东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高考数学一模试卷（文科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．（5分）已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠?，则b等于（）
A．1B．2C．3D．1或2
2．（5分）复数=（）
A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i
3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）A．45°B．60°C．90°D．120°
5．（5分）实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）
A．B．C．D．
6．（5分）已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）
A．B．C．D．
7．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的
取值范围是（）
A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1]
8．（5分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知数列{a n}满足???…?=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e35
10．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）
A．8B．9C．10 D．11
11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]
12．（5分）函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）
A．9B．10 C．11 D．12
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）
13．（5分）若等差数列{a n}中，满足a4+a6+a2010+a2012=8，则S2015=．
14．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．
15．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线
C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=．
16．（5分）若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是（只写出所有
正确命题的序号）
①函数f（x）是奇函数；
②函数f（x）是偶函数；
③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；
④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．
三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜?≤4，设和的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．
18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．1月某日某省x个监测点数据统计如下：
空气污染指数
（单位：μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]
监测点个数15 40 y 10
（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？
19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；
（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；
（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．
21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
①求证：﹣＜a＜0；
②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．
二、请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）求证：DE?BC=DM?AC+DM?AB．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；
（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|?|PB|=1，求实数m的值．
【选修4-5：不等式选讲】
24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若?x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．
东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2015届高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1．（5分）已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠?，则b等于（）
A．1B．2C．3D．1或2
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠?，可得b值．
解答：解：∵集合B={x∈Z|x2﹣3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，
若A∩B≠?，则b=1或b=2，
故选：D．
点评：本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．
2．（5分）复数=（）
A．i B．﹣i C．2（+i）D．1+i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则即可得出．
解答：解：复数==i，
故选：A．
点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
3．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
解答：解：在三角形中，cos2A＜cos2B等价为1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，即sinA＞sinB．
若a＞b，由正弦定理，得sinA＞sinB．充分性成立．
若sinA＞sinB，则正弦定理，得a＞b，必要性成立．
所以，“a＞b”是“sinA＞sinB”的充要条件．
即a＞b是cos2A＜cos2B成立的充要条件，
故选C．
点评：本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，注意三角形中大边对大角的关系的应用．
4．（5分）向量，满足||=1，||=，（+）⊥（2﹣），则向量与的夹角为（）
A．45°B．60°C．90°D．120°
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：设向量与的夹角为θ．利用（+）⊥（2﹣），可得（+）?（2﹣）
=+=0，即可解出．
解答：解：设向量与的夹角为θ．
∵（+）⊥（2﹣），
∴（+）?（2﹣）=+==0，
化为cosθ=0，
∵θ∈[0，π]，∴θ=90°．
故选：C．
点评：本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
5．（5分）实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2﹣mx+4=0有实根的概率为（）
A．B．C．D．
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：根据几何概型计算公式，首先求出方程有实根的m的范围，然后用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．
