数列极限的求法及应用
内容提要
数列极限可用语言和语言进行准确定义,本文主要讲,,NAN,
述数列极限的不同求法,例如,极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz公式法、几何算术
平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.
最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用,如几何中推算圆面积,求方程的数值解,研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.
关键词
定义,夹逼准则,Stoltz公式,函数极限 ,,N
On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit
Abstract
The limit of a sequence can be accurately defined by language ,,N and language. This paper mainly describes different solutions to AN, finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit.
Finally, we also briefly introduce the applications of sequence
limit in real life. Such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.
Key Words
definition; Squeezing law; Stoltz formula; Function limits ,,N
目录
第一章数列极限的概
念 (1)
数列极限的定义及分类……………………………………… 1 1.1
1.2 数列极限求法的常用定理 (2)
1.2.1 数列极限的四则运算 (2)
1.2.2 单调有界原理 (2)
1.2.3 Stoltz公式 (2)
3 1.2.
4 几何算术平均收敛公式…………………………………
1.2.5 夹逼准则,迫敛性, (3)
1.2.6 归结原则………………………………………………… 3 第二章数列极限的求
法 (3)
2.1 极限定义求法 (3)
2.2 极限运算法则法 (5)
2.3 夹逼准则求法 (6)
2.4 单调有界定理求法 (8)
2.5 函数极限法 (9)
2.6 定积分定义法 (9)
2.7 Stoltz公式法 (11)
2.8 几何算术平均收敛公式法 (11)
2.9 级数法、收缩法 (13)
2.10 其它方法 (14)
第三章数列极限在现实生活中的应用 (16)
3.1.几何应用-计算面积 (16)
3.2 求方程的数值解 (17)
3.3 市场经营中的稳定性问题 (18)
3.3.1 零增长模型 (18)
3.3.2 不变增长模型 (19)
3.4 购房按揭贷款分期偿还问题 (20)
第四章结
论 ..................................................................... .......... 21 致
谢 ..................................................................... .................... 22 参考文
献 ..................................................................... . (22)
数列极限的求法及其应用学号:071106132 作者:杨少鲜指导老师:董建伟职称:讲师
第一章数列极限的概念
在研究数列极限解法之前～首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限
做进一步深入研究的先决基础.
1.1 数列极限的定义及分类
数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如～我国古代数学
家刘徽,公元3世纪,利用圆内接正多边形来推算圆面
An积的方法—割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积在无限增大n
A,,时～内接正多边形无限接近于圆～同时也无限接近于某n,,n
一确定的数～此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐
步的引出了数列极限.
针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同～下面主要介绍两种定义:定义～定义. ,,NAN,
，aa定义1,语言,:设是个数列～是一个常数～若～正,,N,,,0,,n
aan整数N～使得当时～都有aa,,,～则称是数列当无限nN,,,nn
1
增大时的极限～或称收敛于～记作～或.aalimaa,aan,,，,,,，，nnn,，,n 这时～也称的极限存在. a,,n
，定义2,语言,:若,正整数～使得当时～都有,aA,NAN,A,0nN,n
，,则称是数列当无限增大时的非正常极限～或称发散于ana,,,,nn，,～记作或～这时～称a有非正常极限. lima,，,an,，,,，,,,，，nnn,，,n 对于的定义类似～就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺,,,,
垫～我们先介绍一些常用定理.
1.2 数列极限求法的常用定理
定理1.2.1,数列极限的四则运算法则, 若a和b为收敛数列～,,,,nn则也都
是收敛数列～且有 ababab，,,,,,,,,,,nnnnnn
limlimlim,abab,,,，，nnnn,,,,,,nnn limlimlim.abab,,,，，nnnn,,,,,,nnn
,,an若再假设b,0及～则也是收敛数列～且有 lim0b,,,nn,,nbn,,
,,an. limlim/limab,,,nn,,,,,,nnnbn,,
定理1.2.2,单调有界定理, 在实数系中～有界的单调数列必有极限.
xxy定理1.2.3,Stoltz公式, 设有数列～～其中严格增～,,,,,,nnn, 且,注意:不必,.如果 limx,，,limy,，,nn,，,,，,nn
2
yy,nn,1lim,a (实数，)，，,,,,n,，,xx,nn,1
yyy,nnn,1则 limlim.,,ann,，,,，,xxx,nnn,1
0定理1.2.3',Stoltz公式, 设x严格减～且
～.lim0x,lim0y,,,nnn,，,,，,nn0
若
yy,nn,1lim,a (实数，)，，,,,,n,，,xx,nn,1
则
yyy,nnn,1. limlim,,ann,，,,，,xxx,nnn,1
定理1.2.4,几何算术平均收敛公式, 设～则 limaa,n,,n
aaa，，，...12n,1,～ lim,a,,nn
n,2,若～则. an,,01,2,...lim...aaaa,，，n12n,,n
定理1.2.5,夹逼准则,设收敛数列ac都以为极限～数列满ab,,,,,,,nnn N足:存在正数～当nN,时～有 00
～ acb,,nnn
c则数列收敛～且. limca,,,nn,,n
,定理1.2.6,归结原则,设f在内有定义.存在的充要Ux;,limfx，，，，0xx,0
,条件是:对任何含于且以x为极限的数列～极限xUx;,limfx，，,,，，
0n0n,,n
都存在且相等.
