在柱坐标系下三重积分计算法的探讨‘
计算三重积分的基本方法是将三重积分转化隽三次单积分进行计算，{l{；转诧过程在妻熊坐标系、柱
坐标系和球坐标系下均可进行。对在直角坐标系下如何转化的问题，笔者已在文¨几珏1中进行过讨论，
而在柱坐标系和球坐标系下且易画出积分区域草网的情形，一般教材中都有。因此，本文着重讨论在柱
坐标系下且不易画趱积分区域草图的情形嚣量，如傅将三重积分转化为柱坐标系下三次单积分的阕题。
由于在转化过程中最关键的地方是如何确定单积分的上下限，即如何用柱坐标将积分区域用不等式组
表出。所以，为能较好地理解在柱坐标系下化三熏积分为三(累)次积分的公式，下面先介绍“卜型区
域”、“足一墅区域”穰“歇移一型区域”、“Z醐_型区域”的概念。
1 0--型区域和JR一型区域
(1)Ell不等式组fa置、口囊p ，、给出的平面区域(图1)
Lrl(秽，燕r S r2‘一)
D={(r，参)l^(参)黑r≤r2(移)，g≤0蕊零}
称为护型区域，其中1(0)、r2(0)是(伐，卢]上的单值连续踊数。
卜型区域D的几何特征：
1)逸域D壶连续趣线r=^(拶)(称为里边界线)，，=r2(拶)(称隽外边界线)及射线拶=痿与拶；
届所围成；．
2)从极点出发经过D内部的射线与D的边界曲线的交点不多于两点(图
1)。
(a)(一般情形)
)
0=伐
圈1 0一型区域
Fig．I Region of 0·-type
(b)(特殊情形)
·收稿日期：2008—04—22
终毒簦会：薹艳梅《1963一)，女，云篱省昆羁泰入，捌教授，主要从事基础数学教学王佟。
0=伐
万方数据
第1期董艳梅．等：程柱坐标系下三重积分计算法的探讨·73·(2)由不等式组l口(7)≤o爆05(7’给出的平面区域(图2)
埝≤rl S r g砭
D={(r，一)1 0蠛rt s r蝶如，01(r)蠖秽s 02(r)}
称为置一型隧域，其中0，(，．)、眈(r)是[r，，r2]上的单值连续函数。
霆一型区域D的几何特薤：
1)区域D由连续曲线o=o。(r)(称为右边界线)，o=oz(r)(称为左边界
线)及圆弧r=^与r=
／'2所围成；
2)圆周r=to(尹， ( (a)(一般情形) (b)(一般情形) Itt 2 R一型区域 Fig,2 Region of R—·type 注：当万篓0，(r)蕊如(r)鬃2嘲r时，称曲线0=0，(r)为左边界线，0=岛(r)为右边界限，余类同。 2积卜型区域和Z解一型区域 ra≤0竖芦 (1)在柱坐标系中，由不等式组{r。(0)竖r s r2(0) 给出的空间区域(图3) 。毛(r，拶)竖z≤Z2(r，秽) n={(r，0，z)l善l(r，8)≤嚣s Z5(r，秽)，rl(疗)蹩r冬r5(秽)，理冬0蟋声} 称为朋卜型区域(图3与图1)，其中Q在xoy面上的投影区域D为卜猁区域，即D={(r，一)I r。(口) ≤r s T2(0)，技s 0曼多}，虽zl(r，0)、龟(r，0)是D上的单值连续 函数，^(0)、F2(0)是[a，芦]上的单值 连续函数。 zR兮一型区域D的几何特征： 1)区域Q在xoy蜀上的投影送域D为有界阈卜型区域； 2)n由连续曲面彳=z。(r，秽)(称为下顶界面)，：=Z5(r， 9)(称为上顶界面)及以D的边界曲线为准线而母线平行于名 辘的拄蘧为侧露(特殊情形下可退化为一条睦线，即上、下顶 界面的交线)所围成； 3)穿过Q内部而平行于Z轴的直线与n的边界曲面的交 点不多于薄点(图3)。 由上可觅，将Q视为积卜型区域并将其用柱黛标形式 的不等式组表出时，其关键首先是将Q的草图画出(如果需要 且霹能的话)，其次将代表上、下顼赛恧的蕊数用柱坐标形式 表出，最后将Q在xoy面上的投影区域D用极坐标形式的不等 式组表出(此时视D为卜型区域)。 隧3 ZR0一鳖区域 Fig,3 Region of ZR0—-type 万方数据 ·74·云南师范大学学报(自然科学版) 第29卷 《2)阕理有ZOR一型区域， Q茹{(r，0，z){毛(r，拶)匿孑≤z2(r，0)，^爆r 5 r2，0l(r)≤0爆02(r)} (图3与图2)的概念及其几何特征，只要将朋沪型区域n在xoy面上的投影区域D改为尺一型区域 郄霹。 (3)如果穿过Q内部而平行于菇轴或Y轴的直线与Q的边界曲面的交点不多于两点，则可将n投 影到yoz或粼面上，从而可定义石凇沪型、x锻一型、豫卜型及姗一型区域(略)。 z霆移一型、z敬～型、盖弼卜型、礴鼯一型、掀拶一型及瑚跫一型送域统称必麓单区域。 如果穿过Q内部而平行于坐标轴的直线与n的边界曲面的交点多于两点，则称Q为一般区域。显 然，一般鼷域不是简单区域。 当翁为一般区域时，可添加辅助蘸诼将Q分鳃成若予个小闭送域，使每个小阈区域郝是篱单嚣域 (如积p一型区域)，然后利用三重积分的性质，将Q上的三重积分分解为各部分简单小闭区域上的三 重积分值之和。因此，只要会利用柱坐标计算简单区域上的三重积分之值，就可利用柱坐标计算一般区 域上的三霆积分之箧。 3 三重积分在柱坐标系下的转化公式 以_______下只针对不易画出积分区域草图的情形进行讨论，且只给出积卜型和z解一型这两种形式，其 余四种形式请读者自己思考。 当n的立体孳烫不易蘑穗时，爵借助Q在坐标露主的投影区域并结合定顶的方法疆1来确定Q的柱 坐标不等式组表示法，由此得到在柱坐标系下累次积分的上下限，进而据此得到在柱坐标系下计算兰重 积分的累次积分公式。 (1)不易垂出立体莘匿的z霆沪型区域情形 设n是积沪型区域，曲顶函数分别为Z=名，(算，Y)=妒(r，0)与g I 92(髫，Y)=沙(r，0)(谁为上顶 界面暂不知)，侧面豳母线平行于三轴的柱厩或上下顶界面的交线构成，此时Q的边界曲面的交线在xoy 蟊上的投影必是Q在xoy面上投影嚣域D的边界髓线，置D为沪型嚣域(即。可表为{i盂罗主罗s如(8))。另外，在D内部任取一点(ro％)(或(Xo,yo))后比较妒(ro,eo)和 多(ro，磊)(或三，(瓢，知)稀≈(菇o，Yo))豹大小，大者为上颈，小者隽下顼。如当互=妒(r，移)秀上顶赛瑟聪， 积分区域Q可用柱搬标不等式组表为 ’ fa≤0蜒／3 筑：{rl(拶)蕊r s屯(移) ‘9(r，秒)墨z≤睁(r，p) f菇=rcosO 。。 因此，在柱坐标变换{，，=rsinO下便得劐将三重积分|||兵茗，Y，名)玉化为依次对茗、r、移进行积分的三(累) 【：：z 絮 次积分公式： 4 毫(鼬幸(r，孝) Ⅲ以x,y,z)dv=p，dr，f(rcos0，rsin疗)·rdz (1) 郄转化势连续计算三次定积分。 (2)不易画出立体草图的功融一型区域情形 设n是z解一型区域，曲顶函数仍为z=妒(，．，一)与z=沙(r，口)(谁为上顶界面暂不知)，侧面由母 线平行于#轴酶柱霹或上下预爨蟊的交线构成，此时’Q酶边界蘧瑟的交线在xoy嚣上的投影必是Q在 万方数据 第1期董艳梅，等：在柱坐标系下三重积分计算法的探讨·75· 髫。y面上投影区域D的边界曲线，且D为R一型区域f即D可表为f01(7)s 0 s仍(r’1。