重庆大学全日制学术型硕士研究生 《数理统计》（A ）课程试卷
2013-2014学年第一学期（秋）
请保留四位小数，部分下侧分位数为：0.95 1.65u =，0.99 2.33u =，2
0.95(1) 3.841χ=，
0.95(3,6)9.78f =
一、（18分）设1X ，2X ，…，64X 是来自总体N （0，2
σ）的样本，X ，2
S 分别是样本
均值和样本方差：（1）求参数c 满足{}0.1P X S c >?=；（2）求概率22
12
22
34
{1}X X P X X +>+；(3)求322321(2)i i i D X X X +=??
+-????
∑。(请写出计算过程)
解：（1）
Q
~(1)t n
-{}}0.1P X S c P c ∴>?=>=
得0.95(63)c t = 故 1.650.20638c ==
（2）
2~(0,)X N σQ 22212(/)(/)~(2)X X σσχ∴+ 同理22234(/)(/)~(2)X X σσχ+ 2222223412122234(/)(/)(/)(/)/~(2,2)22X X X X X X F X X σσσσ+++∴=+ 22
122234{1}{(2,2)1}X X P P F X X +>=>+ 且0.50.50.51(2,2)(2,2)1(2,2)F F F =?= 得2222
1212
2222
3434{1}1{1}0.5X X X X P P X X X X ++>=-≤=++ (3)令2
~(2,2)i i n i Y X X N μσ+=+，112n i i Y Y X n ===∑ 22
1
()(1)n
i Y i T Y Y n S =∴=-=-∑
3232
223211(2)[()]i i i i i D X X X DT D Y Y +==??+-==-????
∑∑ 2~(0,2(11/))i Y Y N n σ-+Q
~(0,1)
Y N
=32
22422421
[2(11/)
4(11/)((32))256(11/32)i Y D n n D σσχσ=+=+=+∑
二、（26分）设1X ，2X ，…，n X 是来自总体2
~(2,)(0)X N σσ>的样本，
{}0.95P X A <=。（1）求参数2(2)b A =-的矩估计量1?b ；（2）求参数b 的最大似然估计
量2?b ，并评价2
?b 的无偏性、有效性、相合性；（3）求参数b 的置信度是1α-的置信区间。（4）试确定检验问题：00100:,:(0)H b b H b b b =≠>的检验统计量和拒绝域。 解：2
2
~(2,)~(0,1)X X N N σσ
-∴
Q 2
2
0.95{}{
}X A P X A P σ
σ
--=<=<
0.952
A u σ
-∴
= 即0.952A u σ=+ （1）2220.95
(2)b A u σ=-= 且22
()EX EX DX =+ 2
221111?44n n i i i i X X n n σσ===+=∴=-∑∑2210.951
1?(4)n
i i b X u n =∴=-∑
(2) 0.952A u σ-=
0.95σ∴=
222
0.95
2
(2)(2)
22()x x u b
f x σ----==建立似然函数22
0.95
1(2)22
2
0.95
()(2)n
i i x u n n
n b
L b u
b e
π=---
-
∑= 220.950.951
ln ()ln(2)ln ln (2)222n i i u n n
L b n u b x b π==-+---∑ 2
22
0.951
0.952
2
1
(2)
ln ()1(2)()222n
i
i n
i i i x u
d L b n n x u b db b b
b
n
===-=-?+-=-∑∑ 2220.951
1?(2)n i i b x u n ==-∑ 无偏性：2222220.950.9520.951
?()((2))n i i u u E b E x n u b n n σσ==-=?==∑∴2?b 是参数b 的无偏估计。 有效性： 2
2
1
0.95
22
(2)
ln ()()()22n
i
i x d L b n n
u b c b db b
n
b =-=-=
∑Q
且仅是b 的函数； 又220.9521
?()((2))n i i u E b E x b n ==-=∑ ∴2?b 是b 的有效估计量。 相合性：因为220.951
((2))n
i i u T E x n ==-∑，'
()1g b =，所以''22()()1()2(),2()c b g b g b b I b DT n b c b n ==== 2
22?()0()b DT D b n n
