基本不等式知识点总结
a 、
匕同
向或有0二|a 吁| ........................ 和反向或有 0
二 |a 4b^|a^ |b| > |早|-|"|=|
a 、一八、」—
放缩不等式:
b -m b b m ① a ■ b 0, a ■
m ? 0 ,则
a —m a a +m
b b m
【说明】：
a a m
【拓展】：a b 0, m 0, n 0,则—:::-_m ::: 1 a n
a a + m
b d
b b d
d
② a,b,
c ■ R ,
，则
a c a a c c
③
n 乏 N +, J n +1 - 乔 ￡ — < 苗 _ J n _1 ；
2 J n
11111
④ n N , n 1 ,
2
n n+1 n n —1 n
⑤
lnx w 1 -x (x 0),e x
> x 1 (x R).
函数 f (x) = ax b
(a 、
x
基本不等式知识点总结
重要不等式
向量不等式: 代数不等式： a,b 同号或有 0= |a + b|=|a|+|b 門 |a| — |b|
a,b 异号或有 0 = |a —b|=|a| + |b|》|a|-|b|
绝对值不等式：
=|a -
b| ；
=|a b|.
双向不等式: a 〔 *a 2 *a 3 w a 〔 * a 2 + a 3 -b
w a ± b a (左边当ab w 0(> 0)时取得等号，右边当 ab > 0(w 0)时取得等号.)
【注意】:
|a| |b| > ||a|-|b||=|a-b|;
斗.
T 斗T
|a + b|； b 不共线=||a| -|b||：：|a _b| ：：|a| |b|.(这些和实
数集中类似) (a>b>0, m>0，糖水的浓度冋题)
b 0)图象及性质
(1)函数 f(x) a 、b 0图象如图:
⑵函数f(x) a 、b 0性质:
①值域: (」：，-2、ab] [2 . ab,；
,+边)；单调递减区间:
，
②单调递增区间：「二
(0,
*若ab 0，则 a b
_2 （当且仅当a 二b 时取 b a
以 ab 得-
a
_2 或 b
一1 _1 一？ a b
1 1
2 4 1 1 1 1 1 2
则（
）2
；⑧若 ab = 0，则）。
a
b ab
a 2
b 2
2 a
b
上述八个不等式中等号成立的条件都是“
a 二
b ”。
最值定理
（积定和最小）
① x, y -0,由 x y > 2；xy ，若积xy 二P （定值），则当x = y 时和x ? y 有最小值2 p ；
（和定积最大）
② x, y 0,由x y > 2 xy ，若和x ^S （定值），则当x = y 是积xy 有最大值—s 2.
4
【推广】：已知x, y R ，则有（x ? y）2
= （x - y ）2
? 2xy .
（1） 若积xy 是定值，则当| x - y |最大时，| x ■ y |最大；当|x - y |最小时，| x ■ y |最小. （2） 若和|x y |是定值，则当|x-y|最大时，|xy|最小；当|x-y|最小时，| xy |最大?
-- 2 2
1和积不等式：a,b R= a b > 2ab （当且仅当a = b 时取到
2 2
（a b ）2< （当 a=b 时，（旦 b ） 2 2 2 a 亠b a 亠b 2 （a,b R ），ab < （ ） （a,b R ） 2 2 【变形】：①ab < 【注意】：,ab <
二
ab ） 2、均值不等式： 两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即
均 >算术平均 > 几何平均 >调和平均” 则x+丄32 （当且仅当x=1时取“=”）；
x
则x ? 1
—2 （当且仅当 -1时取“=”）
x 1 x x
若 x :: 0 ,
+1
启2即x +丄22或x+丄兰-2 （当且仅当a = b 时取“=”） x x 平方平
若心0，则討工2即空或<-2
（当且仅当a =b 时取
3、含立方的几个重要不等式（
a 3
b 3
c 3> 3abc a 、b 、c 为正数）：
（a b _c .0等式即可成
a =
b =
c 或a - b -「c =0时取等）；
*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如:
2 2
ab 0 时，a b
-2ab 同时除
* a,b,均为正数, a
2
乞 _2a -b
b
八种变式： ①ab
... a 2 b 2
②ab
a +
b 2
③（〒）
::.a 2 b 2
④ a ? b _ 2(a 2 b 2
)；⑤若 b>0,则 1 1 4
_2a-b ;⑥ a>0,b>0,则一 b a b a b a 2
⑦若 a>0,b>0,
by ax
2
> a b 2 . ab = (■ a 、、b)
x y
+ J 二 1
④已知：-■和丁的最小值为：
x^y = (x+y)(^-\-~')-a+b + — ^~>a+b+2\/ab 二(& + 7^)2 ① ■■ 1
.
③已知a,x,b,y ? R ?，若ax by =1，则有则：丨的最小值为:
1
（ax - by ）（— 一）二a b
x
l=-+->2j —-—, ② y w 7^
应用基本不等式求最值的 ⑴凑系数（乘、除变量系数） 亦二「婕，历工2?麻,期工4此
⑵凑项（加、 减常数项）：例
⑶调整分子: 例3.求函数f （x ）= “八种变形技巧”：
.例 1.当0 ”： X ：：： 4时，求函的数 y = x （8
- 2x ）最大值.