解答：解：∵方程x2﹣mx+4=0有实根，
∴判别式△=m2﹣16≥0，
∴m≤﹣4或m≥4时方程有实根，
∵实数m是[0，6]上的随机数，区间长度为6，[4，6]的区间长度为2，
∴所求的概率为P==．
故选：B．
点评：本题着重考查了几何概型计算公式及其应用的知识，给出在区间上取数的事件，求相应的概率值．关键是明确事件对应的是区间长度或者是面积或者体积．
6．（5分）已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是（）
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：如图所示，AB=BC=CA=2，点P在侧面ABC的射影为O，OP=2．利用三棱锥的体积计算公式即可得出．
解答：解：如图所示，AB=BC=CA=2，点P在侧面ABC的射影为O，OP=2．
∴该三棱锥的体积V===．
故选：B．
点评：本题考查了三棱锥的三视图及其体积计算公式，属于基础题．
7．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的
取值范围是（）
A．[1，4]B．[1，3]C．[﹣2，1]D．[﹣1，1]
考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出椭圆的焦点坐标，设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．利用向量的数量积运算和余弦函数的单调性即可得出．
解答：解：椭圆的焦点坐标F1（，0），F2（，0）．
设P（2cosθ，sinθ）（θ∈∈[0，2π））．
∴═（﹣﹣2cosθ，﹣sinθ）?（﹣2cosθ，﹣sinθ）=4cos2θ﹣3+sin2θ=3cos2θ
﹣2，
∵0≤cos2θ≤1，
∴﹣2≤3cos2θ﹣2≤1．
即的最大值与最小值分别是1，﹣2．
故选：C．
点评：本题考查了椭圆的标准方程与性质、向量的数量积运算、余弦函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
8．（5分）半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，AB过点O，CA=CB，DA=DB，DC=1，则三棱锥A﹣BCD的体积为（）
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：画出图形，连结OD，OC判断棱锥的特征，求解体积即可．
解答：解：由题意可知图形如图：AB过点O，CA=CB，DA=DB，三角形ABD与ACB都是等腰直角三角形，
半径为1的球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，
∴AD=BD=AC=BC=，
DC=1，OD=0C=1，AB⊥OD，AB⊥OC，几何体的体积为：×S△OCD?（AO+OB）
==
故选：A．
点评：本题考查球的内接体知识，几何体的体积的求法，空间想象能力以及计算能力．9．（5分）已知数列{a n}满足???…?=（n∈N*），则a10=（）A．e26B．e29C．e32D．e35
考点：数列递推式；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用已知条件，得到通项公式，然后求解a10．
解答：解：数列{a n}满足???…?=（n∈N*），
可知???…?=，
两式作商可得：==，
可得lna n=3n+2．
a10=e32．
故选：C．
点评：本题考查数列递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，考查计算能力．
10．（5分）执行如图所示的程序框图，要使输出的S的值小于1，则输入的t值不能是下面的（）
A．8B．9C．10 D．11
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，观察规律可得sin的值以6为周期，且
sin+sin+…+sin=0，依次验证选项即可得解．
解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出
S=sin+sin+…+sin，k∈Z的值，
∵sin的值以6为周期，且sin+sin+…+sin=0，
∴当t=8时，S=sin+sin+…+sin=sin+sin+sin=＞1，故A符合要求；
当t=9时，S=sin+sin+…+sin+sin=sin+sin+sin+sin=＜1，故B不符合要求；
当t=10时，
S=sin+sin+…+sin+sin+sin=sin+sin+sin+sin+sin=0＜
1，故C不符合要求；
当t=11时，S=sin+sin+…+sin+sin+sin+sin=0＜1，故D不符合要求；
故选：A．
点评：本题主要考察了循环结构的程序框图，考查了正弦函数的周期性，模拟执行程序框图正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．
11．（5分）若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（2，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：先求f′（x）=6x2﹣6mx+6，根据题意可知f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，可设g （x）=6x2﹣6mx+6，所以讨论△的取值，从而判断g（x）≥0是否在（2，+∞）上恒成立：△≤0
时，容易求出﹣2≤m≤2，显然满足g（x）≥0；△＜0时，m需要满足，这样求出
m的范围，和前面求出的m范围求并集即可．
解答：解：f′（x）=6x2﹣6mx+6；
由已知条件知x∈（2，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；
设g（x）=6x2﹣6mx+6，则g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；
∴（1）若△=36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，满足g（x）≥0在（2，+∞）上恒成立；
（2）若△=36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，则需：；
解得；
∴；
∴综上得；
∴实数m的取值范围是（﹣∞，]．
故选D．
点评：考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式△
的取值情况和二次函数取值的关系．
12．（5分）函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）
A．9B．10 C．11 D．12
考点：函数零点的判定定理．
专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作图并利用三角函数的图象特征求解．
解答：解：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即
y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，
作函数y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象如下，
结合图象及三角函数的最值知，
图象在y轴左侧有6个交点，
在y轴右侧有5个交点，在y轴上有一个交点；
故选D．
点评：本题考查了函数的图象的应用及函数的零点的个数的判断，属于基础题．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分．）
13．（5分）若等差数列{a n}中，满足a4+a6+a2010+a2012=8，则S2015=4030．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等差数列的通项公式性质及其前n项和公式即可得出
解答：解：∵a2012+a4=a6+a2010=a1+a2015，
a4+a6+a2010+a2012=8，
∴2（a1+a2015）=8，
∴a1+a2015=4，
∴S2015==4030．
故答案为：4030．
点评：本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，属于基础题．
