一、八年级数学分式解答题压轴题（难）
1．小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．
（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？
（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m 倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n 分钟． ①当3m =，6n =时，求小强跑了多少分钟？
②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m n ，的式子表示）．
【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为
3分；②
1000(1)
m mn
-．
【解析】 【分析】
（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；
（2）①设小明的速度为y 米/分，由m ＝3，n ＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；
②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案. 【详解】
（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，
根据题意得：
1200x ＝4500
220
x +． 解得：x ＝80．
经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意． ∴x+220＝300．
答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分． （2）①设小明的速度为y 米/分，∵m ＝3，n ＝6， ∴
1000100063y y -=，解之得1000
9
y =. 经检验，1000
9
y =
是原方程的解，且符合题意，
∴小强跑的时间为：1000
1000(3)39
÷?
=（分） ②小强跑的时间：
1n m -分钟，小明跑的时间：11
n mn
n m m +=--分钟，
小明的跑步速度为： 1000(1)
10001mn m m mn
-÷=-分． 故答案为：1000(1)m mn
-．
【点睛】
此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.
2．阅读下面的解题过程：已知2113x x =+，求2
41x x +的值。 解：由2113x x =+知，0x ≠，所以21
3x x
+=，即13x x +=. 所以2
422
22
1112327x x x x x x +??=+=+-=-= ???
.所以24117x x =+. 该题的解法叫做“倒数法”。 已知：
21
315
x x x =-+
请你利用“倒数法”求2421
x x x ++的值。求2
2128x x x -+的值。
【答案】242
1=163
x x x ++；2
2128=61x x x -+ 【解析】 【分析】
计算所求式子的倒数，再将2421
x x x ++代入可得结论；将2
2128x x x -+进行变形后代入即
可.
【详解】
解：∵
2
1
315
x x x =-+，且x≠0， ∴2315x
x x -+=，
∴1
x 35x
+
-=，
∴1
x 8x
+
=， ∴422
222
11++1=x+-11x ==63x x x x x ??+? ??
+， ∴242
1=163
x x x ++ ∵1x 8x
+
= ∴2x -8x=-1
∴22
22221x 1128=+8=+-2-1=64-2-1=61x x x x x x x x ?? ???
-++- 【点睛】
本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形，本题属于基础题型．
3．有甲、乙两名采购员去同一家公司分别购买两次饲料，两次购买的饲料价格分别为m 元/千克和n 元/千克，且m≠n ，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少千克的饲料。
（1）甲、乙两次购买饲料的平均单价各是多少？（用字母m 、n 表示） （2）谁的购买方式比较合算? 【答案】（1）2
m n +元/千克；2mn
m n +元/千克；（2）乙的购货方式合算．
【解析】 【分析】
（1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价；
（2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算． 【详解】
（1）根据题意列得：甲采购员两次购买饲料的平均单价为
800()16002
m n m n
++=元/千克；
乙采购员两次购买饲料的平均单价为16002800800mn
m n m n
=
++元/千克；
（2）22
2()4()22()2()
m n mn m n mn m n m n m n m n ++---==+++， ∵（m-n ）2≥0，2（m+n ）＞0，
∴
202m n mn m n +-+，即22m n
mn
m n
++， 则乙的购货方式合算． 【点睛】
此题考查了分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
4．我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：
112122
111111
x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552()11111
x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++. （1）下列分式中，属于真分式的是：____________________（填序号）
①21a a -+； ②21x x +； ③223b b +； ④2231
a a +-. （2）将假分式
43
21
a a +-化成整式与真分式的和的形式为： 43
21
a a +-=______________+________________. （3）将假分式23
1a a +-化成整式与真分式的和的形式：
23
1
a a +-=_____________+______________. 【答案】(1)③；(2)2，521a -；(3)a ＋1＋4
1
a - . 【解析】
试题分析：（1）认真阅读题意，体会真分式的特点，然后判断即可； （2）根据题意的化简方法进行化简即可； （3）根据题意的化简方法进行化简即可.
试题解析：（1）①中的分子分母均为1次，②中分子次数大于分母次数，③分子次数小于分母次数，④分子分母次数一样，故选③. （2）
4321a a +-=42552212121a a a a -+=+---，故答案为2，5221
a +
-； （3）231a a +-=214(1)(1)4111
a a a a a a -++-=+
---=411a a ++-，故答案为a+1+41a -.