==→→∞ 故2
?T b =是b 的相合估计量。 （3）220.95b u σ=Q b ∴的置信度是1α-的置信区间既是2
σ的置信度1α-的置信区间。因
均值
μ已知设样本方差为2S ，得2σ置信度为1α-的置信区间
22222222112
2
22
(1)(1)6363(,)(,)(1)(1)(63)(63)
n S n S S S n n ααααχχχχ--
--=-- b ∴的置信度是1α-的置信区间为 2
22
22
0.950.9522
2210.95
0.95
2
2
2
2
(63)(63)
(
,
)63
63
u u u
S
u
S
ααχχσ
σ
-
>
<
（4）选
择
检
验统
计
量
：
2
22
(1)~(1)
n S n χσ
--；拒绝域
22
220.95
0.95
222210.95
0.95
2
2
2
2
{
)63
63
o u u u
S
u
S
K ααχχσ
σ
-
=>
<
或
三、（14分）假设飞机上用的铝制加强杆有两种类型A 与B ，它，它们的抗拉强度（2
/kg mm ）分别服从2(,)A A N μσ与2
(,)B B N μσ。由生产过程知其标准差 1.2A σ=, 1.5B σ=（1）若从A 、B 两类加强杆中抽取的样本容量相同，那么要使得A B μμ-的0.90的置信区间长度不超过2.5kg/mm 2需要多少样本量？(2)给出统计假设0: 1.1, 1.1A B A B H μμμμ=>的检验统计量和拒绝域。若对A ，B 两类加强杆各自独立地抽取了7根，测得抗拉强度的样本均值分别是
87.6与74.5，试对统计假设进行检验（显著性水平取0. 1）。 解：1）设X 、Y 分别表示铝制加强杆两种类型A 、B 的抗拉强度，X 、Y 为样本均值。则
Q X 、Y 相互独立且2
~(,
)A
A X N n
σμ，2~(,
)B
B X N n
σμ22~(,
)A B
A B X Y N n
σσμμ+∴--
0.95}0.90P u ∴<=
由题置信区间的长度2 2.5u ≤
解得样本容量7n ≥。
2）由题意知87.6X =，74.5Y = 当0H 成立时22
~(0.1,()/)B A B X Y N n μσσ-+
拒绝域00.9}K u =>
四、（12分）用铸造与锻造两种方法制造某种零件，从各自制造的零件中分别随机抽取100只，经检验发现铸造的有10个不合格品，锻造有3个不合格品。试问在显著水平0.05α=下，能否认为零件的不合格率与制造方法有关？ 解：根据题意，我们提出如下统计假设：
0H ：零件的不合格率与制造方法无关；1H ：零件的不合格率与制造方法有关。
拒绝域为：22
0.95{(1) 3.841}χχ>=
根据原假设，不同制造方法下零件不合格品的理论频数 6.5np =，2
χ的样本值为
认为零件的不合格率与制造方法无关。
五（18分）设样本(,)i i x Y ，1,2,i n =L 满足2
12,~(0,)i i i i Y x N βεεσ=++。（1）求参数
1β的最小二乘估计量1?β；（2）分析1
?β的分布；（3）求2E ES ，其中2211
???(),2,1,2,,.n
E
i i i i
i S Y y y x i n β==-=+=∑K 。 解：（1）由题得：2
2
11(2)n
E
i i i S y x β==--∑ 211
12(2)n E
i i i i S x y x ββ=?=---?∑
令211
102(2)0n E
i i i i S x y x ββ=?=∴---=?∑ 得1
1
2
1
(2)
?n
i i
i
i n
i
i x y x x
β==-=∑∑
（2）1
1
21
(2)
?n
i i
i
i n
i
i x y x x
β==-=∑∑，2
112,~(2,)i i i i i Y x Y N x βεβσ=+++
由正态分布的性质推知111
???~(,)N E D βββ服从正态分布。 111111222111(2)[2]2?n n n n n
i i i i i i i i i
i i i i i n n n
i i i i i i x Y x E x Y x x EY x E E x x x β========??
---????===??????
∑∑∑∑∑∑∑∑ 11(2)2i i i i EY E x x βεβ=++=+Q 11
?E ββ∴= 2
2111112222221111(2)[2]?()()n n n n i i i i i i i i
i i i i n n
n n
i i i i i i i i x Y x D x Y x x DY D D x x x x σβ========??--????====??????
