导数的计算
第I 卷（选择题）
一、选择题
1．已知函数()ln(1)f x ax =-的导函数是'()f x ，且'(2)2f =，则实数a 的值为（ ） A ．
12 B ．23 C ．3
4
D ．1 2．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A.e - B.1 C.-1 D.e
3．若函数()f x 的导函数的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()3cos f x x = B ．3
2
()f x x x =+ C ．()1sin 2f x x =+ D ．()x f x e x =+
4．已知函数3
2
3
()23f x x x k x =++，在0处的导数为27，则k =（ ） A ．-27 B ．27 C ．-3 D ．3
5．已知函数()f x 的导函数为'
()f x ，且满足'
()2(1)ln f x xf x =+，则'
(1)f =（ ）
A ．-1
B ．-e
C ．1
D ．e
6．函数2
()sin f x x =的导数是 （ ）
A ．2sin x
B ．22sin x
C ．2cos x
D ．sin 2x 7．已知'()f x 是()sin cos f x x a x =+的导函数，且2
'()4
4
f π
=
，则实数a 的值为（ ） A ．
23 B ．12 C ．3
4
D ．1 8．函数f （x ）=
的导函数f′（x ）为（ ）
A ．f′（x ）=
B ．f′（x ）=﹣
C ．f′（x ）=
D ．f′（x ）=﹣
9．若2
()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为（ ）
A. (0,)+∞
B. (1,0)(2,)-?+∞
C. (2,)+∞
D. (1,0)- 10．已知函数3
()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为（ ） A 、（－2，－8） B 、（－1，－1） C 、（－2，－ 8）或（2，8） D 、（－1，－1）或（1，1）
11．下列求导运算正确的是（ ） A ．（x+
x 1）′=1+21x
B ．（log 2
x ）′=2ln 1
x C ．（3x
）′=3x
·log 3e D ．（x 2
cosx ）′=－2xsinx
12．函数)(2
1x x
e e y -+=
的导数是( ) A ．)(21x x e e -- B ．)(2
1
x x e e -+ C ．x x e e -- D ．x x e e -+
13．已知函数()sin2f x x
=,则π6f ??
'=
???（ ） A ．1 B ．3 C ．1
2 D ．32
14．下列求导运算正确的是（ ）
A ．2111x x x '?
?+=+ ??
? B ．()21log ln 2x x '=
C ．()3
33log
x
x
x '= D ．()2cos 2sin x x x x '=-
15．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数'()y f x =可能为（ ）
16．下列结论：
①若x y x y sin ,cos -='=； ②若x
x y x
y 21,1=
'-
=；
③若272
)3(,1)(2
-='=
f x
x f ； ④若3=y ,则0='y ．正确个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
第II 卷（非选择题）
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二、解答题
17．求下列函数的导数
（1）x e y = （2）x x y sin 2
= （3）ln x
y x
=
三、填空题
18．设函数()f x 的导数为()f x '，且()sin cos 2f x f x x π??'=+
?
??
，则4f π??'= ??? ． 19．已知函数()3
2
251320165f x x x x =++-，则()0f '= ． 20．设函数()f x 的导数为()f x '，且2
()2(1)f x x xf '=+，则(2)f '= . 21．已知3
()2'(1)f x x xf =+，则'(1)f =________. 22．已知函数2
2
1)0()(x x f e x f x +
-=，则=')1(f __________.
参考答案
1．B 【解析】
试题分析：2
'()'(2)21213
a a f x f a ax a =?==?=--，故选B. 考点：函数的导数. 2．C 【解析】
试题分析：∵函数()f x 的导函数为()x f '，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，()0>x ，∴()()x
f x f 1
12+'='，把1=x 代入()x f '可得()()1121+'='f f ，解得()11-='f ，故选C. 考点：（1）导数的乘法与除法法则；（2）导数的加法与减法法则. 3．C 【解析】
试题分析：A 选项中，x x f sin 3)(,
-=，图像不关于y 轴对称排除A 选项；B 选项中，x x x f 23)(2
,
+=对称轴为
,3
1
-=x 排除B 选项；C 选项中,2cos 2)(,x x f =图像关于y 轴对称；D 选项中1)(,+=x e x f 不关于y 轴对称．
考点：1、导数运算；2、偶函数． 4．D 【解析】
试题分析：函数含x 项的项是x k 3，其在0处的导数是3k 27=，解得：3=k ，而其他项求导后还还有x ，在0处的导数都是0，故选D. 考点：导数 5．A 【解析】
试题分析：函数)(x f 的导函数为)(x f ',且满足'
()2(1)ln f x xf x =+,)0>x （,所以x
f x f 1
)1(2)(+
'=',把1=x 代入)(x f '可得1)1(2)1(+'='f f ,解得1)1(-='f .故选A. 考点：导数的计算. 6．D 【解析】
试题分析：()sin sin f x x x =?，根据乘法导数可有：()()()sin sin sin sin 2sin cos f x x x x x x x '''=?+?=
sin 2x =。
考点：导数的四则运算。 7．B 【解析】
试题分析：由题意可得'()cos sin f x x a x =-，由'()4
f π
=
=1
2
a =，故选B.