第二章数列极限的求法 2.1 极限定义求法
在用数列极限定义法求时～关键是找到正数.我们前面一节的N
3
定理1.2.4,几何算术平均收敛公式,的证明就可用数列极限来证明～
我们来看几个例子.
n例2.1.1 求,其中. limaa,0,,n
n解,. lim1a,,,n
1n事实上～当时～结论显然成立.现设.记,则. a,1a,1,,0,,,a1
1,,nn由 , anna1111,,,，,，,，,，，,,
,,
1a,1n得 . ,5, a,,1n
11a,1nn任给,由,5,式可见～当时～就有.即.,,0a,,1,nN,,a,,1,,
n所以. lim1a,,,n
11n对于的情况～因,由上述结论知,故 ,1,01,,alim1,,naa
11n . a,,,limlim1n,,,,nn1a1/
n综合得时,. a,0lim1a,,,n
例2.1.2 定理1.2.4,1,式证明. 证明,由～则～存在N,0～使当nN,时～有limaa,,,,011n,,n
, aa,,,/2n
则
aaa，，，...112n . ,,,，，,，,，，,aaaaaaaaa......，，，11NNn11nn caaaa,,，，,...令～那么 1N1
aaa，，，...nN,,c12n1 . ,,，,annn2
4
c,c由～知存在～使当时～有. N,0nN,,lim0,22n,,n2n
再令,故当时～由上述不等式知 NNN,max,nN,,,12
aaa，，，...,,,,nN,12n1 . ,,，,,，,a,nn2222
aaa，，，...12n所以 . lim,a,,nn
n7例 2.1.3 求. limn,,!n
n7解:. ,lim0,,nn!
n7777777777771 事实上～,,,,,,,,. ......nnnnn,!127817!6!
n7771即. ,,,0nn!6!
7，，71对～存在～则当时～便有 ,,,0nN,N,,,,,6!，，
nn77771所以. ,lim0,,,,,，0,,nn!nn!6!
ncc注:上述例题中的7可用替换～即. lim00,,c，，,,n!n2.2 极限运算法则法
我们知道如果每次求极限都用定义法的话～计算量会太大.若已
知某些极限的大小～用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.
mm,1ananana，，，，...mm,110例2.2.1 求,其中. mkab,,,，，
00limmkkk,1n,,bnbnbnb，，，，...kk,110
,k解:分子分母同乘～所求极限式化为 n
mkmkkk,,,,,11anananan，，，，...mm,110.
lim,,,11kkn,,bbnbnbn，，，，...kk,110
5
,,由知～ lim00n,,，,，，n,,
amk,m当时～所求极限等于,当时～由于～故此nn,,00mk,mk,，，bm
时所求极限等于0.综上所述～得到
a,mmm,1,km,...ananana，，，，,mm,110blim., ,mkk,1n,,bnbnbnb，，，，. ..kk,110,0,km,,
na例2.2.2 求～其中. a,,1limn,,n，1a
na1解: 若～则显然有, a,1,limn,,n，a12
n若～则由得 a,1lim0a,,,n
nann , limlim/lim10,，,aa，，n,,,,,,nnn，1a
若a,1～则
na11,,,limlim1n,,,,nn1，，a110 . ，1na2.3 夹逼准则求法
定理1.2.5又称迫敛性～它不仅给出了判定数列收敛的一种方
法～而且也提供了一个求极限的工具.