另外，比较 、LrI≤r≤I"2 ， 妒(r，0)与砂(r，0)大小的方法与情形l相同。如当z=砂(r，p)为上顶界面时，积分区域Q可用柱坐标不 等式组表为 rpl(r)5 0冬02(r) m卜sr 5 r2 L妒(r，p)≤z≤砂(r，口) 因此，在柱坐标变换下可得到将三重积分Ⅲ八石，Y，z)幽化为依次对z,O、r进行积分的三(累)次积分公式： 雀 I 丘(r) 廿(，。一) Ⅲ八名，Y,z)dv=dr f dO f八rc。s0 rsin口)·砘(2) 由以上讨论看出：在柱坐标系下计算三重积分的问题仍归结为计算三次定积分，其关键是如何根据 积分区域和被积函数的特点选择适当的积分顺序，并正确确定出积分的上下限。确定累次积分的上下 限是计算三重积分的难点，也是重点，在学习中应注意把握。 注意：在把简单区域上的三重积分化为柱坐标系下的三次积分进行计算时，如果Q为朋卜型区 域，则化为依次对z、r、0的三次积分进行计算；如果Q为z解一型区域，则化为依次对z,O、r的三次积分 进行计算；如Q既为欲卜型区域，又为z解一型区域，则既可化为依次对彳、r,O也可化为依次对z,O、r 的三次积分进行计算，但究竞选择何种顺序计算较简便，应根据积分区域和被积函数的特点来确定。 例1 利用柱坐标计算三重积分Jr 2巧石F鸶帝，其中Q是由曲面彳=xy ≯2@2+广)三及柱 面菇2+y2=4(石≥0)，(髫+1)2+y2=5(菇≥0)所围成的有界闭区域。 解因柱面并2+Y2=4(x≥0)与(石+1)2+Y2=5(菇≥0)是Q的侧面且它们 在xoy面上的投 影是Q在xoy面上投影区域D的边界(图4)，又对D内部任一点(菇。，Yo)处有XoYo<(菇：+元)亏，故z= xy为下顶界面，z=(并2+广)彳为上顶界面。 J 。y 2 飞／，。=一s等 压一1 >／r=瓜而一 ÷卜嘲 压一1』少； 多之 ‘＼ 4 、0=一alv圮os二 图4 Q在xoy面上的投影区域 Fig,4 The projection region of Q in the xoy coordinate plane 由于区域D既可视为卜型区域，又可视为尺一型区域，故Q既可视为朋卜型区域，又可视为 万方数据 云南师范大学学报(自然科学版) 第29卷 邪R一型区域，下面用两种不同的方法来计算所给积分。 方法一若视Q为肛型区域’贝oQ可表为{、／—cos20—+4一c。sp冬， f鼍s p 5詈 tr2sinOcosO≤三≤r3 I= 方法二若视 式(2)有： ≤2(见图4)，故由公式(1)有： 一2 2 ，3 丁一彳2 一，要硼石；J丽．删由，专·地=，硼，(r“n胁sO)dr r2．ir曲eoeO’石磊{万一-co．8 J．[(2—2sin觚s口)一虿1(～／—cos20—+4一c。。口)2+(、／—cos20—+4一c。。o)s瑚c咖p 霄 2 =，2一百1(C052口+4—2c伽．石丽+cos20)]dO 11" 2 互互 2 2 =2，v‘iZ手yr-=_：i_石二sin口一2fcos20d0 0 0 =2|．虿5’arcsin＼s店in0J+]丁sin0· 一sarcsin孚一手。 石忑嗣手一2告·予 Q为z Rw型区域，则Q可表为1万-a—rclco≤s4r2≤rr22 ．s parc?字 tr2sinocos0 S彳曼r3 ，=，由J．始J．专吨=J．由，(r“眦。sO)dO 正l一。，拿善一s酶删’屉I一。。乒善 4一r2 2 ”。o’1F =2，由， 嚣一1 0 ：2 J．2??。字出：于aMc。。字d产羁一I 暴-、=产??s字 =4·予一号J． 店 孵 =27r一，(5+j5-sint)d‘ 一手 (r2—6) ．f生! ＼2r 1，由 (利用奇偶性) (利用奇偶性) (见图4)，故由公 (利用奇偶性) (令r2—6=2届int) p ：，，伊 一 万方数据 第1期董艳梅，等：在柱坐标系下三重积分计算法的探讨·77· =21r+(吖／5-cost一5t)l-：磅=5arcsin竿+2一手。 由例l中的两种方法看出，方法一的计算要简单一些。因此，在实际进行计算时，应根据实际情况 来选择较简捷的方法。 (3)不易画出立体草图的一般区域情形 设Q是不易画出其立体草图的一般区域，D是Q在xoy面上的投影区域，则D必可被Q的边界曲 面的交线在xoy面上的投影(必要时在D内适当添加辅助曲线)将其分解为有限个小卜型或小尺一型 区域D．，D：，?，D。，且以每个小区域的边界曲线为准线而母线平行于Z轴的柱面可将Q分解为相应的空 间小简单区域(zR卜型或z衄一型)Q。，Q：，?，Q。。于是，应用情形l或2的方法可计算出Ⅲ以并，Y， 雀 z)dv(i=l，2，?，n)，最后应用重积分的性质便得： Ⅲ八x,yz)dv=萎Ⅲ八x,y,z)dv。 例2将三重积分，=Ⅲ以z，Y，z)dv化为柱坐标系下依次对z、r、 惴 0的三次积分，其中Q是由曲面z=xy，菇2+y2=戈和平面z=0所围 成的有界闭区域嵋1。 解因圆柱面菇2+y2=戈是Q的侧面且它在xoy面上的投影恰 好是Q在xoy面上投影区域D的边界，而Q的边界曲面z=xy与Z= r?n 0的交线在D中的投影线段{了一二， (o≤戈5 1)把D分解为两个小 L彳=0 卜型区域D。和D：(图5)，并以D。、D：的边界曲线为准线而母线平行 于彳轴的柱面又将Q分解为相应的小简单区域(zR卜型)Q，，Q：，同J L Y 厂、l L ＼ D2 ／1 ； ＼／ 图5 n在xoy面上的投影区域 Fi辱5 The projection re#on of n in the xoy coordinate plane 时D。和D：可用极坐标分别表为fo s 0 s詈和r詈s 0冬o。又易知在D。内部任一点(菇。，，，。)娃有 ‘0 S r S cosO ‘0≤r 5 cosO 菇lYl<0，在D2内部任一点(z2，Y2)处有X2Y2<0，故彳=xy=r2sinOcosO 为Q，的上顶界面和Q2的下 顶界面，z=0为Q。的下顶界面和Q：的上顶界面，从而在柱坐标系下Q，，Q：可用不等式组分别表为： 阶{00 s r0≤c。s口 和 f s ≤予 10 s z 5 r2sinOcosO f—W仃-s 0 s 0 I 二一一 Q2：I O≤r s c。s口 lr2sinOcosO曼彳冬0 I=舭Ⅵ，z、)幽=蕊八引，z)dr+舭引，z)dv n n n 手c枷r2sinOc硼o c哪o =fdOfdr，八rc。sp，rsinp，：)。r如+J．dofd，Jf八rc。sp，rsinp，z)·rdz。 o o o 一手 。一枷c呻 例3将舭x,y，：)如d他化为柱坐标系下依次对z、r、目的三次积分，其中Q是由曲面z=xy，菇2+ n y2=1和平面z=0所围成的有界闭区域‘21。 解类似例2，Q及其边界曲面的交线在xoy面上的投影如图6(分为4个小区域)所示，相应小简 单区域分别记为Q。、Q：、Q，、Q。(zR0一型)，且曲面z=xy=r2sinOcosO 为Q．、Q3的上顶界面及Q2、Q。 的下顶界面；为Q．、Q，的下顶界面及Q：、Q。的上顶界面，从而在柱坐标系下Q。