2011年深圳市高三年级第一次调研考试
数学（理科） 2011.3.3
参考公式：锥体的体积公式13
V Sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
柱体的体积公式V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。
如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ?=?.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知,a b R ∈，若3(1)a bi i i +=+?（其中i 为虚数单位），则( )
A 、1,1a b =-=
B 、1,1a b =-=-
C 、1,1a b ==-
D 、1,1a b == 2、已知p ：
“a =
，q ：“直线0x y +=与圆2
2
()1x y a +-=相切”，则p 是q 的( ) A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件
C 、充要条件
D 、既非充分也非必要条件
3、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11S =，
42
4S S =，则
64
S S 的值为（ ）
A 、94
B 、32
C 、54
D 、4
4、如图，圆O ：222
x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是（ ） A 、2
4
π B 、3
4
π C 、2
2
π
D 、
3
2
π
5、在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库。一号仓库 存有则10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨 货物，其余两个仓库是空的。现在要把所有的货物集中 存放一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运 输费，则最少需要的运费是（ ）
A 、450元
B 、500元
C 、550元
D 、600元
6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A 、2
B 、1
C 、
23
D 、
13
7、设平面区域D 是由双曲线2
2
14
y
x -
=的两条渐近线
和直线680x y --=所围成三角形的边界及内部。 当(,)x y D ∈时，222x y x ++的最大值为（ ）
A 、24
B 、25
C 、4
D 、7
8、已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表。
()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示。
下列关于函数()f x 的命题： ① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，
是减函数； ③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点。 其中真命题的个数是 ( )
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分。本大题分为必做题和
选做题两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。
9、已知全集U R =，集合A 为函数()l n (
f x x =
-的定义域，则
U
A C
= 。
10、设随机变量2
(1,3)X N ，且(0)(6)P X P X a ≤=>-，则实数a 的值为 。 11、在A B C ?中，已知,,a b c 分别,,A B C ∠∠∠所对的边，S 为A B C ?的面积，若向量
222
(4,)p a b c =+- ，(1,)q S = 满足//p q
，则C ∠= 。
12、已知命题“,|||1|2x R x a x ?∈-++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是____
____；
13、已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，
则二项式6
? ?
的展开式中含2
x 项
的系数是 。
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，
两题全答的，只计前一题的得分
14、（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设P 是直线:(cos sin )4l ρθθ+=上任一点，Q
是圆24cos 3C ρρθ=-：上任一点,则||PQ 的最小值是 。
15、（几何证明选讲）如图，割线PBC 经过圆心O ，1PB PB ==，
P B 绕点O 逆时针旋120°到O D ，连PD 交圆O 于点E ， 则P E = .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演
算步骤.
16、（本小题满分12分）
已知函数()cos sin()2
424x x f x x πππ??
??
=+
+-+
? ?????
。 （1）求()f x 的最小正周期； （2）若将()f x 的图象向右平移
6
π
个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间
[]0π， 上的最大值和最小值。
17、（本小题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深
圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。
将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：
若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，
身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，
且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中
中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是
“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”
的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。
18、（本小题满分14分）
如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，?=∠30BAC ，AC BM ⊥交AC 于点M ，
⊥EA 平面ABC ，EA FC //，134===FC EA AC ，，．
（1）证明：BF EM ⊥；
（2）求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．
19．(本小题满分14分)
A
B
C
E
F
M
O ?
已知点F 是椭圆
)0(112
2
2>=++a y a
x
的右焦点，点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、
y 轴上的动点，且满足0=?NF MN ．若点P 满足PO ON OM +=2．
（1）求点P 的轨迹C 的方程；
（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线a
x -=分别交于点S 、T （O 为坐标原点），试判断FS FT ?
是否为定值？若是，求出这
个定值；若不是，请说明理由．
20．(本小题满分14分)
已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足
2
21n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足1
1n n n b a a +=
?，n T 为数列{}n b 的前n 项和．
（1）求1a 、d 和n T ；
（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+?-恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有
,m n 的值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数()ln ()1
a f x x a x =+∈+R ．
（1）当2
9=
a 时，如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围；
（2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小； （3）求证：1
21715131)1ln(++
+++>+n n （n *N ∈）．
参考答案及评分标准
一、选择题 CAAB BCAD
二、填空题
9、{}|1x x ≤ 10、8 11、
4
π
12、(,3)(1,)-∞-+∞ 13、-192 141 15、
7
三、解答题 16、解：（1）x x x f sin )2
sin(3)(++
=
π
x x sin cos 3+=
…………………………………………………2分
)cos 2
3sin 2
1(
2x x +
=
)3
sin(2π
+
=x ．
…………………………………………………4分 所以)(x f 的最小正周期为π2． ………………………………………6分
（2） 将)(x f 的图象向右平移
6
π
个单位，得到函数)(x g 的图象，
∴??????