1321,,,,,n，，例2.3.1 求极限. limn,,242,,,,n，，
解:因为
22 24412121212121nnnnnnnn,,,,，,,,,,,，～，，，，，，，，
所以
6
1321,,,,,n，，13321211,,,,nn . 0,,,,,,,242,,,,n，，1335212121,,,,，，nnn
1因～再由迫敛性知 ,lim0n,,n，21
1321,,,,,n，， . lim0,n,,242,,,,n，，
n例2.3.2 求数列的极限. n,,
n解: 记～这里～则 hn,,01anh,,，1，，nnn
nn,1，，n2 , nhh,，,1，，nn2
2由上式得～从而有 ,,,hn01，，nn,1
2 , ,2, ,,，,，ah111nnn,1
,,22,,数列是收敛于1的～因对任给的～取～则当,，,,0N11，,,2,n,1,,,, 2时有.于是～不等式,2,的左右两边的极限皆为nN,，,,,11,n1
1,故由迫敛性得
n . lim1n,,,n
kn*例2.3.3 设及～求lim. a,1kN,nn,,akn解:. lim0,n,,na
a事实上～先令～把写作1，,～其中.我们有 ,,0k,1
nnn2. ,,,,0nn2,nn1,，，,an1，，,，1，，2,,，，，1...n2
7
k,,kn2nn,,,,由于～可见是无穷小.据等式
～ ,,nlim02,，，,,nn2nn,,1/k,,a,n,a1，，,,a，，,,
,,n,,1/k注意到～由方才所述的结果是无穷小.最后的等式表明～
a,1,,n1/ka,,，，,,
k,,n可表为有限个,个,无穷小的乘积～所以也是无穷小～即 k,,na,,
kn . lim0,n,,na
2.4 单调有界定理求法
有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛～再求其极限～此时
该方法将会对我们有很大帮助～我们来看几个例子.
nc例2.4.1 求例2.1.3注解中的. lim00,,c，，,,n!n
nc解:. lim0,0,,c，，,,n!n
nc*事实上～令.当时～ nc,xnN,,，n!n
c . ,,xxxnnn，11，n，，
x因此从某一项开始是递减的数列～并且显然有下界0.因此～由单,,n
c调有界原理知极限存在～在等式的等号两边令xx,lim,xxnnn，1,,n1，n，，x～得到,所以为无穷小.从而 n,,xx,,,00,,n
nc . lim00,,c，，,,n!n
n例2.4.2 求极限,个根号,. lim333,,,n,,
8
解:设～～ a,,,,,3331aaa,,3nnn，1n
故单调递增.又～设～ a,3aa,,33,,nn1
则. aa,,，,3333nn，1
又因有上界～故收敛.令由～ aaaa,3lim13aaa,,,，，,,,,nnnn，1n,,n对两边求极限得～故. aa,3a,32.5 函数极限法
有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便～再利用归结原
则即可求出数列极限.
n例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,即求. lima,,n
lnlnaalim1/0xxxx,,xx解,先求,因, limalimlimlim1aaeee,,,,,,,x,,,,,,xxx n再由归结原则知. lim1a,,,n
n例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求. limn,,n
lnlnxxlim0xxx,,xx解:先求.因～ limxlimlim1xeee,,,,,,x,,,,xx
n再由归结原则知. lim1n,,,n
k*na,1kN,例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设及～求. limnn,,a
kk,1xkxk!kx,,,,limlim.....lim0kxx解:先求.因,由洛比达法limxxxx,,,,,,xaaalnaaln，，x,,a
kn则,～再由归结原则知. lim0,n,,na
2.6 定积分定义法
通项中含有的数列极限～由于的特殊性～直接求非常困难～n!n!若转化成定积分来求就相对容易多了.
9
nn!例2.6.1 求. lim,,nn
nnn11in!1i解:令～则.
而, ,y,,,,,lnlnylimlnlimlnln1yxdx,,,,,,,0nnnnnnn,1,i1i
nn!,1也即～所以. lnlim1y,,,,limlimyen,,,,,,nnn
,,2,,sinsin,,sin,nn求极限lim...，，，. 例2.6.2 ,,n,,11n，1,,nn，，n2,,
解:因为
,,,,22，，，sinsin...sinsinsin,sin,nnnn ,，，， ...11，，nn11，，
nn2n
,,2sinsin...sin，，，,nn, ～ 1n，n
,,2sinsin...sin，，，,n，，12,,,,,nn,,,，，，
limlimsinsin...sin,,,,,nn,,,,nnnnn，，11,,,，，
，，12,,,,, ,，，，limsinsin...sin,,,,,n,,nnn,,，，,
,12 ～ ,,sinxdx,0,,
类似地
,,2sinsin...sin，，，,nnlim n,,1n，n
2n122，，,,,,, ～ ,,,，，，,limsinsin...sin,,,,,2n,,nnnn，1,,,,，，由夹逼准则知
10
,,2,,sinsin,,sin2,nn lim...，，，, . ,,n,,11n，1,,,nn，，n2,,
注:在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz公式法
yyy,nnn,1在求某些极限时非常方便～尤其Stoltz公式～
limlim.,,ann,，,,，,xxx,nnn,1
n
是当时特别有效. ya,,nkk,1
例2.7.1 同例2.1.2～定理1.2.4,1,式证明. 证明:前面用定义法证明～现用Stoltz公式证明. ,,N
令～则由Stoltz公式得到 yaaaxn,，，，,...,nnn12
aaa，，，...12nlim,,nn
aaaaaa，，，,，，，......，，，，,12121nn,limn,,nn,,1，，an . ,,,limlimaan,,,,nn1
kkk12...，，，nlim例2.7.2 求. ，1k,，,nn
kkkk12...，，，nn解: ,Stoltz公式, limlim,，1，1kk，
1k,，,,，,nnnnn,,1，，
kn , ,二项式定理, lim，1k121,kk,，,n,，，,...1CnCn，，，，11kk
11 ,. ,1Ck，1k，1
2.8 几何算术平均收敛公式法
上面我们用Stoltz公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会
11
*n发现很多类型的数列极限可以用此方法来简化其求法. *，n
n例2.8.1 同例2.1.1一样求,其中. limaa,0,,n
解:令,由定理1.2.4,2,知 aaaaa,,,,,,...1123n
n . limlim1aa,,n,,,,nn
n例2.8.2 同例2.3.2一样求. limn,,n
n解:令,由定理1.2.4,2,知 12,3,...aan,,,，，，1n1n,
nn . limlimlim1,,,nan,,,,,,nnn,1n
n例2.8.3 同例2.6.1相似求. limnn,,!n
nnn，1，，1,,解:令,则 a,，,1n,,nnn,,
n123n，1，，234aaa,,,,,,,,,,,,12n23n 123n
nnnnn，，11，，，，n ,. ,,nnnn!!
