平面解析几何 高考复习知识点
一、直线的倾斜角、斜率
1、直线的倾斜角：
（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。 2、直线的斜率
（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；
（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()21212
1
x x x x y y k ≠--=； （3）直线的方向向量(1,)a k =
，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
例题：
例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；
思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围
解析： ∵， ∴．
总结升华：
在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范
围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；
当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.
类型二：斜率定义
例2．已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率.
思路点拨：
本题关键点是求出边AB 与AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.
解析：
如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°
∴直线AB 的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC 的倾斜角为30°，
∴k AB =tan150°=
k AC =tan30°=
总结升华：
在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于
的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.
类型三：斜率公式的应用
例3．求经过点
，
直线的斜率并判断倾斜角为锐
角还是钝角．
思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析：
且
，
经过两点的直线的斜率
，即．
即当
时，
为锐角，当
时，
为钝角．
例4、过两点，
的直线的倾斜角为，求的
值．
【答案】
由题意得：直线的斜率
，
故由斜率公式，
解得
或
． 经检验
不适合，舍去. 故
．
例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．
思路点拨：
如果过点AB ，BC 的斜率相等，那么A ，B ，C 三点共线. 解析：
∵A 、B 、C 三点在一条直线上，
∴k AB =k AC ．即
二、直线方程的几种形式
1、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
2、斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
3、两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为1
211
21x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。
4、截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为
1=+
b
y a
x ，它不包
括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
5、一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。
提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点。如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3）
注：设直线方程的一些常用技巧：
（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；
（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x m y x =+(它不适用于斜率为0的直线)； （3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；
（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.
提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
三、两直线之间的位置关系
1、距离公式
（1）平面上的两点错误！未找到引用源。间的距离错误！未找到引用源。。特别地，原点O （0，0）与任意一点的P(x,y)的距离错误！未找到引用源。
（2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离002
2
A x
B y C
d A B
++=
+；
（3）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为122
2
C C d A B
-=
+。
2、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系： （1）平行?12210A B A B -=（斜率）且12210B C B C -≠（在y 轴上截距）； （2）相交?12210A B A B -≠；
（3）重合?12210A B A B -=且12210B C B C -=； （4）垂直?12120A A B B += 提醒： （1）
1112
2
2
A B C A B C =≠、
112
2
A B A B ≠
、
1112
2
2
A B C A B C =
=
仅是两直线平行、相交、重合的充
分不必要条件！为什么？
（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；
3、两直线夹角公式
（1）1l 到2l 的角是指直线1l 绕着交点按逆时针方向转到和直线2l 重合所转的角θ，
θ()π,0∈且tan θ=
2
1121k k k k +-(121k k ≠-)；
（2）1l 与2l 的夹角是指不大于直角的角,(0,]2
πθθ∈且tan θ=︱
2
1121k k k k +-︱
(121k k ≠-)。
提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如已知点M 是直线240x y --=与x 轴的交点，把直线l 绕点M 逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______（答：360x y +-=） 例题：
例1、两条直线m y x m l 352)3(1-=++：，16)5(42=++y m x l ：，求分别满足下列条件的m 的值．
(1) 1l 与2l 相交； (2) 1l 与2l 平行； (3) 1l 与2l 重合； (4) 1l 与2l 垂直； (5) 1l 与2l 夹角为?45． 解：由m
m +=
+5243得0782=++m m ，解得11-=m ，72-=m ．
由
16
354
3m m -=
+得1-=m ．
(1)当1-≠m 且7-≠m 时，2
121b b a a ≠
，1l 与2l 相交；
(2)当7-=m 时，
212121c c b b a a ≠
=
．21//l l ；
(3)当1-=m 时，2
12
12
1c c b b a a =
=，1l 与2l 重合；
(4)当02121=+b b a a ，即0)5(24)3(=+?+?+m m ，3
11-=m 时，21l l ⊥；
(5) 2
31+-
=m k ，m
k +-
=542．由条件有
145tan 11
212=?=+-k k k k ．
将1k ，2k 代入上式并化简得029142
=++m m ，527±-=m ；
01522
=-+m m ，35或-=m ．∴当527±-=m 或-5或3时1l 与2l 夹角为?45．
例2当a 为何值时，直线01)1()2(1=--++y a x a l ：与直线02)32()1(2=+++-y a x a l ：互相垂直？
解：由题意，直线21l l ⊥．
(1)若01=-a ，即1=a ，此时直线0131=-x l ：，0252=+y l ：显然垂直； (2)若032=+a ，即2
3-
=a 时，直线0251=-+y x l ：与直线0452=-x l ：不垂直；
(3)若01≠-a ，且032≠+a ，则直线1l 、2l 斜率1k 、2k 存在，
a
a k -+-
=121，3
212+--
=a a k ．
当21l l ⊥时，121-=?k k ，即1)3
21()12(-=+--
?-+-
a a a
a ，∴1-=a .
综上可知，当1=a 或1-=a 时，直线21l l ⊥．
例3已知直线l 经过点)1,3(P ，且被两平行直线011=++y x l ：和062=++y x l ：截得的线段之长为5，求直线l 的方程．
解法一：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3=x ，此时与1l 、
2l 的交点分别为)4,3('
-A 和)9,3('
-B ，截得的线段AB 的长
594=+-=AB ，符合题意，
若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为1)3(+-=x k y ． 解方程组??
?=+++-=,01,1)3(y x x k y 得???
??+--
+-114,123k k k k A ， 解方程组??
?=+++-=,
06,1)3(y x x k y 得??
?
??+--
+-119,1
73k k k k B ． 由5=AB ，得2
2
2
5119114173123=??? ?
