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例:
y (n) ay (n 1) x(n)
当前时刻 前一时刻
差分方程
例:
1 y (n) M
M 1 k 0
b x(n k )
k
if
M 3:
1 y ( n ) [b0 x ( n ) b1 x ( n 1) b2 x ( n 2)] 3
if b0 b1 b2 1:
n ,也为一次幂
1.6 离散系统输入输出关系
x(n)
h( n) y ( n )
希望找到 三者关系
将 x ( n ) 作如下形式的分解:
x(n)
k
x(k ) (n k )
x ( 1) ( n 1) x (0) ( n ) x (1) ( n 1)
Leabharlann Baidu
,得 x ( k ), h ( k ) ;
h( k ) ;
n
,得h ( n k ) ;
4. 将 x ( k ) 和 h(n k ) 对应相乘、相加。
卷积的应用
1. 给定
h( n,求系统对 )
任意输入( x ( n ) )的输出;
2.
系统稳定性判据:
y ( n)
k
x(n k ) | h(k ) | xmax
有限长:FIR 系统
1. 线性 Linear
T [ x1 ( n )] y1 ( n )
T [ x2 ( n )] y2 ( n )
T [ x1 ( n) x2 (n)] y1 (n) y2 (n)
含意:该系统满足迭加原理
2. 移不变性 Shift Invariant
移不变性的图示说明:
3. 因果性 Causality y ( n ) f [ x ( n ), x ( n k ), y ( n m )]
k 0, m 0
因果系统 非因果系统
y ( n ) f [ x ( n 1), x ( n 2), ]
含意:一个实际的物理系统,其当前时刻 的输出只能和当前时刻的输入、过去时刻 的输入与输出有关,而不能和将来时刻的 输入与输出有关。
n
x ( n) y ( n m) x ( n m) y ( n)
x ( n)
n
n
y ( n) n y (n 2)
n y ( n) n x(n 2)
n
n
rxy (m)
x ( n)
ryx ( m )
n
y (n) x(n m)
x ( n) n
2 2 n n 1 2
| xy | 1
相关系数
相关系数的又一个定义:
rxy
n
x(n) y (n)
| xy | 1
注意, rxy ~
相关系数不能反映信号内在的相关性, 所以引入相关函数。包含自相关函数和互相 关函数:
rxy ( m )
ryx ( m )
2
线性、移不变性、因果性、稳定性是对系 统的基本要求。希望能掌握判断的方法。 非线性系统的研究不在本课的范围。
线性移不变系统的一般形式:
y ( n ) ak y ( n k ) br x ( n r )
k 1 r 0
N
M
1.
ak , br 为常数
2. 无常数项 3. x ( n ), y ( n ) 为一次幂 4. 时间
n
x(n) y (n m) x, y
n
x(n m) y (n)
之间 的互相关
n
y (n) x(n m)
之间 的互相关
y, x
所以 ryx ( m ) rxy ( m )
rxy ( m ) ryx ( m )
rxy (m)
x ( n)
x (0) ( n ) x ( 1) ( n 1)
x (1) ( n 1)
x ( 0) h ( n )
x ( 1)h ( n 1) x(1)h(n 1)
y (n)
x(n )
y (n)
k
x ( k )h ( n k )
:多个判断方法
如何判断:线性?移不变? 因果?稳 定?
例1:
y ( n ) nx ( n )
y1 (n) T [ x1 (n)] nx1 (n) y2 (n) T [ x2 (n)] nx2 (n) let x(n) x1 (n) x2 (n) nx1 (n) nx2 (n) y1 (n) y2 (n) y (n) T [ x(n)] n[ x1 (n) x2 (n)]
y ( n ) x ( n ) x ( n 1) x ( n 2) 3
x(n)
h(n )
y (n )
令 x(n) (n)
则 y (n ) h(n )
h( n ) 描述了离散系统的特征,是重要 的“物理量”,由 h ( n ) 可得到
H ( z ), H (e )
含义
m
可正可负。
自相关函数:
rx ( m ) rx ( m ) rxy ( m )
n n n
x(n) x(n m) x (n) x(n m)
实序列
x (n) y (n m)
rx (0) rx ( m ) ;
复序列
性质:
1.5 离散时间系统
x ( n ) h(n ) y ( n )
y ( n ) T [ x ( n )]
连续系统的描述: 微分方程, 卷积,转移函数(Laplace变换), 频率响应(Fourier 变换) 离散系统的描述: 差分方程, 卷积,转移函数(Z 变换), 频 率响应(DTFT, DFT)
rx ( m ) rx ( m ), rx (m ) r x ( m );
Lim r (m) 0
x m
卷积和相关的关系:
rxy ( m )
n
x(n) y (n m)
n
x ( n m) y ( n) x ( m n) y ( n)
n
M
IIR系统
例 y ( n ) ax ( n ) bx ( n 1) cx ( n 2)
h ( n ) a ( n ) b ( n 1) c ( n 2)
h ( 0) a
h (1) b h ( 2) c h (3) 0
h ( n ) {a , b, c}
n
x ( m) y ( m)
上式的理解:卷积需要翻转,而相关不需要 翻转。如果用卷积表示相关,所以需要预先把一 个序列翻转。二者在计算上有相似性,但物理概 念明显不同:
系统的输出包含了和输入同频率的正弦, 但受到一复函数的调制。该复函数即是系统的 频率响应。频率响应是系统单位抽样响应的傅 里叶变换,在系统的分析和综合中起到了重要 的作用。频率响应进一步可分成幅频响应和相 频响应,并有如下性质:
H (e ) H (e
j
j
j ( 2 )
)
j
22 周期性,
k
e
令 则
j n
H (e )
j
n
h ( n )e
j n
k
jn
h ( k )e
)
j k
y (n ) e
H (e
j
H (e )
j
n
h ( n )e
j n
jn
系统的频 率响应
)
y (n ) e
H (e
j
j
例:
y ( n ) ay ( n 1) x ( n )
h ( 1) 0
h ( n ) ah ( n 1) ( n ) h ( 0) 1
h (1) ah ( 0) a
h ( 2 ) ah (1) a
2
即
n0 h(n ) a n h(n ) a u(n ) n:0
则
线性!