所以
nn，1n ～ aaa,,,,,,,12nnnn!
nnn也即～而由定理1.2.4,2,知 ,,,,,,,aaa12nn1n，!n
n1,,n . aaaae,,,,,,,，,limlimlim112,,nn,,,,,,nnnn,,
故
nnnn . limlimlim,,,,,,,,,,aaaee12nn,,,,,,nnn，，11nn!n
3n123...，，，，n例2.8.3 求. lim,,nn
12
n解:令～则由定理1.2.4,1,知 ann,,,1,2,3...，，n
3n123...，，，，nn . limlimlim1,,,ann,,,,,,nnnn
2.9 级数法
若一个级数收敛～其通项趋于0,,,我们可以应用级数的n,0一些性质来求数列极限～我们来看两个实例来领会其数学思想.
nc例2.9.1 用级数法求例2.1.3注. lim0,c，，,,n!n
nc解:考虑级数～由正项级数的比式判别法～因 ,!n
nn，1ccc ～ lim/lim01,,,nn,,,,，，1!!1nnn，，
nncc故级数收敛～从而. lim00,,c，，,,,n!n!n
kn*例2.9.2 用级数法求例2.3.3,即设及～求. lima,1kN,nn,,a
kn解:考虑正项级数～由正项级数的比式判别法～因 ,na
kkkn，1，，nn111，,, ～ lim/lim1,,,,,,，1nn,,,,nnaaana,,
kknn故正项级数收敛～所以. lim0,,nn,,naa
，，111例2.9.3 求极限. lim...，，，,,222n,,nnn12，，，，，,,，，,1解: 因级数收敛～由级数收敛的柯西准则知～对～存在, ,,,0N,0,2nn1, 使得当时～ nN,
13
21nn,11 ～ ,,,,,22kkkk,,11
111此即～，，，,,...222n，nn12，，，，
所以
，，111 . lim...0，，，,,,222n,,nnn12，，，，，,,，，
12n,,例2.9.4 求极限. ，，，,lim...1a，，,,2n,,naaa,,
,1n解:令～所以x,1.考虑级数～ nxx,,an,1
n，1nx，1，，an，1因为～所以此级数收敛. limlim1,,,xnnn,,,,anxn ,,,nn1n1,,令～则.再令～ sxnx,sxxnx,,fxnx,，，，，，，,,,n1n1n1,,, ,,xxx1nn,. ,,,ftdtntdtx，，,,,,001,x11nn,,
所以
,x1,, . fx,,，，,,21,x,,1,x，，
,1xa而 , sxxfx,,,,，，，，22,11x,，，1a,，，
所以
,112na,, . lim...，，，,,sx，，,,n22n,,,1aaa,,,1a，，2.10 其它方法除去上述求数列极限的方法外～针对不同的题型可能还有不同的
方法～我们可以再看几个例子.
14
22例2.10.1 求. limsin,nn，，，n,,
解:对于这个数列极限可用三角函数的周期性.
2222 limsinlimsin,,,nnnnn，,，,，，，，nn,,,,
n,,22 , limsinlimsin,2nn,,,,1，，nnn11，，n
,2 ,. sin1,2
2accn例2.10.2 设, 01,,,,，，，caa，n11222
a收敛～并求其极限. 证明:,,n
解:对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛.