+-=-
=3)6(sin 2)6()(πππ
x x f x g )6
sin(2π
+
=x ． …………………………………………………8分 [0,]x π∈ 时，]6
7,6[
6
π
ππ
∈+
x ， …………………………………………………9分
∴当26π
π
=
+
x ，即3
π
=
x 时，sin()16x π
+
=，)(x g 取得最大值2． …………10分
当76
6
x π
π
+
=
，即x π=时，1sin()6
2
x π
+
=-，)(x g 取得最小值1-．………12分
【说明】 本小题主要考查了三角函数中诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、三角函数的性质和图象，以及图象变换等基础知识，考查了化归思想和数形结合思想，考查
了运算能力．
17、解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………………………1分
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是6
130
5=， …………………………2分
所以选中的“高个子”有26
112=?
人，“非高个子”有36
118=?
人．…………………3分
用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”，
则()P A =-
125
2
3C
C 10
710
31=
-
=． ………………………………5分
因此，至少有一人是“高个子”的概率是10
7． ……………………………6分
（２）依题意，ξ的取值为0,1,2,3． ……………………………7分
55
14C
C )0(312
3
8=
=
=ξP ， 5528C
C C )1(312
2
814=
=
=ξP ，
55
12C C C )2(3
12
1
824=
=
=ξP ， 55
1C C )3(3
12
3
4==
=ξP ． …………………………9分
因此，ξ的分布列如下：
分
155
1355
12255
28155
140=?
+?
+?
+?
=ξ∴E ． …………………………12分
【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数 据处理能力和应用意识．
18、解：（法一）（1）⊥EA 平面ABC ，?BM 平面ABC ， BM EA ⊥∴．……………1分
又AC ，BM ⊥ A AC EA =?， ⊥∴BM 平面ACFE ， 而?EM 平面ACFE ，
EM BM ⊥∴． ………………………………………3分 A C 是圆O 的直径，90ABC ∴∠= ． 又，BAC ?=∠30 4=AC ，
，，BC
AB 232==∴1,3==CM AM ．
⊥EA 平面ABC ，EA FC //，1=FC ， ⊥∴FC 平面ABCD ．
∴EAM ?与FCM ?都是等腰直角三角形． ?=∠=∠∴45FMC EMA ．
?=∠∴90EMF ，即MF EM ⊥（也可由勾股定理证得）．………………………………5分
M BM MF =? ， ⊥∴EM 平面MBF ．
而?BF 平面MBF ，
⊥∴EM BF ． ………………………………………………………………………………6分
A
B
C
E
F
M
O ?
（2）延长EF 交A C 于G ，连BG ，过C 作C H B G ⊥，连结F H ． 由（1）知F C ⊥平面ABC ，B G ?平面ABC ， F C B G ∴⊥．
而F C C H C ?=，B G ∴⊥平面F C H ． F H ? 平面F C H ，
F H B
G ∴⊥，
F H C ∴∠为平面BEF 与平面ABC 所成的
二面角的平面角． ……………………8分 在ABC Rt ?中， ?=∠30BAC ，4=AC ，
330
sin =?=∴
AB BM ．
由
13
F C
G C E A
G A
=
=
，得2G C =．
322
2
=+=MG BM BG ．
又GBM GCH ??~ ，
BM
CH BG
GC =∴，则13
23
2=?=
?=
BG
BM GC CH ． ………………………………11分
F C H ∴?是等腰直角三角形， 45=∠FHC ．
∴平面BEF 与平面ABC
所成的锐二面角的余弦值为
2
． ………………………12分
（法二）（1）同法一，得33==BM AM ，． ………………………3分
如图，以A 为坐标原点，垂直于AC 、AC 、AE 所在的直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系．
由已知条件得(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),
A M E
B (0,3,3),(1,1)M E BF ∴=-= ． ………由(0,3,3)(1,1)0M E BF ?=-?=
，
得BF MF ⊥， BF EM ⊥∴． ……………（2）由（1）知(3,3),(1,BE BF =-=
设平面BEF 的法向量为),,(z y x n =，
由0,0,n B E n B F ?=?= 得330
y z y z ?-+=??++=??，
H
G
A
C E
F
M
O ?
令3=
x 得1,2y z ==
，)
1,2n ∴=
， …………………………9分
由已知⊥EA 平面ABC ，所以取面ABC 的法向量为(0,0,3)AE =
，
设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，
则cos cos ,2
n AE θ→
=<>=
=
， …………………………11分
∴平面BEF 与平面ABC
2
． ……………………12分
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
19、解：（1） 椭圆
)0(112
2
2>=++a y a
x
右焦点F 的坐标为(,0)a ，………………1分
(,)N F a n ∴=-
． (,)M N m n =-
，
∴由0=?NF MN ，得02
=+am n ． …………………………3分
设点P 的坐标为),(y x ，由PO ON OM +=2，有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--， ??