14．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为﹣6．
考点：简单线性规划．
专题：计算题．
分析：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数
z=x+2y变化为y=﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，
z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．
解答：解：在坐标系中画出约束条件的可行域，
得到的图形是一个平行四边形，
目标函数z=x+2y，
变化为y=﹣x+，
当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，
当直线过A点时，z取到最小值，
由y=x﹣9与2x+y=3的交点得到A（4，﹣5）
∴z=4+2（﹣5）=﹣6
故答案为：﹣6．
点评：本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．
15．（5分）已知双曲线C：﹣=1，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线
C的上、下焦点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，则|P1A|﹣|P1B|=﹣16．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．运用对称和三角形的中位线定理，结合双曲线的定义，即可得到结论．
解答：解：设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．
由点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，
则F为PA的中点，F'为PB的中点，
由点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1，
则Q为PP1的中点，
由中位线定理可得，|P1A|=2|QF|，
|P1B|=2|QF'|，
由双曲线的定义可得|QF'|﹣|QF|=2a=8，
则|P1A|﹣|P1B|=2（|QF|﹣|QF'|）=﹣2×8=﹣16．
故答案为：﹣16．
点评：本题考查双曲线的定义，考查三角形的中位线定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
16．（5分）若函数f（x）满足：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是R；（Ⅱ）对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）；（Ⅲ）f（1）=，则下列命题正确的是②③④（只
写出所有正确命题的序号）
①函数f（x）是奇函数；
②函数f（x）是偶函数；
③对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）；
④对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．
考点：抽象函数及其应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据抽象函数的定义和关系式结合函数奇偶性的定义即可判断①②，利用赋值法可以判断③④．
解答：解：令x1=1，x2=0，f（1+0）+f（1﹣0）=2f（1）f（0），
即2f（1）=2f（1）f（0），
∵f（1）=，∴f（0）=1．
令x1=0，x2=x，
则f（x）+f（﹣x）=2f（0）f（x）=2f（x），
则f（﹣x）=f（x），
故函数f（x）为偶函数，故②正确，①错误．
∵f（1）=，
∴f（1+1）+f（1﹣1）=2f（1）f（1），
即f（2）=2f2（1）﹣f（0）=2×（）2﹣1=，
f（2+1）+f（1）=2f（1）f（2），
即f（3）=2f（1）f（2）﹣f（1）=2××﹣=，
同理f（4）=，
由归纳推理得对任意n1，n2∈N，若n1＜n2，则f（n1）＜f（n2）正确；故③正确，
令x1=x2=x，则由f（x1+x2）+f（x1﹣x2）=2f（x1）f（x2）
得f（2x）+f（0）=2f（x）f（x）=2f2（x），
即f（2x）+1=2f2（x）≥0，
∴f（2x）+1≥0，即f（2x）≥﹣1．
∴对任意x∈R，有f（x）≥﹣1．故④正确．
点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数奇偶性的定义是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知△ABC的面积为2，且满足0＜?≤4，设和的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ的取值范围．
考点：两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的最值．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）由数量积和三角形的面积公式可得tanθ的范围，进而可得θ的取值范围；（2）化简可得f（θ）=1+2sin（2θ﹣），由θ的范围和三角函数公式可得．
解答：解：（1）由题意可得?=cbcosθ，
∵△ABC的面积为2，∴bcsinθ=2，
变形可得cb=，
∴?=cbcosθ==，
由0＜?≤4，可得0＜≤4
解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，
∴向量夹角θ的范围为[，）；
（2）化简可得f（θ）=2sin2（+θ）﹣cos2θ
=2×﹣cos2θ
=1+sin2θ﹣cos2θ=1+2sin（2θ﹣）
∵由（1）知θ∈[，），∴2θ﹣∈[﹣，），
∴sin（2θ﹣）∈[﹣，1]，
∴1+sin（2θ﹣）∈[，2]，
∴f（θ）的取值范围为：[，2]
点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的数量积和三角函数的值域，属中档题．
18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．1月某日某省x个监测点数据统计如下：
空气污染指数
（单位：μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]
监测点个数15 40 y 10
（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？
考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，利用频率=，求出x、y的值，计算直方图中
各小进行对应的高，补全频率分布直方图；
（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．
解答：解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得；
0.003×50=，∴x=100；
又∵15+40+y+10=100，
∴y=35；…（2分）
∴直方图中（50，100]对应矩形的高为=0.008，
（100，150]对应矩形的高为=0.007，
（150，200]对应矩形的高为=0.002；
补全频率分布直方图，如图所示；
…（5分）
（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，
空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，
从中任取2个的基本事件分别为
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），
（2，3），（2，4），（2，5），
（3，4），（3，5），（4，5）共10种，…（8分）
其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为
（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），
（3，4），（3，5），（4，5）共7种，…（10分）
所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是P（A）=．…（12分）