?+-++--+??? ??+--+-k k k k k k k k ． 解之，得0=k ，即欲求的直线方程为1=y ．
综上可知，所求l 的方程为3=x 或1=y ． 解法二：由题意，直线1l 、2l 之间的距离为1
252
61=-=
d ，且直线l 被平等直线1l 、
2l 所截得的线段AB 的长为5
（如上图），设直线l 与直线1l 的夹角为θ，则2
25
22
5
s i n =
=θ，
故∴?=45θ．
由直线011=++y x l ：的倾斜角为135°，知直线l 的倾斜角为0°或90°，又由直线l 过点)1,3(P ，故直线l 的方程为3=x 或1=y ．
解法三：设直线l 与1l 、2l 分别相交),(11y x A 、),(22y x B
，则：
0111=++y x ，0622=++y x ．
两式相减，得5)()(2121=-+-y y x x ． ① 又25)()(221221=-+-y y x x ②
联立①、②，可得???=-=-052121y y x x 或???=-=-50
21
21y y x x
由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°或90°．
故所求直线方程为3=x 或1=y ．
例4 已知直线082=+-y x l ：和两点)0,2(A 、)4,2(--B ． (1)在l 上求一点P ，使PB PA +最小； (2)在l 上求一点P ，使PA PB -最大． 解：(1)如图，设A 关于l 的对称点为),('n m A
则???????=+?-+-=-08222
2,22
n m m n
∴2-=m ，8=n ． ∴)8,2('
-A
∴B A '的的是2-=x ，B A '与l 的交点是)3,2(-， 故所求的点为)3,2(-P ． (2)如下图，
AB 是方程)2()
2(2)4(0-----=
x y ，
即2-=x y ．
代入l 的方程，得直线AB 与l 的交点)10,12(， 故所求的点P 为)10,12(．
四、对称问题——代入法（中心对称和轴对称）
1、 中心对称
(1)点关于点对称点P （00,y x ）关于（b a ,）对称的点为（002,2y b x a --）； (2)线关于点对称：（转化为点点对称） 在已知直线上任意去两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再有两点式求出直线方程，或者求出一个点，再利用两直线平行（注：线关于点对称的另一条直线和已知直线平行），由点斜式求出直线方程。 特别的，直线x=a 关于点P （00,y x ）的对称直线为a x x -=02；直线y=b 关于点P （00,y x ）的对称直线为b y y -=02 2、 轴对称
（1）点关于直线的对称问题：
（1）点（00,y x ）关于x 轴对称的点为（00,y x -）； （2）点（00,y x ）关于y 轴对称的点为（00,y x -）； （3）点（00,y x ）关于原点对称的点为（00,y x --）； （4）点（00,y x ）关于x y =对称的点为（00,x y ）； （5）点（00,y x ）关于x y -=对称的点为（00,x y --）。
（6）设点P （00,y x ）关于直线y=kx+b 的对称点错误！未找到引用源。则有错误！未找到引用源。由此求出错误！未找到引用源。
特别的，点P （00,y x ）关于直线x=a 的对称点为；点P （00,y x ）关于直线y=b 的对称点为错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。。 （2）直线关于直线的对称问题：
它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴
的对称点),(00'
y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。
直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。 例题：试求直线
1:1=-+y x l 关于直线
33:2=--y x l 对称的直线l 的方程。
解法1：（动点转移法）
在1
l 上任取点)
)(,(2'
'
l P y x P ?，设点P 关于2l
的对称点为),(y x Q ，则
?????-+=++-=????????-=--=-+-+534359343103223'
'''
'
'y x y y x x x x y y y y x x
又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以
15
3
4359
34=--++
++-y x y x 。即
017=--y x 。所以直线l 的方程是017=--y x 。
解法2：（到角公式法）
解方程组???==??
?
?=--=-+01
03301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，
1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则71
3131
311
3=
?+-=
?-+k k
k .所以直线l 的方程是017=--y x 。
解法3：（取特殊点法）
解方程组??
?==??
??=--=-+01
03301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2
l 的对称点的坐标为
)
,('
'y x Q ，则
?????==????
????-=--=-+-+575431210321223''
''
''y x x y y x
而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。
解法4：（两点对称法）
对解法3，在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为)
57
,54(Q ，在1l
上取点M
（0，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为
)
51,512(N 而N ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。
解法5：（角平分线法）
解方程组??
?==??
??=--=-+01
03301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为：设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ,即0=--k y kx .由题意知，2
l 为1,l l 的角平分线，在2l 上取点P （0，-3），则点P 到1,l l 的距离相等，由点到直线距离公
式，有：
1
7
11|30|2
|
130|2
-==
?+-+=
--或k k k
k
1-=k 时为直线1l ，故
71
=
k 。所以直线l 的方程是017=--y x
例题：
例1 ： 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。 分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （00y ,x ），则由中点坐标公式得???????=+=+-,
12
y 3,12
x 200
解得??
?-==1y ,4x 00所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。
评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。
例2 ： 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程。
分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为0b y x 3=+-。 解：由直线l 与04y x 3=--平行，故设直线l 方程为0b y x 3=+-。 由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得
.1
3|b 16|1
3|416|2
2
+++=
+-+
解得10b -=，或4b -=（舍）。则直线l 的方程为.010y x 3=--
评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。此题还可在直线04y x 3=--上取两个特殊点，并分别求其关于点P （2，－1）的对称点，这两个对称点的连线即为所求直线。
例3 ：求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。 利用点关于直线对称的性质求解。
解法1（利用中点转移法）：设点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点为A ′（00y ,x ），则直线AA ′与已知直线垂直，故可设直线AA ′方程为0c y 2x 4=++，把A （2，2）坐标代入，可求得12c -=。 ∴直线AA ′方程为06y x 2=-+。 由方程组??
