高考数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题三数列第3
讲数列的综合问题练习文
「考情研析」 1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为5～8分.
核心知识回顾
数列综合应用主要体现在以下两点：
(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等．
(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力．
热点考向探究
考向1 数列与函数的综合问题
例1 (2019·上海市青浦区高三二模)已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b (a ，b ∈R )，且不等式|f (x )|≤2019|2x －x 2
|对任意的x ∈[0,10]都成立，数列{a n }是以7＋a 为首项，公差为1的等差数列(n ∈N *
)．
(1)当x ∈[0,10]时，写出方程2x
－x 2
＝0的解，并写出数列{a n }的通项公式(不必证明)；
(2)若b n ＝a n ·? ??
??13 a n (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *
，都有S n 立，求m 的取值范围． 解 (1)因为x ∈[0,10]时，易知方程2x －x 2 ＝0的解为x ＝2，x ＝4， 由不等式|f (x )|≤2019|2x －x 2 |对任意的x ∈[0,10]都成立，可得? ?? ?? |f 2|≤0，|f 4|≤0， 即? ???? f 2＝4＋2a ＋b ＝0， f 4＝16＋4a ＋b ＝0， 解得??? ?? a ＝－6， b ＝8， 所以f (x )＝x 2 －6x ＋8， 又数列{a n }是以7＋a ＝1为首项，公差为1的等差数列， 所以a n ＝n . (2)由(1)知b n＝a n·? ? ?? ?1 3 a n＝n·? ? ?? ?1 3 n ， 所以S n＝b1＋b2＋…＋b n＝1· 1 3 ＋2· ? ? ?? ?1 3 2＋3· ? ? ?? ?1 3 3＋…＋n· ? ? ?? ?1 3 n，① 1 3 S n＝1· ? ? ?? ?1 3 2＋2· ? ? ?? ?1 3 3＋3· ? ? ?? ?1 3 4＋…＋n· ? ? ?? ?1 3 n＋1，② ①－②得， 2 3 S n＝ 1 3 ＋ ? ? ?? ?1 3 2＋ ? ? ?? ?1 3 3＋…＋ ? ? ?? ?1 3 n－n· ? ? ?? ?1 3 n＋1＝ 1 3? ???? 1－ 1 3n 1－ 1 3 －n·? ? ?? ?1 3 n＋1＝ 1 2? ???? 1－ 1 3n － n 3n＋1 ， 整理得，S n＝ 3 4 － 2n＋3 4·3n ，由 2n＋3 4·3n >0可得S n< 3 4 ， 由S n 3 4 . 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化． 已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a＝(S n,1)，b＝? ? ?? ? 2n－1， 1 2 ，满足条件a∥b. (1)求数列{a n}的通项公式； (2)设函数f(x)＝? ? ?? ?1 2 x，数列{b n}满足条件b1＝1，f(b n＋1)＝ 1 f－b n－1 . ①求数列{b n}的通项公式； ②设c n＝ b n a n ，求数列{c n}的前n项和T n. 解(1)∵a∥b，∴ 1 2 S n＝2n－1，S n＝2n＋1－2. 当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n； 当n＝1时，a1＝S1＝2，满足上式，∴a n＝2n. (2)①∵f(x)＝? ? ?? ?1 2 x，f(b n＋1)＝ 1 f－1－b n ， ∴? ????12b n ＋1＝1? ????12－1－bn ，∴12bn ＋1＝121＋bn . ∴ b n ＋1＝b n ＋1，即b n ＋1－b n ＝1. 又∵b 1＝1，∴{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴b n ＝n . ②c n ＝b n a n ＝n 2n ，T n ＝121＋222＋…＋n －12n －1＋n 2 n ， 两边同乘12得，12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1， 上述两式相减得12T n ＝121＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12? ? ???1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴T n ＝2－n ＋22n (n ∈N * )． 考向2 数列与不等式的综合问题 例2 (2019·云南玉溪第一中学高三第五次调研)若数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1>0且2S n ＝a 2 n ＋a n (n ∈N * )． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n >0，令b n ＝4 a n a n ＋2 ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n 的最小值． 