、Q：、Q，、Q4可用不等 万方数据 ·78·云南师范大学学报(自然科学版) 第29卷 式组分另lJ表为： f0≤0 s詈『予≤0 s仃 Q1．{o≤r s 1 ， Q2：{o≤r≤l ， 【0 s z冬r2sin跳。sp 【r2sinpc。s0 5 z s 0 f仃5日≤孚f等≤p 5 2仃 Q3：{o s r s l ，化：{o s r≤1 【0冬z s r2sin秽c。s口【r2sin口c。s口≤z s 0 因而由公式(1)、(2)并结合三重积分的性质有： +髓八埘。z)dr+舭埘，z)dv+蕊 n2 1"13 114 J Ly ‘‘八|| 弋．I ．乡h· 图6 n在xoy面上的投影区域 Fig．6 The projection region of Q in the xoy coordinate plane 号1 r2sin如。蚶F 1 0 =，dOfdr f fC rcos0,rsin0，z)·rdz+fdofdr f f(rcos0,rsin0，j)·rdz+ o o o 芋。忍咄神 3仃 丁I r2·inBm口2口1 0 ，dOfdr f八rc。s0,rsin0，z)·rdz+，dp户r f八rc。s0,rsin0，z)·rdz。 ” o o 孚。尚峨咖 由例2、3看出，两例中的积分区域Q均为不易画出草图的一般区域，且在解题过程中均将Q视为 职卜型区域，因而是按照z、r、0的顺序转化为累次积分的。实际上，还可将Q视为z职一型区域，从而 还可按照z,O、r的顺序转化为累次积分，但鉴于篇幅原因未给出，有兴趣的读者可自己进行转化。 参考文献： [1]林谦．在直角坐标系下三重积分计算法的探讨[J]．云南师范大学学报，1999，10(5)：67—72． [2]林谦．再论“在直角坐标系下三重积分的计算法”[J]．高等数学研究，2008，11(2)：18—23． [3]王浚岭．三重积分先一后二求围定顶的计算方法[J]．高等数学研究，2006，9(2)：13—15． Discussion on the Calculation of Threefold Integral in a Cylindrical Coordinate System DONG Yan—meil，LIN Qian2 (1．Kunming University of Science and Technology，Kunming 650093，China； 2．Faculty of Mathematics，Yunnan Normal University，Kunming 650092，China) Abstract：This paper mainly discusses in the column coordinate system when integral regional is difficult to draw the sketch，how to determine the minimum and maximum levels of iterated integral and then cMcIIlate the threefold integral． Key words：cylindrical coordinate system；threefold integral；iterated integral；region of——type；simple 配筋（计算规则）率是钢筋混凝土构件中纵向受力（拉或压）钢筋的面积与构件的有效面积之比（轴心受压构件为全截面的面积）。柱子为轴心受压构件! 受拉钢筋配筋率、受压钢筋配筋率分别计算。 计算公式：ρ=A（s）/bh（0）。此处括号内实为角标,，下同。式中：A(s)为受拉或受压区纵向钢筋的截面面积；b为矩形截面的宽度；h（0）为截面的有效高度。配筋率是反映配筋数量的一个参数。 最小配筋率是指，当梁的配筋率ρ很小，梁拉区开裂后，钢筋应力趋近于屈服强度，这时的配筋率称为最小配筋率ρ（min）。最小配筋率是根据构件截面的极限抗弯承载力M （u）与使混凝土构件受拉区正好开裂的弯矩M（cr）相等的原则确定。最小配筋率取0.2%和0.45f(t)/f(y)二者中的较大值！ 最大配筋率ρ （max）=ξ(b)f(c)/f(y),结构设计的时候要满足最大配筋率的要求，当构件配筋超过最大配筋率时塑性变小，不利于抗震。 配筋率是影响构件受力特征的一个参数，控制配筋率可以控制结构构件的破坏形态，不发生超筋破坏和少筋破坏，配筋率又是反映经济效果的主要指标。控制最小配筋率是防止构件发生少筋破坏，少筋破坏是脆性破坏，设计时应当避免。 钢筋的截面积与所设计的砼结构面的有效面积的比值，称之为配筋率。 在钢筋砼结构中，钢筋的总截面积与所设计的砼结构面的有效高度与宽度的积的比值，称之为配筋率，根据配筋率的大小，其结构分为超筋、适筋、少筋截面。 钢筋面积/构件截面面积（全面积or全面积-受压翼缘面积） 梁的配筋率是梁的受压和受拉钢筋的总截面积除以梁的有效截面,有效截面是钢筋合力点到砼上面的距离。 合力点：是梁宽乘有效高度，有效高度指梁下部筋为一排筋时用高减35，下部筋为两排筋时减60 1、“柱外侧纵筋配筋率”为：柱外侧纵筋（包括两根角筋）的截面积，除以整个柱的截面积所得到的比率。 2、屋面框架梁（WKL）“上部纵筋配筋率”为：梁上部纵筋的总的截面积，除以梁的有效截面积所得到的比率。 梁的有效截面积为梁的截面宽度乘以梁的有效高度。而梁的有效高度为：梁的截面高度-35 （当梁上部纵筋为一排筋时）梁的截面高度-60 （当梁上部纵筋为两排筋时）一般设计上计算时as是纵向受拉钢筋合力点到截面受拉区边缘的距离，因此按受拉钢筋排数区域决定H-35或H-60（梁）而板H-20mm;受拉和受压要取决于梁或板的受力情况，同一条梁在梁中、梁端就不一样(连续多跨梁) 单筋截面： 忽略受压区钢筋的影响，只考虑受拉区钢筋。这样计算简单。 通常用于受弯不是很大的截面。 超筋构建或考虑延性才采用受压区钢筋的作用。 RTK测量中独立坐标系的建立 向垂规 （红河州水利水电勘察设计研究院） 摘要：介绍GPS-RTK测量中WGS-84大地坐标系与独立坐标系转换的方法及南方测绘工程之星数据处理中坐标转换的方法，同时结合工程实例予以验证。关键词：GPS-RTK测量；WGS-84大地坐标系；独立坐标系；坐标转换 1 引言 在水利工程测量中，多数情况下工程所处位置地形复杂，交通不便，通视条件较差，采用以经纬仪、全站仪测量为代表的常规测量常常效率低下。随着GPS-RTK测量系统的使用，由于它具有观测速度快，定位精度高，经济效益高等特点，现在我院多数水利工程测量都是采用RTK测量技术来完成。对于GPS-RTK系统来说，由于它采用的是WGS-84固心坐标系，而在实际工程应用中，由于顾及长度变形、高程异常等影响而采用独立坐标系，这就需要将RTK 测量采集的数据在两坐标系中进行转换。 2 国家坐标系及独立坐标系的建立 2.1 国家坐标系的建立 在我国，由于历史原因先后采用不同的参考椭球体和大地起算数据而形成多个国家坐标系，主要国家坐标系有1954北京坐标系、1980西安坐标系、2000国家坐标系和WGS-84坐标系。