?=-+=+-0
6y x 2,09y 4x 2解得AA ′中点M ??
?
??3,23
。
由中点坐标公式得
32
2y ,232
2x 00=+=
+，解得.4y ,1x 00== ∴所求的对称点坐标为（1，4）。
评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。 分析：设B （a ，b ）是A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点，则直线AB 与l 垂直，线段AB 中点在直线09y 4x 2=+-上。
解法2（相关点法）：设B （a ，b ）是A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点，根据直线AB 与l 垂直，线段AB 中点在直线09y 4x 2=+-上，
则有???
????=++?-+?-=--?,0922b 422a 2,12
a 2
b 21
解得.4b ,1a ==
∴所求对称点的坐标为（1，4）。
评注：①中点在09y 4x 2=+-上；②所求点与已知点的连线与09y 4x 2=+-垂直。
例4 ： 求直线02y x :l 1=--关于直线03y x 3:l 2=+-对称的直线l 的方程。
分析：设所求直线l 上任一点为P （y ,x ''），利用“相关点法”求其对称点坐标，并将其对称点坐标代入直线1l 方程进行求解。
解：设所求直线l 上任意一点P （y ,x ''）（2l P ?）关于2l 的对称点为Q （11y ,x ），
则???
????-=-'-'=+'+-'+?,1x x y y ,032y y 2x x 31111解得???????
+'+'=-'+'-=.53y 4x 3y ,5
9y 3x 4x 1
1
又因为点Q 在1l 上运动，则=--2y x 110。
025
3
y 4x 35
9
y 3x 4=-+'+'-
-'+'-，解得022y x 7=+'+'。即直线l 的方程为022y x 7=++。
评注：直线关于直线对称实质是点关于线的对称。此题还可在直线1l 上任取一点（非两直线交点）并求其关于直线
2l 的对称点，则该对称点与两直线交点的连线便是所求对称直线。
五、圆的方程：
1、圆的标准方程：()()2
2
2
x a y b r -+-=。
2、①圆的一般方程：
2
2
2
2
0(D E 4F 0)＋－x y D x Ey F ++++=>
特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时，方程22
0x y Dx Ey F ++++=才表示圆，
圆心为(,)22
D
E
-
-，半径为
2
2
142
D E F +-的圆。
②常见圆的方程
圆心在原点：()222
0x y r
r
+=≠；过原点：()()()22
2
2
2
2
0x a y b a b
a
b -+-=++≠；
圆心在x 轴上：()()2
220x a y r r -+=≠；圆心在y 轴上：()()2
220x y b r r +-=≠； 圆心在x 轴上且过原点：()()2
220x a y a a -+=≠； 圆心在y 轴上且过原点：()()2
220x y b b b +-=≠； 与x 轴相切：()()()2
2
2
0x a y b b
b -+-=≠;与y 轴相切：()
()()2
2
2
0x a y b a
a -+-=≠
与两坐标轴都相切：()()()2
2
20x a y b a a b -+-==≠ 3、圆的参数方程：
{
cos sin x a r y b r θ
θ
=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。圆的
参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤
cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤
。
4、()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--= 例题
例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．
解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．
∴?????=+-=+-2
22
24)3(16)1(r
a r a 解之得：1-=a ，202=r ．
所以所求圆的方程为20)1(2
2=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13
124-=--=
AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方
程为：23-=-x y 即01=+-y x ．
又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C
∴半径204)11(2
2=
++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．
又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为r PC d >=
++==254)12(2
2
．
∴点P 在圆外．
例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．
解：则题意，设所求圆的方程为圆2
22)()(r b y a x C =-+-：．
圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆042422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．
(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得
1022±=a ．
∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故
622±=a ．
∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．
解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切， ∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，
又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．
∴5
25
2y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ．
又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C
∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，
∴
2
2)53(5
32-+=+t t t
t ．
化简整理得0562=+-t t ．解得：1=t 或5=t
∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．
例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．
解：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．
由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为?90，故圆截x 轴所得弦长为r 2． ∴222b r =
又圆截y 轴所得弦长为2． ∴122+=a r ．
又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为
5
2b a d -=∴2
2
25b a d
-=
ab
b a 442
2-+=)
(242
222b a b a +-+≥122
2
=-=a b
当且仅当b a =时取“=”号，此时5
5min =d ．
这时有?
??=-=122
2a b b
a ∴??
?==1
1b a 或??
?-=-=1
1b a
又222
2
==b r
故所求圆的方程为2)1()1(2
2
=-+-y x 或2)1()1(2
2
=+++y x
六、点、直线与圆的位置关系
1、点与圆的位置关系
已知点()00M ,x y 及圆()()()2
2
2C 0：x-a y b r r +-=>，
（1）点M 在圆C 外()()2
2
200CM r x a y b r ?>?-+->； （2）点M 在圆C 内?()()2
2
200CM r x a y b r
（3）点M 在圆C 上()2
0CM r x a ?=?-()2
20y b r +-=。
2、直线与圆的位置关系
（1）直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种情况，分别对应直线与圆有两个公共点、一个公共点、没有公共点。
相交 相切 相离 （两个公共点） （一个公共点） （没有公共点） （2）直线与圆的位置关系的判断方法
①几何法：
通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断。
设直线l ：Ax+By+C=0 圆C ：(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0) 则圆半径为r
设圆心到直线的距离为d ，则 则r d > 直线与圆相离 则r d = 直线与圆相切 则r d < 直线与圆相交 ②代数法：
通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断
直线方程与圆的方程联立方程组???=++++=++0
02
2F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：
（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交； （2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切； （3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；
即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C 到直线l 的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：
相切?d=r ?Δ＝0； 相交?d
2
2
B
A C b
B aA d +++=
相离?d>r ?Δ<0。 (3) 直线与圆的相交弦问题
① 几何法：
弦心距d,半径r 及半弦l/2构成直角三角形的三边 ，利用垂径定理和勾股定理：2
2
2AB r d =-
（其中r 为圆的半径，d 直线到圆心的距离）.