解 (1)当n ＝1时，2S 1＝a 2 1＋a 1，则a 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝ a 2n ＋a n 2－ a 2n －1＋a n －1 2 ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0?a n ＝－a n －1或a n ＝a n －1＋1， ∴a n ＝(－1) n －1 或a n ＝n (n ≥2)， 又a 1＝1满足上式，所以a n ＝(－1)n －1 或a n ＝n ，n ∈N * . (2)由a n >0，∴a n ＝n ，b n ＝ 4n n ＋2＝2? ?? ??1 n －1n ＋2， T n ＝2???? ?? ? ????1－13＋? ????12－14＋? ?? ?? 13－15＋…＋? ????1n －1n ＋2＝2? ?? ? ? 1＋12－1 n ＋1－1n ＋2＝3－ 4n ＋6 n ＋1n ＋2 <3，若T n (1)数列中的不等式证明，大多是不等式的一端为一个数列的前n 项和，另一端为常数的形式，证明的关键是放缩：①如果不等式一端的和式可以通过公式法、裂项法、错位相减法 求得，则先求和再放缩；②如果不等式一端的和式无法求和，则要通过对数列通项的合适放缩使之能够求和，这时先放缩再求和，最后再放缩． (2)注意放缩的尺度：如1 n 2< 1n n －1，1n 2<1 n 2－1 . (2019·安徽黄山高三第二次质检)已知数列??? ? ?? n a n －1的前n 项和S n ＝n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝2n ＋1 a n －1 2 a n ＋1－1 2 ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：对于任意的n ∈N * ， 都有T n <1. 解 (1)因为S n ＝n ， ① 当n ≥2时，S n －1＝n －1， ② 由①－②，得 n a n －1 ＝1，故a n ＝n ＋1 又因为a 1＝2适合上式，所以a n ＝n ＋1(n ∈N * )． (2)证明：由(1)知， b n ＝ 2n ＋1 a n －1 2 a n ＋1－1 2 ＝ 2n ＋1n 2 n ＋1 2 ＝1n 2－ 1n ＋1 2 ， T n ＝? ????112－122＋? ????122－132＋…＋???? ??1 n 2－ 1n ＋12 ＝1－ 1 n ＋1 2 ， 所以T n <1. 考向3 奇(偶)数项和问题 例3 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N * . (1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n . 解 (1)证明：由条件，对任意n ∈N * ，有 a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ∈N * ，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1. 故对一切n ∈N * ，a n ＋2＝3a n . (2)由(1)知，a n ≠0，所以 a n ＋2 a n ＝3. 于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列； 数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列． 因此a 2n －1＝3 n －1 ，a 2n ＝2×3 n －1 . 于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3 n －1 )＋2(1＋3＋…＋3n －1 ) ＝3(1＋3＋…＋3 n －1 )＝ 33n －1 2 ， 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝ 3 3n －12－2×3n －1＝32 (5×3n －2 －1)． 综上所述， 当n 为偶数时，数列中的奇数项与偶数项相同，分别为n 2项；当n 为奇数时，数列中的奇 数项比偶数项多一项，此时偶数项为 n －1 2 项，奇数项为 n －1 2 ＋1＝ n ＋1 2 项． 已知函数f (x )＝ln x ＋cos x －? ?? ??6π－92x 的导数为f ′(x )，且数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝nf ′? ?? ??π6 ＋3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值； (2)若对任意n ∈N * ，都有a n ＋2n 2 ≥0成立，求a 1的取值范围． 解 f ′(x )＝1x －sin x －6π＋92，则f ′? ????π6＝4，故a n ＋1＋a n ＝4n ＋3. (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd ， 由a n ＋1＋a n ＝4n ＋3得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n ＋3，解得d ＝2，a 1＝5 2. (2)由a n ＋1＋a n ＝4n ＋3得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋7，两式相减得a n ＋2－a n ＝4， 故数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列；数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列， 又a 1＋a 2＝7，a 2＝7－a 1， 所以a n ＝? ?? ?? 