考点：三角函数的求导法则.
8．B
【解析】解：函数的导数f′（x ）=
==﹣
，
故选：B
【点评】本题主要考查函数的导数的计算，根据函数导数的运算法则是解决本题的关键． 9．C 【解析】
试题分析：要使函数有意义，则0>x ，∵2
()24ln f x x x x =--，∴()x
x x x x x f 4
224222--=--='，若
()0f x '>，则
04
222>--x
x x ，即022>--x x ，解得2>x 或1-
考点：导数的运算. 10． D 【解析】
试题分析：由：3
()f x x =，求导；2
2
()3,33,1f x x x x '===±，则点P 点的坐标为；
（－1，－1）或（1，1） 考点：导数运算. 11．B 【解析】
试题分析：因a
x x a ln 1
)(log /=,故正确,应选B ． 考点：求导运算法则． 12．A 【解析】 试题分析：
()()'
'11
(),22
x x
x x x x e e
y e e y e e ----=-∴=+=-
考点：函数求导数
13． A 【解析】
试题分析：由题()sin 2f x x =，则：()2cos2f x x '=，得：ππ12cos(2)21662f ??
'=?=?= ?
??
考点：复合函数求导及三角函数求值. 14．B 【解析】
试题分析：因为'
211x x ??=- ???
，所以A 项应为211x -；由()'11log log ln a a x e x x a ==知B 项正确；由()'ln x x
a a a
=可知C 项错误；D 项中，(
)
'
2
2
cos 2cos sin x x x x x x =-，所以D 项是错误的，综上所述，正确选项为B.
考点：初等函数的导数 15．D 【解析】
试题分析：由图象得：
x ＜0时，f （x ）递减，∴f ′（x ）＜0，
x ＞0时，f （x ）先递增再递减又递增，∴f ′（x ）先正再负又正 故选：D
考点：利用导数研究函数的单调性 16．D 【解析】
试题分析：根据求导公式可知①正确；②若12
x ,y
-==-则3212y x -'==，所以②正确；③若21(),
f x x =则()3
2f x x -'=-，所以2
(3)27
f '=-
；④3=y 为常数函数，所以0='y ，因此正确的命题个数是4个，故选D. 考点：基本初等函数的求导公式.
17．（1）x
e y ='；（2）x x x x y cos sin 2'2
+=; （3）2
ln 1'x x
y -=． 【解析】
试题分析：（1）由题意可得，x e y =的导数为x
e y ='；（2）由题意可得，复合函数的求导法则，则
x x x x y cos sin 2'2+=；（3）由题意可得，复合函数的求导法则，则2
ln 1'x
x
y -=
． 试题解析：：
（1）由题意可得，x e y =的导数为x
e y ='．
（2）由题意可得，复合函数的求导法则，则x x x x y cos sin 2'2
+=． （3）由题意可得，复合函数的求导法则，则2
ln 1'x x
y -=． 【考点】常见的导数的求导法则运用． 18．2- 【解析】
试题分析：()x x f x f sin cos 2-???
??'='π，而12sin 2cos 22-=-??
?
??'=??? ??'ππππf f ，
所以()x x x f sin cos --='，24sin 4cos 4-=--=??
?
??'πππf ，故填：2-.
考点：导数 19．2016
【解析】
试题分析：()201626752
++='x x x f ，所以()20160='f ，故填：2016.