前两个是参心坐标系，后两个是固心坐标系。由于他们采用不同的椭球体参数，所以地面上同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标值。 国家坐标系的主要作用是在全国建立一个统一的平面和高程基准，为发展国民经济、空间技术及国防建设提供技术支撑，也为防灾、减灾、环境监测及当代地球科学研究提供基础资料。 2.2 独立坐标系的建立 在工程应用中，由于起算数据收集困难、测区远离中央子午线及满足特殊要求等诸多原因，如在水利工程测量中，常要测定或放样水工建筑物的精确位置，要计算料场的土石方贮量和水库的库容。规范要求投影长度变形不大于一定的值（如《工程测量规范》为2.5cm/km,《水利水电工程测量规范（规范设计阶段）》为5.0cm/km）。如果采用国家坐标系统在许多情况下（如高海拔地区、离中央子午线较远地方等）不能满足这一要求，这就要求建立地方独立坐标系。 在常规测量中，这种独立坐标系只是一种高斯平面直角坐标系，而在采用GPS-RTK采集数据时，独立坐标系就是一种不同于国家坐标系的参心坐标系。 跟国家坐标系一样，建立独立坐标要确定的主要元素有：坐标系的起算数据、中央子午线、参考椭球体参数及投影面高程等。对于起算数据，可以采用国家坐标系的坐标和方位角或任意假设坐标和方位角。在RTK测量中，我们常采用基线的某一端点的单点定位解作为起点，然后以另一点定向，用测距仪测出基线边长，经改正后算出基线端点的坐标；中央子午线常采用测区中央的子午线；投影面常采用测区的平均高程面。参考椭球体一般是基于原来的参考椭球体做某种改动，使改变后的参考椭球面与投影面拟合最好，投影变形可以减到最小，也便于与国家坐标系统进行换算。 3 坐标系的转换 GPS-RTK接收机采集的坐标数据是基于WGS-84椭球下的大地坐标，而我们经常使用的独立坐标系是基于某种局部椭球体下的平面直角坐标，这两种坐标是不同坐标基准下的两种表现形式。利用WGS-84下的大地坐标来推求独立坐标系中的平面直角坐标，必然要求得两坐标系之间转换参数。求取转换参数的基本思路是利用两坐标系中必要个数的公共点，根据相应的椭球参数及中央子午线采用最小二乘法严密平差解算转换参数，具体操作是由转换模型把不同坐标基准下的坐标转换为同基准下的不同坐标形式，再进行同基准下不同坐标形式的转换， 重庆三峡学院数学分析课程论文 二重积分的计算方法 2014年5月 二重积分的计算方法 (重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班) 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 引言 .求 σ, 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D U 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ??U ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分 (),b d a c dx f x y dy ? ?也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有 (),D f x y d σ?? ()() () 21,d x y c x y dx f x y dy =?? 例1求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V . 解：设圆柱底面半径为a ,两个圆柱方程为 2 2 2 x y a +=与222 x z a +=. 只要求出第一卦限部分的体积,然后再乘以8即得所求的体积. 第一卦限部分的立体式以 最全的功率计算公式 概述 ? ? ? ?功率包括电功率、机械功率。电功率又包括直流电功率、交流电功率和射频功率；交流功率又包括正弦电路功率和非正弦电路功率；机械功率又包括线位移功率和角位移功率，角位移功率常见于电机输出功率；电功率还可分为瞬时功率、平均功率（有功功率）、无功功率、视在功率。在电学中，不加特殊声明时，功率均指有功功率。在非正弦电路中，无功功率又可分为位移无功功率，畸变无功功率，两者的方和根称为广义无功功率。 本文列出了上述所有功率计算公式，文中p(t)指瞬时功率。u(t)、i(t)指瞬时电压和瞬时电流。U、I指电压、电流有效值，P指平均功率。 1普遍适用的功率计算公式 在电学中，下述瞬时功率计算公式普遍适用 在力学中，下述瞬时功率计算公式普遍适用 在电学和力学中，下述平均功率计算公式普遍适用 W为时间T内做的功。 在电学中，上述平均功率P也称有功功率，P=W/T作为有功功率计算公式普遍适用。 在电学中，公式（3）还可用下述积分方式表示 其中，T为周期交流电信号的周期、或直流电的任意一段时间、或非周期交流电的任意一段时间。电学中，公式（3）和（4）的物理意义完全相同。 电学中，对于二端元件或二端电路，下述视在功率计算公式普遍适用： 2直流电功率计算公式 已知电压、电流时采用上述计算公式。 已知电压、电阻时采用上述计算公式。 已知电流、电阻时采用上述计算公式。 针对直流电路，下图分别列出了电压、电流、功率、电阻之间相互换算关系。 ? 3正弦交流电功率计算公式 正弦交流电无功功率计算公式： 正弦交流电有功功率计算公式： 正弦电流电路中的有功功率、无功功率、和视在功率三者之间是一个直角三角形的关系： 当负载为纯电阻时，下式成立： 电功率的计算公式 电功率的计算公式，用电压乘以电流，这个公式是电功率的定义式，永远正确，适用于任何情况。 对于纯电阻电路，如电阻丝、灯炮等，可以用“电流的平方乘以电阻”“电压的平方除以电阻”的公式计算，这是由欧姆定律推导出来的。 但对于非纯电阻电路，如电动机等，只能用“电压乘以电流”这一公式，因为对于电动机等，欧姆定律并不适用，也就是说，电压和电流不成正比。这是因为电动机在运转时会产生“反电动势”。 例如，外电压为8伏，电阻为2欧，反电动势为6伏，此时的电流是（8－6）/2＝1（安），而不是4安。因此功率是8×1＝8（瓦）。 另外说一句焦耳定律，就是电阻发热的那个公式，发热功率为“电流平方乘以电阻”，这也是永远正确的。 还拿上面的例子来说，电动机发热的功率是1×1×2＝2（瓦），也就是说，电动机的总功率为8瓦，发热功率为2瓦，剩下的6瓦用于做机械功了。 电工常用计算公式 一、利用低压配电盘上的三根有功电度表，电流互感器、电压表、电流表计算一段时间内的平均有功功率、现在功率、无功功率和功率因数。 （一）利用三相有功电度表和电流互感器计算有功功率 式中 N——测量的电度表圆盘转数 K——电度表常数（即每kW·h转数） t——测量N转时所需的时间S CT——电流互感器的变交流比 （二）在三相负荷基本平衡和稳定的情况下，利用电压表、电流表的指示数计算视在功率 （三）求出了有功功率和视在功率就可计算无功功率 （四）根据有功功率和现在功率，可计算出功率因数 例1某单位配电盘上装有一块500转／kW·h电度表，三支100／5电流互感器，电压表指示在400V，电流表指示在22A，在三相电压、电流平衡稳定的情况下，测试电度表圆盘转数是60S转了5圈。