2n －2＋a 1 n 为奇数，2n ＋3－a 1n 为偶数. ①当n 为奇数时，a n ＝2n －2＋a 1，a n ＋2n 2 ≥0，则有a 1≥－2n 2 －2n ＋2对任意的奇数n 恒成立， 令f (n )＝－2n 2 －2n ＋2＝－2? ????n ＋122＋52 ，n 为奇数，则f (n )max ＝f (1)＝－2，所以a 1≥－ 2. ②当n 为偶数时，a n ＝2n ＋3－a 1，a n ＋2n 2 ≥0，则有－a 1≥－2n 2 －2n －3对任意的偶数n 恒成立， 令g (n )＝－2n 2 －2n －3＝－2? ????n ＋122－52 ，n 为偶数，则g (n )max ＝g (2)＝－15，故－a 1≥－ 15，解得a 1≤15. 综上，a 1的取值范围是[－2,15]． 真题押题 『真题模拟』 1．(2019·齐齐哈尔高三二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝120，a 2－a 1， a 4－a 2，a 1＋a 2成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n 为数列???? ??1S n 的前n 项和，求满足T n >15 22的最小的n 值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 10＝120得10a 1＋45d ＝120,2a 1＋9d ＝24， 由a 2－a 1，a 4－a 2，a 1＋a 2成等比数列， 得d (2a 1＋d )＝4d 2 且d ≠0，∴2a 1＝3d ，∴a 1＝3，d ＝2， ∴等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)·2＝2n ＋1. (2)∵S n ＝na 1＋n n －1d 2 ＝n (n ＋2)， ∴1 S n ＝ 1n n ＋2＝12? ?? ??1 n －1n ＋2， ∴T n ＝12? ?? ??1－13＋12－14＋13－1 5＋…＋1n －1n ＋2 ＝12? ????1＋1 2－1n ＋1－1n ＋2， 由T n >1522得1n ＋1＋1n ＋2<3 22，n (3n －35)>60， ∴n 的最小值为14. 2．(2019·河北衡水中学高三下学期一调)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足1 S n －1 － 1 S n － 1 S n S n －1 ＝0，a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)在数列{a n }的前100项中，是否存在两项a m ，a t (m ，t ∈N * ，且m 三 项成等比数列？若存在，求出所有的m ，t 的取值；若不存在，请说明理由． 解 (1)因为 1 S n －1 － 1 S n － 1 S n S n －1 ＝0， 所以S n －S n －1＝1，所以S n ＝1＋(n －1)＝n ，所以S n ＝n 2 . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2 －(n －1)2 ＝2n －1. 又2×1－1＝1＝a 1，所以a n ＝2n －1(n ∈N * )． (2)若1a 2，1a m ，1 a t 三项成等比数列， 则1a 2×1a t ＝? ????1a m 2，即13×12t －1＝? ????12m －12， 即(2m －1)2 ＝3(2t －1)． 因为t ≤100，所以(2m －1)2 ≤597，又m ∈N * ，所以2m －1≤24，所以m ≤12. 又2m －1为3的奇数倍，所以m ＝2,5,8,11， 验证得??? ?? m ＝5，t ＝14， ????? m ＝8， t ＝38， ????? m ＝11， t ＝74. 3．(2019·浙江高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N * ，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝ a n 2 b n ，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n <2n ，n ∈N * . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 由题意得??? ?? a 1＋2d ＝4， a 1＋3d ＝3a 1＋3d ， 解得??? ?? a 1＝0， d ＝2. 从而a n ＝2n －2，n ∈N * .所以S n ＝n 2 －n ，n ∈N * . 由S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列，得 (S n ＋1＋b n )2 ＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n )． 解得b n ＝1d (S 2n ＋1－S n S n ＋2)．所以b n ＝n 2＋n ，n ∈N * . (2)证明：c n ＝ a n 2b n ＝ 2n －22n n ＋1 ＝ n －1n n ＋1 ，n ∈N * . 我们用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，c 1＝0<2，不等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N * )时不等式成立，即c 1＋c 2＋…＋c k <2k . 