② 代数法（解析法）
利用弦长计算公式：设直线y kx b =+与圆相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，
则弦()()22
1212AB x x y y =-+-=||1212x x k -+=错误！未找到引用源。 （4）切线：①过圆222x y R +=上点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=过圆
222
()()x a y b R
-+-=上点00(,)P x y 圆的切线方程是：2
00()()()()x a x a y a y a R --+--=
②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，
运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；
③切线长：过圆220x y Dx Ey F ++++=（222()()x a y b R -+-=）外一点
00(,)P x y 所引圆的切线的长为
22
0000x y Dx Ey F ++++（22200()()x a y b R -+--）；
例题：
1．已知圆O ：x 2
＋y 2
＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形
的面积等于________．
解析：依题意，过A (1,2)作圆x 2＋y 2
＝5的切线方程为x ＋2y ＝5，在x 轴上的截距为5，
在y 轴上的截距为52，切线与坐标轴围成的三角形面积S ＝12×52×5＝254.答案：25
4
2．过原点O 作圆x 2＋y 2
－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的长为________．
解析：∵圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，可知圆心为(3,4)，半径为 5.
如图可知，|CO |＝5，
∴OP ＝25－5＝2 5.∴tan ∠POC ＝PC OP ＝1
2
.在Rt △POC 中，OC ·PM ＝
OP ·PC ，∴PM ＝25×5
5
＝2.∴PQ ＝2PM ＝4.答案：4
3．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是________．
解析：将圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0化为标准方程，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.
若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，
即d ＝|3×1＋4×(－2)＋m |32＋4
2＝|m －5|5>1，∴m <0或m >10.
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
4．已知直线3x －y ＋2m ＝0与圆x 2＋y 2＝n 2相切，其中m ，n ∈N *，且n －m <5，则满足条件的有序实数对(m ，n )共有________个．
解析：由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即2m －1＝n ，所以
2m －1－m <5，因为m ，n ∈N *
，所以????? m ＝1n ＝1，????? m ＝2n ＝2，????? m ＝3n ＝4，?
????
m ＝4n ＝8，故有序实数
对(m ，n )共有4个．答案：4个
5．直线ax ＋by ＋b －a ＝0与圆x 2＋y 2－x －3＝0的位置关系是________．
解析：直线方程化为a (x －1)＋b (y ＋1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆的方程，左侧小于0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交．答案：相交
6．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a 与b 的夹角为60°，直线x cos α＋y sin α＝0
与圆(x ＋cos β)2＋(y ＋sin β)2＝1
2
的位置关系是________．
解析：cos60°＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝cos(α－β)，
d ＝|cos α·cos β＋sin α·sin β|cos 2α＋sin 2α＝|cos(α－β)|＝32>22＝r .答案：相离
7．已知：以点C (t ，2
t
)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，
其中O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．
解：(1)证明：∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2
＋(y －2t )2＝t 2＋4t
2，
令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4
t
；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .
∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|4
t
|×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．
(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k O C ＝1
2
，
∴直线OC 的方程是y ＝12x .∴2t ＝1
2
t ，解得：t ＝2或t ＝－2.
当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝1
5
<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．
当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4
的距离d ＝1
5
>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，
∴t ＝－2不符合题意舍去．∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.
七、圆与圆的位置关系
(1)两圆位置关系的判定方法
①几何法：
设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21。
条公切线外离421??+>r r d ； 条公切线外切321??+=r r d ；
条公切线
相交22121??+<<-r r d r r ；
条公切线内切121??-=r r d ； 无公切线内含??-<<210r r d ；
外离 相切 相交 内切 内含
②代数法：
判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决（方法同直线与圆位置关系的代数法）【一般不提倡用此法，太过繁琐】 (2)两圆的公共线 ① 定义：当两圆相交时，必有两个交点，那么过这两点交点的弦为圆的公共点。 ② 公共弦所在直线方程 设圆
:1112
2
1=++++F y E x D y x C ① 0
:2222
2
2=++++F y E x D y x C ②
若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是
用①-②得 0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ③ 若圆C 1与C 2相交，则③式为公共弦所在的直线方程 若圆C 1与C 2外（内）切，则③式外（内）切线的方程
若圆C 1与C 2相离（外离或内含），则③式为圆的C 1、C 2相离的直线
例题：
例1．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________.
解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y ＝1
a ，
如图，由已知|AC |＝3，|OA |＝2，有|OC |＝1
a
＝1，∴a ＝1.
答案：1
例2．过点A (11,2)作圆x 2＋y 2
＋2x －4y －164＝0的弦，其中弦长为整数的共有__条．
解析：方程化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝132，圆心为(－1,2)，到点A (11,2)的距离为12，最短弦长为10，最长弦长为26，所以所求直线条数为2＋2×(25－10)＝32(条)．答案：32
例3．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0相交于A 、B 两点，
(1)求公共弦AB 所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y ＝－x 上，且经过A 、B 两点的圆的方程．
解：(1)?
???
?
x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0?x －2y ＋4＝0.
(2)由(1)得x ＝2y －4，代入x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0中得：y 2－2y ＝0. ∴????? x ＝－4y ＝0或?
