一、单项选择题：
1．设集合A={}{}
|1,,2,.x x a x R B x x b x R -<∈=-∈若A ?B,则实数a,b 必满足 A ．3a b +≤ B ．3a b +≥ C ．3a b -≤ D ．3a b -≥
【答案】D
【解析】{}{}|1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+，
{}
{}222B x x b x x b x b =-=+<-或，若A ?B ，则有21b a +≤-或21
b a -≥+3a b ∴-≥
2．已知向量(,1)m a =-，(21,3)n b =-(0,0)a b >>，若m n ，则21
a b
+的最小值为（ ）
A ．12
B ．8+
C ．15
D ．10+
【答案】B
【解析】∵m =（a ，﹣1），n =（2b ﹣1，3）（a ＞0，b ＞0），m ∥n ， ∴3a +2b ﹣1＝0，即3a +2b ＝1，
∴21a b +=（21a b
+）（3a +2b ） ＝843b a a b
+
+
≥8+
＝8+
当且仅当
43b a a b =，即a 36=，b 14
=，时取等号，
∴21
a b
+的最小值为：8+ 故选：B ．
3．在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +?=-(123)n =，，，
，那么8a =（ ） A ．2- B ．1
2
-
C ．1
D ．2
【答案】A
【解析】由11a =，12n n a a +?=-可得，
22a =-，31a =，42a =-，故数列是以2周期的数列，
所以82a =-. 故选：A
4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）
A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D
【解析】对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误； 对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误； 对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，
即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；
对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确 故选D ．
5．方程sin()lg 3x x π
+=的实数根个数为（ ）
A ．3个
B ．5个
C ．7个
D ．9个
【答案】A
【解析】解：方程sin()lg 3x x π+=的实数根个数等价于函数sin()3y x π
=+与函数lg y x
=的图像的交点个数，
在同一直角坐标系中，函数sin()3y x π
=+与函数lg y x =的图像如图所示，
由图可知，函数sin()3
y x π
=+与函数lg y x =的图像的交点个数为3个，
则方程sin()lg 3x x π
+=的实数根个数为3个，
故选：A.
6．已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ）
A ．43
-
B ．
2332
C ．34
D ．38
- 【答案】A
【解析】由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数， 由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
则()()()2244log 12
222log 12
24log 12log 1244log 122
23
f f f -=-=--=-=-
=-，
故选：A.
7．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC ?
是边长为
PA PB ==，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A ．16π
B ．
654
π
C ．
6516
π
D ．
494
π
【答案】B 【解析】
如图所示，取AB 中点D ，连接,PD CD ，三角形的中心E 在CD 上， 过点E 作平面ABC 垂线.在垂线上取一点O ，使得PO OC ，
因为三棱锥底面是一个边长为E 为三角形的中心，
,OA OB OC ∴== O ∴点即为球心，
因为,PA PB D =为AB 中点，所以PD AB ⊥， 因为平面PAB ⊥平面,ABC
PD ∴⊥平面ABC ，则//OE PD ，
2
3,2,13
CD CE CD DE CD CE ======-=，
22
2PD
PB BD ，
设球的半径为r ,则有,PO OC r OE ===， 作OG PD ⊥于G ，则OEDG 为矩形，
222
()PD DG OG PO -+=，即(
2
2221r +=,解得26516
r =
， 故表面积为2
6544
S r π
π==
，故选B . 8．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C
的渐近线交于不同原点O 的A B ，两点，若四边形AOBF 的面积为()2
212
a b +，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．2
y x =±
B ．y =
C ．y x =±
D ．2y x =±
【答案】C
【解析】根据题意，OA AF ⊥，双曲线C 的焦点F 到C 的一条渐近线b
y x a
=±
的距离为
b =，则||AF b =，所以||OA a =，所以()2212ab a b =+，所以1b a =，所以双曲
线C 的渐近线方程为y x =±.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。 9．若点D ，E ，F 分别为ABC ?的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a =，CA b =，则下列结论正确的是（ ）
A ．1
2
AD a b =--
B ．1
2
BE a b =+
C ．11
2
2
CF a b =-+
D ．1
2
EF a =
【答案】ABC 【解析】如图，
在ABC ?中，11
22AD AC CD CA CB b a =+=-+=--，故A 正确；
1
2BE BC CE a b =+=+，故B 正确；
AB AC CB b a =+=--，1111
()2222
CF CA AB b b a a b =+
=+?--=-+，故C 正确； 11
22EF CB a ==-，故D 不正确．
故选：ABC
10．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ） A ．函数()y f x =是周期函数 B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称 C ．函数()y f x =为R 上的偶函数 D ．函数()y f x =为R 上的单调函数
【答案】ABC
【解析】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T
=，
故A 正确； 因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-图像关于原点成中心对称，所以B 正确；
又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1
x -
代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；
因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确. 故选：ABC.