那么，当n ＝k ＋1时， c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1<2k ＋ k k ＋1 k ＋2 <2k ＋ 1k ＋1<2k ＋2k ＋1＋k ＝2k ＋2(k ＋1－k )＝2k ＋1， 即当n ＝k ＋1时不等式也成立． 根据①和②，不等式c 1＋c 2＋…＋c n <2n 对任意n ∈N * 成立． 『金版押题』 4．已知函数f (x )＝3cosπx －sinπx (x ∈R )的所有正的零点构成递增数列{a n }(n ∈N * )． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝? ????12n ? ????a n ＋23，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)f (x )＝3cosπx －sinπx ＝2cos ? ????πx ＋π6， 由题意令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋1 3 (k ∈Z )． 又函数f (x )的所有正的零点构成递增数列{a n }，所以{a n }是以1 3为首项，1为公差的等差 数列，所以a n ＝n －23 (n ∈N * )． (2)由(1)知b n ＝? ????12n ? ????a n ＋23＝n ·? ?? ??12n ， 则T n ＝1·? ????121＋2·? ????122＋3·? ????123＋…＋(n －1)·? ????12n －1＋n ·? ?? ??12n ，① 12T n ＝1·? ????122＋2·? ????123＋3·? ????124＋…＋(n －1)·? ????12n ＋n ·? ?? ??12n ＋1，② ①－②得，12T n ＝12＋? ????122＋? ????123＋…＋? ????12n －n ·? ????12n ＋1＝12－? ????12n ·121－12 －n ·? ?? ??12n ＋1 ＝1－(n ＋ 2)·? ????12n ＋1，所以T n ＝2－(n ＋2)? ?? ??12n . 配套作业 1.(2019·北京市海淀区高三4月模拟)已知等差数列{a n }的公差d ＝2，且a 2＋a 5＝2，{a n }的前n 项和为S n . (1)求{a n }的通项公式； (2)若S m ，a 9，a 15成等比数列，求m 的值． 解 (1)因为a 5＋a 2＝2，d ＝2，所以2a 1＋5d ＝2a 1＋10＝2， 所以a 1＝－4，所以a n ＝2n －6. (2)S m ＝ a 1＋a m m 2 ＝m 2 －5m ，又a 9＝12，a 15＝24， 因为S m ，a 9，a 15是等比数列，所以a 2 9＝S m a 15， 所以m 2 －5m －6＝0，m ＝6或m ＝－1， 因为m ∈N *，所以m ＝6. 2．设数列{a n }的前n 项和是S n ，若点A n ? ?? ?? n ，S n n 在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动，其 中c 是与x 无关的常数，且a 1＝3. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值． 解 (1)因为点A n ? ?? ?? n ，S n n 在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动，所以S n n ＝－n ＋c ，所以S n ＝－n 2 ＋cn . 因为a 1＝3，所以c ＝4，所以S n ＝－n 2 ＋4n ， 所以a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5(n ≥2)． 又a 1＝3满足上式，所以a n ＝－2n ＋5(n ∈N * )． (2)由(1)知，b n ＝a a n ＝－2a n ＋5＝－2(－2n ＋5)＋5＝4n －5，所以{b n }为等差数列， 所以T n ＝ n b 1＋b n 2 ＝2n 2 －3n ， 当n ＝1时，T n 取最小值，所以T n 的最小值是T 1＝－1. 3．(2019·广东东莞高三二调)已知数列{a n }满足a 2＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，设b n ＝a n ＋1. (1)求a 1，a 3； (2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1. 解 (1)数列{a n }满足a 2＝3，a n ＋1＝2a n ＋1， 当n ＝1时，a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1. 当n ＝2时，解得a 3＝7. (2)当n ＝1时，b 1＝2，所以 b n ＋1b n ＝a n ＋1＋1 a n ＋1 ＝2(常数)， 则数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (3)由(1)和(2)得a n ＝2n －1， 所以a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(21 ＋23 ＋…＋22n ＋1 )－(n ＋1)＝ 2 4n ＋1 －1 4－1 －(n ＋1)＝ 8×4n －3n －5 3 . 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1 3，3S n ＋1＝S n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝log 13 a n ，数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解 (1)当n ＝1时，3S 2＝43，a 2＝1 9 ，∴3a 2＝a 1； 当n ≥2时，3S n ＝S n －1＋1，∴3a n ＋1＝a n (n ≥2)，故数列{a n }是以13为首项，1 3为公比的等比 数列， 则a n ＝13×? ????13n －1＝? ?? ??13n . (2)由(1)知b n ＝log 13 a n ＝n ，则a n · b n ＝n ·? ?? ??13n . 