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．
19．（12分）如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：CF∥平面ADE；
（Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE．
（Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2V A﹣BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V．
解答：（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF，
∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，
∵CF?平面BCF，∴CF∥平面ADE．
（Ⅱ）解：连结AC，交BD于O，
∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．
∴DE⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，∴AC⊥DE，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，
∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1，
∴AO=CO=，
∴多面体ABCDEF的体积：
V=2V A﹣BDEF=2×
=2×
=．
点评：本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆过点（2，0），且被y轴所截得的弦长为4．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C1的方程；
（Ⅱ）过点P（1，2）分别作斜率为k1，k2的两条直线l1，l2，交C1于A，B两点（点A，B异于点P），若k1+k2=0，且直线AB与圆C2：（x﹣2）2+y2=相切，求△PAB的面积．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，利用点（2，0）在圆上及被y轴所截得的弦长为4，计算即可；
（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，通过将点P（1，2）代入抛物线y2=4x并与直线l1联立，计算可得直线AB的斜率，不妨设l AB：y=﹣x+b，利用直线AB与圆C相切可得b=3或1，分b=3、b=1两种情况讨论即可．
解答：解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为（x，y），半径为r，
由题可知，
∴动圆圆心的轨迹方程为：y2=4x；
（Ⅱ）设直线l1的斜率为k，则l1：y﹣2=k（x﹣1），l2：y﹣2=﹣k（x﹣1），
点P（1，2）在抛物线y2=4x上，
联立，消去x得：ky2﹣4y+8﹣4k=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），△＞0恒成立，即（k﹣1）2＞0，有k≠1，
∴y1y P=，∵y P=2，∴y1=，
代入直线方程可得：，同理可得：x2=，，
k AB===﹣1，
不妨设l AB：y=﹣x+b，
∵直线AB与圆C相切，∴=，解得b=3或1，
当b=3时，直线AB过点P，舍去，
当b=1时，由，可得x2﹣6x+1=0，
此时△=32，∴|AB|==8，
∴P到直线AB的距离d=，
△PAB的面积为=4．
点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
21．（12分）已知a是实常数，函数f（x）=xlnx+ax2．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），
①求证：﹣＜a＜0；
②求证：f（x2）＞f（x1）＞﹣．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
分析：（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，代入点（0，﹣2），即可解得a；
（2）①依题意：f′（x）=0 有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），设g（x）=lnx+2ax+1，求出导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，求得函数g（x）的单调性，令极大值大于0，解不等式即可得证；
②由①知：f（x），f′（x）变化，求得f（x）的增区间，通过导数，判断x1∈（0，1），设h （x）=（xlnx﹣x）（0＜x＜1），求得h（x）的单调性，即可得证．
解答：（1）解：由已知可得，f′（x）=lnx+1+2ax（x＞0），切点P（1，a），
HR Planning System Integration and Upgrading Research of A Suzhou Institution 近三年高考数学试卷分析 陈夏明 近三年的数学试卷强调了对基础知识的掌握、突出运用所学知识解决实际问题的能力.整套试卷遵照高考考试大纲的要求，从题型设置、考察知识的范围和运算量,书写量等方面保持相对稳定，体现了考查基础知识、基本运算方法和基本数学思想方法的特点.好多题都能在课本上找到影子，是课本题的变形和创新.这充分体现了高考数学试题“来源于课本”的命题原则，同时,也注重了知识之间内在的联系与综合，在知识的交汇点设计试题的原则。 2009年高考数学考试大纲与往年对比，总体保持平稳，个别做了修改,修改后更加适合中学实际和现代中学生的实际水平，从大纲来看，高考主干知识八大块：１．函数；２．数列；３．平面向量；４．不等式（解与证）；５．解析几何；６．立体几何；７．概率与统计。仍为考查的重点,其中函数是最核心的主干知识. 考试要求有变化： 今年数学大纲总体保持平稳，并在平稳过渡中求试题创新，试题难度更加适合中学教学实际和现代中学生的实际水平；适当加大文理卷的差异，力求文理学生成绩平衡，文科试题“适当拉大试题难度的分布区间，试题难度的起点应降低，而试题难度终点应与理科相同”。 试题难度没有太大变化，但思维量进一步加大，更加注重基础知识、基本技能的考查.注重通性通法,淡化特殊技巧，重视数学思想方法的考查.不回避重点知识的考查。函数、数列、概率（包括排列、组合）、立体几何、解析几何等知
识仍是考查的重点内容.保持高考改革的连续性、稳定性，严格遵循《考试大纲》命题. 针对高考变化教师应引导学生： 1．注重专题训练，找准薄弱环节 2．关注热点问题进行有针对性的训练 3．重视高考模拟试题的训练 4．回归课本，查缺补漏。 5．重视易错问题和常用结论的归纳总结 6．心理状态的调整与优化 （1）审题与解题的关系： 我建以审题与解题的关系要一慢一快：审题要慢，做题要快。 （2）“会做”与“得分”的关系： 解题要规范,俗话说：“不怕难题不得分,就怕每题都扣分”所以务必将解题过程写得层次分明,结构完整.这非常重要,在平时训练时要严格训练. （3）快与准的关系： 在目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要。只有“准”才能得分，只有“准”才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果. （4）难题与容易题的关系： 拿到试卷后，应将全卷通览一遍，一般来说应按先易后难、先简后繁的顺序作答。近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序，因此不要在某个卡住的题上打“持久战”，特别不要“小题大做”那样既耗费时间又未心能拿分，会做的题又被耽误了。这几年，数学试题已从“一题把关”转为“多题把关”，而且解答题都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难。 因此,我建议答题应遵循： 三先三后： 1.先易后难 2.先高（分）后低（分） 3.先同后异。