∑∑∑∑∑∑∑∑ （3）22
211111
1
1
???(2)[(2)(2)][(2)]n
n
n
E
i i i i i i i i
i i i ES E Y x D Y x E Y x D Y x ββββ====--=--+--=--∑∑∑
1111
1
???[()][()2cov(,)]n n
i i i i i i
i i D Y x DY D x Y x βββ===-=+-∑∑ 2
2
2
22222
2
21
1
1
1
22(1)n
n
i i n
n
i i i
i
i i x x n n x
x
σσσσσσ====+-=+-=-∑
∑
∑∑1
12
221
1
1
1
1
2
2
2
221
1
(2)
?cov(,)cov(,)cov(,(2))cov(,)
cov(,)n i i i
n
n
i i
i
i i i
i i i i i i i i n
n
n
i i i
i
i
i i i i i i i n
n
i
i
i i x Y x x x Y x Y x Y x Y x Y x Y x
x
x
x x Y Y x
x
βσ========-==
-=
=
=
∑∑∑∑∑∑∑∑
则2
2
22
2
22222221
1
1
1
22(1)n
n
i i E
n
n
i i i
i
i i x x ES n n n x
x
σσσσσσσ=====+
-=+-=-∑
∑
∑∑
六、（12分）某食品公司对一种食品设计了四种新的包装。为了考察哪种包装最受顾客欢迎，选了10个地段繁华程度相似，规模相近的商店做试验，其中两种包装各指定两个商店销售，另两种包装各指定三个商店销售。在试验期内各店货架排放的位置、空间都相同，营业员的促销方法也基本相同，经过一段时间，记录其销售量数据（见下表）：
1
12 18 2 14 12 13 3 19 17 21 4
24
30
若使用单因素方差分析（1）指出方差分析中的指标、因素和水平；（2）指出方差分析中假设检验的原假设0H 和备择假设1H ;（3）指出方差分析方法使用的条件，并完成下列方差
解;(1)方差分析中的指标是该食品的销售量；因素为该食品的包装；水平为1、2、3、4这四种包装。
（2）记1μ、2μ、3μ、4μ分别为四种包装下食品销售量的均值，提出如下假设：
01234:H μμμμ=== 11234:H μμμμ、、、不全相等
（3）方差分析表使用的条件：1）每个水平服从正态分布且相互独立，方差相同。 2）每个水平下取的样本独立同分布且有代表性。
完成后的方差分析表
因F=11.2125>F 0.95(3,6)=9.78.所以拒绝原假设0H .认为包装对食品销售量影响显著。 计算因素包装各个水平下的效应值
11?15183y y α
=-=-=- 22?13185y y α=-=-=- 33?19181y y α=-=-= 44?27189y y α
=-=-= 计算结果表明，包装4效果好。
重庆大学全日制学术型硕士研究生 《数理统计》（B ）课程试卷
2013~2014学年第一学期（秋）
请保留三小数位，部分下侧分位数为：0.95 1.65u =，0.975 1.96u =，2
0.925
(5)10χ=，0.968(15)2t =，0.833(15)1t =，0.975(14) 2.145t =，0.975(10) 2.228t =，0.975(7) 2.365t =，
20.95(2) 5.991χ=，2
0.95(3)7.815χ=，0.90(2,2)9F =，0.90(1,1)39.86F =，0.90(1,2)8.53F =，
0.95(1,11) 4.84F =，0.95(1,10) 4.96F =，0.95(2,24) 3.4.F =
一、（24分）设总体2~(,)X N μσ，12,,n X X X L 来自总体X 的简单样本，其中X ，
2S 分别表示样本均值和样本方差。请分析和计算下列各式的值：（1）当4σ=时，
试确
定
n ,使得
{1}0.95P X μ-≤≥成立；
(2)2
2
2
3
11{10}i i j X X X P μσ==-??-??+> ???∑∑；（3）当16n =时，2(){1}X P S μ->,并画简图说明；（4）确定常数(0)c c >,使得212221212()1
{}0.9()()X X P X X X X c ->=-++
解：1）2
~(,
)X N n
σμ
Q ~(0,1)X N
{1}0.95P X P μ∴-≤=≤≥ 又4σ=
Q 0.975 1.964
u ≥=得62n ≥ 2）~(0,1)
i X N μ
σ
-Q
且相互独立2
2
2
1~(2)i
i X μχσ=-??∴ ??
?∑ 又
22122~(0,2)
j j X X N σ++
-~(0,1)
X X N -且相互
独
立
2
3
2
1~(3)j X X χ=-??∴∑
2
2
23
11{10i i j X X X P μσ==-??-??∴+>? ????
∑∑ =22{(5)10}1{(5)10}10.9250.075P P χχ>=-≤=-=
3)~(1)X t n -Q
且16n
=4()~(15)X X t S μ-=2()
{1}X P S μ-∴>
4()
{
2}{(15)2}1{(15)2}10.9680.032X P P t P t S
μ-=>=>=-≤=-=.简图省略. 4）2221212122222
12121212()()()1
{}{1}{1}0.9()()()()X X X X X X P P c P c X X X X c X X X X -++>=+≤=≤-=-++--
212~(0,2)X X N σ+Q 212~(0,2)X X N σ-且1212cov()()0X X X X +-= 知
1212()()X X X X +-相互独立.