5
1 2.已知x
，求函数f （x ） =4x-2 ?-
4
4x —5
2 x 7x 10 （XM -1）的值域；
的最大值.
⑷变用公式: 基本不等式 生卫_Ob 有几个常用变形a 一b
-电空
2
V 2 2
易想到，应重视;
例4.求函数
⑸连用公式:
____ __ ____ 1
5
y - 2x …1 ■ '、5…2x( x
)的最大值；
2 2
2
16
5.已知a b 0，求y = a 2
的最小值;
⑹对数变换: 1
6.已知x , y 1,且xy = e ，求t =(2x)lny
的最大值;
⑺三角变换:
7.已知 0 ：：： y w x ：：： $，且 tan x = 3tan y ，求 t 二 x - y 的最大值;
1 1
⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知a 0,b ?0 ,且a ，2b=1，求t
的最小值.
a b
“单调性”补了“基本不等式”的漏洞: ⑴平方和为定值
若 x 2
+y
2
=a ① f (x, y) = x y
（a 为定值，a^O ），可设x cos ： , y 二 a sin ：,，其中 0 w ： ：：：
2 .
-a sin ? +V aco ^ =V 2asin （o +工）在[0,」兀],[◎兀，2兀）上是增函数，在
[^ ,—]上是减函数; 4 4
② g(x, y)二 xy 二1
asin2 在［0,丄二］,［3
二，§二 (7)
2 4 4 4 (4)
],[Z 二,2 二）上是增函数，在[-：.，--],[◎
二，7 二]
上是减函数; 1 ③ m(x, y):
x y
.丄sin ：如 令 t ?n 「cos ：「亦sin （：二），其中 xy . a sin ： cos ： 4
t ［v2,-1）［J（-1,1）U（1，2］.由t2 =1 2sin ： cos：,得2 s i n ： ctJ^s ,从而2t 2 ——
m（x,y）=—2- 在［-辽,_1）U（-1,1）U（1，/ 上是减函数?
苗（t /）掐（J）
t
⑵和为定值
若x + y=b （b 为定值，b^O）,贝U y=b —x.
①g（x, y） =xy二-x2 bx在（-：：，才上是增函数，在号，匸：）上是减函数；
1 1 x + y b b
②m（x, y）2.当b 0时，在（-二，0 ） ,-（ 0上是减函数，在
x y xy -x + bx 2
［〒b）,（b, ?：：）上是增函数；当b0时，在（」：，b）,（b,q］上是减函数，在［-,0）,（0^：：）上是增函数.
2 2 2 2 b b
③n（x, y）=x y =2x 2bx b在（」：，2］上是减函数，在［_2「：）上是增函数；⑶积为定值
c
若xy=c （c为定值，c式0），则y=-.
x
「= = =
① f （x, y）二x y = x ?当c 0时，在［c,0）,（0,、、c］上是减函数，在（-：：，-?- c］,［、、c,：：）上
x
是增函数；当C：：：0时，在（-：：,0）,（0, ?：：）上是增函数；
②m（x, y）二1」=一=-（x c）?当c 0 时，在［-、_c,0）,（.6,上是减函数，在
x y xy c x
（-：：,-.c］,［'、c, ?：：）上是增函数；当c 0时，在（-：：,0）,（0,=）上是减函数；
2
③n（x, y） = x2 y2=x2与=（x c）2-2c 在（-：：，-、、c）,（0, i c］上是减函数，在
x x
（-、_c,0］,［'、c, ?：：）上是增函数?
⑷倒数和为定值
1 1
2 111 c
若一+—=—（d为定值，一，一，一），则y = —?成等差数列且均不为零，可设公差为z，其x y d x d y x
1 nrt 1 1 11 d d
中z ，贝U 乙z,得x , y ..
d x d y d 1 -dz 1+dz
2d 1 1 11
①f （x）-x y 亍.当d 0时，在（-：：，）,（,0］上是减函数，在［0,匚）,（=「：）上
1 -d z d d d d
11 11 —
是增函数；当d :: 0时，在（-：：，）,（,0］上是增函数，在［0, ）,（ , *：）上减函数；
d d d d
2
②g（x, y）二xy 飞-.?当d 0时，在（」：，一匚）,（一匚,0］上是减函数，在［0,-）,（- ^::）上
1 -d z d d d d
11 11
是增函数；当d :： 0时，在（-：：，）,（,0］上是减函数，在［0, ）,（ , ■：：）上是增函数；
d d d d
2 2 2
③呱旷x2?y2=^^. ?令，其中t>1且^2，从而
2d （d z 1）
n(x,y )
2d2t 2d2
(t -
2)2
t 4 -4
在［1,2）上是增函
数，在
（2,：：）上是减
函数