★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．设3i 12i z -=+，则z = A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =I e A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3．已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51-（ 51 -≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 -．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos x x x x ++在[—π， π]的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生 C ．616号学生 D ．815号学生 7．tan255°= A ．－2－3 B ．－2+3 C ．2－3 D ．2+3 8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 9．如图是求1 12122 + +的程序框图，图中空白框中应填入 A ．A = 1 2A + B ．A =12A + C ．A = 1 12A + D ．A =112A +
2019年高考数学试卷分析及2019年命题走 向 一、2019年高考试卷分析 2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷i)继承2019年的改革方向。既保持了一定的稳定性，又有创新和发展；既重视考查中学数学知识掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。 1考试内容体现了《考试大纲》的要求。 2试题结构与2019年大体相同。全卷共22小题，选择题12道，每题5分；填空题4道，每题4 分；解答题6道，前5道每题12分，最后1道14分。 3考试要求与考点分布。第1小题，(理)掌握复数代数形式的运算法则；(文)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念、符号，能够正确表示简单的集合。第2小题，掌握对数的运算性质。第3小题，掌握实数与向量的积，平面向量的几何意义及平移公式。第4小题，会求一些简单函数的反函数。第5小题，掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。第6小题，(理)了解空集和全集，属于、包含和相等关系的意义，掌握充要条件的意义；(文)掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。第7小题，掌握椭圆的标准方程和简单几何性质，理解椭圆的参数方程。第8小题，掌握直线方程的点斜式，了解线性规划的意义，并会简单的应用。第9小题，掌握同角三角函数的基本关系式，了解正弦函数、余弦函数的图像和性质。第10小题，能够画出空间两条直线、直线和平面各
种位置关系的图形，根据图形想像它们的位置关系，了解三垂线定理及其逆定理。第11小题，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。第12小题，掌握简单方程的解法。第13 小题，掌握简单不等式的解法。第14小题，(理)掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程；(文)掌握等比数列的通项公式。第15小题，(理)了解递推公式是给出数列的一种方法；(文)直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。第16小题，掌握斜线在平面上的射影。第17小题，(理)掌握两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解周期函数与最小正周期的意义；(文)掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式。第18小题，(理)了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列，并能根据其分布列求出期望值。(文)掌握两角和与两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解周期函数与最小正周期的意义。第19小题，( 理)掌握指数函数的概念、图像和性质；(文)会求多项式函数的导数，并会用导数求多项式函数的单调区间。第20小题，(理)掌握直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，掌握二面角、二面角的平面角的概念；(文)会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率，用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。第21小题，(理)掌握双曲线的定义、标准方程和简单几何性质，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算；(文)掌握直线和平面的距离的概念，掌握二面角、二面角的平面角的概念。第22小题，(理)了解数列通项公式
2020年高三第一次联合模拟考试 理科数学 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 . A.( , 1) (3, B.( , 1] [3, D.( , 1] [1, 4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数 n ，如 果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必然 是 1 ，这个题目在东方称为“角谷猜想” ，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各 种方 法，甚至动用了最先进的电子计算机， 验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确 的，但却给不出一般性的证明，例如取 n 13，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数 是（ ） A.9 B.10 C.11 D.12 5.已知 a ln3,b log 3 e,c log e (注 ：e 为自然对数的底 数） ，则下列关系正确的是 （ ） A.b a c B.c b a C.b c a D.a b c 6.已知在边长为 3 的等边 ABC 的中， 1 BD DC ，则 AD AC =( ) 2 A.6 B.9 C.12 D. 6 1.已知集合 A x 2 2x ，B 1 1 则 C R (A B) ( ) x 2.已知复数 za bi(a,b R)， z i1 是实数，那么复 数 z 的实部与虚部满足的关系式为 A.a B.a b C.a 2b 0 D.a 2b 0 3.已知 是两个不同的平面，直线 m ，下列命题中正确的是（ A.若 ，则 m ∥ B.若 ，则 m C.若 m ∥ ，则 ∥ D.若 m ，则 C.[3, )
绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国3卷) 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}12， D ．{}012， ， 2．()()12i i +-=（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i - D ．3i + 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫 卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
4．若1 sin 3 α=，则cos2α=（ ） A ．89 B ． 79 C ．79 - D ．89 - 5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 6．函数 ()2tan 1tan x f x x = +的最小正周期为（ ） A ． 4 π B ． 2 π C ．π D ．2π 7．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ） A ．()ln 1y x =- B ．()ln 2y x =- C ．()ln 1y x =+ D ．()ln 2y x =+ 8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2 222x y -+=上，则ABP ?面积的取值围是（ ） A ．[]26， B ．[]48， C ． D ．??
