第3讲质数与合数
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1．质数与合数
（1）一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫做素数）。
（2）一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。
例如：4、6、8、10、12、14，…都是合数。
在100以内有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个质数。
2．质因数与分解质因数
（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就是说这个质数是这个数的质因数。
（2）把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如，把42分解质因数，即是42=2×3×7。其中2、3、7叫做42的质因数。
又如，50=2×5×5，2、5都叫做50的质因数。
重点·难点
要注意以下几条：
（1）1既不是质数，也不是合数。
（2）关于质数
1）质数有无限多个。
2）最小的质数是2。
3）在质数中只有2是偶数，其余的质数全是奇数。
4）每个质数只有两个约数：1和它本身。
（3）关于合数
1）合数有无限多个。
2）最小的合数是4。
3）每个合数至少有三个约数：1、它本身、其他约数。例如，8的约数除1和8外，还有2、4，所以8是合数。
学法指导
（1）对比一下几种判别质数与合数的方法，可以看出例1方法的优越性。判别269，用2至268中所有的数试除，要除267个数；用2至268中的质数试除，要除41个数；而用本题的方法，只要除6个数。
（2）将质数按照从小到大的顺序逐一去除一个数，来判断这个数是质数还是合数的方法，有弊病。如果一个数是质数，在我们试除的过程式中就永远找不到另一个质数是它的约数。那么，试除的数有什么范围呢？能不能使试除的数少一点呢？请同学们学习例1。
（3）用例1的方法判断一个数是质数还是合数，有着它的优越性，它可以明确试除的质数范围，使试除的数的量进一步减少。
[例1]判断269、437两个数是合数还是质数。
思路剖析
对于一个不太大的数N，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N且最接近N的平方数，再写出K以内的所有质数。如果这些质数都不能整除N，那么N是质数；如果这些质数中有一个能器N，那么N是合数。
解答
因为。17以内的质数有2、3、5、7、11、13。根据能被某些数整除
的数的特征，个位数是9，所以269不能被2、5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。
因为437<=441。21以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19。容易判断437不
能被2、3、5、7、11整除，用13、17、19试除437，得到437÷19=23，所以437是合数。
[例2] 判断数1111112111111是质数还是合数？
思路剖析
按照例1的方法判别这个13位数是质数还是合数，当然是很麻烦的事，能不能想出别的办法呢？根据合数的意义，如果一个数能够写成两个大于1的整数的乘积，那么这个数是合数。
解答
根据整数的意义，这个13位数可以写成：
1111112111111
=1111111000000+1111111
=1111111×（1000000+1）
=1111111×1000001
由上式可知111111和1000001都能整除1111112111111
所以1111112111111是合数。
[例3]数a是质数，且a+10、a+14也都是质数，数a是多少？
思路剖析
任何自然数除以3的余数只有3种情况：余1、余2、余0（即能被3整除）。
因为10除以3余1，14除以3余2。所以a不能是被3除余1的数，否则a+14能被3整除，就不是质数了。
a也不能是被3除余2的数，否则a+10能被3整除，也不是质数。
因此a只能是能被3整除的数，a本身又是质数，因此a只能是3。
解答
由上述分析可知数a只能是3。
点津
本题分析中有这样一条规律：如果两个数除以3的余数相加的和能被3整除，那么这两个数的和也能被3整除。
[例4]三个质数的和是80，这三个质数的积最大是多少？
思路剖析
由于三个数的和是偶数，所以这三个数中必有一个是偶数，在质数中只有2是偶数，所以三个数中一定有2。