求有功功率、现在功率、无功功率、功率因数各为多少？ [解]①将数值代入公式（1），得有功功率P＝12kW ②将数值代入公式（2）；得视在功率S=15kVA ③由有功功率和视在功率代入公式（3），得无功功率Q=8l kVar ④由有功功率和现在功率代入公式（4），得功率因数cosφ= 0．8 二、利用秒表现场测试电度表误差的方法 （一）首先选定圆盘转数，按下式计算出电度表有N转内的标准时间 式中 N——选定转数 P——实际功率kW K——电度表常数（即每kW·h转数） CT——电流互感器交流比 （二）根据实际测试的时间（S）。求电度表误差 1 利用直角坐标系计算 1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若D 为x 型区域（如图1），即 {}12(,)()(),D x y x x x a x b ??=≤≤≤≤，其中12(),()x x ??在[,]a b 上连续，则有 21() () (,)(,)b x a x D f x y d dx f x y dy ??σ=?? ?? ； （1） 若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有 21() () (,)(,)d y c y D f x y d dy f x y dx ψψσ=?? ?? ．[1] （2） 例1 计算2 2D y dxdy x ?? ，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤????．确定了积分区域然后可以 利用公式（1）进行求解． 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤???? 则 2 2 21221x x D y y dxdy dx dy x x =???? y y=x xy=1 D2 D1 x O 2 1 1 2 图3 图1 32 121 3x x y dx x ??= ???? 2 51 133x dx x ?? =- ???? 221412761264x x ??=+= ??? 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算 当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并 不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计 算，这是可以将复 杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3） 进行计算， 例2 计算二重积分D d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域． 分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不 是y 型区域，但是将可D 划分为 ()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型区 域，进而通过公式 （3）和（1）可进行计算． 解 D 划分为 ()1,01,22x D x y x y x ??=≤≤≤≤???? ， (){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤- 则 1 2 D D D d d d σσσ=+??????12230 12 2 x x x x dx dy dx dy -=+?? ?? 1 20112322x x dx x dx ? ???=-+-- ? ???? ??? 1 2 22013333442x x x ??? ?=+-=??????? ? 1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算 3D o x y 1 D 2D 图 4 y x O x=2y y=2x x+y=3 图5 三相电总功率计算公式解读 三相电功率计算公式包括三种功率，有功功率P、无功功率Q和视在功率S。对于对称负载来说，三种功率计算公式均比较简单，相对测量也比较简单，也只需测量一路电量信号即可。 对于要求精度较高的场合，我必须采用两表法或者三表法来测量三相功率。 电压与电流之间的相位差（）的余弦叫做功率因数，用符号cos表示，在数值上，功率因数是有功功率和视在功率的比值，即cos=P/S 三种功率和功率因素cos是一个直角功率三角形关系：两个直角边是有功功率、无功功率，斜边是视在功率。 有功功率平方+无功功率平方=视在功率平方。三相负荷中，任何时候这三种功率总是同时存在：视在功率S=1.732UI 有功功率P=1.732UIcos 无功功率Q=1.732UIsin 功率因数cos=P/S sin=Q/S 如供电电压是交流三相电，每相电压为220V， 已知电机额定电压为380V，额定电流为15A，请问，： 1、当三相异步电机在星形启动时，电功率计算公式是否为：根号3*U*I*功率因数，U是380V还是220V？ 2、当三相异步电机在角形运转时，电功率计算公式是否为：根号3*U*I*功率因数，U是380V还是220V？ 1》供电电压是交流三相电，每相电压为220V，电机额定电压为380V，额定电流为15A （应该是15KW△接的），可将电机改为Y接以适应三相220V运行，其计算公式U＝220V，电压低了，电流大了，功率保持不变。 2》当三相电压为380V时，三相异步电机在原有接法中不论Y接还是△接，其计算公式U＝380V。 3》当三相电压为380V时，三相异步电机原为△接法改为Y接法时，因其绕组原来是承受380V的，改Y接法后其绕组能承受380V电压的根号3倍（即3801.732660V），绕组 配筋率是钢筋混凝土构件中纵向受力（拉或压）钢筋的面积与构件的有效面积之比（轴心受压构件为全截面的面积）。柱子为轴心受压构件。在桥梁工程中，一般指的是面积配筋率，即受拉钢筋面积与主梁面积之比。 1基本定义 配筋率是钢筋混凝土构件中纵向受力（拉或压）钢筋的面积与构件的有效面积之比（轴心受压构件为全截面的面积）。受拉钢筋配筋率、受压钢筋配筋率分别计算。钢筋混凝土构件最小配筋率如下： 受压构件：全部纵向钢筋0.6%；一侧纵向钢筋0.2% 受弯构件、偏心受拉、轴心受拉构件一侧的受拉钢筋0.2% 2计算公式 1.ρ=A（s）/A。此处括号内实为角标,，下同。式中：A(s)为受拉或受压区纵向钢筋的截面面积；A根据受力性质不同而含义不同，分别为：1.受压构件的全部纵筋和一侧纵向钢筋以及轴心受拉构件、小偏心受拉构件一侧受拉钢筋的配筋率计算中，A取构件的全截面面积； 2.受弯构件、大偏心受拉构件一侧受拉钢筋的配筋率计算中，A取构件的全截面面积扣除受压翼缘面积(b'(f)-b)h'f后的截面面积。 