11．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，则下列说法正确的是( ) A ．a e > B ．122x x +>
C ．121x x >
D ．()f x 有极小值点0x ，且1202x x x +<
【答案】ABD
【解析】由题意，函数()x f x e ax =-，则()x f x e a '=-，
当0a ≤时，()0x f x e a '=->在R 上恒成立，所以函数()f x 单调递增，不符合题意； 当0a >时，令()0x f x e a '=->，解得ln x a >，令()0x f x e a '=-<，解得ln x a <， 所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增， 因为函数()x f x e ax =-有两个零点12,x x 且12x x <，
则ln (ln )ln ln (1ln )0a f a e a a a a a a a =-=-=-<，且0a >， 所以1ln 0a -<，解得a e >，所以A 项正确；
又由2
12121212ln()2ln ln()2ln()x x a x x a x x x x +==+>+，
取22
e a =，则2
2(2)202,(0)10f e a x f =-===>，
所以101x <<，所以122x x +>，所以B 正确；
由(0)10=>f ，则101x <<，但121x x >不能确定，所以C 不正确； 由函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增， 所以函数的极小值点为0ln x a =，且12022ln x x x a +<=，所以D 正确； 故选ABD.
12．设非负实数,x y 满足21,x y +=
则x 的（ ）
A ．最小值为4
5
B ．最小值为25
C ．最大值为1 D
．最大值为
13
【答案】AC
【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，0,0,2r πθ??
>∈????
，
因为21x y +=，所以2cos sin 1r r θθ+=，所以1
2cos sin r θθ=
+，
所以2
222
2
1tan 211tan cos 1
2cos 2cos sin 1tan
2tan
22
21tan 1tan 2
2
x r r θθ
θθθ
θ
θθ
θ
θ
-++++=+=
=
+-?
+++
[]2
2
1
1
tan 0,1215tan tan
1
tan 2
2
224θθ
θ
θ??==∈ ????
?-++--+
??
?，
所以
(2
max
11
1524
x =
=??-+ ???
，(
min
2145504
x =
=
-+
，
取最大值时tan 02θ
=或1，此时01x y =??=?或120
x y ?
=
??
?=?， 取最小值时1tan 22θ=，此时310
25x y ?=???
?=??
. 故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．i 是虚数单位，则51i
i
-+的值为__________.
【解析】
5(5)(1)
231(1)(1)
i i i i i i i ---==-=++-． 14．已知直线1y x =-与抛物线()2
20y px p =>交于,A B 两点；若直线过抛物线的焦点，
则抛物线的准线方程为__________，若OA OB ⊥，则p 的值为__________． 【答案】1x =-
1
2
【解析】（1）由于直线过抛物线的焦点，令y=0得x=1,所以抛物线的焦点坐标为(1,0), 所以抛物线的准线方程为x=-1.
（2）联立221y px y x ?=?=-?得2(22)10x p x -++=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，所以121222,1x x p x x +=+?=， 因为OA OB ⊥，所以121212120,(1)(1)0x x y y x x x x +=∴+--=，
所以1212()210x x x x -++?+=， 所以12230,2
p p --+=∴=
. 故答案为：(1). 1x =- (2).
12
15．将函数())13f x x π=+-的图象向左平移3π
个单位长度，再向上平移1个单
位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质__________．（填入所有正确性质的序号）
①，图象关于直线3
x π
=-对称；
②图象关于y 轴对称； ③最小正周期为π；
④图象关于点(,0)4π
对称；
⑤在(0,)3
π
上单调递减
【答案】②③④ 【解析】
将函数()213f x x π??=+- ??
