =且22(714)(367)m m a n n -+--=8，则a 的值等于( )． A ．5- B ．5 C ．9- D ．9 10．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y =x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则( )． A ．h <1 B ．h =1 C ．1 竭诚为您提供优质文档/双击可除 word表格嵌套公式 篇一：word表格数值计算 8、如何利用word表格的计算功能？ ①１．求一列数据的和：将光标点到这列最下一格（准备放和数的格），在word的主菜单条上，用鼠标点击“表格”→“公式”，屏墓出现公式对话框， 在公式对话框中的公式(F）框中就 是你要进行的运算。 ＝sum(aboVe)就表示对本列上面所有数据求和。 点击“确定”按钮，所求和数就填入你的表格。 ②．求一行列数据的和： 将光标点到这行最右一格（准备放和数的格），在word 的主菜单条上，用鼠标点击“表格”→“公式”，屏墓出现公式对话框， 在公式对话框中的公式(F）框中就是你要进行的运算。＝sum(leFt)就表示对本行左边的所有数据求和。点击“确定”按钮，所求和数就填入你的表格。③．对一列或一行数据求平均数（average）等： 好。 思考：1.的和，公式 国土资源部信息中心、全国地质资料馆 杨斌雄写于1999/3/24 二、word表格中的数据计算 在“成果地质资料电子文件汇交格式”中规定：地质成果报告文字部分中的插表要采用表格命令直接制作，不得采用超级链接的办法链接其它软件制作的表 格。附表类电子文件原则上也要用表格命令直接制作。 习惯于使用excel的同志总觉得word表格的计算功能太差。实际上对地质成果报告中不太复杂的表格，word表格的计算功能已完全够用，下面做一简单介绍： 1、word表格中的“单元格”概念 与excel一样，word表格在进行数据计算时也有“单元格”的概念，其每一个单元格也以a1、a2、b1、b2这种形式来表示。其中字母a、b、c、d等表示列号，数字1、2、3、4等表示号。只不过它在表的上边和左边没有象excel那样的明显指示。在进行复杂的计算时，你要从表格的左上端开始数一下。2、简单的求和 在大量的表格计算中是进行列或行中数据的求和，这在word表格中非常简单：例如当你要计算一列数据的和数， ①用鼠标点击你要存放“和数”的那个单元格，②→点 《初等数学研究》考试大纲 Elementary Mathematics Research 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、考试目的 测试学生对初等数学的基本内容和方法的熟练程度。 三、考试内容 第一章数系 1. 考试知识点 （1）数的概念的扩展； （2）自然数序数理论及其性质； （3）整数环、有理数域、实数域、复数域的建立及性质。 2. 考试要求 （1）了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则； （2）掌握自然数的基数理论及整数环的构造； （3）理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其运算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数域的性质； （4）理解无理数、实数概念，掌握实数大小比较的法则、实数的运算法则和实数域的性质； （5）理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数域的性质。 第二章解析式 1. 考试知识点 （1）多项式的恒等定理； （2）待定系数法； （3）因式分解方法； （4）分式恒等变形； （5）根式的化简和计算； （6）解不等式（组）； （7）不等式的证明； （8）几个著名的不等式。 （1）了解解析式的概念及其分类； （2）了解多项式概念，掌握待定系数法和多项式的因式分解方法； （3）了解分式的概念和定理；掌握分式恒等变形； （4）掌握根式的运算和变形； （5）掌握不等式的基本性质、解法和证明； （6）熟悉几个著名的不等式。 第三章方程与函数 1. 考试知识点 （1）方程（组）的同解理论及基本解法； （2）几类特殊的高次方程的解法； （3）分式方程、无理方程和超越方程的解法 （4）函数概念的形成和发展； （5）初等函数的性质。 2. 考试要求 （1）掌握各种代数方程中的同解理论（弄清增、失根原因及检验方法）及基本解法； （2）掌握特殊的高次方程的解法； （3）掌握简单的分式方程、无理方程和超越方程的解法； （4）了解函数概念的发展与几种定义方式； （5）掌握初等函数的基本性质。 第四章数列 1. 考试知识点 （1）数列的通项公式； （2）等差与等比数列； （3）高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）数学归纳法的基本形式和其他形式； （5）数列的母函数。 2. 考试要求 （1）掌握求数列通项的方法； （2）熟练掌握等差与等比数列的综合题； （3）了解高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）熟练掌握数学归纳法的各种形式的应用； （5）了解数列的母函数。 第五章排列与组合 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 课程名称： 初等数学研究 任课教师姓名： 左晓虹 卷面总分： 100 分 考试时长： 100 分钟 考试类别：闭卷 √ 开卷 □ 其他 □ 注：答题内容请写在答题纸上，否则无效． 一、单选题（4*10=40分） 1．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆否命题是 （ ） （A ）若a b ≠-，则||||a b ≠ （B ）若a b =-，则||||a b ≠ （C ）若||||a b ≠，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =- 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ） （A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x = 3．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是 （ ） 4．6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ） （A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ） （A ）283π - （B ）83 π - （C ）82π- （D ）23 π 6．函数()cos f x x =在[0,)+∞内 （ ） （A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点 7．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈， 1 {|||N x x i =- 习题一 1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为： （1）B A ? （2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。 （4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。 数系扩展的方式有两种： （1）添加元素法。 （2）构造法。 2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则 （1）,;a b ac bc ==若则 （2）,;a b ac bc <<若则 （3）,a b ac bc >>若则； 证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。 a b,a a 1, b b 1,P13(1),(1)a 11 1,a ac a c ac a bc b c bc b b M c M c bc ==?=?=+=+=+=+''∴?=?∴∈∈= （规定） 假设即 ac ,ac a c . bc a b a bc b c bc M ==∴+=+∴=''∴∈'又 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。 （2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9） 由（1）有()bc a k c =+ a c kc =+ ac bc ∴< （P17.定义9） 或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+= .ac bc ∴= （3）,,.a b a b k k N >=+∈若则有 a ().c b k c bc kc =+<+ ac bc ∴> 3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则 （1）,;ac bc a b ==若则 （2）ac bc a b <<若，则； （3）ac bc a b >>若，则。 证明（1）（用反证法） ,a .a b a b b ≠><假设则有或 ,a b ac bc ac bc >>=若有和矛盾。初等数学研究课后习题答案(2020年7月整理).pdf
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