从而T n ＝1×13＋2×? ????132＋…＋(n －1)×? ????13n －1＋n ·? ????13n ，① 13T n ＝1×? ????132＋2×? ????133＋…＋(n －1)×? ????13n ＋n ·? ?? ??13n ＋1，② 由①－②得，23T n ＝13＋? ????132＋…＋? ????13n －n ·? ????13n ＋1 ＝13×?????? 1－? ????13n 1－13－n ·? ?? ??13n ＋1， 因此T n ＝34－14(2n ＋3)·? ?? ??13n . 5．(2019·衡水第二中学高三上学期期中)已知等差数列{a n }与公比为正数的等比数列{b n }满足b 1＝2a 1＝2，a 2＋b 3＝10，a 3＋b 2＝7. (1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n ＝ b n ＋1 a n ＋ b n ·a n ＋1＋b n ＋1 ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解 (1)由题意a 1＝1，b 1＝2. 设公差为d ，公比为q ，则??? ? ? 1＋d ＋2q 2 ＝10，1＋2d ＋2q ＝7， 解得??? ?? d ＝1，q ＝2. 故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，b n ＝b 1·q n －1 ＝2n . (2)因为c n ＝b n ＋1 a n ＋ b n ·a n ＋1＋b n ＋1 ， 所以c n ＝2n ＋12n ＋n 2n ＋1 ＋n ＋1＝12n ＋n －1 2n ＋1＋n ＋1 ， 故S n ＝ 121 ＋1－122＋2＋122＋2－123＋3＋…＋12n ＋n －12n ＋1＋n ＋1＝13－1 2n ＋1＋n ＋1 . 6．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N * )． (1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1 ln 2 ，求数列 ???? ?? a n b n 的前n 项和T n . 解 (1)由已知得，b 7＝2 a 7，b 8＝2 a 8＝4b 7，有2 a 8＝4×2 a 7＝2a 7＋2 .所以d ＝a 8－a 7＝2. 所以，S n ＝na 1＋ n n －1 2 d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n . (2)f ′(x )＝2x ln 2，f ′(a 2)＝2 a 2ln 2，故函数f (x )＝2x 的图象在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝2a 2ln 2(x －a 2)， 它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2 . 由题意得，a 2－ 1ln 2＝2－1ln 2 ，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1. 从而a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b n ＝n 2n . 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2 n －1. 因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2 n ＝ 2 n ＋1 －n －2 2 n . 所以，T n ＝ 2 n ＋1 －n －2 2 n . 7．(2019·安徽六安第一中学高三模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边，其面积S ＝3，B ＝60°，a 2 ＋c 2 ＝2b 2 ，在等差数列{a n }中，a 1＝a ，公差d ＝b .数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋1＝0，n ∈N * . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n . 解 (1)S ＝12ac sin B ＝12ac ·3 2＝3，∴ac ＝4， 又a 2 ＋c 2 ＝2b 2 ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos B ， ∴b 2＝ac ＝4，∴b ＝2， 从而(a ＋c )2 ＝a 2 ＋c 2 ＋2ac ＝16，得a ＋c ＝4，∴a ＝c ＝2， 故可得? ?? ?? a 1＝2， d ＝2，∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n . ∵T n －2b n ＋1＝0， ① ∴当n ＝1时，b 1＝1；当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋1＝0， ② ①－②，得b n ＝2b n －1(n ≥2)， ∴数列{b n }为等比数列，∴b n ＝2n －1 . (2)由(1)得c n ＝2n ·2 n －1 ＝n ·2n ， ∴S n ＝a 1·b 1＋a 2·b 2＋…＋a n ·b n ＝1×21 ＋2×22 ＋3×23 ＋…＋n ·2n ， ③ ∴2S n ＝1×22 ＋2×23 ＋3×24 ＋…＋n ·2 n ＋1 ， ④ ③－④得－S n ＝1×21 ＋(22 ＋23 ＋ (2) )－n ·2n ＋1 ， 即－S n ＝(1－n )2 n ＋1 －2，∴S n ＝(n －1)2 n ＋1 ＋2. 