2020-2021湖北仙桃中学高一数学下期中模拟试题含答案

2020-2021湖北仙桃中学高一数学下期中模拟试题含答案

一、选择题

1．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )

A ．若//l α，//l β，则//αβ

B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ

C ．若l α⊥，//l β，则//αβ

D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥

2．已知平面//α平面β，直线m αü，直线n βü，点A m ∈,点B n ∈，记点A 、B 之间的距离为a ,点A 到直线n 的距离为b ,直线m 和n 的距离为c ,则 A ．b a c ≤≤

B ．a c b ≤≤

C ． c a b ≤≤

D ．c b a ≤≤

3．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为

A ．20π

B ．

125

6

π C ．25π D ．100π

4．已知圆M ：2

2

20x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ） A ．5 B ．6

C ．35

D 415．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积

为（ ） A ．

814

π

B ．16π

C ．9π

D ．

274

π

6．已知实数,x y 满足250x y ++=22x y +的最小值为（ ） A 5B 10

C ．25

D ．2107．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）

A ．34a

B ．33

a

C ．32

a

D ．3a 3a

8．已知AB 是圆22

620x y x y +-+=内过点(2,1)E 的最短弦，则||AB 等于（ ）

A 3

B ．2

C ．23

D ．259．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，

E 是棱1DD 的中点，

F 是侧面

11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )

A ．a

B ．

2

a C ．2a

D ．

22

a 10．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶5

D ．3∶2

11．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条

直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m l B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥ C ．若M m ∈且//m l ，则//m β

D ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥ 12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点

E 、

F ，且EF=

1

2

．则下列结论中正确的个数为

①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；

③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ?的面积与BEF ?的面积相等， A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

二、填空题

13．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以

AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ?=u u u v u u u v

，则点A 的横坐标为

________．

14．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .

15．已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2

2

36x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点

G 的轨迹方程为______．

16．已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=o ，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120o ，则点A 到BCD V 所在平面的距离等于 ．

17．若过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．

18．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则

该三棱锥的外接球面积为________.

19．正四棱锥S -ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为______．

20．已知双曲线

的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线

的准线被双曲线截得的弦长是

（为双曲线

的离心率），则的值为__________．

三、解答题

21．已知点()1,0P ，圆2

2

:6440C x y x y +-++=.

（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；

（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.

22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD ，且

22,22CD AB BC ===，90ABC ∠=?，M 为BC 的中点．

（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；

（2）若二面角P DM A --为30°，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值． 23．如图，在四棱锥P ABCD -中，CB ⊥平面PBD ，AD ⊥平面PBD ，PH BD ⊥于

H ，10CD =，8BC AD ==.

（1）求证：CD PH ⊥； （2）若13BH BD =

，1

2

PH BD =，在线段PD 上是否存在一点M ，使得HM ⊥平面PAD ，且直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为

35

25

.若存在，求PM 的长；若不存在，请说明理由.

24．如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 的中点，D 为

PB 的中点，且PMB △为正三角形.

（1）求证：//DM 平面APC ； （2）求证：BC ⊥平面APC ；

（3）若4BC =，10AB =，求三棱锥D BCM -的体积.

25．在正方体1111ABCD A B C D -中，AB=3，E 在1CC 上且12CE EC =．

（1）若F 是AB 的中点，求异面直线1C F 与AC 所成角的大小； （2）求三棱锥1B DBE -的体积．

26．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .

DF平面ABE；

（1）求证：//

--二面角的正弦值；

（2）求二面角B EF D

6（3）在线段BE上是否存在点P，使得直线AP与平面BEF

存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【解析】

A中，,αβ也可能相交；B中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C中，,αβ也可能相交；D中，l也可能在平面β内.

【考点定位】点线面的位置关系

2．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据平面与平面平行的判断性质,判断c最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a最大.