考点：导数 20．0
【解析】
试题分析：因为2
()2(1)f x x xf '=+，所以()22(1)f x x f ''=+，令1x =，得(1)22(1)f f ''=+，解得()12f '=-，
则()24f x x '=-，所以()22240f '=?-=． 考点：导数的运算；函数值的求解． 21．3- 【解析】
试题分析：()()()()()3
'
2''''()2'(1)321132113f x x xf f x x f f f f =+∴=+∴=+∴=-
考点：函数求导数 22．e 【解析】
试题分析：()()()()2
''1()(0)01012
x x f x e f x x f x e f x f e f =-+∴=-+∴=-+，令0x =得()01f = 所以(1)f e '= 考点：函数求导数
导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（ ） A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,1) D ．(1,0) 3．已知()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ） A ．2e B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 4．曲线x y e =在点(0,1)A 处的切线斜率为（ ） A ．1 B ．2 C ．e D ．1e 5．设0()s i n f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x = 等于（ ） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 6．已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =（ ） A ．e - B ．1- C ．1 D ．e 7．曲线ln y x =在与x 轴交点的切线方程为________________． 8．过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________． 9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式： （1）1 ()2ln f x ax x x =-- （2）2 ()1x e f x ax =+ （3）21 ()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=-
基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试题（附答案） 选修2-21.2.2第2课时基本初等函数的导数公式及导数运算法则 一、选择题 1 .函数y = (x+ 1)2(x—1)在x= 1处的导数等于() A．1B．2 C. 3 D. 4 答案］D 解析］y = (x+1)2］'—x1 )+(x+ 1)2(x—1)' =2(x + 1)?(x—1) + (x+ 1)2= 3x2 + 2x—1, y‘ =1= 4. 2.若对任意x€ R, f‘ =)4x3, f(1) = —1,则f(x)=() A. x4 B. x4— 2 C. 4x3—5 D. x4+ 2 答案］B 解析］丁f‘(=4x3.f(x) = x4+c,又f(1) = — 1 ? ? ? 1 + c= — 1 ,? ? ? c= —2,—f(x) = x4 — 2. 3 .设函数f(x) = xm + ax 的导数为f‘ =)2x+1,则数列{1f(n)}(n € N*) 的前n 项和是() A.nn+1 B.n+2n+1 C.nn—1 D.n+1n 答案］A 解析］T f(x) = xm+ ax 的导数为f‘(x)2x + 1,
/. m = 2, a= 1,二f(x) = x2+ x, 即f(n) = n2+n=n(n+ 1), 二数列{1f(n)}(n € N*)的前n项和为： Sn= 11 X2 12X3 13 x+…+ 1n(n+ 1) =1 —12+ 12—13+…+ 1n —1n + 1 =1 —1n+ 1= nn+ 1, 故选 A. 4.二次函数y = f(x)的图象过原点，且它的导函数y= f‘的)图象是过第 一、二、三象限的一条直线，贝卩函数y= f(x)的图象的顶点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案］C 解析］由题意可设f(x)= ax2 + bx, f' (=2ax + b,由于f‘(的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0, b>0,则f(x) = ax+ b2a2—b24a, 顶点—b2a,—b24a 在第三象限,故选 C. 5 .函数y = (2 + x3)2的导数为() A. 6x5+ 12x2 B. 4+ 2x3 C. 2(2+ x3)2 D. 2(2+ x3)?3x 答案］A 解析］t y= (2+ x3)2= 4+ 4x3+ x6, /. y = 6x5 + 12x2.