?的图象向左平移3π
个单位长度，得到
2133y x ππ??
??=++- ???????()211x x π+-=-的图象向上平移1个单位
长度，得到函数()g x x =的图象，对于函数()g x
3
x π
=-
时，()2
g x =
，不是最值，故()g x 图象不关于直线3x π=-对称，故排除①；
由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故②正确；它的最小周期为
22
π
π=，
故③正确；当4x π
=
时，()0g x =，故函数的图象关于点,04π?? ???对称，故正④确；在0,3π??
???
上，()220,
,3
x g x π??
∈ ???
不是单调函数，故排除⑤，故答案为②③④. 16．已知函数()3x
x
1f x =x 2x+e -
e
-，其中e 是自然数对数的底数，若()()
2
f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________。
【答案】1
[1,]2
-
【解析】
因为3
1()2()x
x f x x x e f x e
-=-++
-=-，所以函数()f x 是奇函数，
因为22'()32320x x f x x e e x -=-++≥-+≥，所以数()f x 在R 上单调递增， 又2(1)(2)0f a f a -+≤，即2(2)(1)f a f a ≤-，所以221a a ≤-，即2210a a +-≤， 解得112a -≤≤
，故实数a 的取值范围为1[1,]2
-． 四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）设数列{}n a 的前n 项和为2
n S an bn =+，且121,3a a ==。
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T 。 【答案】（1）21n a n =-；（2）21
n n
T n =
+ 【解析】(1)由2
n S an bn =+，且12a 1,a 3==，可得1
0a b ==，当2n n n a S =-时，
22111(1)2111n S n n n n S a ，当时，；-=--=-===
(2)∵123111111(21)(21)22121n n n n n b T b b b b a a n n n n +??
=
==-∴=+++?+= ?-+-+??
111111(1)2335212121n n n n ??????-+-+?+-= ? ???-++?????
? 18．（本小题满分12分）已知函数
2
1()sin cos 2
f x x x x ax =++，[,]x ππ∈- （1）当0a =时，求()f x 的单调区间； （2）当0a >，讨论()f x 的零点个数；
【答案】（1）()f x 单调递减区间为：,02π??-????，,2ππ??
????；单调递增区间为：,2ππ??--???
?，
0,2π??
????
；（2）当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.
【解析】∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数， 只需先研究[0,]x π∈
()sin cos f x x x x =+
()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=
当0,2x π??∈????
，()0f x '≥，当,2x ππ??
∈????，()0f x '≤，
所以()f x 在0,
2x π??∈????
单调递增，在,2x ππ??
∈????，单调递减 所以根据偶函数图像关于y 轴对称，
得()f x 在,2x ππ??∈--????单调递增，在,02x ??
∈-????
π单调递减，
.故()f x 单调递减区间为：,02π??-????，,2ππ??
????；单调递增区间为：,2ππ??--????，0,2π?????? （2）()cos (cos )f x x x ax x x a '=+=+
①1a ≥时，()(cos )0f x x x a '=+≥在[0,]x π∈恒成立 ∴()f x 在[0,]x π∈单调递增
又(0)1f =，所以()f x 在[,]x ππ∈-上无零点 ②01a <<时，0(0,)x π?∈， 使得()00cos 0x x a +=，即0cos x a =-. 又cos x 在(0,)π单调递减，
所以()00,x x ∈，()0f x '>，()0,x x π∈，()0f x '<
所以()00,x x ∈，()f x 单调递增，()0,x x π∈，()f x 单调递减， 又(0)1f =，2
1()12
f a ππ=
- （i ）21102a π->，即22
1a π
<<时
()f x 在[0,]π上无零点，
又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上无零点
（ii ）21102a π-≤，即220a π
<≤
()f x 在[0,]π上有1个零点，
又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上有2个零点 综上所述，当2
2
0a π
<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当2
2
a π
>
时，()f x 在[,]
-ππ上无零点.
19．（本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，12AB AA ==，
3
BAD π∠=
，AC BD O =，AO ⊥平面1A BD ，11A B A D =.