【详解】

α平面β,直线m和n又分别是两平面的直线,则c即是平面之间的最短距离.由于平面//

而由于两直线不一定在同一平面内,则b一定大于或等于c,判断a和b时,

因为B是上n任意一点,则a大于或等于b.

故选D.

【点睛】

本题主要考查面面平行的性质以及空间距离的性质，考查了空间想象能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.

3．C

解析：C

【解析】 【分析】 【详解】

由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形， 其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点， 则O 为外接球球心，

半径长度为

1522

AD =， 所以表面积为25π.

4．A

解析：A 【解析】 【分析】

计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案. 【详解】

圆M ：2

2

20x y y =++，即()2

211x y ++=，圆心为()0,1M -，

350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =.

故选：A . 【点睛】

本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.

5．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

正四棱锥P-ABCD 的外接球的球心在它的高1PO 上，

记为O ，PO=AO=R ，14PO =，1OO =4-R ， 在Rt △1AOO 中，12AO =

，

由勾股定理()2

224R R =+-得94

R =， ∴球的表面积81

4

S π=

，故选A.

考点：球的体积和表面积

6．A

解析：A 【解析】

由题意知，22x y +表示点(,)x y 到坐标原点的距离， 又原点到直线250x y ++=的距离为2

2

5521

d =

=+，

所以22x y +的距离的最小值为5，故选A.

7．B

解析：B 【解析】 【分析】

当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积． 【详解】

如图，当P 与A 重合时，

异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时， 三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：

11C PA D V -=11C AA D V -=11

13AA D S AB ??V =1111132AA A D AB ?????? ???=11232a a a ?????? ???=

3

3

a ． 故选:B ． 【点睛】

求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．

8．D

解析：D 【解析】 【分析】

求出圆的标准方程，确定最短弦的条件，利用弦长公式进行求解即可． 【详解】

圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +1）2＝10，则圆心坐标为C （3，﹣1），半径为

过E 的最短弦满足E 恰好为C 在弦上垂足，则CE ==，

则|AB |==， 故选D ． 【点睛】

本题主要考查圆的标准方程的求解，以及直线和圆相交的弦长问题,属于中档题．

9．D

解析：D 【解析】 【分析】

设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求

HI 的长度即可.

【详解】

解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ，

又1//B F Q 面1A BE ，

F ∴落在线段HI 上，

Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，

112

2HI CD a ∴==，

即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2

2

a ． 故选D ．

【点睛】

本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.

10．C

解析：C 【解析】 【分析】

由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案 【详解】

设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝

πr 2，S 底＝πr 故选

C ． 【点睛】

本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．

11．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可. 【详解】

选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确； 选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确； 选项C ：M m ∈且//m l 得m α?且//m β，故C 正确；

选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α?，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥.

故选：D . 【点睛】

本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.

12．B

解析：B 【解析】

试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确 考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质

二、填空题

13．3【解析】分析：先根据条件确定圆方程再利用方程组解出交点坐标最后根据平面向量的数量积求结果详解：设则由圆心为中点得易得与联立解得点的横坐标所以所以由得或因为所以点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范

解析：3 【解析】

分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.

详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +??

???

易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以

()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +??=--=-- ???

u u u v u u u v ， 由0AB CD ?=u u u v u u u v

得()()()2

551220,230,32a a a a a a a +?

?--+--=--== ???

或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =

点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.

14．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2?r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积

解析：

【解析】

试题分析：设圆柱的底面半径为，高为，底面积为，体积为，则有

，

故底面面积，故圆柱的体积

.

考点：圆柱的体积

15．【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握 解析：()2

224x y -+=

【解析】 【分析】

直线40Ax By A +-=过定点()4,0，设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，代入方程利用点差法计算得到答案. 【详解】

直线40Ax By A +-=过定点()4,0，

设()()1122,,,M x y N x y ，(),G x y ，则221136x y +=，22

2236x y +=，

两式相减得到()()()()121212120x x x x y y y y +-++-=，即220x ky +=. 故22

04

y x y x +=-，整理得到：()2

224x y -+=. 故答案为：()2

224x y -+=. 【点睛】

本题考查了轨迹方程，意在考查学生对于点差法的理解和掌握.