最小配筋率是指，当梁的配筋率ρ很小，梁拉区开裂后，钢筋应力趋近于屈服强度，这时的配筋率称为最小配筋率ρ（min）。最小配筋率是根据构件截面的极限抗弯承载力M （u）与使混凝土构件受拉区正好开裂的弯矩M（cr）相等的原则确定。最小配筋率取0.2%和0.45f(t)/f(y)二者中的较大值！ 最大配筋率ρ（max）=ξ(b)f(c)/f(y),结构设计的时候要满足最大配筋率的要求，当构件配筋超过最大配筋率时塑性变小，不利于抗震。 配筋率是影响构件受力特征的一个参数，控制配筋率可以控制结构构件的破坏形态，不发生超筋破坏和少筋破坏，配筋率又是反映经济效果的主要指标。控制最小配筋率是防止构件发生少筋破坏，少筋破坏是脆性破坏，设计时应当避免。[1] 2.箍筋面积配筋率：面积配筋率(ρsv)： 配置在同一截面(b×s，b为矩形截面构件宽度，s为箍筋间距)内箍筋各肢的全部截面面积与该截面面积的的比率。其中，箍筋面积Asv=单肢箍筋的截面面积Asv1×肢数n。 国家基础坐标系知识 北京54坐标系(BJZ54)北京54坐标系为参心大地坐标系，大地上的一点可用经度L54、纬度M54和大地高H54定位，它是以克拉索夫斯基椭球为基础，经局部平差后产生的坐标系，其坐标详细定义可参见参考文献[朱华统。1954年北京坐标系的历史：新中国成立以后，我国大地测量进入了全面发展时期，再全国范围内开展了正规的，全面的大地测量和测图工作，迫切需要建立一个参心大地坐标系。由于当时的“一边倒”政治趋向，故我国采用了前苏联的克拉索夫斯基椭球参数，并与前苏联1942年坐标系进行联测，通过计算建立了我国大地坐标系，定名为1954年北京坐标系。因此，1954年北京坐标系可以认为是前苏联1942年坐标系的延伸。它的原点不在北京而是在前苏联的普尔科沃。西安80坐标系1978年4月在西安召开全国天文大地网平差会议，确定重新定位，建立我国新的坐标系。为此有了1980年国家大地坐标系。1980年国家大地坐标系采用地球椭球基本参数为1975年国际大地测量与地球物理联合会第十六届大会推荐的数据。该坐标系的大地原点设在我国中部的陕西省泾阳县永乐镇，位于西安市西北方向约60公里，故称1980年西安坐标系，又简称西安大地原点。基准面采用青岛大港验潮站1952－1979年确定的黄海平均海水面（即1985国家高程基准）。西安80坐标系与北京54坐标系其实是一种椭球参数的转换作为这种转换在同一个椭球里的转换都是严密的，而在不同的椭球之间的转换是不严密，因此不存在一套转换参数可以全国通用的，在每个地方会不一样，因为它们是两个不同的椭球基准。那么，两个椭球间的坐标转换，一般而言比较严密的是用七参数布尔莎模型，即 X 平移， Y 平移， Z 平移， X 旋转（WX）， Y 旋转（WY）， Z 旋转（WZ），尺度变化（DM ）。要求得七参数就需要在一个地区需要 3 个以上的已知点。如果区域范围不大，最远点间的距离不大于 30Km（经验值），这可以用三参数，即 X 平移， Y 平移， Z 平移，而将 X 旋转， Y 旋转， Z 旋转，尺度变化面DM视为 0 。 方法如下（MAPGIS平台中）： 第一步：向地方测绘局（或其它地方）找本区域三个公共点坐标对（即54坐标x，y，z和80坐标x，y，z） 第二步：将三个点的坐标对全部转换以弧度为单位。（菜单：投影转换/输入单点投影转换，计算出这三个点的弧度值并记录下来） 第三步：求公共点求操作系数（菜单：投影转换/坐标系转换）。如果求出转换系数后，记录下来。 第四步：编辑坐标转换系数。（菜单：投影转换/编辑坐标转换系数。）最后进行投影变换，“当前投影”输入80坐标系参数，“目的投影”输入54坐标系参数。进行转换时系统会自动调用曾编辑过的坐标转换系数。 举个例子，野外采集GPS数据，数据是用大地坐标表示的，也就是用经纬度和高程表示。而采集的数据要在地图上显示出来，就需要将经纬度转化为平面坐标，也就是通常说的x,y坐标。因为我国地形图一般采用高斯投影，所以通常转化成高斯平面坐标显示到地图上。而在经纬度向平面坐标转化的过程中，需要用到椭球参数，因此要考虑所选的坐标系，我国常用的坐标系有北京54，西安80，WGS-84坐标系，不同的坐标系对应的椭球体是不一样的，这里你可能会不明白根椭球体有啥关系，是这样的，我们所说的地理数据都是为了描述大地水准面上的某一个点，而大地水准面是不规则的，我们用一个规定的椭球面去拟合这个水 10二重积分的计算 10二重积分的计算 1、试将二重积分?Skip Record If...?化为两种不同的二次积分,其中区域?Skip Record If...?分别为： 1）由直线?Skip Record If...?及双曲线?Skip Record If...?所围成的区域。 2）?Skip Record If...? 3）?Skip Record If...? 4）环形闭区域：?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 2、改变下列二次积分的次序 1）?Skip Record If...??Skip Record If...?。 2）?Skip Record If...??Skip Record If...?。 3）?Skip Record If...??Skip Record If...?。 3、画出积分区域，并计算二重积分 1）?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?是由抛物线?Skip Record If...?所 围成的闭区域。 解：原式?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 2）?Skip Record If...?，其中? 闭区域。 解：原式?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 最全的功率计算公式 功率包括电功率、机械功率。电功率又包括直流电功率、交 流电功率和射频功率；交流功率又包括正弦电路功率和非正弦电 路功率；机械功率又包括线位移功率和角位移功率，角位移功率 常见于电机输出功率；电功率还可分为瞬时功率、平均功率（有 功功率）、无功功率、视在功率。在电学中，不加特殊声明时， 功率均指有功功率。在非正弦电路中，无功功率又可分为位移无 功功率，畸变无功功率，两者的方和根称为广义无功功率。本文 列出了上述所有功率计算公式，文中p(t)指瞬时功率。u(t)、i(t)指瞬时电压和瞬时电流。U、I指电压、电流有效值，P指平均功率。1普遍适用的功率计算公式 在电学中，下述瞬时功率计算公式普遍适用 在力学中，下述瞬时功率计算公式普遍适用 在电学和力学中，下述平均功率计算公式普遍适用 W为时间T内做的功。 在电学中，上述平均功率P也称有功功率，P=W/T作为有功功率计算公式普遍适用。 在电学中，公式（3）还可用下述积分方式表示 其中，T为周期交流电信号的周期、或直流电的任意一段时间、或非周期交流电的任意一段时间。电学中，公式（3）和 （4）的物理意义完全相同。 