另两个质数的和是78，要使乘积尽可能大，那么这两个质数的差值应尽可能小。显然，和是78的两个质数中，以41与37的差最小，即这两个数的积最大。
解答
三个质数的积是2×37×41=3034
[例5]找出1~100这100个自然数中所有的质数。
思路剖析
要找出1~100这100个自然数中所有的质数，可以依次把这100个自然数的每一个数的约数求出来，找出其中只有两个约数的数。不过这种方法显得笨拙，可以用淘汰法，也就是首先把比2大的所有2的倍数全部划去，然后在余下的数当中划去所有比3大且是3的倍数的自然数，接下来再把余下的数当中比5大且是5的倍数的自然数全部划去，如此进行下去，即可得到100以内的所有质数。
解答
100以内的所有质数为：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
点津
想一想，在上面筛去100以内的合数的过程中，为什么最后筛去的是大于7的倍数，而不再筛去大于11的倍数，筛去大于13的倍数呢？
事实上，这些倍数已包含在已划去的倍数中，由于100=10×10，所以100以内所有合数只有大于10的因数，必然就有一个小于10的因数。也就是说，100以内的任何一个合数一定能被10以内的质数整除，而10以内的质数只有2、3、5、7这4个，所以最后筛去大于7的倍数就可以了。
[例6]判断391、123456789是质数还是合数。
思路剖析
在自然数中，除了1以外的数，若不是质数，则必是合数，二者必居其一。要判断一个数是质数还是合数，根据合数的定义，只要找到一个既不是1又不是这个数的本身的约数即可。一般方法只要把2、3、5、7、…这些质数按由小到大的次序，逐一去除所要判断
的那个数；如果有某个质数恰好是它的约数，则所给的自然数为合数；如果这样的质数不存在，则所给的自然数为质数。
解答
将质数2、3、5、7、11、…这些质数逐一去除391，发现391能被17整除，所以391是合数。
将质数2、3、5、7、11、…这些质数逐一去除123456789，发现123456789是3的倍数，所以123456789是合数。另外，根据能被3整除的数的特征，也可以证明123456789是3的倍数，故123456789是合数。
[例7]判断439、943这两个数是合数还是质数。
解答
因为，
所以找到了大于439且接近439的平方数。21以内的质数有2、3、5、7、11、13、
15、17、19。根据整除的特征，很容易判断出439不能被2、3、5、7、11整除；用13、17、19试除439，均不能整除。所以439是质数。
因为，
所以找到了大于943且接近943的平方数。31以内的质数有2、3、5、7、11、13、
17、19、23、29、共十个。很容易推断出2、3、5、7、11均不能整除943；再用13、17、19、23、29试除943，发现943能被23整除。所以943是合数。
[例8]m为一个质数，且m+16、m+20也均是质数，求m是多少？
思路剖析
我们知道，任何自然数被3除只有三种情况：即被3整除，被3除后余1和被3除后余2，故，我们作如下讨论：
（1）m不能是被3除余1的数，因为若m被3除1，则m+20就能被3整除，就不是质数了。
（2）m也不能是被3整除余2的数，因为若m被3整除余2，则m+16就能被3整除，则不是质数，所以m只可能是被3整除的数，且又要求为质数，因此m=3。
解答
设q为m被3除的商，若m=3q+1，则3整除（m+20）
若m=3q+2，则3整除m+16
所以m=3q，且m为质数，所以m取3。
答：m为3。
[例9]有人说：“任何7个连续自然数中一定有质数”，请你举一个例子，说明这句话是错的。
解答
☆解法一：题目要求我们具体找出7个连续的合数。中间夹着7个连续合数的两个质数，其差一定大于7，所以只要找到差大于7的两个相邻质数即可。
质数89与97相邻，它们的差97－89=8＞7，所以89与97之间的七个连续自然数90、91、92、93、94、95、96全是合数，没有质数。可见“任何7个连续自然数中一定有质数”这句话是错误的。
☆解法二：任取7个连续的自然数，找出它们的一个公倍数，给它们各自加上这个公倍数，所得7个新数仍是连续的，并且原来的7个数分别是这7个数的约数，所以7个新数全是合数。
任取7个连续的自然数，比如2、3、4、5、6、7、8，840是它们的一个公倍数，给2、3、4、5、6、7、8每一个都加上840得到842、843、844、845、846、847、848，这7个连续自然数分别有约数2、3、4、5、6、7、8，可见它们都是合数，没有一个是质数，因此“任何7个连续自然数中一定有质数”这句话是错误的。
发散思维训练
1．连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？