16．【解析】【分析】【详解】设AC 与BD 交于点O 在三角形ABD 中因为∠A ＝120°AB ＝2可得AO ＝1过A 作面BCD 的垂线垂足E 则AE 即为所求由题得∠AOE ＝180°?∠AOC ＝180°?120°＝60 解析：

3

2

【解析】 【分析】 【详解】

设AC 与BD 交于点O ．

在三角形ABD 中，因为∠A ＝120°，AB ＝2．可得AO ＝1． 过A 作面BCD 的垂线，垂足E ，则AE 即为所求．

由题得，∠AOE ＝180°?∠AOC ＝180°?120°＝60°． 在RT △AOE 中，AE ＝AO?sin ∠AOE

＝

3

．

17．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线 解析：2150x y --=

【解析】 【分析】

设出,A B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减,根据中点的坐标可知12x x +和12y y +的值,进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程. 【详解】

设()()1122,,,A x y B x y ，则1216x x +=，122y y +=，

2222112244,44x y x y -=-=Q ，

()()()()121212120x x x x y y y y ∴+--+-=

()()12121680x x y y ∴---=，

121216

28

y y x x -==- 2AB k ∴=，

∴直线的方程为()128y x -=-，即2150x y --=，故答案为2150x y --=.

【点睛】

本题主要考查双曲线的方程、直线的斜率公式、直线点斜式方程的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.

18．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球

解析：7π

【解析】 【分析】

由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和． 【详解】

∵5PA PB ==，2AC BC ==

，3PC =，

∴222222

,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，

以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．

设外接球半径为R ，则2222

(2)7R CA CB CP =++=，72

R =

， 球表面积为22

744()7.S R πππ==?= 故答案为：7π． 【点睛】

本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．

19．【解析】如图过S 作SO1⊥平面ABCD 由已知=1在Rt△SO1C 中∵SC＝∴∴O1S＝O1A ＝O1B ＝O1C ＝O1D 故O1是过SABCD 点的球的球心∴球的半径为r ＝1∴球的体积为点睛：与球有关的组合

解析：4

3

π

【解析】

如图，过S 作SO 1⊥平面ABCD ，由已知111

2

O C AC ==1.在Rt △SO 1C 中， ∵ SC ＝2 ，∴ 22111SO SC O C =

-=，∴ O 1S ＝O 1A ＝O 1B ＝O 1C ＝O 1D ，故O 1是过

S ，A ，B ，C ，D 点的球的球心，∴ 球的半径为r ＝1， ∴ 球的体积为

34433

r π=π.

点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体

的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

20．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c 它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a 所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62 解析：

【解析】

试题分析：由题意，得抛物线的准线为，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为

，所以

，即

，所以

，整理，得

，解得

或．又

过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以

．

考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．

【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于

的等式，求取值范围问题就是建立关于

的不等式．

三、解答题

21．（1）1x =或0y =；（2）()()2

2

134x y -++=. 【解析】 【分析】

（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；

（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程. 【详解】

（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()2

2

329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径

3r =，

①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=， 则圆心到直线l 的距离为2

3221

k k d k +-=

=+，0k ∴=.

∴直线l 的方程为0y =；

②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，

此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意. 综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；

（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<， 则圆心()3,2C -到直线m

的距离d =

==

22320k k ∴+-=，解得1

2

k =

或2k =-， 又0k

设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22

210

329

x y x y ++=???-++=??， 消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=， 则线段AB 的中点的横坐标为

12

12

x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-， 所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-， 由题意知，所求圆的半径为：

1

22

AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()2

2

134x y -++=.