电学中，对于二端元件或二端电路，下述视在功率计算公式普遍适用： 2直流电功率计算公式 已知电压、电流时采用上述计算公式。 已知电压、电阻时采用上述计算公式。 已知电流、电阻时采用上述计算公式。 针对直流电路，下图分别列出了电压、电流、功率、电阻之间相互换算关系。3正弦交流电功率计算公式 正弦交流电无功功率计算公式： 正弦交流电有功功率计算公式： 正弦电流电路中的有功功率、无功功率、和视在功率三者之间是一个直角三角形的关系： 当负载为纯电阻时，下式成立： 此时，直流电功率计算公式同样适用于正弦交流电路。4非正弦交流电功率计算公式 非正弦交流电功率计算公式采用普适公式（3）或（4） 对于周期非正弦交流电，将周期交变电压电流进行傅里叶变换，展开为傅里叶级数，有功功率计算公式还可表示为：上式中，当n仅取一个值时，例如：n=1，上式成为基波有功功率计算公式；n=3，上式成为三次谐波有功功率计算公式。 力，功，功率之间的计算 功率 功率表征作功快慢程度的物理量。单位时间内所作的功称为功率，用P表示。故功率等于作用力与物体受力点速度的标量积。指物体在单位时间内所做的功，即功率是表示做功快慢的物理量。 功率（英语：power）是单位时间内做功的大小或能量转换的大小。若是在时间内所做的功，这段时间内的平均功率由下式给出：瞬时功率是指时间趋近于0时的平均功率：在讨论能量转换问题时，有时用字母代替。 功率Power 表示做功快慢程度的物理量。做功的量与做功所用时间之比称为功率，它在数值上等于单位时间内所做的功，用P表示。若在时间间隔dt内作功dA，则功率为故功率等于作用力与物体受力点速度的标量积。 计算公式 功率可分为电功率，力的功率等。故计算公式也有所不同。 电功率计算公式：P=W/t =UI，根据欧姆定律U=IR代入P=UI中还可以得到： P=I*IR=(U*U)/R 在动力学中：功率计算公式：P=W/t（平均功率）；P=Fvcosa（瞬时功率） 因为W=F（f 力）×S（s位移）（功的定义式），所以求功率的公式也可推导出P=F·v （当v表示平均速度时求出的功率为相应过程的平均功率，当v表示瞬时速度时求出的功率为相应状态的瞬时功率）。 公式中的P表示功率，单位是“瓦特”，简称“瓦”，符号是W。 W表示功。单位是“焦耳”，简称“焦”，符号是J。 T表示时间，单位是“秒”，符号是"s"。 力的功率为p=w/t 提升物体做功公式：W有= Gh = mgh 单位 P表示功率，单位是“瓦特”，简称“瓦”，符号是“W”。W表示功，单位是“焦耳”，简称“焦”，符号是“J”。“t”表示时间，单位是“秒”，符号是“s”。 功率越大转速越高，汽车的最高速度也越高，常用最大功率来描述汽车的动力性能。最大功率一般用马力（PS）或千瓦（kW）来表示，1马力等于0.735千瓦。1W=1J/s 关于力的计算公式 ⒈力(F):力是物体对物体的作用。物体间力的作用总是相互的。 力的单位:牛顿(N)。 测量力的仪器:测力计;实验室使用弹簧测力计。 1.7 配 筋 率 1.7.1 纵向受力钢筋的最小配筋率 1.7.1.1 不考虑地震的纵向受力钢筋的最小配筋率 1）钢筋混凝土结构构件中纵向受力构件的最小配筋率不应小于表1-75及表1-76规定的数值。 表1-75 混凝土构件中纵向受力钢筋的最小配筋率min ρ（%） 注：1.轴心受压构件、偏心受压构件全部纵向钢筋的配筋率以及各类构件一侧受压钢筋的配 筋率应按构件的全截面面积计算；轴心受拉构件及小偏心受拉构件一侧受拉钢筋的配筋率应按构件的全截面计算；受弯的梁类构件、大偏心受拉构件一侧受拉钢筋的配筋 率应按全截面面积扣除受压边缘面积（b b f -'）' f h 后的截面面积计算。当钢筋沿构件截面周边布置时，“一侧的受压钢筋”或“一侧的受拉钢筋”系指沿受力方向两个对边中的一边布置的纵向钢筋； 2.当温度、收缩等因素对结构有较大影响时，构件的最小配筋率应按上述规定适当增加； 3.受压构件全部纵向钢筋的最小配筋率，当采用HRB400级、RRB400级钢筋时，应按表中规定减少0.1；当混凝土强度为C60及以上时，应按表中规定增大0.1； 4.偏心受拉构件中的受压钢筋，应按受压构件一侧纵向钢筋考虑。 表1-76 受弯构件、偏心受拉构件、轴心受拉构件一侧 受拉纵向钢筋最小配筋百分率min ρ（%） 续表1-76 注：本表是1-75序号3的具体化。 2）对于卧置于地基上的混凝土板，板的受拉钢筋的最小配筋率可适当降低，但不应小于0.15%。 1.7.1.2 考虑地震作用组合的框架梁纵向受拉钢筋的最小配筋率 考虑地震作用组合的框架梁纵向受拉钢筋的最小配筋百分率min （%）如表1-77及表1-78所示。 表1-78 y f =300N/mm 2 (y f =360N/mm 2)框架梁纵向受拉钢筋最小配筋率 续表1-78 §6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 6.2.1大地坐标系 P 点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构成的二面角 L ， 叫做P 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经（0o ～180°）。 P 点的法线Pn 与赤道面的夹角B ， 叫做P 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。 大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的。过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。大地坐标坐标系中，P 点的位置用L ,B 表示。如果点不在椭球面上，表示点的位置除L ,B 外，还要附加另一参数——大地高H ，它同正常高正常H 及正高正H 有如下关系 ?? ???+=+=)() (大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ 6.2.2空间直角坐标系 以椭球体中心O 为原点，起始子午面与赤道面交线为X 轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y 轴，椭球体的旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O -XYZ ，在该坐标系中，P 点的位置用Z Y X ,,表示。 地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。 6.2.3子午面直角坐标系 设P 点的大地经度为L ，在过P 点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立y x ,平面直角坐标系。在该坐标系中，P 点的位置用L ,y x ,表示。 