首先用数学归纳法可以证明
. 0,1,2...,,,acn，，n
c事实上,.假设～ 0,,,ac01,,,acn12
22acccccn则. 0,,，,，,，,ac，n1222222
2cx,fx,，令～则. fxx,，，，，22
, aafafafaa,,,,,,,，，，，，，nnnnnn，,,111
,～ ,1, ,,,,,aacaannnn,,11
,aaa其中介于和之间.由于,再由,1,式知为压缩数列～01,,c,,nn,1n c故收敛.设,则. limal,,,lcn,,n2
由于
2acn ～ ,，a，n122
15
所以
2cl2 . lllc,，,，,,2022
解得,舍去,～. lc,，,11lc,,,11
综上知. lim11ac,,,n,,n
注:对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.
第三章数列极限在现实生活中的应用 3.1 几何应用-计算面积
在论文开始时～我们已经简要介绍了利用极限求圆的面积～现在
2我们再来介绍如何求抛物线与两直线和所围的面积. yx,y,0x,1
1121n,，，，，，，先将区间0,1等分为n个小区间～以这些小0,,...,1，，，,,,,,,,,nnnn，，，，，，
222121n,,,,,,,n区间为底边～分别以为高～作个小矩形. 0...，，，，,,,,,,nnn,,,,,,
n这个小矩形的面积之和是
22nni,111,, Ai,,,,,1，，,,n,,3nnn,,,,ii11
n,1nnn,,121，，，，112 , ,,i,33nn6i,1
111,, ,. ,,1,,323nn,,
AA这样我们就定义一个数列～对每个而言～它都小于欲求的,,nn
1“面积”～但是这两者之间的差别不会大于长为1,宽为的矩形面积～n
1An即～所以～当越来越大时～将越来越接近于欲求的“面积”～因nn
此～我们可以定义此面积为
16
1 . A,limn,,n3
这种定义面积并求面积的方法简单又朴素～它同时孕育出了数学
分析的一个重要组成部分:积分学.
3.2 求方程的数值解
我们都知道～是无理数.目前的问题是如何用有理数来逼近2
2～以达到事先指定的精确度,是二次方程的正根～所22x,,20以我们的问题可以说成是求方程的“数值解”.
把问题提得更一般一些.设是任意给定的～我们来求的近aa,0
a似值.给定的一个近似值～在两个正数中～一定有一个x,0ax,00x0大于xa另一个小于a～除非正好就是a.有理由指望这两个数的0
,,1a算术平均值可能更加靠近～这便得到了更好的近似.axx,，,,102x0,, 事实上
2,,111a2 . xaxaxaxaxa,,，,,，,,,,20，，，，,,10000222xxx000,,
xx这表明:不论初值如何～得出的第一次近似值是过剩近似值.不01
x妨设初值本身就是过剩近似值～因此.由此得出 xxa,,,0000
xa,110 . 0,,,,,,xaxaxa，，，，10022x0
xxa这个不等式告诉我们:第一次近似值到的距离至多是初值到10
a的距离的一半.
重复施行上述的步骤～便产生数列～其中 xxx，，，...,...01n
17
,,1a* ～ xxnN,，,，,,nn,12xn,1,,
由
111 ～ ,,,,,,,,,xaxaxaxa0...，，，，，，nnn,,1202n222
可见.对于充分大的～数x与的距离要多小有多nalimxa,nn,,n
小.
让我们看看实际应用起来有多方便～设想我们需求的近似值.2取初值,这是相当粗糙的近似值,～反复迭代的结果是 x,20
xxx,,,,,,2.0,1.5,1.4166，012
x,,,,1.4142566，3 x,,,,1.41421356，4
x,,,,1.41421356，5
这已是相当精确的近似值.
3.3 市场经营中的稳定性问题
投资者的交易行为是影响市场稳定性的重要因素～以股票为例～为尽量避免出现羊群行为～减少非理性投资～我们需要对股票的内在价值,即未来收入现金流的现值,有较清晰的认识～从而决定是该购买还是该售出～作出理性选择.现在我们来针对不同的模型确定股票相应的内在价值.
3.3.1 零增长模型
假定股利增长率为0,因其内在价值如下
,DDDDtt11 ,1, ,，，，，,......V,2tt1+i1+1+1+iii，，，，，，t1,12tt D,,V-内在价值～股息(红利)～贴现率,～ i,
18
现由假定知～ DDDDiiii,,,,,,,,......，1212tn
所以此时股票内在价值为
,DDDD ,，，，，,......V,2tt1+i1+1+1+iiit1，，，，，，,
t,,D1,,1,,,,,,,11，，ii,,D,, ,lim,. ,2, ,,t1i1,1，i
知道股票的内在价值后～可求出其净现值～即内在价值减去市NPV，，场价格～也即:
. NVPVP,,
当～该股票被低估～可买入,当～被高估～不益购买. NVP,0NVP,0例:某公司在未来无限期支付每股股利为8元～现价65元～必要收
益率10%～评价该股票.