天津市高考十年数学试卷分折 目录 第一部分：选择题与填空题基本知识点分析 知识点:复数的基本概念与运算（历年都考）。重点：复数的乘除 运算。 试题类型：选择题；位置：第一题；难度：容易试题规律：复数的基本运算为必考试题，一般是放在选择的第一题, 作为全卷的第一题非常容易，起到稳定军心的作用，但此题绝对不能出错。 2?知识点:四种命题及充要条件（历年都考）。重点：充要条件判断、命 题的否定与否命题，考真假命题。 试题类型：选择题；难度：容易或中等 试题规律：都是与其它知识点结合，重点考查充要条件的判断。新课 标有转向全称与特称命题的趋势。充要条件的判断根本的一点是“小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围”，而范围经常是用图形来表示的，所以要用数形结合的思想来求解。 3?知识点:分式与绝对值不等式及集合。重点：解二次和分式不等 式、解绝对值不等式、集合间的子、交、并、补运算、用重耍不等式求最值。 试题类型：选择题；位置：前7题；难度：容易试题规律：经常与集合结合，含绝对值不等式。 4?知识点:三角函数图象性质，止余弦定理解三角形（考图象性质, 考解三角形）重点：化一公式、图象变换、函数y = Asin（血+ 0）的性质、止余弦定理解题。 试题类型：选择题；难度：容易或中等试题规律：常考查三角函数的单调
性、周期性及对称性；三角函数的图象变换。重点为y = Asin（祇+ 0）型的函数。 5?知识点:函数性质综合题（奇偶、单调、周期、对称等）、特别是 结合分段函数是新课标的考查重点（每年都考）试题类型：选择题；位置：选择后3题；难度：较难试题规律：是必考题。重点考查函数的奇偶、单调、周期、对称等性质的综合。结合分段函数是新课标的考查重点 6?知识点:圆锥曲线定义及几何性质有关问题（椭圆双曲线准线不 考）（抛物线定义、双曲线渐近线与抛物线相交）试题类型：选择题；位置：前五题；难度：容易试题规律：考三种圆锥曲线各自的独特性，椭圆的定义、双曲线的渐近线、抛物线的定义，直线与圆锥曲线 7?知识点:抽样统计小题是趋势 试题类型：填空题；难度：中等或容易 试题规律：抽样方法，概率与统计，重要不等式的应用，分层抽样应用题 &知识点:直线与圆（常与参数方程极坐标等结合，主要是直线与圆相切或相割） 试题类型：选择题或填空题；位置：前六题；难度：容易试题规律：重点考查直线与圆的基本题型，直线和圆相切、直线被圆截得弦长问题、圆与圆内外切及相交问题等。每年必考。 9?知识点:平面向量基本运算（加法、减法、数乘和数量积，以数 量积为主，近年常以三角形和平行四边形为载体）（每年必考）试题类型：选择题或填空题；位置：较靠前；难度：中档试题规律：注重向量的代数与几何特征的结合，基底的思想加强了考査，向量的几何特征进行考査，题目小巧而灵活。 10?知识点:排列与组合 试题类型：选择题或填空；容易或中等试题规律：有两个限制条件的排数问题，球入盒问题，涂色问题，排列卡片问题，排数问题。总的看是以考查排列问题为主，考查的是基本的分类与分步思想。有成为选择或填空压轴题的趋势。
东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试 文科数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条 形码 区域内。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求． １．已知集合2{0,},{30},A b B x Z x x ==∈-<若,A B ≠?则b 等于（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ． 1或2 =（ ） Ａ．i Ｂ．i - Ｃ．)i Ｄ．1i + ３． ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则“a b >”是“cos2cos2A B <”的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ４．向量a,b 满足1,)(2),==+⊥-a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为（ ） Ａ．45? Ｂ． 60? Ｃ． 90? Ｄ． 120? ５．实数m 是[]0,6上的随机数，则关于x 的方程2 40x mx -+=有实根的概率为（ ） Ａ． 14 Ｂ． 13 Ｃ．12 Ｄ．23 ６．已知三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积是 （ ）
2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷） 文科数学(必修+选修) 本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I 卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。 3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 34 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 一、选择题 (1)cos 300?= (A)2 - 12 (C) 12 (D) 2 1.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1co s 300co s 36060co s 602 ?=?-?=?= (2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ?=e A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,5 2.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】{}2,3,5U M =e，{}1,3,5N =，则()U N M ?=e{}1,3,5{}2,3,5?={}3,5
