教案 教学目的与要求： 1.正确理解和掌握定积分微元法的基本思想； 2.掌握用定积分解决平面图形面积的问题； 3.培养学生分析问题解决问题的能力和数形结合的观念 重点：1、微元法及其基本思想；2、求平面图形的面积 难点：微元法的基本思想 教学内容与教学组织设计（45分钟）： 第6.5节：定积分的几何应用 1 复习定积分的概念，引入微元法的思想 ………………………..15分钟 定积分的概念 ? b a dx x f )(0 1 lim ()n i i i f x λξ→==?∑. 教学安排 课 型：理论 教学方式：讲授 教学资源 多媒体、板书 授课题目（章、节） 第6.5节：定积分的几何应用
2 介绍微元法 …………………………………..5分钟 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，可得用定积分计算某个量U 的步骤: (1) 选取积分变量，并确定它的变化区间[,]a b ； (2) 求微元：将区间[,]a b 分成若干小区间，取其中的任一小区间[,]x x dx +，求出它所对应的部分量的近似值： ()U f x dx ?≈ (()f x 为[,]a b 上的连续函数 ) 则称()f x dx 为量U 的微元，且记作()dU f x dx =； (3) 列积分：以U 的微元dU 作被积表达式，以[,]a b 为积分区间，得()b a U f x dx =? . 这个方法叫做微元法。 微元法实质：找出U 的微元dU 的微分表达式dU=f(x)dx 。 3 求平面图形的面积 …………………………………..17分钟 类型一：D1型区域 （教师主导并详细讲解） 如图1，由曲线()y f x =及直线x a =、()x b a b =<与x 轴 所围成的曲边梯形面积A. 讲解：（板书） (1) 选变量：选x 为积分变量 (2) 求微元：在区间微元[,]x x dx +上，取x ξ=，则 ()dA f x dx = 图1 (3) 列积分：()b a A f x dx = ? 练习：（学生自主根据微元法进行分析，然后教师讲解） 如图2，求由曲线 ()y f x = 与 ()y g x = 及直线 x a =、()x b a b =<且 ()()f x g x ≥所围成的图形面积A 。
定积分的应用
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浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?
第六章微元法的应用 (2) §6.1 微元法 (2) §6.2 定积分在几何学中的应用 (4) §6.3 定积分在物理学中的应用 (9) §6.4 定积分在其它领域的应用 (11) 总结与提高 (14) 复习题六 (14)
第六章 微元法的应用 如阿基米德一个根本的那个人的、牛顿与高斯这样的最伟大的数学家，总是不偏不倚地把理论与应用结合起来。 ——克莱因 “微元法”就是根据定积分的定义抽象出来的将实际问题转化成定积分的一种简单直接方法,就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量．通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的科学思维方法。在处理问题时,从对事物的极小部分(微元)分析入手,达到解决事物整体的方法.这是一种深刻的思维方法,是先分割逼近,找到规律,再累计求和,达到了解整体. 微元法在几何、物理、力学和工程技术等方面都有着极其广泛的应用．本章我们首先重点讨论定积分在几何上的应用；其次，讨论它在物理、力学方面的一些应用．最后再讨论在工程技术以及经济学方面的应用． §6.1 微元法 6.1.1 微元法的原理 定积分概念的引入，体现了一种思想，它就是：在微观意义下，没有什么“曲、直”之分，曲顶的图形可以看成是平顶的，“不均匀”的可以看成是“均匀”的。简单地说，就是以“直”代“曲”，以“不变”代“变”；的思想. 直观的看，对于图所示图形的面积时，在[a , b ]上任取一点x ，此处任给一个“宽度”x ?，那么这个微小的“矩形”的面积为 dx x f x x f dS )()(=?= 此时我们把dx x f dS )(=称为“面积微元”。把这些微小的面积全部累加起来，就是整个图形的面积了。这种累加通过什么来实现呢？当然就是通过积分，它就是 ?=b a dx x f S )( 这些问题可化为定积分来计算的待求量A 有两个特点：一是对区间的可加性，这一特点是容易看出的；关键在于另一特点，即找任一部分量的表达式： ()A f x x x ε?=?+? （6.1.1） 然而，人们往往根据问题的几何或物理特征，自然的将注意力集中于找()f x x ?这一项。但不要忘记，这一项与A ?之差在0x ?→时，应是比x ?高阶的无穷小量（即舍弃的部分更微小），借用微分的记号，将这一项记为 ()dA f x dx = （6.1.2） 这个量dA 称为待求量A 的元素或微元。用定积分解决实际问题的关键就在于求出微 图6.1.1 微元法的意义
题型 1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积 2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积 内容 一．微元法及其应用 二．平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三．立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四．平面曲线的弦长 五．旋转体的侧面积 六．定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一．填空题 1. 求由抛物线线x x y 22 +=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线相应于上的一段弧所围成的图形面积为 ． 6.椭圆所围成的图形的面积为 二．选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ． 3 1 B ． C ． D ． 2. 心形线相应于的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ） A ． B ． C ． D ． 3. 曲线相应于区间上的一段弧线的长度为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ?21ln B.dy e e x ?20 C.dy y ?2ln 1ln D.()d x e x ?-21 2 三．解答题 1. 求曲线2 2,2,4 x y x xy y ===所围成的平面图像的面积.