解:利用,2,式结论可求得该股票的内在价值为:
D8 . VNVPVP,,,,,,,,,808065150，i10%
故该股票被低估～可以购买.
3.3.2 不变增长模型
假定股利永远按不变增长率g增长～即，，
t ～ DDgDg,，,,，1...1，，，，,10tt
代入,1,式得此时内在价值为
19
t,,Dg1，，，1，g,,01,,,,,t,,,,11ii，，,,DgDg11，，，，，，
DD00,,t1.,3, V,,,,,lim,,tt,,t1，gigig,,1+1+ii,,11tt，，，，t1,1，i 例:去年某公司支付每股股利1.80元.预计未来公司股票的股利按每年5%增长～假设必要收益率为11%～当每股股票价格为40元～评价该股票.
解:利用,3,式的结论～由于～可知 D,，，,1.8015%1.89，，1
1.8015%，，，，股票内在价值～故 V,,31.5011%5%,
～ NVPVP,,,,,31.50400
该股票被高估～建议出售.
3.4 购房按揭贷款分期偿还
消费贷款的还款,即按揭,大多为年金方式～故存在一些年金计算问题.下面主要对购房分期付款的基本计算问题做一些简单分析.
P设表示总的房款金额～表示首次付款比例～表示年利率～kin
R表示分期付款,贷款,的总年数～表示每月底的还款金额～则有如下的价值方程
12，，～ 112,,kPRa，，n
12，，11,,kPkiP，，，，进一步有 . ,4, R,,12，，12ia12ann
n1,v2n其中 . aavvv,,，，，,...nini
上述是针对有限期限付清的情况～如果考虑永久期末年金:在每个付
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1m，，款期末付款上货币单位～直至永远.若将该年金的现值记为～a,m
则有计算公式
12,,11mm，，，，mm . avva...lim,，，,,,,,m，，n,,nmi,,
代入,4,式即可.
通过上述公式即可求出按不同还款方式每月底应还金额.
第四章结论
通过上述章节我们探讨了数列极限的求法并简要介绍了它在现实生活中的应用.我们知道极限是数学分析的基石～是微积分学的基础～可见数列极限是一种重要的极限类型.掌握数列极限的概念、性质和计算是学好函数极限和微积分的前提和基础～灵活巧妙的应用它～也可以使一些较为困难的实际问题迎刃而解.通过前面的例子我们知道求数列极限的方法灵活多样～给一些数学问题的讨论和计算带来极大的方便.对它的研究也使数学分析在经济领域和数学领域中发挥更大的作用.这在数学分析关于函数极限和微积分学的研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值.所以～国内外学者对数列极限的求法及其在实际应用的研究一直未中断～同时仍存在很多内容等待我们新时期的学术爱好者去探讨,去解决～去突破.
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【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成
求数列极限的方法总结 万学教育 海文考研 教学与研究中心 贺财宝 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大.极限的计算是核心考点，考题所占比重最大.熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键. 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数. 熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算.以下我们就极限的内容简单总结下. 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法. 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限. 与极限计算相关知识点包括：1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验0()f x '存在的定义是极限000(+)-()lim x f x x f x x ???→ 存在；3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)；4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限.
L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！ 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换
数 列 极 限 的 求 法 及 其 应 用 2012年 9 月 28 日
容提要 数列极限可用N ε-语言和A N -语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz 公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求. 最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解. 关键词 ε-定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限 N
On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit Name: Yang NO. 07 The guidance of teachers: Dong Titles: Lecturer Abstract The limit of a sequence can be accurately defined by N ε-language and A N - language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit. Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
求极限方法总结 为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下： 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种 2解决极限的方法如下：我能列出来的全部列出来了你还能有补充么? 1 等价无穷小的转化，只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在 e的X次方-1 或者 1+x的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 x趋近无穷的时候还原成无穷小 2落笔他法则大题目有时候会有暗示要你使用这个方法 首先他的使用有严格的使用前提 必须是 X趋近而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷 必须是函数的.导数要存在假如告诉你gx, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死 必须是 0比0 无穷大比无穷大 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 30的0次方 1的无穷次方无穷的0次方
对于指数幂数方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0 3泰勒公式含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了 6夹逼定理主要对付的是数列极限 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用对付数列极限 q绝对值符号要小于1 8各项的拆分相加来消掉中间的大多数对付的还是数列极限 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式对付数列极限例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x 比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式 地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限 11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方快于 x 快于指数函数快于幂数函数快于对数函数画图也能看出速率的快慢当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的
极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n