5．为了迎接运动会，某校八年级学生开展了“短跑比赛”。甲、乙两人同时从A 地出发，沿同一条道路去B 地，途中都使用两种不同的速度1v 与()212v v v ＜。
甲前一半的路程使用速度1v ，另一半的路程使用速度2v ；乙前一半的时间用速度1v ，另一半的时间用速度2v 。
（1）甲、乙二人从A 地到达B 地的平均速度分别为v v 甲乙、；则
=v 甲___________,=v 乙____________
(2)通过计算说明甲、乙谁先到达B 地？为什么？ 【答案】（1）1212
1222
v v v v v v ++；；（2）乙先到达B 地． 【解析】 【分析】
（1）设AB 两地的路程为s ，乙从A 地到B 地的总时间为a ．
先算出前一半的路程所用的时间，后一半的路程所用的时间相加，速度=路程÷时间求出V
甲
； 先算出前一半的时间所行的路程，后一半的时间所行的路程相加，速度=路程÷时间求出V
乙
；
（2）看甲、乙两人谁先到达B 地，因为路程一定，比较V 甲，V 乙的大小即可． 【详解】
（1）设AB 两地的路程为s ，乙从A 地到B 地的总时间为a ．
v 甲=12
12
12
21122v v s
v v s s v v =
++，v 乙=1212222
v a v a v v a +
+=．
（2）v 乙﹣v 甲=12
2v v +－1212
2v v v v +=21212()2()v v v v -+ ∵0＜v 1＜v 2，∴v 乙﹣v 甲＞0，乙先到B 地． 【点睛】
本题重点考查了列代数式和分式的混合运算，是一道难度中等的题目．
6．观察下列各式：
111121212==-?，111162323==-?，1111123434
==-?，1111204545==-?，1111305656
==-?，… ()1请你根据上面各式的规律，写出符合该规律的一道等式：________
()2请利用上述规律计算：()
1111 (122334)
1n n ++++=???+________
（用含有n 的式子表示）
()3请利用上述规律解方程：()()
()()1
111
21111x x x x x x x +
+=
---++．
【答案】1111426767==-? 1
n n + 【解析】 【分析】
根据阅读材料，总结出规律，然后利用规律变形计算即可求解. 【详解】 解：()
11111(426767==-?答案不唯一)； 故答案为
1111426767==-?； ()2原式1
n n =
+； 故答案为
1
n n + ()3分式方程整理得：
111111121111
x x x x x x x -+-+-=---++， 即
12
21
x x =-+， 方程两边同时乘()()21x x --，得()122x x +=-， 解得：5x =，
经检验，5x =是原分式方程的解． 【点睛】
此题主要考查了阅读理解型的规律探索题，利用分数和分式的性质，把分式进行变形是解题关键.
7．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x 小时，乙单独完成需要y 小时，丙单独完成需要z 小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a 倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b 倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c 倍，求111111
a b c +++++的值．
【答案】（1）甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的xy xz
yz
+倍；（2）1 【解析】
分析：（1）先求出乙丙合作完成时间，再用甲单独完成的时间除以乙丙合作完成时间即可
求解；
（2）根据“甲单独作完成的天数为乙丙合作完成天数的a 倍”，可得x =1
1a
y
z
+
，运用比例的基本性质、等式的性质及分式的基本性质可得
11
a +=yz xy yz xz ++；同理，根据“乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的
b 倍”，可得11
b +=xz xy yz xz ++；根据“丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的
c 倍”，可得11
c +=xy xy yz xz ++，将它们分别代入所求代数式，即可得出结果．
详解：（1）x ÷[1÷（1y +1
z
）]
=x ÷[1÷y z
yz
+] =x ÷yz
y z
+ =
xy xz
yz
+． 答：甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的
xy xz
yz
+倍； （2）由题意得x =1
1a
y
z +
①，y =11b
x z
+
②，z =11c
x y +③．
由①得a =x y +x z ，∴a +1=x y +x z +1，∴1
1
a +=1
1x x y z
++=yz xy yz xz ++；
同理，由②得11
b +=xz xy yz xz ++； 由③得1
1
c +=xy xy yz xz ++； ∴
111111a b c +++++=yz xy yz xz +++xz xy yz xz +++
xy xy yz xz ++=xy yz xz xy yz xz
++++=1． 点睛：本题主要考查分式方程在工程问题中的应用及代数式求值．工程问题的基本关系式为：工作总量=工作效率×工作时间．注意两人合作的工作效率等于两人单独作的工作效率之和．本题难点在于将列出的方程变形，用含有x 、y 、z 的代数式分别表示
11
a +、
1
1 b+、
1
1
c+
的值．
8．某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？
【答案】(1)B型商品的进价为120元， A型商品的进价为150元;(2)5500元.
【解析】
分析：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元，根据“用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍”，这一等量关系列分式方程求解即可；
（2）根据题意中的不等关系求出A商品的范围，然后根据利润=单价利润×减数函数关系式，根据函数的性质求出最值即可.
详解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元．
由题意： =×2，
解得x=120，
经检验x=120是分式方程的解，
答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．
（2）因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．
m≤100﹣m，m≤50，
由题意：w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，
∵﹣10＜0，
∴m=50时，w有最小值=5500（元）
点睛：此题主要考查了分式方程和一次函数的应用等知识，解题关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，注意解方式方程时要检验.
9．八年级某同学在“五一”小长假中，随父母驾车去蜀南竹海观光旅游.去时走高等级公路，全程90千米；返回时，走高速公路，全程120千米.返回时的平均速度是去时平均速度的1.6倍，所用时间比去时少用了18分钟.求返回时的平均速度是多少千米每小时？【答案】返回时的平均速度是80千米/小时.
【解析】
分析：根据题意，设去时的平均速度是x千米/小时，找到等量关系：返回时所用时间比去时少用了18分钟，列分式方程求解即可.
详解：设去时的平均速度是x千米/小时.
由题：
90120181.660
x x =+ 解得：50x =
检验：50x =是原方程的解.
并且，当50x =时，1.680x =，符合题意. 答：返回时的平均速度是80千米/小时.
点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是确定问题的等量关系，根据等量关系列方程解答.
10．为了践行“绿色低碳出行，减少雾霾”的使命，小红上班的交通方式由驾车改为骑自行车，小红家距单位的路程是20千米，在相同的路线上，小红驾车的速度是骑自行车速度的4倍，小红每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟，才能按原时间到达单位，求小红骑自行车的速度．
【答案】小红骑自行车的速度是每小时20千米. 【解析】 【分析】
设骑自行车的速度为x 千米/时，则驾车的速度为4x 千米/时．依据“小王每天骑自行车上班比驾车上班要早出发45分钟”列出方程并解答． 【详解】
解：设小红骑自行车的速度是每小时x 千米，则驾车的速度是每小时4x 千米.根据题意得：
202045460
x x =+ 解得x ＝20
经检验x ＝20是分式方程的解，并符合实际意义 答：小红骑自行车的速度是每小时20千米. 【点睛】
本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．