????
x ＝0y ＝2，即A (－4,0)，B (0,2)， 又圆心在直线y ＝－x 上，设圆心为M (x ，－x )，则|MA |＝|MB |，解得M (－3,3)，∴⊙M ：
(x ＋3)2＋(y －3)2＝10.
例4 已知圆C 1：x 2 + y 2 – 2mx + 4y + m 2 – 5 = 0，圆C 2：x 2 + y 2 + 2x – 2my + m 2 – 3 = 0，m 为何值时，（1）圆C 1与圆C 2相外切； （2）圆C 1与圆C 2内含.
【解析】对于圆C 1，圆C 2的方程，经配方后 C 1：(x – m )2 + (y + 2)2 = 9，C 2：(x + 1)2 + (y – m )2
= 4. （1）如果C 1与C 2外切，则有
2
2
(1)(2)
32
m m +++=+，
所以m 2 + 3m – 10 = 0，解得m = 2或–5. （2）如果C 1与C 2内含，则有
2
2
(1)(2)32
m m +++<-，
所以m 2 + 3m + 2＜0，得–2＜m ＜–1.
所以当m = –5或m = 2时，C 1与C 2外切； 当–2＜m ＜–1时，C 1与C 2内含.
例5求过直线x + y + 4 = 0与圆x 2 + y 2
+ 4x – 2y – 4 = 0的交点且与y = x 相切的圆的方程.
【解析】设所求的圆的方程为x 2 + y 2 + 4x – 2y – 4 + λ(x + y + 4) = 0. 联立方程组2
2
424(4)0
y x
x y x y x y λ=??++--+++=?
得：2
(1)2(1)0x x λλ+++-=.
因为圆与y = x 相切，所以?=0. 即2
(1)8(1)0,λλλ++-=则=3
故所求圆的方程为x 2 + y 2 + 7x + y + 8 = 0.
例6 求过两圆x 2
+ y 2
+ 6x – 4 = 0求x 2
+ y 2
+ 6y – 28 = 0的交点，且圆心在直线x – y – 4 = 0上的圆的方程.
【解析】依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为(–3，0)和(0，–3).
则连心线的方程是x + y + 3 = 0.
由3040
x y x y ++=??--=?
解得12
72
x y ?=???
?=-??.
所以所求圆的圆心坐标是17(
,)2
2
-
.
设所求圆的方程是x 2 + y 2 – x + 7y + m = 0
由三个圆有同一条公共弦得m = –32.
故所求方程是x 2 + y 2
– x + 7y – 32 = 0.
例7．已知圆C 的方程为x 2＋y 2
＝1，直线l 1过定点A (3,0)，且与圆C 相切．
(1)求直线l 1的方程；
(2)设圆C 与x 轴交于P 、Q 两点，M 是圆C 上异于P 、Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′.求证：以P ′Q ′为直径的圆C ′总过定点，并求出定点坐标．
解：(1)∵直线l 1过点A (3,0)，且与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，设直线l 1的方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，
则圆心O (0,0)到直线l 1的距离为d ＝|3k |k 2＋1＝1，解得k ＝±2
4，
∴直线l 1的方程为y ＝±2
4
(x －3)．
(2)对于圆C ：x 2＋y 2
＝1，令y ＝0，则x ＝±1，即P (－1,0)，Q (1,0)．又直线l 2过点A 且与x 轴垂直，∴直线l 2方程为x ＝3.
设M (s ，t )，则直线PM 的方程为y ＝t
s ＋1
(x ＋1)．
解方程组?????
x ＝3，y ＝t s ＋1(x ＋1)，得P ′(3，4t s ＋1)．同理可得Q ′(3，2t
s －1)． ∴以P ′Q ′为直径的圆C ′的方程为
(x －3)(x －3)＋(y －4t s ＋1)(y －2t s －1
)＝0，又s 2＋t 2
＝1，
∴整理得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2
t
y ＝0，
若圆C ′经过定点，只需令y ＝0，从而有x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±22， ∴圆C ′总经过定点，定点坐标为(3±22，0)．
一年级数学知识点 1、开口向左读大于，尖角向左读小于，一双筷子是等于。 比较两数大和小，前面数大用大于，前面数小用小于，两边相等用等于。大于号，开口朝着大数。小于号，屁股撅给小数瞧。2、把几部分的数合起来，求一共有多少要用加法计算。如： 从总数里拿走（或去掉、吃了、飞了）一部分，求另一部分是多少用减法计算。如： 3、一个数加0或减0，还得这个数。 4、6个面都相同的是正方体；长长方方的是长方体；上下一样粗细，两头是圆形的是圆柱；圆圆的，可以向任意方向滚动的是球。长方体、正方体、圆柱和球都是立体图形。 5、长方形、正方形、圆和三角形都是平面图形，都是立体图形上的一个平平的面。 长方形和正方形的区别是看边的长短，长方形的对边相等，正方形的４条边都相等。 长方体和正方体的区别是看面的形状，正方体的６个面都是正方形。 6、分类的标准不同，分类的结果就不同。 7、大问号，弯弯绕，问个问题不知道，一滴眼泪往下掉。 大括号，像花边，两条花边分两方，两边合起就用它。 问号挂在括号下，加法来算共多少。 问号掉在括号上，减法来算一部分。 正确使用加减法，解决问题我最棒。 8、计算连加，先把前两个数相加，再把得数与第三个数相加。 9、计算连减，先把前两个数相减，再用得数减去第三个数。 10、加数+加数=和 被减数-减数=差 11、凑十法：九凑一，一凑九。八凑二，二凑八。 七凑三，三凑七。六凑四，四凑六。 双五相见就满十。 12、从右边起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位。有１个十在十位写１，有２个十在十位写２，有几个一在个位写几。个位上的数是几就表示几个一，十位上的数是几就表示几个十。 读数写书都从高位起。 13、最大的一位数是９，最小的两位数是１０。 14、确定位置时，一般横为行，竖为列。交换两个加数的位置，和不变。如：８＋７﹦７＋８﹦１５ 15、破十法就是先把十几分成十和几，先用十减去减数，减得的结果再和几合起来。 16、人民币的单位有元、角、分。 1元=10角 1角=10分 17、时针最粗、最短，分针较细、较长。 认识钟面上的刻度：钟面上有12个大格，每个大格里面有5个小格。 时针转动1大格是1小时，分针转动1小格是1分钟。 1时=60分 认识整时与半时，先看分针指哪里。 整时分针指１２，时针指几是几时。 半时分针指向６，时针就在两数间， 半时时针过了几，我们就读几十半。 18、９加几、８加几、７加几、６加几的计算技巧： 大数是９，用小数减１，剩几就是十几。如：９＋６＝？，大数是９，小数是６，用小数６－１＝５，所以９＋６＝１５。 大数是８，用小数减２，剩几就是十几。 大数是７，用小数减３，剩几就是十几。 大数是６，用小数减４，剩几就是十几。
高考第一轮复习数学知识点总结数学是必考科目之一，小编准备了高考第一轮复习数学知识点，具体请看以下内容。 一、2019数学高考复习直线与方程知识点 直线与方程就是直线的方程，在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点，直线，平面间的关系研究几何图形的性质。 (1)直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180 (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，。当时，;当时，不存在。 ②过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点： (1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90 (2)k与P1、P2的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 二、数学高考复习空间两直线的位置关系知识点 空间两条直线只有三种位置关系。 1、按是否共面可分为两类： (1)共面：平行、相交 (2)异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为(0，90)esp.空间向量法 两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： (1)有且仅有一个公共点相交直线;(2)没有公共点平行或异面 三、2019高考数学直线和平面的位置关系知识点 直线和平面只有三种位置关系。 ①直线在平面内有无数个公共点 ②直线和平面相交有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