2．975×935×972×（），要使这个连乘积的最末4个数字都是0，在括号内最小应填什么数？
3．把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是多少？
4．用l、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用1次，那么这九个数字最多能组成几个质数。
5．有三张卡片，在它们上面各写着一个数字7、8、9，从中抽出一张、二张、三张，接任意次序排列起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请将其中的质数写出来。
6．两个质数的和是50，求这两个质数乘积的最大值是多少。
7．2000年的哪几天，年数、月数和日数的乘积恰好等于三个连续的5的倍数的乘积。
参考答案
发散思维训练
1．解：
如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1至9中有4个质数2、3、5、7）。
如果这连续的九个自然数中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个。这5个奇数中必只有一个数其个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另4个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。
2．解：
要使连乘积最末4个数字都是0，连乘积应是10000的倍数，即要连乘积的因数中含4个2，4个5，因为
2×2×2×2×5×5×5×5=10000
975=5×5×39，935=5×187，972=2×2×243；其中已有两个2和三个5，因此，只需要再乘上两个2和一个5，即2×2×5=20就可以了。故在括号内最小应填20。
3．解：
首先假设可以拆成五个不同质数之和（分成六个或六个以上质数之和不可能）：33是奇数，因此五个质数中不能有2（否则和是偶数），取最小连续五个奇质数3、5、7、11、13的和是39，超过33，所以分成五个是不可能的。
假设33可以分成四个质数之和，33是奇数，因此四个数中一定有一个偶数2，即其余三个的和是31，显然可以找出其余三个分别是：3、5、23；3、11、17；7、11、13；5、7、19。在这些三个数的乘积中最大的是7×11×13=1001。假设33可分成三个质数和，只可能是3、13、17；3、11、19；3、7、23；5、l、17。
乘积均小于2×7×11×13，33若分成为两个质数之和，只可能是2和31，乘积仅为62，故应将33写成四个数2、7、11、13的和时，它们的积最大。
答：这几个质数分别是2、7、11、13。
4．解：
每个数字都要用到且只能用1次，同时又要组成的质数最多。我们在组成质数时，尽可能地将合数4、6、8、9和最小自然数1组成两位数，同时数字8和9可以组成质数89，另外，一位质数不能是2、3、5、7四个，不然数字l、4、6、8、9无法组成两位质数，那么当一位质数为3个时，两位质数也为3个（例如：2、5、7、43、61、89或2、3、5、47、61、89）。
答：这九个数字最多可组成6个质数。
5．解：
数字卡片9倒过来变成6，而7+8+9=24，6+7+8=21，可知抽三张卡片时，无论按什么顺序排列的三位数都能被3整除，所以它们都不是质数。
从中任取=张卡片，按不同的顺序排列的两位数中有97、67、79、89是质数；从中任意抽取一张卡片得到的一位数中只有7是质数。
所以，所求的质数有7、97、79、89、67五个。
6．解：
把50表示为两个质数的和，共有四种形式：
50=47+3=43+7=37+13=31+19
因为31×19=589＞37×13=481＞43×7=301＞47×3=141
所以所求的最大值是589。
7．解：
因为，它是有三个5的乘积的倍数，只需使另外三个数中要含有4个因
数2，因此，根据题目要求，三个数中必须含有40或80。即：
30×35×40=21×2000
35×40×45=63×1000
40×45×50=45×2000
显然，35×40×45不符合题意，其余两个均符合，从而2000年3月7日或7月3日，2000年3月15日、5月9日、9月5日符合题目要求。
同理，在70×75×80、75×80×85、80×85×90中，只有70×75×80=210×2000，可以找出相应的日期是10月21日，其余两个都不行。
所以，2000年的3月7日、3月15日、5月9日、7月3日、9月5日、10月21日这六天符合题意。