又~(0,1)N
Q ~(0,1)N 2122
12()~(1,1)()X X F X X +∴- ∴原式=2
122
12(){1}{(1,1)1}0.9()X X P c P F c X X +≤-=≤-=-即139.86c -=40.86c = 注意原题缺条件，这里应该加上0μ=
二、（24分）设某电话总机在一个单位时间接收到的呼唤次数
~()X P λ,12,,n X X X L 是来自X 的样本。求（1）参数λ的最大似然估计?λ；（2）验证?λ的无偏性和相合性；（3）令{1}p P X =≤，求参数p 的最大似然估计?p
；
试确定参数λ和p 的估计值。 解：1）~()X P λQ ()!
x e P X x x λ
λ-∴==
建立似然函数1()!i x n
i i
e L x λ
λλ-==∑
11ln ()ln ln !n
n
i i i i
L x n x λλλ===--∑∑ 1
1ln ()1
1()0n
n
i i i i d L n x n x d n λλλλλ===
-=-=∑∑ 1
1?n
i i x X n λ=∴==∑ 3）01{1}{0}{1}(1)0!
1
e e p P X P X P X e λ
λ
λλλλ---=≤==+==
+
=+???(1)p
e λλ-?=+
4）由表格知114296179 1.9754040
EX ?+?+?=
==L ?() 1.975X E X λ
∴=== 将?λ
的值代入???(1)p e λλ-=+得 1.975?(1.9751)0.413p e -=+= 三、（16分）为了比较测定污水中氯气含量的两种方法，特别地在各种场合下收
集到8个污水水样，每个水样分别用两种方法测定氯气含量（单位：mg/L ）,数
211(,)N μσ，222(,)N μσ，且计算得 5.435x =，2
17.013X s =， 5.021y =，2
17.811
Y s =（1）求参数12μμ-的置信度为95%的置信区间；（2）采用配对数据检验法比较两种测定方法是否有显著差异？（0.05α=）
解：1）21σQ ，22σ未知且样本容量较小，故采用t
统计量的形式
12~(2)X Y T t n n =+- 12μ-的置信度95%的置信区间为 2）因为要配对样本，故采用符号检验法。设X ,Y 的分布函数分别是()X F x ，
()Y F x .则统计假设为0:()()X Y H F x F x =，1:()()X Y H F x F x ≠.由题意知，8n =，当0.05α=时，拒绝域为0.05{(8)0}s s <= 而n +=6，2n -=检验统计量的样本值
min(,)20s n
n +-==>.故接受0H ，认为两种滴定方法无显著差异。下图为两种方
四、按照孟德尔遗传规律，让开淡红色的豌豆随机交配，子代可区分为红花、淡红花和白花三类，且比例是1:2:1.为了检验该理论进行实验，获得一组观测值，红花、淡红花和白花的豌豆株数分别为26,66,28.试问这些数据与孟德尔遗传规律是否一致？（显著性水平取0.05）
解：作统计假设0:H 服从孟德尔遗传定律1:H 不服从孟德尔遗传定律
由题意，120n =，3m =，0r =.在显著性水平0.05α=下选择检验统计计量式
3
2
1
()i i i i
v np np χ=-=∑
拒绝域为22
0.95
{(2) 5.991}χχ>=2χ的样本值 2223
2
2
0.951
()(2630)(6660)(2830) 1.267(2) 5.991306030i i i i v np np χχ=----==++=<=∑
从而接受0H ，认为服从孟德尔遗传定律。
五、（16分）为了研究广告对某商品的销售收入的影响，某商店记录了12个月
的该商品的销售收入Y （单位：万元）和广告费用X （单位：万元），并计算得到下值: 5.958x =,67.983y =,12
2
1530.75i i x ==∑,
12
21
64981i
i y
==∑,12
1
5853i i i x y ==∑,2
221.295E
S = 请根据上述数据完成下列问题：（1）给出样本回归直线；（2）填写下面的方差
分析表，并根据表中的数据检验模型的线性关系是否显著（0.05α=）；
df SS MS F 回归分析 残差 221.295 22.130 总计
（3）预测广告费用X 取值为8.6万元时该商品的销售收入Y 的取值，并求置信度为95%的预测区间。
解：1)因 5.958x =,67.983y =,12
21530.75i i x ==∑,
12
21
64981i
i y
==∑,12
1
5853i i i x y ==∑得
12112992.487xy i i i l x y xy ==-=∑1222
112104.777xx i
i l x x ==-=∑12
221
129520.741yy i i l y y ==-=∑
1
?9.472xy xx
l l β==01
?11.549y x ββ=-=所以样本回归直线为?9.47211.549y x =+ 2)填写后的方差分析表如下表所示
df SS MS
F 回归分析 1 9299.446 9299.446 420.219
残差 10 221.295 22.130 总计
0.95(1,10) 4.96F =Q 420.219 4.96F =>故线性关系十分显著.