第二章平面解析几何初步章末总结（附解 析苏教版必修2） 【金版学案】2015-2016高中数学第二章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修2 一、数形结合思想的应用 若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且 ∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________． 解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法． y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°. ∴k＝3或－3. 答案：3或－3 规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和 形象思维相结合． 1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线 的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的 直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范
围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化． 2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质． ►变式训练 1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________． 解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±5. ∴点C的坐标为(0，5)． 又点M的坐标为(－1，0)， ∴kMC＝5－00－（－1）＝5. 结合图形得0k5. 答案：(0，5) 2．当P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点时，若不等式m＋n＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．解析：方法一∵P(m，n)在已知圆x2＋(y－1)2＝1上，且使m＋n＋c≥0恒成立，即说明圆在不等式x＋y＋c≥0
2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇 高一数学是很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴
的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
《高考数学知识点总结》【文】 第一部分集合与简易逻辑 (2) 第二部分不等式的解法 (2) 第三部分函数 (3) 第四部分导数 (6) 第五部分三角函数 (6) 第六部分数列 (9) 第七部分平面向量 (11) 第八部分不等式性质 (12) 第九部分直线和圆 (13) 第十部分圆锥曲线 (14) 第十一部分立体几何 (17) 第十二部分复数 (18) 第十三部分概率与统计 (19) 第十四部分极坐标与参数方程 (20)
第一部分 集合与简易逻辑 1. 数集的符号表示：自然数集N ；正整数集N* ；整数集 Z ；有理数集Q 、实数集R 2. ?是任何集合的子集，条件为A B ?时不要遗忘了A =?的情况 3.对于含有n 个元素的有限集合子集数目：其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n , 2n -1, 2n -1, 2n -2 4.理解集合的意义―抓住集合的代表元素。如:{x|y=f(x)} 表示y=f(x)的定义域，{y|y=f(x)} 表示y=f(x)的值域，{(x,y)|y=f(x)} 表示y=f(x)的图像 5. A 是B 的子集A B ??A ∪B=B ?A ∩B=A ， 6.四种命题及其相互关系:若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若﹁p 则﹁q ” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p ”。互为逆否关系的命题是等价命题.对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ???”判断其真假 7.要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”；“p 且q ”的否定是“p ?或q ?” 8、逻辑联结词：命题p q ∧真假判断：两真才真，一假则假；命题p q ∨真假判断：两假才假，一真则真；命题p ?真假与P 相反 9、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示； 全称命题p ：?x ∈M,P(x)； 全称命题p 的否定?p :?x ∈M, ?P(x)。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示； 特称命题p ：?x ∈M, P(x)； 特称命题p 的否定?p ：?x ∈M, ?P(x)； 10.充要条件:由A 可推出B ，A 是B 成立的充分条件；B 是A 成立的必要条件。 从集合角度解释，若B A ?，则A 是B 的充分条件；B 是A 的必要条件；小充分大必要 第二部分 不等式的解法 11.一元二次方程的基础知识：①求根公式：②根的判别式：?=b 2-4ac ③根与系数关系： x 1+x 2=－b a , x 1x 2=c a ④根的分布：方程ax 2+bx+c=0有两正根的条件是：12120,0,0x x x x ?≥+>>g ；有两负根的条件是：12120,0,0x x x x ?≥+<>g ；有一正一负两根的条件是：?>0, x 1x 2<0；在),(+∞k 上有两根的条件是：0,,()0x k f k ?≥>>对、在(,)k -∞上有两根的条件是： 0,,()0x k f k ?≥<>对、在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的条件是f （k ）<0 12. 一元二次不等式的解法：先将二次项系数化为正数，解出对应方程的两根，根据不等号方向写出解集（大于取两边，小于取中间）注意：二次项系数为字母或两根表达式含字母时要类讨论开口方向及根的大小。 13.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系：二次方程ax 2+bx+c=0的两个根即为二次不等式ax 2+bx+c>0的解集的端点值，也是二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴交点的横坐标 14.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分变成标 准型f(x)g(x) >0，再转化为整式不等式f(x)g(x)>0求解，注意最高次项的系数要为正 15. 绝对值不等式的解法：单绝对值不等式用公式法：||x a x a x a >?<->或. ||x a a x a
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =
1 高中数学总复习 高中数学第一章-集合 I. 基础知识要点 1. 集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 2. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B. 如果C A C B B A ???，那么，. [注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）. 3. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ? ??=-=+1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =?） 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. 例：①若325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.