由于:
y ( n ) nx ( n ) T [ x ( n )]
对 x ( n k ) 的输出是
所以: 系统对 x ( n ) 的输出是 nx ( n )
nx ( n k )
而: 所以:
y (n k ) (n k ) x(n k )
y ( n k ) T [ x ( n k )]
T [ x(n)] A[ x1 (n) x2 (n)] B A x1 (n) A x2 ( n) B y1 (n) y2 (n)
所以本系统是非线性系统
例4:系统
y ( n ) x ( n 1) y (n) x(n ) y (n) x( n)
h ( n ) 0, n 0
如果 x ( n ) 0, n 0 4. 稳定性 Stability 定义 若: | x(n) | R 有: | y ( n ) | Q
x(n) 因果信号
R, Q
含意:输入有界,输出也有界 , BIBO
Bounded-input, Bounded-output
线性卷积
卷积是 LSI 系统的基本特点:
y (n)
k
x ( k )h ( n k )
x ( n) : N h( n) : M y ( n) :
k
h(k ) x(n k ) x(n ) h(n )
n
换成 k
计算步骤:
1. 将 2. 将 h ( k ) 翻转,得 3. 将 h ( k ) 移动
T [ x ( n )] y ( n ) T [ x ( n k )] y ( n k )
Linear-Shift Invariant System
LSI
含意: 移不变性质保证对给定的输入,系 统的输出和输入施加的时间无关。
等同于:
T [ ( n )] h( n ) T [ ( n k )] h ( n k )
实部与 虚部 模与角度, 幅频与相频
j 1 2
H ( e ) H R ( e ) jH I ( e )
j
H ( e ) | H ( e ) | e
j 2 j
j
j
j ( )
| H ( e ) | [ H R ( e ) H I ( e )]
2
( ) tg H I ( e ) / H R ( e )
ryx (m)
n
y ( n) n x(n 2)
y ( n) n x(n 2)
n
n
相关函数中的时间变量:
rxy ( m )
n
x(n i ) y (n j )
rxy [( n j ) ( n i )] rxy ( j i )
1. 保持 x ( n ) 不动,将 y ( n ) 往左, 或右移动 m 个抽样间隔,然后 将 x ( n ) 和 y ( n m ) 对应相乘 与相加,即得 rxy (m ) ; 2. x ( n ) 和 y ( n ) 的长度应一样; 3.
本系统不具备移不变性!
另外,系统 y ( n ) nx ( n ) 是因果的,但不是稳定的 例2:
y ( n ) ay ( n 1) x ( n )
a 1
本系统是线性系统、移不变系 统、因果系统,如果 则该系统是稳定的。
例3:
y ( n ) Ax ( n ) B
T [ x1 (n)] y1 (n) Ax1 (n) B T [ x2 (n)] y2 (n) Ax2 (n) B x(n) x1 (n) x2 (n)
n
| h( n) |
所以,如果系统稳定,则:
h l1
即:
n
| h(n) |
1.7 离散时间系统的频率响应
let
y ( n)
x ( n) e
j n
又一特殊的输入
j ( n k )
k
h( k ) x ( n k ) h ( k )e
1
j
j
1.8 确定性信号的相关函数
相关是研究两个信号之间,或一个信 号和其移位后的相关性,是信号分析、 检测与处理的重要工具;在随机信号 的理论中起到了中心的作用。
x ( n ), y ( n )
xy
n
n 0, ,
x(n) y (n)
[ x ( n ) y ( n )]