3）0001(8.6)8.6E Y x ββ==+，而0?β，1
?β分别为0β，1β的无偏估计，故 001
??8.693.008EY ββ=+=0020?~(2)?()Y y t n s x σ--?Q
其中20()s x =对置信度10.95α-=有0200020??(()())10.95P y x Y y x δδα-<<+=-=其中 202012
?()()(2)x s x t n αδσ
-
=?-=11.239 所以0Y 置信度95%的预测区间为
020020??((),())(81.769,104.247)y
x y x δδ-+= 六、（10分）一位经济学家对生产电子计算机设备的企业收集了在一年内生产力
提高指数（用0到10内的数表示）（见下表）,并按过去三年间在科研和开发上的平均花费分为三类：A1：花费少，A2：花费中等，A3：花费多
生产力提高指数
A1 7.6 8.2 6.8 5.8 6.9 6.6 6.3 7.7 6 A2 6.7 8.1 9.4 8.6 7.8 7.7 8.9 7.9 8.3 8.7 7.1 8.4 A3 8.5 9.7 10.1 7.8 9.6 9.5 如果要用方差分析表处理该问题，（1）请指出该问题的指标、因素、水平分别是什么？（2）数据应该满足的基本假设有哪些？（3）请填写下表，根据表中
方差分析表
来源 SS （平方和） Df(自由度) MS （均方差）
F 值 p 值
因素A 4.33E-05 误差 15.36 总和 35.49
中的数据，检验科研和开发上的花费对生产力提高指数有无显著影响（0.05α=）？请解释p 值
解：1）该问题的指标是生产力提高指数；因素为科研和开发上的平均花费；水平为平均花费A1、A2、A3.
2)数据应该满足的基本假设有：1、每个水平服从正态分布且相互独立，方差相同；2、每个水平下取的样本独立同分布且有代表性. 3)完成后的方差分析表如下图所示. 来源 SS （平方和） Df(自由度) MS （均方差）
F 值 p 值
因素A 20.13 2 10.065 15.727 4.33E-05 误差 15.36 24 0.64 总和 35.49 26 记1μ、2μ、3μ分别为三种花费下生产力提高指数的均值，提出如下假设：
0123:H μμμ== 1123:H μμμ、、不全相等0.95(2,24) 3.4F =Q 15.727 3.4F =>
所以拒绝0H ，认为科研和开发上的平均花费对生产力提高指数有显著影响
p 值：1{(1,)p p P F F r n r -=>--称为尾概率。
一、填空题（本题15分，每题3分） 1、总体得容量分别为10，15得两独立样本均值差________； 2、设为取自总体得一个样本，若已知,则=________； 3、设总体，若与均未知，为样本容量，总体均值得置信水平为得置信区间为，则得值为________； 4、设为取自总体得一个样本，对于给定得显著性水平，已知关于检验得拒绝域为2≤，则相应得备择假设为________； 5、设总体，已知，在显著性水平0、05下，检验假设,，拒绝域就是________。 1、； 2、0、01； 3、； 4、； 5、。 二、选择题（本题15分，每题3分） 1、设就是取自总体得一个样本，就是未知参数，以下函数就是统计量得为（ ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 2、设为取自总体得样本，为样本均值，，则服从自由度为得分布得统计量为（ ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 3、设就是来自总体得样本，存在， , 则（ ）。 （A ）就是得矩估计 （B ）就是得极大似然估计 （C ）就是得无偏估计与相合估计 （D ）作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立，样本容量分别为，样本方差分别为，在显著性水平下，检验得拒绝域为（ ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 5、设总体，已知，未知，就是来自总体得样本观察值，已知得置信水平为0、95得置信区间为（4、71，5、69），则取显著性水平时，检验假设得结果就是（ ）。 （A ）不能确定 （B ）接受 （C ）拒绝 （D ）条件不足无法检验 1、B ； 2、D ； 3、C ； 4、A ； 5、B 、 三、（本题14分） 设随机变量X 得概率密度为：，其中未知 参数，就是来自得样本，求（1）得矩估计；（2）得极大似然估计。 解：(1) θθθ322)()(022 ===??∞+∞-x d x x d x f x X E ， 令，得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为：),,2,1(,022),(1212n i x x x x L i n i i n n n i i i Λ=<<==∏∏==θθθθ， ， 而就是得单调减少函数，所以得极大似然估计量为。
第三章 假设检验 课后作业参考答案 3.1 某电器元件平均电阻值一直保持2.64Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为0.06Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响？(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件, 测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分 布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。 解： {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。
3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从 一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20(2 /cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提高？ 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为3.25？ 解： 010110 2: 3.25 H :t X 3.252, S=0.0117, n=5 0.3419 H x μμμμσ==≠==提出假设：构造统计量：本题属于未知的情形，可用检验，即取检验统计量为：本题中，代入上式得：否定域为：1-20.99512 0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t t H ααα- ??-?? ?? ==<∴本题中，接受认为这批矿砂的镍含量为。