归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有 ·电能公式和电能质量计算公式大全 电能公式和电能质量计算公式大全电能公式 电能公式有W=Pt,W=UIt,(电能＝电功率x时间) 有时也可用W=U^2t/R=I^2Rt 1度=1千瓦时=3.6*10^6焦P：电功率 W：电功 U:电压 I:电流 R：电阻 T:时间 电能质量计算公式大全 1.瞬时有效值： 刷新时间1s。 (1)分相电压、电流、频率的有效值 获得电压有效值的基本测量时间窗口应为10周波。 ① 电压计算公式： 相电压有效值，式中的是电压离散采样的序列值（为A、B、C相）。 ② 电流计算公式： 相电流有效值，式中的是电流离散采样的序列值（为A、B、C相）。 ③ 频率计算： 测量电网基波频率，每次取1s、3s或10s间隔内计到得整数周期与整数周期累计时间之比(和1s、3s或10s时钟重叠的单个周期应丢弃)。测量时间间隔不能重叠，每1s、3s或10s间隔应在1s、3s或10s时钟开始时计。 (2)有功功率、无功功率、视在功率（分相及合相） 有功功率：功率在一个周期内的平均值叫做有功功率，它是指在电路中电阻部分所消耗的功率，以字母P表示，单位瓦特 (W)。 计算公式： 相平均有功功率记为，式中和分别是电压电流离散采样的序列值（为A、B、C相）。 多相电路中的有功功率：各单相电路中有功功率之和。 相视在功率 单相电路的视在功率：电压有效值与电流有效值的乘积，单位伏安(VA)或千伏安(kVA)。 多相电路中的视在功率：各单相电路中视在功率之和。 相功率因数 电压与电流之间的相位差(Φ)的余弦叫做功率因数，用符号cosΦ表示，在数值上，功率因数是有功功率和视在功率的比值，即cosΦ=P/S 计算公式： 多相电路中的功率因数：多相的有功功率与视在功率的比值。 无功功率：单相电路中任一频率下正弦波的无功功率定义为电流和电压均方根值和其相位角正弦的乘积，单位乏 (Var)。（标准中的频率指基波频率） 计算公式： 多相电路中的无功功率：各单相电路中无功功率之和。 (3)电压电流不平衡率(不平衡度) 不平衡度：指三相电力系统中三相不平衡的程度。用电压、电流负序基波分量或零序基波分量与正序基波分量的方均根百分比表示。电压、电流的负序不平衡度和零序不平衡度分别用、和、表示。 首先根据零序分量的计算公式计算出零序分量，如果不含有零序分量，则按照不含零序分量的三相系统求电压电流不平衡度。如果含有零序分量，则按照含有零 教 案 参赛教师: 职称: 助教 所在院系: 数学与统计学院 所授课程: 高等数学 20XX年5月 第十章重积分 第二节二重积分的计算法 （第1课时） 教学目的：理解二重积分计算公式导出的方法，理解公式中符号的意义；熟练掌握X-型区域与Y-型区域上的积分公式，并能根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分.重点：X-型区域上二重积分的积分公式；根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分. 难点：选择合适的方法计算二重积分. 教学方法：直观教学，启发式讲授. 教学过程： 一、利用直角坐标系计算二重积分 1．积分区域D的分类 （1）积分区域D 为X-型区域 图1 图2 图1，图2表示的区域都是X-型区域. X-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 的边界的交点个数不超过两个. 用不等式组表示为 ).()(21x y x b x a D ??≤≤≤≤，： （2）积分区域D 为Y-型区域 图3 图3，图4表示的都是Y-型区域. Y-型区域的特点：穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 边界交点的个数不多于两个. 当积分区域为Y-型区域时，即 12:,()() D c y d y x y ψψ≤≤≤≤ 2．二重积分计算公式 （1）积分区域D 为X-型区域时 (,)D f x y d σ ??的计算公式. 当0),(≥y x f 时，由二重积分的几何意义 (,)D f x y d σ ??的值等于以D 为底，以(,)z f x y =为顶的 曲顶柱体（图5）的体积V . 即 ??=D d y x f V σ ),(. 过x 轴上 x 点作平行于yOz 的平面 x π, 0a x b ≤≤ . 图5 x π截V 得一以1020[(),()]x x ??长为底,0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形, 其面积为 2010() 00() ()(,)x x A x f x y dy ??=? . y x O ) (2y d c 3、电磁调速系统 电磁调速系统由鼠笼异步电机、转差离合器、测速电机和控制装置组成，通过改变转差离合器的激磁电流来实现调速。转差离合器的本身的损耗是由主动部分的风阻?磨擦损耗及从动部分的机械磨擦损所产生的。如果考虑这些损耗与转差离合器的激磁功率相平衡，且忽略不计的话，转差离合器的输入?输出功率可由下式计算： 电动机轴输出功率 式中：T2—转差离合器的输出转矩 n2 –-转差离合器的输出轴转速 电动机的输出功率，即为转差离合器的输入功率。对于恒转矩负载，T= T1 = T2=常数，所以，转差离合器的效率： 电磁调速电机为鼠笼式电机，由于输入功率和转矩均保持不变，鼠笼式电机的功率保持不变。损耗以有功的形式表达出来，损耗功率通过转差离合器涡流发热并由电枢上的风叶散发出去。 由损耗功率公式(10)可以清楚看到，电磁调速电机的转速越低，浪费能源越大，然而生产机械的转速通常不在最大转速下运行，变频调速是一种改变旋转磁场同步速度的方法，是不耗能的高效调速方式，因此改用变频调速的方式会有非常好的节能效果，节省的能量直接可用(10)式计算。 4?液力偶合器调速系统 液力偶合器是通过控制工作腔内工作油液的动量矩变化，来传递电动机能量，电动机通过液力偶合器的输入轴拖动其主动工作轮，对工作油进行加速，被加速的工作油再带动液力偶合器的从动工作涡轮，把能量传递到输出轴和负载。液力偶合器有调速型和限矩型之分，前者用于电气传动的调速，后者用于电机的起动，系统中的液力偶合器在电机起动时起缓冲作用。由于液力偶合器的结构与电磁转差离合器类似，仿照电磁调速器效率的计算方法，可得： 同样，用(12)式可计算将液力耦合器调速改造为变频调速后的节能量。 5?绕线式电机串电阻调速系统 绕线式电机最常用改变转子电路的串接电阻的方法调速，随着转子串接电阻的增大，不但可以方便地改变电机的正向转速，在位能负载时，还可使电机反向旋转和改变电机的反向转速，因此这种调速方式在起重﹑冶金行业应用较多。 对于绕线式电机，无论在起动?制动还是调速中，采用转子串电阻方式均会带来电能损耗。这种损耗随着转速的降低，转差率S的增大而增大，另外，随着串接电阻的增大，机械特性变软，难以达到调速的静态指标。配筋计算公式1
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