数列极限的几种求法 一、定义法: 数列极限的定义如下:设{n a }是一个数列,若存在确定的数a,对ε?>0 ?N>0使当n>N 时,都有 a a n -<ε则称数列{n a }收敛于a ，记为n n a ∞ →lim =a ，否则称数列{n a }不收敛（或称数列{n a }发散）。故可从最原始的定义出发计算数列极限。 例1、 用ε-N 方法求 n n n 1lim +∞ → 解：令 n n 1+=t+1 则 t>0 ∴ n+1=n t )1(+2)1(2)1(12 2t n n t n n nt -≥+-++≥ ∴ 1 2)1(4)1()1(211-≤-≤-+≤=-+n n n n n n n t n n ∴ε?>0 取 ?? ????+=142εN 则当N n >时，有 ε<-≤-+12 11n n n ∴ n n n 1lim +∞→=1 二、单调有界法： 首先我们介绍单调有界定理，其内容如下： 在实数系中，有界的单调数列必有极限。 证明：不妨设{n a }为有上界的递增数列。由确界原理，数列{n a }有上界，记为sup =a {n a }。以下证明a 就是{n a }的极限。事实上，ε?>0，按上确界的定义，存在数列{n a }中某一项N a ，使得N a a <-ε 又由{n a }的递增性，当N n ≥时有 εε+<<-a a a n ， 这就证得 a a n n =∞ →lim 。同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。 例2、证明数列 ,222,22,2+++ 收敛，并求其极限。 证：222 ++=n a ，易见数列{n a }是递增的。现用数学归纳法来证明{n a }有上界。 显然 221<=a 。假设2 1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→ 几种求极限方法的总结 摘 要 极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过n s 对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法. 关键词 定义 夹逼定理 单调有界 无穷小 洛必达 泰勒公式 数列求和定积分 定积分 数列 []1 根据极限的定义：数列{n x }收敛??a,ε?〉0,?N N ∈+,当n 〉N 时，有n x -a 〈ε. 例1 用定义证明11 lim =+∞→n n n 证明：0,ε?>要使不等式 11-+n n =11n ε<+成立：解得n 11ε>-,取N=?? ????-11ε，于是0,ε?>? N=?? ? ???-11ε，n N ?>，有1,1n n ε-<+即11lim =+∞→n n n 2利用两边夹定理求极限[]1 例2 求极限???? ??+++++++∞ →n n n n n n 22221 31211 1lim 解：设= n c n n n n ++++ +2 2 2 12 11 1 则有：2 n c n n > =+ 同时有： 21 n c n <=+，于是 n c << 1 n n <=+>=. 有 11 n n n c n n <<< < =+ 已知：11lim =+∞→n n n ∴???? ??+++++++∞→n n n n n n 2222131211 1lim =1 3利用函数的单调有界性求极限[]1 实数的连续性定理：单调有界数列必有极限. 例3 设a x =1，a a x +=2， a a a x n +++= （n=1,2, ）(0a >),求n n x ∞ →lim 解：显然{}n x 是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见 12x a x +=，23x a x += ， 1-+=n n x a x ， 从而 12 -+=n n x a x ，显然n x 是单调增加的，所以2n n x a x <+ 两段除以n x ，得 1n n a x x < + 1+≤≤?a x a n 这就证明了{}n x 的有界性 设l x n →，对等式12 -+=n n x a x 两边去极限，则有∞ →-∞ →+=n n n n x a x 12 l i m l i m ?a l l +=2解得2 1 4++= a l l 4利用无穷小的性质求极限[]2 关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x )a →是无穷小，函数g(x)在U （),ηa 有界，则函数f(x)*g(x)(x )a →是无穷小. 例 求极限)cos 1(cos lim x x x -++∞ → 解4 )2 21sin()221sin( 2cos 1cos x x x x x x -+++-=-+ 2)221sin( 2≤++-x x 而) 1(21 221)221sin( 0x x x x x x ++=-+≤-+≤ 而,0) 1(21 lim =++∞ →x x x 故 02 _1lim =+∞ →x x n 5 应用“两个重要极限”求极限[]2 e x x x x x x =+=∞→→)1 1(lim ,1sin lim 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (3)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 数列极限的几种求法 摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法．学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处． 关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列 中图分类号Ｏ171 Several Methods of Sequence limit Abstract：Through examples，summarized several series method for finding the limit．Learn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studying． Keywords：Sequence limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence １引言 极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态． 极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面．年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识．马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”．谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位．”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽．公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度．实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合．稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤．这种以直线形逼近曲边形的过程表明，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想．公元前４世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”．穷竭法成功地运用于面积的计算．这些都可以看作是近代极限理论的雏形． 朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载．如，中国古代的《墨 求数列极限的几种典型方法 首先我们要知道数列极限的概念:设{}a n 为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正 整数N ，使得当nN 时有ε<-a a n ，则称数列 {}a n 收敛于，定数则称为数列{}a n 的极限， 并记作 a a a a n n n →=∞ →或lim （∞→n ） 。 若数列没有极限，则称 {}a n 不收敛，或称{}a n 为发散数列。 下面我们来研究求数列极限的几种方法： 方法一：应用数列极限的定义 例一：证明 01 lim =∞ →n n α ，这里为正数。 证明：由于 n n α α 1 01 = - 故对任给的0>ε，只要取11 1+???? ??????=εαN ，则当N n >时就有 εα α << N n 1 1 这就证明了 01 lim =∞ →n n α 。 