重庆大学全日制学术型硕士研究生 《数理统计》（A ）课程试卷 2013-2014学年第一学期（秋） 请保留四位小数，部分下侧分位数为：0.95 1.65u =，0.99 2.33u =，2 0.95(1) 3.841χ=， 0.95(3,6)9.78f = 一、（18分）设1X ，2X ，…，64X 是来自总体N （0，2 σ）的样本，X ，2 S 分别是样本 均值和样本方差：（1）求参数c 满足{}0.1P X S c >?=；（2）求概率22 12 22 34 {1}X X P X X +>+；(3)求322321(2)i i i D X X X +=?? +-???? ∑。(请写出计算过程) 解：（1 ） ~(1)t n -{}}0.1P X S c P c ∴>?=>= 得0.95(63)c t = 故 1.650.20638c == （2）2 ~(0,)X N σ22212(/)(/)~(2)X X σσχ∴+ 同理22234(/)(/)~(2)X X σσχ+ 2222223412122234(/)(/)(/)(/)/~(2,2)22X X X X X X F X X σσσσ+++∴=+ 22 122234{1}{(2,2)1}X X P P F X X +>=>+ 且0.50.50.51(2,2)(2,2)1(2,2)F F F =?= 得2222 1212 2222 3434{1}1{1}0.5X X X X P P X X X X ++>=-≤=++ (3)令2 ~(2,2)i i n i Y X X N μσ+=+，112n i i Y Y X n ===∑ 22 1 ()(1)n i Y i T Y Y n S =∴=-=-∑ 3232 223211(2)[()]i i i i i D X X X DT D Y Y +==??+-==-???? ∑∑ 2~(0,2(11/))i Y Y N n σ-+ ~(0,1) Y N =32 22422421 [2(11/) 4(11/)((32))256(11/32)i Y D n n D σσχσ=+=+=+∑ 二、（26分）设1X ，2X ，…，n X 是来自总体2 ~(2,)(0)X N σσ>的样本，
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 说明：本试卷总计100分，全试卷共 5 页，完成答卷时间2小时。 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 一、填空题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1、随机事件A 、B 互不相容，且A ＝B ；则()P A = 2、已知,10/1)/(,5/1)(,5/2)(===B A P B P A P 则=+)(B A P 3、同时掷三枚均匀硬币，则恰有两枚正面向上的概率为 。 4、若随机变量)2.0,20(~B X ，则X 的最可能值是 。 5、若n X X X ,...,,21为来自泊松分布)(λP 的一个样本，2,S X 分别为样本均值和样本方差，则 =)(X E ，=)(2S E 。 6、样本0,5,10,-3样本均数为 ，样本方差为 。 7、2σ已知时检验假设0100:;:μμμμ≠=H H ，应构造统计量为 ，拒绝域为 。 8、考查4个3水平的因子A,B,C,D 及其交互作用A ×B 与A ×C ，则做正交实验设计时，可选用的行数最少的正交表为 。 二、单项选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1、设随机事件A 、B 互不相容，且()0,()0,P A P B >>则下列结论只有（ ） 成立。 A 、A 、 B 是对立事件； B 、A 、B 互不相容； C 、A 、B 不独立； D 、 A 、 B 相互独立。 2、射击三次，事件i A 表示第i 次命中目标（i =1，2，3），下列说法正确的是（ ）。 A 、321A A A 表示三次都没击中目标； B 、313221A A A A A A ++表示恰有两次击中目标； C 、313221A A A A A A ++表示至多一次没击中目标；D 、321A A A 表示至少有一次没击中目标。 3、随机变量),(~2σμN X ，则随着σ的减小，)|(|σμ<-X P 应（ ）。 A 、单调增大； B 、单调减少； C 、保持不变； D 、增减不能确定
概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。
4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。
《数理统计》例题 1.设总体X 的概率密度函数为： 2 2 1)(ββ x e x f -= )0(>β 试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。 解：（1）矩法 由于EX 为0， πβββββ βββββββ2 00 2 2 2 22 2 1][) ()2 (2) ()2(21 2)(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = +-=- =- - ===???? ?∞ +-∞+- ∞ +- - ∞ +- ∞ ++∞ ∞ -dx e xe e d x x d xe dx e x dx x f x EX x x x x x πβ2 222 1= -=X E EX DX 令2S DX =得：S π β2 ?= （2）极大似然法 ∑= ==- =- ∏ n i i i x n n i x e e L 1 2 22 2 1 11 1 β ββ β ∑=- -=n i i x n L 1 22 1 ln ln ββ 2 31 ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =β d L d 得∑==n i i x n 1 2 2?β