（1）证明：1//B C 平面1A BD ； （2）求钝二面角1B AA D --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 1
7
-
【解析】（1）证明：连接1AB 交1A B 于点Q ，易知Q 为1AB 中点，
∵O 为AC 中点，∴在1AB C ?中，11
//2
OQ B C ，
∵OQ ?平面1A BD ，1B C ?平面1A BD ， ∴1//B C 平面1A BD .
（2）∵AO ⊥平面1A BD ，∴1AO A O ⊥， ∵11A B A D =且O 为BD 的中点，
∴1
AO BD ⊥， ∵AO BD ?、平面ABCD 且AO BD O =，
∴1A O ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -.
易得：)
A
，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()10,0,1A ，
∴()1AA =-
，()
AB =， 设平面1A AB 的一个法向量为(),,n x y z =，
则1n AA n AB ?⊥?⊥?
，∴00
z y ?+=??+=??，
令1x =
，得y z ==
∴(1,3,n =.
同理可得平面1A
AD
的一个法向量为(1,m =-，
∴1
cos ,7m n m n m n
?<>=
=
，
∴钝二面角1B AA D --的余弦值为1
7
-.
20．（本小题满分12分）根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超
过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X ，求X 的分布列及数学期望)(X E 和方差)(X D . 【答案】（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米． （2）40.5，该居民区的环境需要改进．
（3）变量ξ的分布列为
11881
012 1.8
100100100E ξ=?
+?+?=（天）,或92 1.810E nP ξ==?=（天） ；18.0=ξD
【解析】（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米． （2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为
7.50.122.50.337.50.252.50.267.50.182.50.140.5?+?+?+?+?+?=（微克/立方米）．因为40.535>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，
故该居民区的环境需要改进．
（3）记事件A 表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，
则
9
()10P A =
. 随机变量ξ的可能取值为0,1,2.且
9(2,
)10B ξ
.
所以2299
()()(1)(0,1,2)
1010k k k P k C k ξ-==-=， 所以变量ξ的分布列为
11881
012 1.8
100100100E ξ=?
+?+?=（天）,或92 1.810E nP ξ==?=（天）
18.0=ξD
21．（本小题满分12分）如图，直线12l l //，点A 是12,l l 之间的一个定点，过点A 的直线EF 垂直于直线1l ，,AE m AF n ==（,m n 为常数），点,B C 分别为12,l l 上的动点，已知
60BAC ∠=?.设ACF α∠=（060α?<
（1）求ABC ?面积S 关于角α的函数解析式()S α； （2）求
(
)S α的最小值.
【答案】（1）11()tan(30)2tan S mn ααα??
?=
++????
（2
【解析】（1）由题意1EF l ⊥,12l l //,∴2EF l ⊥, 在Rt ACF ?中,tan n
CF α
=
,060α?<
在Rt ABE ?中,tan(30)tan(30)EB AE m αα??=+=+. ∴ACF ?的面积2111122tan S AF CF n α=?=?, ∴ABE ?的面积2211
tan(30)22
S AE EB m α?=
?=+, ∴梯形EFCB 的面积11()()tan(30)22tan n S EB CF EF m n m αα?
??=+?=+++????
. ∴12()S S S S α=--
221111()tan(30)tan(30)2tan 2tan 2n m n m n m αααα???
?=
+++-?-+???
? 11tan(30)2tan mn αα??
?=
++????
. （2）令1sin(30)cos tan(30)tan cos(30)sin y αα
αααα
??
?
+=++=++ sin(30)sin cos(30)sin sin cos(30)
αααααα???+++=+
=
??
?
=
=
1sin(230)2
α?=
+-
.
∴当23090α??+=时,即30?=α时,y
取得最小值 此时()S α
.
22．（本小题满分12分）椭圆E ：22
221x y a b +=（0a b >>
）的离心率为2，其左焦点1
F 到点(2,1)P
的距离是 （1）求椭圆E 的方程；
（2）若直线l ：y kx m =+被圆O ：223x y +=截得的弦长为3，且l 与椭圆E 交于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值．
【答案】（1）2
212x y +=；（2
）max 2S =．
【解析】
试题分析：（1）借助条件布列b a 、的方程组；（2）联立方程组，借助维达定理构建面积函数，转求最值.
试题解析：（1
）由题意可得2
c e a =
=
=