用定义求数列极限有几种模式： （1）0>?ε，作差a a n -，解方程ε<-a a n ，解出()εf n >，则取() εf N =或() ,1+=εf N （2）将 a a n -适当放大，解出()εf n >； （3）作适当变形，找出所需N 的要求。 方法二：（迫敛性）设收敛数列{}{}b a n n ,都以为极限，数列{}c n 满足：存在正整数N , 当N n 0 > 时有： b c a n n n ≤≤ 则数列 {}c n 收敛，且a c n n =∞ →lim 。 例二：求数列{}n n 的极限。 解：记h a n n n n +==1，这里0>h n （)1>n ，则有 h h n n n n n n 2 2 )1() 1(-?> = + 由上式的12 0-< < n h n )1(>n ,从而有 1 2 111-+ ≤+=≤ n h a n n 数列???? ??-+121n 是收敛于1的， 因为任给的0>ε，取ε 22 1+=N ，则当N n >时有ε<--+ 112 1n ，于是上述不等式两边的极限全为1，故由迫敛性证得1lim =∞ →n n n 。 方法三：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。 例三：设 ,2,1,1 1 1 13 2=+ ++ + =n n a n α α α 其中实数2≥α，证明数列{}a n 收敛。 证明：显然数列 {}a n 是递增的，下证有上界，事实上， n a n 2 2 2 1 1 1 13 2++++ ≤ 2 1 2) 1 11()3121()211(1)1(1 3212111<-=--++-+-+=?-++?+?+ ≤n n n n n 于是由单调有界定理知 {}a n 收敛。 方法四：对于待定型 1 ∞ 利用 =+∞ →) 11(lim n n n e 求数列极限的方法总结 数学科学学院数学与应用数学08级汉班 ** 指导教师 **** 摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。 关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量 极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了。 1.定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设﹛Xn ﹜是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N ，当n 〉N 时,都有a Xn -<ε,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为a Xn n =∞ →lim . 例1: 按定义证明0 ! 1lim =∞ →n n . 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 令1/n<ε,则让n>ε 1 即可, 存在N=[ε 1 ],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<ε成 立, 所以0 ! 1lim =∞ →n n . 2.利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 例2: 求n n n b b b a a a ++++++++∞ → 2 211lim ,其中1,1< 求数列极限方法总结归纳 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1， 则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括： 连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限； 可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在； 渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)； 多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。 求数列极限可以归纳为以下三种形式。 1.抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除。此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。 2.求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： 利用单调有界必收敛准则求数列极限。首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性；其次,通过递推关系中取极限，解方程,从而得到数列的极限值。 利用函数极限求数列极限。如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解。 数列极限的求法及其应用 内容提要 数列极限可用N ε-语言和A N-语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz 公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求. 最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解. 关键词 ε-定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限 N On the Solutions and the Applications as to the Sequence Limit Abstract The limit of a sequence can be accurately defined by N ε-language and A N -language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit. Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans. Key Words ε-definition; Squeezing law; Stoltz formula; Function limits N 求极限的13种方法（简叙） 龘龖龍 极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。 一、利用恒等变形求极限 利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。 例1、求极限 )1...()1)(1(22 lim n a a a n +++∞ → ，其中1 例2、求极限1 1lim 1 --→n m x x x ，其中m,n 为正整数。 分析 这是含根式的（0 0）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。 解 令11,1 →→=t x x t mn 时，则当 原式=m n t t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限 利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ?=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ?-=)1( 例3、求极限o x →lim x x 2csc ) (cos 解 原式=o x →lim 2 1sin sin 21 lim csc )1(cos 2202 - --==→e e e x x x x x 四、利用夹逼准则求极限 利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。 例4、求极限∞ →n lim n n n ! 分析 当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。 解 因为n n n n n n n n n o n 1121!≤?-??=≤ ， 且不等式两端当趋于无穷时都以0为极限，所以∞ →n lim n n n ! =0 五、利用单调有界准则求极限 利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式求极限的方法及例题总结
(整理)几种求极限方法的总结
高等数学求极限的14种方法
数列极限的几种求法
求数列极限的几种典型方法
求极限的方法总结__小论文
求数列极限方法总结归纳
数列极限求法及其应用
(完整word版)求极限的13种方法
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