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平面解析几何初步 知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式 【典型例题】 例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值.
高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21
小学数学知识点大全 （一）笔算两位数加法，要记三条 1、相同数位对齐； 2、从个位加起； 3、个位满10向十位进1。 （二）笔算两位数减法，要记三条 1、相同数位对齐； 2、从个位减起； 3、个位不够减从十位退1，在个位加10再减。 （三）混合运算计算法则 1、在没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法的，都要从左往右按顺序运算； 2、在没有括号的算式里，有乘除法和加减法的，要先算乘除再算加减； 3、算式里有括号的要先算括号里面的。
（四）四位数的读法 1、从高位起按顺序读，千位上是几读几千，百位上是几读几百，依次类推； 2、中间有一个0或两个0只读一个“零”； 3、末位不管有几个0都不读。 （五）四位数写法 1、从高位起，按照顺序写； 2、几千就在千位上写几，几百就在百位上写几，依次类推，中间或末尾哪一位上一个也没有，就在哪一位上写“0”。 （六）四位数减法也要注意三条 1、相同数位对齐； 2、从个位减起； 3、哪一位数不够减，从前位退1，在本位加10再减。 （七）一位数乘多位数乘法法则 1、从个位起，用一位数依次乘多位数中的每一位数； 2、哪一位上乘得的积满几十就向前进几。
（八）除数是一位数的除法法则 1、从被除数高位除起，每次用除数先试除被除数的前一位数，如果它比除数小再试除前两位数； 2、除数除到哪一位，就把商写在那一位上面； 3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。 （九）一个因数是两位数的乘法法则 1、先用两位数个位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数个位对齐； 2、再用两位数的十位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数十位对齐； 3、然后把两次乘得的数加起来。 （十）除数是两位数的除法法则 1、从被除数高位起，先用除数试除被除数前两位，如果它比除数小， 2、除到被除数的哪一位就在哪一位上面写商； 3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。
高考数学复习——公式及知识点汇总 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减 函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin ' =；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ= θ θ cos sin . 9、正弦、余弦的诱导公式 απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号； απ π±+ 2 k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。
苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》 w o r d教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
数学同步测试—第二章章节测试 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把 正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是 （ ） A ．2条重合的直线 B ．2条互相平行的直线 C ．2条相交的直线 D ．2条互相垂直的直线 2．直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称，l 1的方程为y = ax + b ，那么l 2的方程为 （ ） A ．a b a x y -= B ．a b a x y += C ．b a x y 1+= D ．b a x y += 3．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为 （ ） A ．(x －3)2+(y ＋1)2=4 B ．(x ＋3)2+(y －1)2=4 C ．4(x ＋1)2+(y ＋1)2=4 D ．(x －1)2+(y －1)2= 4．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是 （ ） A ．2 1 B ．23 C ．1 D ．－1 5．直线1l 、2l 分别过点P （－1，3），Q （2，－1），它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平 行，则1l 、2l 之间的距离d 的取值范围为 （ ） A ．]5,0( B ．（0，5） C ．),0(+∞ D ．]17,0( 6．直线1x y a b +=与圆222(0)x y r r +=>相切，所满足的条件是 （ ） A ．ab r =B ．2222()a b r a b =+ C ．22||ab r a b =+ D ．22ab r a b =+ 7．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．随a 值变化而变化
小学数学知识点大全 常用的数量关系式 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形（C：周长S：面积a：边长） 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2、正方体（V:体积a:棱长） 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形（C：周长S：面积a：边长） 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4、长方体（V:体积s:面积a:长b: 宽h:高） (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形（s：面积a：底h：高） 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形（s：面积a：底h：高） 面积=底×高s=ah 7、梯形（s：面积a：上底b：下底h：高） 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2 8、圆形（S：面积C：周长лd=直径r=半径） (1)周长=直径×л=2×л×半径C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×л 9、圆柱体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径c:底面周长） (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体（v:体积h:高s：底面积r:底面半径） 体积=底面积×高÷3 11、总数÷总份数＝平均数
2020年高考数学集合复习知识点 2017年高考数学集合概念 1、集合的概念 集合是数学中最原始的不定义的概念，只能给出，描述性说明：某些制定的且不同的对象集合在一起就称为一个集合。组成集合的 对象叫元素，集合通常用大写字母A、B、C、…来表示。元素常用 小写字母a、b、c、…来表示。 集合是一个确定的整体，因此对集合也可以这样描述：具有某种属性的对象的全体组成的一个集合。 2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种： 元素a属于集合A，记做a∈A;元素a不属于集合A，记做a?A。 3、集合中元素的特性 (1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一具体对象，则x 或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一 种成立。例如A={0,1,3,4},可知0∈A，6?A。 (2)互异性：“集合张的元素必须是互异的”，就是说“对于一 个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的”。 (3)无序性：集合与其中元素的排列次序无关，如集合{a,b,c}与集合{c,b,a}是同一个集合。 4、集合的分类 集合科根据他含有的元素个数的多少分为两类： 有限集：含有有限个元素的集合。如“方程3x+1=0”的解组成 的集合”，由“2,4,6,8,组成的集合”，它们的元素个数是可数的，因此两个集合是有限集。
无限集：含有无限个元素的集合，如“到平面上两个定点的距离相等于所有点”“所有的三角形”，组成上述集合的元素不可数的，因此他们是无限集。 特别的，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记错F，如 {x?R|+1=0}。 5、特定的集合的表示 为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示，下面是几种常见的数集表示方法，请牢记。 (1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记 做N。 (2)非负整数集内排出0的集合，也称正整数集，记做N*或N+。 (3)全体整数的集合通常简称为整数集Z。 (4)全体有理数的集合通常简称为有理数集，记做Q。 (5)全体实数的集合通常简称为实数集，记做R。 2017年高考数学集合简单逻辑公式 任一x?A，x?B，记做AB AB，BAA=B AB={x|x?A，且x?B} AB={x|x?A，或x?B} Card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB) (1)命题 原命题若p则q 逆命题若q则p 否命题若p则q