导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（） （A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元） 与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂 家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（） （A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的
导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a =+2（）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 222()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线3 2153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为
【巩固练习】 一、选择题 1．设函数 f (x) (1 2x 3 )10 ，则 f '(1) （ ） A ．0 B ．―1 C ．― 60 D ． 60 2．（ 2014 江西校级一模）若 f (x) 2ln x x 2 ，则 f ' ( x) 0 的解集为（ ） A.(0,1) B. , 1 U 0,1 C. 1,0 U 1, D. 1, 3．（ 2014 春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ） A. 3x 2 ' 6x sin x B. ln x 2 x ' 1 x ln 2 cos x 2 x ' sin x ' x cos x sin x C. 2sin 2x 2cos2x D. x x 2 4．函数 y x 4 5 的导数是（ ） 3x 8 A ． 5 B ．0 C ． 5(4 x 3 3) D ． 5(4 x 3 3) 4x 3 3 ( x 4 3x 8) 2 (x 4 3x 8) 2 5 ．（ 2015 安 徽 四 模 ） 已 知 函 数 f ( x) 的 导 函 数 为 f ' ( x) ， 且 满 足 关 系 式 f ( x) x 2 3xf ' (2) ln x ，则 f '(2) 的值等于（ ） A. 2 C. 9 D. 9 4 4 x 1 ( x 6．设曲线 y 1) 在点（ 3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=（ ） x 1 A ．2 B ． 1 C ．―1 D ．―2 2 2 7． y log 3 cos 2 x (cos x 0) 的导数是（ ） A ． 2log 3 e tan x B ． 2log 3 e cot x C ． 2log 3 e cos x D ． log 2 e cos 2 x 二、填空题 8．曲线 y=sin x 在点 ,1 处的切线方程为 ________。 2 9．设 y=(2x+a) 2，且 y ' |x 2 20 ，则 a=________。 ． x 3 1 ____________， 2x sin 2x 5 ____________。 10 sin x 11．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C ：y=x 3― 10x+3 上，且在第二象限内，已知曲
导数高考试题精选 一．选择题(共16小题） 1．(20１3?河东区二模)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为（） Ａ. 3 B．2 C. １Ｄ. ２．（2０12?汕头一模）设曲线ｙ＝aｘ２在点(1，a）处的切线与直线2x﹣ｙ﹣6=０平行,则a=（） A．１B．Ｃ. D．﹣1 ３．（201１?烟台一模)设曲线在点(３,2)处的切线与直线ax+y+1=０垂直,则a=() A. ２Ｂ．Ｃ．Ｄ．﹣２ ４．(２01０?泸州二模)曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（) A. B. Ｃ．D． 5．（２01０?辽宁）已知点Ｐ在曲线y=上,α为曲线在点Ｐ处的切线的倾斜角，则α的取值范围是() A. [０,） B．Ｃ. D. 6.(201０?江西模拟)曲线ｙ=x3﹣2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(） A. 30° B. 4５°C．60°D．1２０°７．(2009?辽宁)曲线ｙ＝在点(1,﹣１）处的切线方程为（) A. y=x﹣２ B. ｙ=﹣3x＋２Ｃ. y=２x﹣３ D. ｙ=﹣2ｘ＋１ 8.（2００9?江西）若存在过点（1,0）的直线与曲线y＝x３和都相切，则a等于（) A． ﹣1或B. ﹣１或 Ｃ． 或 D. 或7 ９．（２006?四川)曲线y=4ｘ﹣x3在点(﹣1,﹣3)处的切线方程是（) A．y=7ｘ+4 B. ｙ=7x+2 C．y=x﹣4 D．y＝x﹣2 10.（2012?海口模拟）已知f（ｘ)＝alｎｘ＋x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2，都有 ＞2恒成立，则a的取值范围是（） A. (0,1]B．（１,+∞） C. (0，１) D．[1,+∞)
导数练习题 班级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2 －1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4 ＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3 时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2 ＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝ －x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切 线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的 切线倾斜角为 π 4 的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(1 4 ，116) D ．(1 2 ，1 4 ) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线 方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ．6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－3)＝( ) A ．4 B.19 C ．－1 4 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( ) A.x 2＋6x x ＋32 B.x 2＋6x x ＋3 C.－2x x ＋32 D.3x 2 ＋6x x ＋32 14．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 15．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 16．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3)
第二章 导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量 =?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()() =?-?-→?x x f x x f x 000 lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则 =dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ． ()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0,2sin 0 ,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b