???=-=.
2,y n x m 代入02=+am n ，得ax y 42=． …………………………5分 （2）(法一)设直线AB 的方程为x ty a =+，2
1
1(
,)4y A y a
、2
2
2(
,)4y B y a
，
则x y a y l OA 1
4:=
，x y a y l OB 2
4:=
． ………………………………6分
由??
?
??-==a x x y a y ,41，得214(,)a S a y --
， 同理得22
4(,)a T a y --．…………………………8分 214(2,)a F S a y ∴=-- ，224(2,)a F T a y =-- ，则42
12
164a F S F T a y y ?=+ ． ………9分
由???=+=ax
y a ty x 4,2，得0442
2=--a aty y ，2124y y a ∴=-． ……………………11分
则044)
4(1642
22
42
=-=-+
=?a a a a
a FT FS ． …………………………13分
因此，FS FT ?
的值是定值，且定值为0． …………………………………14分 (法二)①当A B x ⊥时， (,2)A a a 、(,2)B a a -，则:2O A l y x =， :2O B l y x =-．
由2,
y x x a
=??=-? 得点S 的坐标为(,2)S a a --，则(2,2)F S a a =-- ． 由2,
y x x a =-??=-? 得点T 的坐标为(,2)T a a -，则(2,2)F T a a =- ．
FS FT a a a a ∴?=-?-+-?=
． ………………………………………7分
②当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠，),4(
12
1
y a
y A 、
),4(22
2
y a
y B ，同解法一，得42
12164a F S F T a y y ?=+
． …………………………………10分 由2(),4y k x a y ax
=-??=?，得22440ky ay ka --=，2
124y y a ∴=-．……………………11分 则044)
4(1642
22
42
=-=-+
=?a a a a
a FT FS ． …………………………13分
因此，FS FT ?
的值是定值，且定值为0． …………………………………14分 【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想．
20、解：（1）（法一）在2
21n n a S -=中，令1=n ，2=n ，
得?????==,
,322121S a S a 即?????+=+=,33)(,12
112
1d a d a a a ……………………………………2分
解得11=a ，2=d ， ………………………………………3分
21n a n ∴=-．
111
1
1
1(
)(21)(21)22121n n n b a a n n n n +=
=
=
-
-+-+ ，
11111
1(1)2
3
3521
21
21
n n
T n n n ∴=
-
+
-++
-
=
-++ ． ……………………5分
（法二） {}n a 是等差数列， n n a a a =+∴
-2
1
21
)12(2
1
2112-+=
∴--n a a S n n n a n )12(-=． …………………………2分
由2
21n n a S -=，得 n n a n a )12(2
-=，
又0n a ≠ ，21n a n ∴=-，则11,2a d ==． ………………………3分 (n T 求法同法一)
（2）①当n 为偶数时，要使不等式8(1)n n T n λ<+?-恒成立，即需不等式
(8)(21)
8217n n n n n
λ++<
=+
+恒成立． …………………………………6分
828n n
+≥ ，等号在2n =时取得．
∴此时λ 需满足25λ<． …………………………………………7分
②当n 为奇数时，要使不等式8(1)n
n T n λ<+?-恒成立，即需不等式
(8)(21)
8215n n n n n
λ-+<
=-
-恒成立． …………………………………8分
82n n
- 是随n 的增大而增大， 1n ∴=时82n n
-取得最小值6-．
∴此时λ 需满足21λ<-． …………………………………………9分
综合①、②可得λ的取值范围是21λ<-． …………………………………………10分 （3）11,,321
21m n m n T T T m n =
=
=
++，
若1,,m n T T T 成等比数列，则2
1
(
)()21
321
m n
m n =
++，即
2
2
441
63
m
n m m n =
+++．…11分
（法一）由
2
2
441
63
m
n m m n =
+++， 可得
2
2
3241
0m m n
m
-++=
>，
即2
2410m m -++>， …………………………………12分
∴112
2
m -<<+． ……………………………………13分
又m ∈N ，且1m >，所以2m =，此时12n =．
因此，当且仅当2m =， 12n =时，数列{}n T 中的1,,m n T T T 成等比数列．…………14分
（法二）因为
11363
6
6n n n
=
<
++
，故
2
2
1441
6
m
m m <
++，即22410m m --<，
∴112
2
m -
<<+
，（以下同上）． …………………………………………13分
【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，以及数列的求和、利用均值不等式求
最值等知识；考查了学生的函数思想方法，及其推理论证和探究的能力．
21、解：（1）当2
9=
a 时，)
1(29ln )(++
=x x x f ，定义域是),0(+∞，
2
2
)
1(2)2)(12()
1(291)(+--=
+-
=
'x x x x x x
x f ， 令0)(='x f ，得2
1=
x 或2=x ． …2分
当2
10<
22