平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程 经典例题导讲 ［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2 3 0203=--= k , ∴直线方程为y= 2 3x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= 2 3 x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程. 解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2 = - 34 , 由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x ≥ 0) ［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2 +m+2=0的图象表示一个 圆？ 解：欲使方程Ax 2+Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0， 得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， (1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2 =-3不合题意，舍去. (2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1 14 ,原方程的图形表示圆. ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2 -4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程. 解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34或k ＝4 3 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝4 3 (x+3)。 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称 故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线042=+-y x 和圆01422 2 =+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：
1．最小的一位数是1，最小的自然数是0 2．小数的意义：把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份分别是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数来表示。 3．小数点左边依次是整数部分，小数点右边是小数部分，依次是十分位、百分位、千分位…… 4．小数的分类： 无限小数（无限循环小数，无限不循环小数） 有限小数 5．整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。 6．小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。 7．小数点向右移动一位、二位、三位……原来的数分别扩大10倍、100倍、1000倍…… 小数点向左移动一位、二位、三位……原来的数分别缩小10倍、100倍、1000倍…… 二．数的整除 1．整除：整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而且没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 2．约数、倍数：如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 3．一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数约数的个数是有限的，最小的约数是1，最大的约数是它本身。 4．按能否被2整除，非0的自然数分成偶数和奇数两类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。5．按一个数约数的个数，非0自然数可分为1、质数、合数三类。 质数：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数。质数都有2个约数。 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。合数至少有3个约数。 最小的质数是2，最小的合数是4 1~20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19 1~20以内的合数有“4、6、8、9、10、12、14、15、16、18 6．能被2整除的数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。 能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的数，都能被5整除。 能被3整除的数的特征：一个数的各位上数的和能被3整除，这个数就能被3整除。 7．质因数：如果一个自然数的因数是质数，这个因数就叫做这个自然数的质因数。 8．分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 9．公约数、公倍数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 10．一般关系的两个数的最大公约数、最小公倍数用短除法来求；互质关系的两个数最大公约数是1，最小公倍数是两数之积；倍数关系的两个数的最大公约数是小数，最小公倍数是大数。 11．互质数：公约数只有1的两个数叫做互质数。 12．两数之积等于最小公倍数和最大公约数的积。 三．四则运算 1．一个加数=和-另一个加数被减数=差+减数减数=被减数-差 一个因数=积÷另一个因数被除数=商×除数除数=被除数÷商
高三数学专题复习知识点 【篇一】 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?
16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”. 22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗? 25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。 26.你知道存在的条件吗?(你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在? 27.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题?(数列是特殊函数，但其定义域中的值不是连续的。) 28.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。
1直线的倾斜角与斜率： (1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做 直线的倾斜角? 倾斜角[0,180 ), 90斜率不存在■ (2)直线的斜率：k y2 X2 —^(为X2), k X1 tan . ( R(X1, yj、巳佑y：)) 2 ?直线方程的五种形式: (1)点斜式: 注：当直 y y1 k(x X1)(直线1过点R(X1,y1)，且斜率为k ). 1■线斜率不存在时，不冃匕用点斜式表示，此时万程为X X0 . (2)斜截式：y kx b ( b为直线1在y轴上的截距). (3)两点式： y y1 x X1 ( (% y2, X1 X2). y2 y1 X2 X1 注：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线； ②方程形式为：(x2 x1)(y y1) (y2y1 )(x x1) 0时，方程可以表示任意直线. (4)截距式： X y 1 ( a,b分别为x轴y轴上的截距，且a 0,b 0). a b 注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线. (5) —般式：Ax By C 0 (其中A、B不同时为0). AC A 一般式化为斜截式：y x ，即，直线的斜率：k B B B 注：(1)已知直线纵截距b，常设其方程为y kx b或x 0. 已知直线横截距x0,常设其方程为x my x0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y 0 . 已知直线过点(X。，y°)，常设其方程为y k(x x°) y或x x°. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. (1 )直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点. (2 )直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点. (3 )直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点. 4.两条直线的平仃和垂直: (1 )若11 : y k1x b1,12 ： y k2X b2 ① 11//12k1k2,b1 b2 ;② 1112k1k2 1 (2 )若11 : A1x B1y C1 0, 1 2 : A Q X B2 y C2 0,有 ① 11 //12 A i B2 A2 B i 且 A C? A2C1.② 11 12 A i A2 B i B2 0 . 5.平面两点距离公式：