8．(2019·贵州凯里第一中学高三下学期模拟)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 4＝84－a 5， a 8＝36. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，求 S n ＋20 n 的最小值． 解 (1)由a 3＋a 4＝84－a 5，得a 4＝28， ∴由??? ?? a 1＋3d ＝28，a 1＋7d ＝36， 得??? ?? a 1＝22，d ＝2， 即数列{a n }的通项公式为a n ＝22＋(n －1)×2＝2n ＋20. (2)由(1)得，S n ＝22n ＋ n n －1 2 ×2＝n 2 ＋21n ， ∴ S n ＋20n ＝n ＋20 n ＋21， 令f (x )＝x ＋20x ＋21，n ∈N * ， f ′(x )＝1－20 x 2，当x ∈(0,25)时，f ′(x )<0； 当x ∈(25，＋∞)时，f ′(x )>0， 则f (x )在(0,25)上单调递减，在(25，＋∞)上单调递增， 又n ∈N * ，f (4)＝f (5)＝30， ∴当n ＝4或5时，f (n )取到最小值30，即 S n ＋20 n 的最小值为30. 数列类解答题 (12分)已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N * ，满 足S n ＝1 3 a 1(a n －1)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足a n b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <8 9 . 解题思路 (1)根据S n －S n －1＝a n (n ≥2)及递推关系式化简得a n 和a n －1的关系式，从而求出a n ；(2)采用错位相减法求T n ，从而证明结论． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1(a 1－1)＝13a 21－1 3a 1， ∵a 1≠0，∴a 1＝4.(2分) ∴S n ＝43(a n －1)，∴当n ≥2时，S n －1＝4 3(a n －1－1)， 两式相减得a n ＝4a n －1(n ≥2)，(4分) ∴数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列，∴a n ＝4n .(6分) (2)证明：∵a n b n ＝log 2a n ＝2n ，∴b n ＝2n 4n ，(7分) ∴T n ＝241＋442＋643＋…＋2n 4n ， 14T n ＝242＋443＋644＋ (2) 4 n ＋1，(8分) 两式相减得34T n ＝24＋242＋243＋244＋…＋24n －2n 4n ＋1＝2? ????14＋142＋143＋1 4 4＋…＋14n －2n 4n ＋1＝ 2× 1 4? ???? 1－ 1 4n 1－ 1 4 － 2n 4n ＋1 ＝ 2 3 － 2 3×4n － 2n 4n＋1 ＝ 2 3 － 6n＋8 3×4n＋1 .(10分) ∴T n＝ 8 9 － 6n＋8 9×4n < 8 9 .(12分) 1．正确求出a1的值给2分． 2．利用a n与S n的关系构造等比数列给2分． 3．写出数列{a n}的通项公式给2分． 4．求出数列{b n}的通项公式给1分． 5．采取错位相减法给1分． 6．两式相减后的正确化简计算给2分． 7．放缩法证明不等式给2分． 1．由a n与S n的关系求通项公式，易忽略条件n≥2而出错． 2．错位相减法中两式相减后，一定成等比数列的有n－1项，整个式子共有n＋1项．3．放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放的过大或过小都不能达到证明的目的． [跟踪训练] (2019·沈阳模拟)(12分)设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S2n＝a n? ? ?? ? S n－ 1 2 (n≥2)． (1)求S n； (2)设b n＝ S n 2n＋1 ，求数列{b n}的前n项和T n. 解(1)当n≥2时，由S2n＝a n? ? ?? ? S n－ 1 2 得，S2n＝(S n－S n－1)? ? ?? ? S n－ 1 2 ， 整理得，S n－1－S n＝2S n－1S n? 1 S n － 1 S n－1 ＝2，(3分) 又 1 S1 ＝ 1 a1 ＝1， ∴数列 ? ? ? ? ? ? 1 S n是以2为公差、以1为首项的等差数列，则 1 S n ＝1＋2(n－1)，故S n＝ 1 2n－1 .(6分) (2)由(1)知，b n＝ S n 2n＋1 ＝ 1 2n－12n＋1 ＝12? ?? ??12n －1－12n ＋1，(9分) ∴T n ＝12??????? ????1－13＋? ????13－15＋? ????15－17＋…＋? ????12n －1－12n ＋1＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1.(12分)
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