2016年高考数学试卷分析 随着2016年高考的结束，，作为一线教师，也应该是对今年的高考试题进行一番细致的研究了。陕西省是即课改后首次使用全国卷。2015年的陕西卷已经为下一年的平稳过度做好了铺垫。首先在题型设置上，与全国卷保持一致，这已给师生做好了思想工作，当2016年的高考数学进入人们眼帘的时候，似乎也不是很陌生，很有老朋友相见的感觉。 今年的全国卷数学试题从试题结构与去年相比变化不大，严格遵守考试大纲说明，五偏题，怪题现象。试卷难度呈阶梯型分布，试题更灵活。入口容易出口难，有利于高校选拔新生。 一、总体分析： 1,试题的稳定性: 从文理试卷整体来看，考查的内容注重基础考查，又在一定的程度上进行创新。知识覆盖全面且突出重点。高中知识“六大板块”依旧是考查的重点。无论大小体目90%均属于常规题型，难度适中。是学生训练时的常见题型。其中，5，15，18注重考查了数学在实际中的应用能力。这就提示我们数学的教学要来源实际，回归生活，既有基础与创新的结合，又能增
加学生的自信心，发挥自己的最佳水平。 试题的变化： 有些复课中的重点“二项式定理”，“线性规划”，“定积分”。“均值不等式”等知识点并没有被纳入，而“条件概率”则出现在大题中，这也对试题的难度进行区分。 在难度方面，选择题的12题，填空题的16题，对学生造成较大困扰。这也有利于对人才的选拔。解答题中的20，21题第一问难度适中，第二问都提高了难度。这也体现了入口易，出口难，对人才的选拔非常有利。 今年的高考数学试题更注重了试题的广度，而简化了试题的深度。而这对陕西高考使用全国卷的过度上起到了承上启下的作用。平稳过度已是事实。给学生，教师都增加了信心。 试题的详细分析： 选择题部分 （1），考查复数，注重的是知识点的考查。对负数的运算量则降低要求，这要求我们不仅要求对运算过关，更强调知识点的全面性（2）集合的运算：集合的交并补三种运算应是同等对待。在平时的教学中，出现的交集运算比较多，。并集，补集易被忽略。（而
2018东北三省三校一模考试数学文科试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合{}*2,A x x x N =≤∈，{} 2,B y y x x R ==∈，则A B =I ( ) A.{}0x x ≥ B.{}1x x ≥ C.{}1,2 D.{}0,1,2 2.已知复数z 满足()12i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于( ) A.1i - B.1i + C.1122 i - D.1122 i + 3.在下列向量中，可以把向量()3,1a =-r 表示出来的是( ) A.()10,0e =u r ，()23,2e =u u r B.()11,2e =-u r ，()23,2e =u u r C.()13,5e =u r ，()26,10e =u u r D.()13,5e =-u r ，()23,5e =-u u r 4.在区间()0,3上任取一个实数x ，则22x <的概率是( ) A.23 B.12 C.13 D.14 5.抛物线24y x =的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1 C.14 D.18 6.已知,a b 都是实数，p ：直线0x y +=与圆()()2 2 2x a y b -+-=相切；q ：2a b +=，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》，执行该程序框图若输出的4a =，则输入的,a b 不可能为( ) A.4，8 B.4，4 C.12，16 D.15，18 8.已知函数()sin 3f x x π? ?=+ ?? ?，则下列说法不正确的是( ) A.()f x 的一个周期为2π B.()f x 向左平移 3 π 个单位长度后图象关于原点对称 C.()f x 在7,66ππ?? ???? 上单调递减 D.()f x 的图象关于56 x π =- 对称
2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（） A．2个B．4个C．6个D．8个 2．（5分）复数=（） A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i 3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+4D．y=2﹣|x| 4．（5分）椭圆=1的离心率为（） A．B．C．D． 5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（） A．120B．720C．1440D．5040 6．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）