【点睛】

本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题. 22．（1）详见解析；（2

． 【解析】 【分析】

（1）在直角梯形ABCD 中，由条件可得222AD AM DM =+，即DM AM ⊥．再由

PA ⊥面ABCD ，得DM PA ⊥，利用线面垂直的判定可得DM ⊥平面PAM ，进一步得到平面PDM ⊥平面PAM ；

（2）由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角

为30°，求得tan301PA AM =??=．以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为

,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出PC u u u r 的坐标及平面PDM 的一个法向量，由PC u u u r

与n r 所成角的余弦值可得直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值． 【详解】

（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由已知可得，1,2,2AB CD BM CM ====

可得2

2

3,6AM DM ==，

过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1,22DE AE ==29AD =， 则222AD AM DM =+，∴DM AM ⊥． ∵PA ⊥面ABCD ， ∴DM PA ⊥，

又PA AM A =I ，∴DM ⊥平面PAM ， ∵DM ?平面PDM ， ∴平面PDM ⊥平面PAM ；

（2）解：由（1）知，,PM DM AM DM ⊥⊥，则PMA ∠为二面角P DM A --的平面角为30°，

则tan301PA AM =??=．

以A 为坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,1P ，(22,1,0)D -，2,1,0)C ，(2,1,0)M ，

(22,1,1),(22,1,1),(2,1,1)PC PD PM =-=--=-u u u r u u u u r

．

设平面PDM 的一个法向量为(,,)n x y z =，

由20

20

n PD x y z n PM x y z ??=--=???=+-=??u u u v v u u u u v v ，取1x =，得2321,22n ?= ??r ．

∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：

||230

|cos ,|30||||106

PC n PC n PC n ?<>===??u u u r r

u u u r r u u u r r ．

【点睛】

向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法. 23．（1）证明见详解（2）存在，95

PM = 【解析】

【分析】

（1）由线面垂直的性质定理可证AD PH ⊥，再由BD PH ⊥即可求证；

（2）要证HM ⊥平面PAD ，即证MH PD ⊥，可作HM PD ⊥，连接AM ，经几何关系验证，恰好满足直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为35

，求得95PM =；

【详解】

（1）AD ⊥平面PBD ，PH 在平面PBD 上，所以，AD PH ⊥，

又BD PH ⊥，AD 交BD 于D ，所以，PH ⊥平面ABCD ，所以，PH CD ⊥ （2）由题可知，6BD =，又13BH BD =

，所以4HD =，1

32

PH BD ==，5PD =，要证HM ⊥平面PAD ，由题设可知AD ⊥平面PBD ，则AD HM ⊥，即证

HM PD ⊥， 作HM PD ⊥，在PHD ?中，由等面积法可知12

5

PH HD HM PD ?=

=， 2245HA HD AD =+=,直线HA 与平面PAD 所成角正弦值即为 12

355sin 2545

HAM ∠==，此时

3393555

PH PM ==?= 【点睛】

本题考查线面垂直的证明，由线面垂直和线面角反求满足条件的点具体位置，逻辑推理与数学计算能力，属于中档题

24．（1）见详解；（2）见详解；（353

. 【解析】 【分析】

(1)先证DM AP ∥，可证//DM 平面APC .

(2)先证AP PBC ⊥平面，得⊥AP BC ，结合AC BC ⊥可证得BC ⊥平面APC . (3)等积转换，由D BCM M DBC V V --＝，可求得体积. 【详解】

(1)证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点， 所以MD 是ABP △的中位线，MD AP P . 又MD APC ?平面，AP APC ?平面， 所以MD APC ∥平面.

(2)证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥. 又MD AP P ，所以AP PB ⊥.

又因为AP PC ⊥，PB PC P I ＝，所以AP PBC ⊥平面. 因为BC PBC ?平面，所以⊥AP BC . 又因为BC AC ⊥，AC AP A ?＝， 所以BC APC ⊥平面.