浅谈定积分应用之微元法 作者：任凤丽 来源：《科技创新导报》2011年第35期 摘要:本文简单阐述了定积分应用中的微元法,基于微元法的理论依据,指出了为什么在计算旋转体侧面积时选用的是圆台微元,而不是像计算旋转体的体积时那样选取圆柱微元,即而不是。对初学者进一步理解并正确应用微元法有一定的指导作用。 关键词:定积分应用微元法 中图分类号:O17 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)12(b)-0143-01 我们知道在几何、物理或者其他科学技术中有很多量都需要用定积分来表达,而建立这些量的积分表达式的常用方法就是微元法。换句话说微元法思想在定积分的应用中占有很重要的地位。具体怎样求微元,即如何正确的选取微元这是问题的关键,对初学者来说也是一个难点。这就需要我们细细分析一下微元法的实质,明白微元法的理论依据是什么。 一般来说,用定积分表达的量应具备如下特征[1]:(1)所求量都具有对于区间的可加性,即分布在区间上的总量等于分布在各子区间上的局部量之和,即;(2)所求量是分布在区间上的非均匀连续分布的量。具备了上述特点,因而我们可以利用“分割-近似-求和-取极限”的方法来计算整体量。把上述四步归纳简化后就是通常说的微元法,有时也称无穷小元素的求和法: 1 在区间上任取一个小区间,并取在该区间上局部量的近似值 (1) 2 在区间上积分得 (2) 其中称为积分微元,简称微元。 初学者对于微元法求平面图形的面积及旋转体的体积时,一般都能够准确的找到面积微元及体积微元,对于书上给出的计算公式也能理解并接受。如以及曲线为 边界的曲边图形的面积微元为底为,高为的小矩形的面积,即。以曲边梯形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积微元为底面半径为,高为的小圆柱体的体积,即。但是在选取由曲线段及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的侧面积的面积微元时,常存在疑问。不明白为什么计算侧面积时选用的是圆台微元,而不是像计算旋转体的体积时那样选取圆柱微元呢,即为什么而不是？这得从微元法的理论依据说起。由(2)式我们知道,其中,所以的微分。的所需要的近似
第一节 定积分的微元法 Definite Integral of Microelements 教学目的: 理解微元法的思想,并将其解决问题的过程步骤化 内 容: 定积分的微元法 教学重点: 微元法的思想 教学难点: 微元法思想的理解 教学方法: 精讲:微元法的思想和步骤 教学内容: 应用微积分解决实际问题时,常用的方法是定积分的微元法.现以求解曲边梯形的面积为例,说明微元法的解题过程. 我们已经知道,由连续曲线()y f x =(()0,[,])f x x a b ≥∈,直线,x a x b ==及x 轴围成的曲边梯形的面积S ,通过“分割－近似代替－求和－取极限”四步,可将其表达为特定和式的极限.即 ()011lim ,max{}n i i i i n i S f x x λξλ→≤≤==?=?∑ 其中,i x ?为分割成的第i 个小区间1[,]i i x x -的长度,i ξ为第i 个小区间内任取的一点,()i f ξ为分割成的第i 个小曲边梯形的面积i S ?的近似值(如教材图6-1所示).即 ()i i i S f x ξ?≈? 由定积分的定义,有 ()01lim ()n b i i a i S f x f x dx λξ→==?=∑? 由于S 的值与对应区间[,]a b 的分法及i ξ的取法无关,因此将任意小区间 1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =简单记为[,]x x dx +,区间长度i x ?则为dx ,若取点i x ξ=,则dx 段所对应的曲边梯形的面积 ()S f x dx ?≈ 表达式()01lim ()n b i i a i S f x f x dx λξ→==?=∑?简化为 ()01lim ()n b a i S f x dx f x dx λ→===∑? 若记()dS f x dx =(称其为面积元素),则 ()lim b b a a S f x dx dS dS ===∑?? 可见面积S 就是面积微元dS 在区间[,]a b 上的积分(无穷累积). 通过上面的分析,所求量S 表达为定积分的过程,可概括为以下三步: (1) 确定积分变量x 及积分区间[,]a b ; (2) 在[,]a b 内任取区间微元[,]x x dx +,寻找量S 的微元dS ; (3) 求dS 在区间[,]a b 上的积分,即得所求量S 的精确值. 一般情况下,所求量Q 如满足如下条件,则Q 可用定积分求解. (1) Q 与一个变量x 的变化区间[,]a b 有关. (2) Q 对区间[,]a b 具有可加性.即当将区间[,]a b 分割成n 个子区间时,相应地将Q 分解为n 个部分量i Q ?,且1n i i Q Q ==?∑.