1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2， (Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝－1时，求 函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 2 1- 成立． 2、已知函数2 ()ln 2(0)f x a x a x = +->.（Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ?∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区 间[e ― 1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围. 3． 设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x )在1 [,2]2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点. 4、已知函数2 1()(21)2ln ()2 f x ax a x x a = -++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2 ()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得 12()()f x g x <，求a 的取值范围. 5、已知函数())0(2ln 2 >-+= a x a x x f (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单 调区间； (Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，试求a 的取值范围； (Ⅲ)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R ).当a ＝1时，函数g (x )在区间[ ] e ,e 1 -上有两个零点， 求实数b 的取值范围． 6、已知函数1ln ()x f x x += ． (1)若函数在区间1 (,)2 a a + (其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1 k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．
函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥ ． 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）求所有实数a ，使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数． 4. 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3 4 = a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ， b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数 的底数）。 （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； （III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m 导数的运算 一、单选题（共33题；共66分） 1.f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为（） A. 0 B. 3 C. 4 D. － 2.函数的导数为（） A. B. C. D. 3.设函数，若，则等于（） A. B. C. D. 4.设则等于( ) A. B. C. D. 5.已知函数的导函数,且满足，则＝( ) A. B. C. 1 D. 6.已知函数的导函数为，且，则（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.下列求导运算的正确是（） A. 为常数 B. C. D. 8.已知函数的值为（） A. B. C. D. 9.下列求导运算正确的是（） A. B. C. D. 10.已知函数f（x）=sinx-cosx，则f'（）=（） A. B. C. D. 11.若函数f（x）=2+xcos2x，则f'（x）=（） A. cos 2x-xsin 2x B. x-sin 2x C. 1-2sin 2x D. cos2x-2sin2x 12.函数的导数为（） A. ＝2 B. ＝ C. ＝2 D. ＝ 13.设函数的导函数为，且，则＝( ) A. 0 B. －4 C. －2 D. 2 14.设，若，则（） A. B. C. D. 15.已知函数，则其导数（） A. B. C. D. 16.若函数，则的值为（） A. 0 B. 2 C. 1 D. －1 17.已知函数，且，则的值为（） A. B. C. D. 18.已知函数，为的导函数，则的值为（） A. B. C. D. 19.下列求导运算正确的是（） A. B. C. D. 20.已知函数的导函数为，且满足，则（） A. B. C. D. 21.若，则函数的导函数（） A. B. C. D. 22.函数的导数为（） A. B. C. D. 23.下列导数式子正确的是（） A. B. C. D. 24.已知，则等于（） A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 25.已知函数，则（） A. B. C. D. 26.已知，则（） A. B. C. D. 27.设，，则x0＝( ) A. e2 B. e C. D. ln 2 28.下列求导数运算正确的是（） 1.设a 为实数，函数R x a x e x f x ∈+-=,22)(。 (Ⅰ)求)(x f 的单调区间与极值； (Ⅱ)求证：当12ln ->a 且0>x 时，122 +->ax x e x 。 2. 已知 函数f(x)=))(6(3)4(2 3 R x n mx x m x ∈-+--+的图像关于原点对称，其中m,n 为实常数。 （１） 求n m ,的值； （２） 试用单调性的定义证明：f (x) 在区间[-2, 2] 上是单调函数； （３） 当-2≤x ≤2 时，不等式)log ()(a n x f m -≥恒成立，求实数a 的取值范围。 解(1)由于f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数, f(-x)=-f(x) 恒成立，)6(3)4()6(3)4(2323--+---=-++-+-n mx x m x n mx x m x []()()()()()(), ,0, 012022) 12)(()12()12(,2,2,,12)()1()2(.6,40)6()4(2121222121212122212121232131212 12132x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x f n m n x m >>-<-++<-≤<≤--++-=---=-<-∈-====-+-即从而，知，由且任取可知由恒成立，必有即 ∴f(x)在[-2,2]上是减函数。 （3）由（2）知f(x)在[-2,2]上是减函数，则-22≤≤x 时,()().162-=≥f x f 故-2时，2≤≤x 不等式f(x)a a n m m log )log (-≥恒成立 .4161 08 log 2log 0)2)(log 8(log log )log 6(168444444≥≤ +++=a d cx bx x a x f ， 且方程09)('=-x x f 的两个根分别为1，4。 （Ⅰ）当a=3且曲线)(x f y =过原点时，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 在),(+∞-∞无极值点，求a 的取值范围 导数概念与计算 4 2 若函数f(x) ax bx c ，满足f '⑴ 2，贝y f'( 1)( 已知点P 在曲线f(x) x 4 x 上，曲线在点P 处的切线平行于直线 3x y 0,则点P 的 坐标为( ) A . (0,0) B . (1,1) C . (0,1) D . (1,0) 已知f(x) xln x ，若 f '(X 。) 2，则 X 。 ( ) 2 In 2 D . In2 A . e B . e C . 2 曲线y e r 在点 A(0,1)处的切线斜率为( ) A . 1 B . 2 C . e 1 D .- e 设 f °(x) sin x , f'x) f o '(x) , f 2(x) f 1 '(x) ,…,f n 1(x) f n '(x) , n N ，则 f 2013(X ) 等于( ) A . si n x B . si nx C . cosx D . cosx 已知函数 f (x) 的 勺导函数为f '(x)，且满足 f(x :)2xf '(1) Inx ，则 f'(1)( ) A . e B . 1 C . 1 D . e 曲线y Inx 在与x 轴交点的切线方程为 _____________________ 过原点作曲线y e x 的切线，则切点的坐标为 _____________ ，切线的斜率为 求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式: (3) f (x) x ^ax 2 ln(1 x) 2 (5)y xe 1 cosx 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. & 9. B . 2 C . 2 D . 0 (1) f (x) ax 1 2ln x x (2) f(x) x e 2 1 ax (4) y xcosx sin x (6) y 导数单元测试题（实验班用） 一、选择题 1．曲线3 2 3y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为( ) A .31y x =- B .35y x =-+ C .35y x =+ D .2y x = 2．函数21()e x f x x +=?,[]1,2-∈x 的最大值为( )． A .14e - B . 0 C .2e D . 23e 3.若函数3 () 3f x x x a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(2,2) B.2,2 C.(,1) D.(1,) 4.若函数3 () 63f x x bx b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A.1(0,)2 B. (,1) C. (0,) D. (0,1) 5.若2a >，则函数32 1()13 f x x ax 在区间(0,2)上恰好有( ) A ．0个零点 B ．3个零点 C ．2个零点 D ．1个零点 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．2 94 e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e 7．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )． A .(3)(2) 0(2)(3)32 f f f f -''<<< - B .(3)(2) 0(3)(2)32 f f f f -''<<<- C . (3)(2) 0(3)(2)32 f f f f -''<<<- D .(3)(2) 0(2)(3)32 f f f f -''<<<- 8设(),()f x g x 分别是R 上的奇函数和偶函数, 当0x 时,''()()()() 0f x g x f x g x , 单元综合测试三(第三章) 时间：90分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分) 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(1 2)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2 解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(1 2)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B 2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos x D ．y ′＝cos 2x ＋cos x 解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x . 答案：C 3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1) D ．(1，＋∞) 解析：f ′(x )＝3－3x 2>0?x ∈(－1,1)． 答案：C 4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( ) A ．14 B ．4 C ．10 D ．6 解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ， 所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14. 答案：A 5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π 2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π 2)＝1， ∴k ＝－a 2＝－1，a ＝2. 答案：D 6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( ) A ．1 B ．3 C ．－4 D ．－8 解析： 导数文科大题 1.知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.答案 解析 2.已知, (1)若,求函数在点处的切线方程; (2)若函数 在上是增函数,求实数a的取值范围; (3)令, 是自然对数的底数);求当实数a等于多少时,可以使函数取得最小值为3. 解:(1)时,, ′(x), ′(1)=3,, 数在点处的切线方程为, (2)函数在上是增函数, ′(x),在上恒成立, 即,在上恒成立, 令,当且仅当时,取等号, , 的取值范围为 (3), ′(x), ①当时,在上单调递减,,计算得出(舍去); ②当且时,即,在上单调递减,在上单调递增, ,计算得出,满足条件; ③当,且时,即,在上单调递 减,,计算得出(舍去); 综上,存在实数,使得当时,有最小值3. 解析(1)根据导数的几何意义即可求出切线方程. (2)函数在上是增函数,得到f′(x),在 上恒成立,分离参数,根据基本不等式求出答案, (3),求出函数的导数,讨论,,的情况,从而得出答案 3.已知函数, (1)分别求函数与在区间上的极值; (2)求证:对任意, 解:(1), 令,计算得出:,,计算得出:或, 故在和上单调递减, 在上递增, 在上有极小值,无极大值; ,,则, 故在上递增,在上递减, 在上有极大值,,无极小值; (2)由(1)知,当时,,, 故; 当时,, 令,则, 故在上递增,在上递减, ,; 综上,对任意, 解析(1)求导,利用导数与函数的单调性及极值关系,即可求得及 单调区间及极值; 4.已知函数,其中,为自然数的底数.(1)当时,讨论函数的单调性; (2)当时,求证:对任意的,. 高中数学导数的计算精选题目（附答案） (1)基本初等函数的导数公式 (2)导数运算法则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )． ③?????? f (x ) g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． （3）复合导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 1 2x ； (4)y ＝4 x 3； (5)y ＝? ????sin x 2＋cos x 22－1. 