1< ∴函数)(x f 在)21 ,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,2 1 (上单调递减． ……………4分 )(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 2 3 )2(+=f ． 当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 2 3+< k ．……………5分 （2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞． 令11 2 ln 1)()(-++ =-=x x x f x h ， 0) 1(1) 1(21)(2 2 2 >++= +-='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数． …………………………………7分 ①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10< ③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分 （3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，11 2ln >++ x x ，即1 1ln +-> x x x ． 令k k x 1+= ，则有1 211ln +> +k k k ， ∑∑==+> +∴n k n k k k k 1 1 121 1ln ． ……………12分 ∑ =+= +n k k k n 1 1ln )1ln( ， 1 215 13 1)1ln(++++> +∴n n ． ……………………………………14分 (法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=． 3ln 2ln 81=> ，1ln 23 ∴> ，即1n =时命题成立． ………………………………10分 设当n k =时，命题成立，即 111 ln(1)3521 k k +> +++ + ． 1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112 ln 35211 k k k +>++++++ ． 根据（2）的结论，当1>x 时，11 2ln >++x x ，即1 1ln +-> x x x ． 令21 k x k += +，则有21ln 123k k k +> ++， 则有111 1ln(2)35 21 23 k k k +> +++ + ++ ，即1n k =+时命题也成立．……………13分 因此，由数学归纳法可知不等式成立． （法三）如图，根据定积分的定义， 得 112117 115 1?+++?+?n ? +< n dx x 1 1 21．……11)12(1 212 11 21 1 1 ++=+?? x d x dx x n n ]3ln )12[ln(2 1) 12ln(2 11 -+= +=n x n ， ∴ 1 217 15 13 1++ ++ + n )1 2151(31++ ++=n ? ++ < n dx x 1 1 231 ]3ln )12[ln(2 13 1-++= n ． ………………………………12分 11[ln(21)ln 3]ln(1)3 2 n n + +--+= 2 23ln 3 1[ln(21)ln(21)]6 2 n n n -++-++， 又3ln 332<< ，)12ln()12ln(2 ++<+n n n ， )1ln(]3ln )12[ln(2131+<-++∴n n ． )1ln(1 215 13 1+<++ ++ ∴ n n ． …………………………………14分 【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创 新意识． 高二数学期末考试试卷 出题人：冯亚如 一．选择题（40分） 1.由数列1,10,100,1000，……猜测该数列的第n 项是（ ） A.10n+1 B.10n C.10n-1 D. 10n 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线（ ） A.互相平行 B.互相垂直 C.异面或相交 D.平行或相交或异面 3.在正方体1111D C B A ABCD 中与直线1AC 异面的棱有（ ） A.4条 B.6条 C.8条 D.10条 4.某中职学校一年级二年级各有12名女排运动员，要从中选出6人调查学习负担情况，调查应采取的抽样方法是（ ） A.随机抽样 B.分层抽样 C.系统抽样 D.无法确定 5.已知点A(-3，-2)，B(2，3)则直线AB 的倾斜角为（ ） A.450 B.600 C.900 D.1350 6.已知12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽取3件的必然事件是 ( ) A ．3件都是正品 B.至少有一件是正品 C.3件都是次品 D.至少有一件是次品 7.判断直线L 1:x+3y-4=0与L 2:3x-y+1=0的位置关系（ ） A.平行 B.相交但不垂直 C.重合 D.垂直 8.在100张奖券中，有4张中奖卷，从中任取1张，中奖的概率是 （ ） A. 201 B. 101 C. 251 D. 30 1 9.侧棱长时2的正三棱锥，其底面边长是1，则棱锥的高是 （ ） A. 311 B. 313 C. 339 D. 333 10.直线5x+12y-8=0与圆（x-1）2+（y+3）2=9的位置关系是（ ） A.相离 B.相交 C.相切 D.直线过圆心 二．填空题（20分） 11.直线x-3y+6=0在X 、Y 轴截距分别为_______、________； 12.圆x 2+y 2+4x-2y+1=0的圆心为_______________； 13.一条直线l 与平面α平行，直线m 在面α内，则l 与m 的位置关系是_______________； 14.正三棱锥的底面边长是4cm ，高是33cm ，则此棱锥的体积为________________； 15.已知球的半径r=3，则球的表面积和体积分别为_________、___ __。 三．解答题（60分） 16.光线从点M(-2, 3)出发，射到P(1, 0)，求反射直线的方程并判断点N(4，3)是否在反射光线上。（10分）职业高中高二期末考试数学试卷
(完整版)高二数学期末试卷(理科)及答案