第七章 定积分的应用 一、本章提要 1. 基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法 (1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量， (7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q 必须满足条件： （1）Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关；（2） Q 在[]b a ,上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x ），并确定积分变量的变化区间[]b a ,； （2）取近似找微分：在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+，当x d 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ?（Q ?为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值）；
（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x =??． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间[]R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ??---==R R R R x x R A A d 2d 22=2πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2R A =，于是 22π202π20ππ22 1d 21d R R R A A =?===??θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，其代表性小区间[]r r r d ,+所对应的面积微元r r A d π2d =，于是 20 20π2π2d π2R r r r A R R =?==?． 问题2 如何理解连续函数f (x ) 在闭区间[]b a ,上的平均值?-=b a x x f a b u d )(1是有限个数的算术平均值的推广． 解析 首先，我们知道几个数 y y y n 12,,,???的算术平均值为 y y y y n n y n k k n =++???+==∑()/121 1， 对于函数)(x f ，我们把区间[]b a , n 等分，设分点为a =x x x b n 01<
信阳师范学院华锐学院本科毕业论文 专业数学计算机科学系 年级2008级 姓名胡锦波 论文题目微元法的探究及其应用 指导教师黄封林职称讲师 2012年5月5日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key Words (1) 1.微元理论 (1) 2.利用微元的一般条件 (2) 3.微元法的解题步骤 (4) 4.微元的应用 (5) 4.1微元在几何中的应用 (5) 4.1.1平面曲线弧长的计算 (5) 4.1.2 曲面面积的计算 (5) 4.2微元法在物理学中的应用 (6) 4.2.1电磁感应中的应用 (6) 4.2.2变力做功的问题 (7) 5.微元法在其他方面的应用 (8) 5.1 算数平均值的求法 (8) 5.2经济上的应用 (9) 5.3日常生活的应用 (9) 参考文献 (11)
微元法的探究及其应用 学生姓名：胡锦波 学号：20087031192 数学与计算机科学系 数学与应用数学专业 指导老师：黄封林 职称：讲师 摘 要: 微元法是处理微积分问题的重要方法,微元法的使用使原本复杂的积分问题变得容易处理.本文将给出微元法的原理、使用方法及使用条件,使对微元法有更深刻的认识,然后介绍微元法在几何学、物理上的应用,解决一些具体的实际问题,并研究如何使用微元法更加简单、高效. 关键词: 定积分; 微元法;弧长;面积;功. Abstract ：Micro-element method is an important treatment method for calculus problems. The use of Micro element method make originally complex integral problem becomes easy to deal with. This paper will give the principle of micro-element method, the use of methods and conditions of use of micro-element method to gain a deeper understanding. Then introduce applications of micro element method in geometry and physics to solve specific practical problems and learn how to use micro-element method is more simple and efficient. Key Words: Definite integral; Micro-element method; Arc lengths ;Area; Power. 1.微元法理论 应用定积分解决实际问题时,通常并不是通过定积分定义中的四步曲“分割,取近似,求和,取极限”得到定积分表达式的,而是利用步骤更简单的微元法（又称元素法）得到定积分表达式,它在处理各类积分的应用问题中是一脉相通的,也是学好各类积分的理论依据.微元法理论是通过定积分的定义演化而来的要想深刻理解微元法需要先了解定积分的定义: 设函数()f x 在[,]a b 上有界,若[,]a b 对任意分法012...n a x x x x b =<<<<=, 令任取1i i i x x x -?=-,只要1max{}0i i n x λ≤≤=?→时,1 ()n i i i f x ε=?∑趋于确定的值I ,则称此极限值I 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分,记作 ()b a f x dx ?,即