2. 设总体X 的概率密度函数为： ?? ???<≥--=αα βαββαφx x x x ,0),/)(exp(1 ),;( 其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。 解：（1）矩法 经统计得：063.0,176.2==S X β αβαβ φα β α α β ααβ α β α α β α α +=-=+-=-===∞ +-- ∞ +-- ∞ +-- -- ∞ +-- ∞ +∞ +∞-?? ? ?x x x x x e dx e xe e xd dx e x dx x x EX ][) (1 )( ) (222][) (1 222 22 2βαβαβαβ β α α αβ α β α α β α α ++=+=+-=-==--∞ +∞ +-- --∞ +-- ∞ +?? ?EX dx e x e x e d x dx e x EX x x x x 222)(β=-=EX EX DX 令???==2S DX X EX 即???==+2 2S X ββα 故063.0?,116.2?===-=S S X βα （2）极大似然法 ) (1 1 1),;(αβ β α β β βα---- == =∏X n n X n i e e x L i )(ln ln αβ β-- -=X n n L )(ln ,0ln 2αβ βββα-+-=??>=??X n n L n L 因为lnL 是L 的增函数，又12,,,n X X X α≥L 所以05.2?)1(==X α
习题八 A 组 1.假设总体X ～)1,(μN ，从中抽取容量为25的样本，对统计假设0:,0:10≠=μμH H ，拒绝域为X 0={} 392.0≥x 。（1）求假设检验推断结果犯第Ⅰ类错误的概率。（2）若 3.0:1=μH ，求假设检验推断结果犯第Ⅱ类错误的概率。 解：（1）{}{} 001H H P P α==犯第I 类错误拒绝成立={} 0392.0=>μX P { }{} 96.10392.0>==>=n X P X P μ，所以05.01=α （2）{}{} 00H H P P β==犯第II 类错误接受不成立{} 3.0392.0=≤=μX P {} 6769.046.0)3.0(46.3=<-<-=n X P 2.已知某厂生产的电视机显像管寿命（单位：小时）服从正态分布。过去，显像管的平均寿 命是15000小时，标准差为3600小时。为了提高显像管寿命采用了一种新技术，现从新生 产的显像管中任意抽取36只进行测试，其平均寿命为15800=x 小时。若用假设检验方 法推断新技术是否显著提高了显像管的寿命，试指出：（1）假设检验中的总体；（2）统计假设；（3）检验法、检验统计量、拒绝域；（4）推断结果。 解：（1）假设检验中的总体是新生产的显像管的寿命，用X 表示，由题意知：X ～ ),(2σμN )90000,5000(N （2）统计假设： 15000 :0≤μH ，15000:1>μH (3)假设σ与过去一样为3600小时，那么检验方法为U 检验法，检验统计量为： n X U σ 15000 -= 显著水平05.0=α时的拒绝域为：X 0 = {}α->1u u ={}645.1>u （4）推断：因为U 的样本值为不在X 0 内，所以接受原假设，即在显著水平05.0=α 下， 认为新技术没有提高显像管的寿命。 3.某计算机公司使用的现行系统，运行通每个程序的平均时间为45秒。现在使用一个新系
数理统计考试试卷 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得 备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A) (B) (C) (D) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A)就是得矩估计(B)就是得极大似然估计 (C)就是得无偏估计与相合估计(D)作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A)不能确定(B)接受(C)拒绝(D)条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B、 三、(本题14分) 设随机变量X得概率密度为:,其中未知 参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。 解:(1) , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:, 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。 四、(本题14分)设总体,且就是样本观察值,样本方差,
一.选择题（18分，每题3分） 1. 如果 1)()(>+B P A P ，则 事件A 与B 必定 （ ） )(A 独立； )(B 不独立； )(C 相容； )(D 不相容. 2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是； ；；。现任选4人，则4人血 型全不相同的概率为： （ ） )(A ； )(B 40024.0； )(C 0. 24； )(D 224.0. 3. 设~),(Y X ???<+=., 0, 1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 （ ） )(A 独立同分布的随机变量； )(B 独立不同分布的随机变量； )(C 不独立同分布的随机变量； )(D 不独立也不同分布的随机变量. 4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为. 则射击次数的数 学期望与方差分别为 （ ） 、 )(A 4934与； )(B 16934与； )(C 4941与； (D) 9434与． 5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，以下μ的四个估计量中最有效的是（ ） )(A 32112110351?X X X ++=μ ； )(B 32129 4 9231?X X X ++=μ ； )(C 321321 6131?X X X ++=μ ； )(D 32141254131?X X X ++=μ． 6. 检验假设222201:10,:10H H σσ≤>时，取统计量)(~10 )(22 2 12n X i n i χμχ-= ∑=，其 拒域为（1.0=α） （ ） )(A )(21.02n χχ≤；)(B )(21.02n χχ≥；)(C )(205.02n χχ≤；)(D )(2 05.02n χχ≥. 二. 填空题（15分，每题3分） 1. 已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则 =?)(B A P ． 2. 设随机变量X 的分布律为??? ? ??-+c b a 4.01.02.043 21 ，则常数c b a ,,应满足的条件 ) 为 . 3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率