2．求下列函数的导数： (1)y ＝? ????1e x ； (2)y ＝? ????110x ； (3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3 x ； (5)y ＝2co S 2x 2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x 2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1 . 4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝ 1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ； (4)y ＝lg x －1 x 2. 5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ? ???? π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方 程． 7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ； 一、知识点梳理 1.导数：当x ?趋近于零时， x x f x x f ?-?+) ()(00趋近于常数c 。可用符号“→”记作： 当0→?x 时， x x f x x f ?-?+)()(00c →或记作c x x f x x f x =?-?+→?) ()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。 即 x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()(lim )(000 0' 2.导数的四则运算法则： 1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± 2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'=' 3）)() ()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='? ? ???? 几种常见函数的导数： (1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln = ' (6)e x x a a log 1 )(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 例题：对下面几个函数求导 （1）、12832 ++=x x y （2）x x a x x e x f -+=ln 5)( (3)2 2ln 3)(x x e x f x += 3.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。 即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率 x x f x x f x f k x ?-?+==→?) ()(lim )(000 0'切 精心整理 导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的 坐标为（） A 3 A 4 A 5 A 6 A 78．率为 9 （1） 1 ()2ln f x ax x x =-- （2） 2 ()1x e f x ax = + （3）21()ln(1)2 f x x ax x =--+ （4）cos sin y x x x =- （5）1cos x y xe -= （6）1 1 x x e y e +=- 10．已知函数()ln(1)f x x x =+-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：当1x >-时，1 1ln(1)1 x x x - ≤+≤+． 11．设函数()b f x ax x =-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=． （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形 12 导数作业1答案——导数概念与计算 1．若函数42()f x ax bx c =++，满足'(1)2f =，则'(1)f -=（） A ．1- B ．2- C ．2 D ．0 选B ． 2．已知点P 在曲线4()f x x x =-上，曲线在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的 坐标为（） A 4x －1＝3选D 3 A 解：f ′（x 即ln 选B 4 A 选A 5．设0()sin f x x =，10()'()f x f x =，21()'()f x f x =，…，1()'()n n f x f x +=，n N ∈，则2013()f x =等于（） A ．sin x B ．sin x - C ．cos x D ．cos x - 解：∵f 0（x ）＝sin x ，f 1（x ）＝cos x ， f 2（x ）＝－sin x ，f 3（x ）＝－cos x ，f 4（x ）＝sin x ，… ∴f n （x ）＝f n ＋4（x ），故f 2012（x ）＝f 0（x ）＝sin x ， 导数运算法则的应用试题 1.若函数()f x 在R 上可导，且满足'()()f x xf x < ，则( ) A.2(1)(2)f f < B.2(1)(2)f f > C.2(1)(2)f f = D.(1)(2)f f = 2.已知函数()f x 的导函数为 '()f x ，满足 ln '()2()x xf x f x x +=，且1()2f e e =， 则()f x 的单调性情况为（ ） A ．先增后减 B 单调递增 C ．单调递减 D 先减后增 3.定义在(0,)+∞上的单调递减函数()f x ，若()f x 的导函数存在且满足 '() () f x x f x >，则下列不等式成立的是（ ） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f < 4.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式 ()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A ．()0,+∞ B ．()(),03,-∞+∞ C ．()(),00,-∞+∞ D ．()3,+∞ 5.)0)()((),(≠x g x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时， ()()()()f x g x f x g x ''<，且0) () (,0)3(<=-x g x f f 的解集为（ ） A ．（－∞，－3）∪（3，+∞） B ．（－3，0）∪（0，3） C ．（－3，0）∪（3，+∞） D ．（－∞，－3）∪（0，3） 6.若定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则(2011)f 与2(2009)f e 的大小关系为（ ）. A 、(2011)f <2(2009)f e B 、(2011)f =2(2009)f e C 、(2011)f >2(2009)f e D 、不能确定 7.定义在(0,)2 π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '') () (，则下列不等式成立的是（ ） A ．3(2)2(3)f f < B ．3(4)4(3)f f < C ．2(3)3(4)f f < D ．(2)2(1)f f < 9.函数f(x)的定义域是R ，f(0)＝2，对任意x ∈R ，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x ·f(x)>e x ＋1的解集为( ) A ．{x|x>0} B ．{x|x<0} C ．{x|x<－1或x>1} D ．{x|x<－1或0导数的运算专项练习(含答案)
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