(3)因为AP PBC ⊥平面，MD AP P ，

所以MD PBC ⊥平面，即MD 是三棱锥M DBC -的高. 因为10AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形，

所以5,PB MB MD MB ===

=

. 由BC APC ⊥平面，可得BC PC ⊥，

在直角三角形PCB 中，由54PB BC ＝，＝，可得3PC ＝. 于是1

11433222

BCD BCP S S ???=△△＝＝.

所以1133

322

D BCM M DBC BCD V V S MD --??=

g △＝＝＝. 【点睛】

本题考查空间线面平行与垂直的证明，体积的计算.空间中的平行与垂直的证明过程就是利用相关定义、判定定理和性质定理实现线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转换.求三棱锥的体积常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积. 25．(1) 4π (2) 9

2

【解析】 【分析】

（1）连接AC ，11A C ，由11AC AC P 知11FC A ∠ （或其补角）是异面直线1C F 与AC 所成角，由余弦定理解三角形即可（2）根据11B DBE D BEB V V --=，且三棱锥1D BEB -的高为

DC ，底面积为1BEB ?的面积.

【详解】

（1）连接AC ，11A C ，

∵1111,AC AC FC A ∴∠P （或其补角）是异面直线1C F 与AC 所成角 在11FC A ?

中，11119

2

A C A F C F ==

=

222

119()(22cos 922

FC A +-∠==?

∴异面直线1C F 与AC 所成角为4

π

． （2）由题意得， 1111119

333=3322

B DBE D BEB BEB V V S D

C --?==?=????．

【点睛】

本题主要考查了异面直线所成的角，三棱锥的体积，属于中档题. 26．（1）证明见解析；（2）23；（3）存在，3BP =或23

BP = 【解析】 【分析】

（1）以,,DA DG DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，DF AE AB =+u u u r u u u r u u u r

，得到证明.

（2）平面DEF 的一个法向量为()12,1,0n =u r ，平面BEF 的一个法向量为()12,1,2n =u r

，

计算夹角得到答案.

（3）假设存在点P 满足条件，设BP BE λ=u u u r u u u r

，设线AP 与平面BEF 所成角为θ，

2

2

cos AP n AP n θ?=?u u u r u u r u u u r u u r ，解得答案.

【详解】

（1）取BC 中点G ，连接DG ，易知DA DG ⊥，

平面EDCF ⊥ABCD ，四边形EDCF 为矩形，故ED ⊥平面ABCD . 以,,DA DG DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，

则()0,0,0D ，()1,2,2F -，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，()0,0,2E .

()1,2,2DF =-u u u r ，()1,0,2AE =-u u u r ，()0,2,0AB =u u u r ，故DF AE AB =+u u u r u u u r u u u r ，

故//DF 平面ABE .

（2）设平面DEF 的一个法向量为()1,,n x y z =u r ，则1

1

00n DE n DF ??=???=??u v u u u v

u v u u u v ，即20220z x y z =?

?

-++=?

， 取1y =，则()12,1,0n =u r

.

设平面BEF 的一个法向量为()2,,n a b c =u u r ，则2

2

00n EF n EB ??=???=??u u v u u u v

u u v u u u v ，即20220x y x y z -+=??+-=?，

取1y =，则()12,1,2n =u r

.

则1212

12cos ,n n n n n n ?==?u r u u r

u r u u r u r u u r B EF D --二面角的正弦值为23

. （3）假设存在点P 满足条件，设BP BE λ=u u u r u u u r

，则()1,22,2P λλλ--，

(),22,2AP λλλ=--u u u r ，()12,1,2n =u r

，设线AP 与平面BEF 所成角为θ，

则()(

)

2

22226cos 63222AP n AP n θλλλ?===?+-+u u u r u u r u u u r u u r ，解得23λ=或2

9λ=. 故3BP BE λλ==u u u r u u u r ，故3BP =或2

3

BP =.

【点睛】

本题考查了线面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.