习 题 一 1．下列随机试验各包含几个基本事件？ （1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个 一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的 任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ?=种。 （2）观察三粒不同种子的发芽情况。 解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有81 21212=??C C C 种不同情况。 （3）从五人中任选两名参加某项活动。 解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序， 所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。 （4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。 解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。 （5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。 解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一 个一个放入盒子内（按要求）。a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。b 球因 为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球 的盒子）两个中任一个，其放法有21 2=C 个。c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=??C C 种。 2． 事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB U 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？ 解： 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。此随机试验E 的样 本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而 12345A A A A A A =U U U U ,A B S ∴=U φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。 3. 随机抽验三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”，设B 表示“三件中至少有两件是废品”，C 表示“三件都是正品”，问 ,,,,A B C A B AC U 各表示什么事件？
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??
《概率论与数理统计》期末考试试题(A) 专业、班级: 姓名: 学号: 十二总成绩 、单项选择题(每题3分共18分) 1. D 2 . A 3 . B 4 . A 5 . (1) (2)设随机变量X其概率分布为X -1 0 1 2 P 则 P{X 1.5}() (A) (B) 1 (C) 0 (D) 设事件A与A同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是( (A) P (A) P(A I A2) (B) P(A) P(A i) P(A2) (C) P(A) P(A1 A2) (D) P(A) P(A i) P(A2) 设随机变量X~N( 3, 1), Y ?N(2, 1),且X 与Y相互独 7,贝y z~(). (A) N(0, 5); (B) N(0, 3); (C) N(0, 46); (D) N(0, 54).
(5)设 X1X2, 未知，贝U( n (A) X i2 i 1 ,X n为正态总体N(, )是一个统计量。 (B) (C) X (D) (6)设样本X i,X2, 为H o： (A)U (C) 2)的一个简单随机样本，其中2, ,X n来自总体X ~ N( 0( 0已知) (n 1)S2 2 二、填空题(每空3分 xe x 1. P(B) 2. f(x) 0 (1) 如果P(A) 0, P(B) H1 ： (B) (D) 共15分) 0, P(A B) 设随机变量X的分布函数为 F(x) 则X的密度函数f(x) 3e P(A) n (X i ) i 1 2), 2未知。统计假设 则所用统计量为( 3 . 1 4. 则P(BA) 0, 1 (1 x)e x, x 0, 0. n (X i 1 P(X 设总体X和丫相互独立，且都服从N(0,1) , X1,X2, 样本，丫1,丫2, Y9是来自总体丫的样本，则统计量 服从分布(要求给出自由度)。t(9 ) 2) )2 X9是来自总体X的 X1 U肩
2（1）未知函数u 的导数最高阶为2，u ``,u `,u 均为一次，所以它是二阶线性方程。 （2） 为y 最高阶导数为1，而y 2为二次，故它是一阶非线性常微分方程。 （3） 果y 是未知函数，它是一阶线性方程；如果将x 看着未知函数，它是一阶非线 性方程。 3. 提示：所满足的方程为y ``－2 y `+y=0 4． 直接代入方程，并计算Jacobi 行列式。 5.方程变形为dy=2xdx=d(x 2),故y= x 2+C 6. 微分方程求解时，都与一定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。 7． 把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，因为这个式子里没有未知函数的导数或微分。 8． y `＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y ，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。 9 （1） 积分得x=-cosx+c （2） 将方程变形为x 2 y 2 dy=(y-1)dx 或1-y y 2＝2x dx ，当xy ≠0,y ≠1时积分得 22x ＋y+ln 1-y +x 1=c (3)方程变形为 y dy +1＝x x sin cos dx,当y ≠-1,sinx ≠0时积分得 y=Csinx-1 (4)方程变形为 exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得 exp(y)＝ 2 1 exp(2x)＋C (5)当y ≠±1时，求得通积分ln 1 1 +-y y =x+c (6)方程化为 x 2 ydx=(1- y 2 )(1+x 2 )dx 或2 2 1x x +dx=y y 21-dy,积分得 x －arctgx －ln y + 2 1y 2 =C
概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】