A．B．C．D． 7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（） A．﹣B．﹣C．D． 8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（） A．B．C．D． 9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（） A．18B．24C．36D．48 10．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称 B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称 C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称 D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称 12．（5分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（） A．10个B．9个C．8个D．1个
B题-无线回传拓扑规划 1.背景介绍 在城区建设基站，传输光纤部署最后一公里的成本高，光纤到站率低，全球综合来看低于60%；如果使用微波传输，由于微波只能在LOS（视距）场景下部署，而城区场景中LOS信道比例低于50%。 在农村网建设基站，单站业务量低，收入低，ROI（投资回报率）差，运营商建站对成本较为敏感。卫星传输租金、光纤传输建设费用对于运营商是很大的负担，而如果使用微波传输，对于相当一部分站点需要提升铁塔高度来满足微波的LOS场景要求，铁塔费用的增加对于运营商来说同样是不小的负担。 Relay无线回传方案利用FDD LTE或TDDLTE制式承载来为站点回传，相对微波有较强的NLOS（非视距）传输能力，可以解决城区、农网等场景下的传统传输方式不可达的问题，同时在部分场景下也可以替代微波，有效降低站高，节省加站费用。 图1 Relay架构 RRN（eRelay Remote Node），是Relay方案中的无线回传设备，它用于为基站提供无线回传服务。如图1所示。Relay组网包含宿主基站DeNB和中继站RN两个逻辑节点： ?DeNB是在普通基站（DeNB）上增加了Relay功能，DeNB支持普通手机（UE）接入，也支持RRN的接入； ?RN包括RRN和ReBTS两部分。RRN通过无线信号接入DeNB并建立空口承载； ReBTS可供覆盖范围内的UE接入；ReBTS的传输由RRN提供
为了方便理解，这里分别将DeNB和RRN称作宿主站和子站，一个宿主基站通常可以有1~3个宿主小区，分别覆盖不同的方向（可理解为扇区的定义），如图2所示。图2中方块代表子站，每个宿主小区可以接入一定数量的子站，子站与子站之间可以级联（即多跳），但跳数有限制。 图2 Relay拓扑关系示意图 2.任务表述 2.1任务简述 本任务中，在给定一个地区中候选站点的位置分布的情况下，参赛队伍需要根据站点间的相互位置、站点间拓扑关系限制等条件，在满足一定回传质量（本次任务仅根据宿主站与子站的距离是否满足某门限来判断是否满足最低回传质量要求。而实际Relay部署时，影响回传质量的因素包括距离、地形阻挡、普通手机接入影响、ReBTS干扰、相邻基站干扰等多种复杂因素）的前提下，设计成本最优的部站方案，包括： ?候选站点是安装子站还是宿主站？ ?候选站点间的连接关系如何？ 结合现网中对于无线回传拓扑规划问题的具体需求，算法还应该具有以下特点：算法收敛速度快、尽可能覆盖更多的站点。
2014年四川高考数学试卷分析 今年四川数学高考的试卷结构、题目数量、分值分布、主干知识的考查 都保持了去年的总体风格，10道选择、5道填空、6道解答题。相比与去年，很多考生考下来的第一反应是题目难度有所增加，下面就以下几方面对本试题实行分析。 一、紧扣考纲，突出导向 今年新发的考纲和2013年相比有一些变化，对数的运算和性质从B级提升到C级，在选择题第9题、填空题第15题级解答题第19题都有所体现。在今的考纲中新增了数列与函数的关系、增强了基本初等函数的导数公式，在解答题19题中体现出来了数列、函数、导数的综合应用。因为数列解答题和去年相比的大幅变化，加上本道题中对数及求导公式的应用，使得很多考生没有很大把握，这也算考生下来说试题难的一个重要原因。 二、重视基础，突出主干 全卷重视基础知识的全面考查，所涉及的知识点覆盖了整个高中数学的所有知识板块；试题突出主干知识的重点考查，对高中数学中的函数与导数、三角函数、概率统计、解析几何、立体几何、数列、向量、不等式等实行了重点考查。重视对基础知识和通性通法的考查，保证了试卷的内容效度，有利于引导高中数学教学在注重基础知识的同时突出核心和主干、回归数学本质。 三、重视思想，突出水平 数学全卷注重考查学生对数学基本概念、重要定理等的理解与应用，注意控制和减少繁琐的运算，体现了“多想少算”的命题理念。尤其是17题以一款击鼓游戏为背景设置问题情境，考查概率统计的基础知识，特别是第（Ⅲ）题要求使用概率统计知识分析并说明若干盘游戏后积分减少的原因，引导考生用数学的眼光审视游戏过程，通过概率和数学期望的计算，对游戏及其规则实行理性分析，真切体会“用数据说话”的统计思想方法。21题体现了数学学科的抽象性和科学性，解答时需要考生借助几何直观发现解题思路和结论，用严谨的逻辑推理实行证明，整个解答过程需经历“画图-观察-探究-发现-证明”的过程。 总体来说，今年的高考题紧扣了教学大纲和考纲，体现了水平立意，具有很好的信度效度和区分度，对一线的数学教学具有很好的指导性。
2021届东北三省三校高三第一次联合模拟考试 文科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合1|02x A x x +?? =
A ． 112 B ． 130 C ． 16 D ． 160 7.已知数列{}n a 是等差数列，满足1252a a S +=，下列结论中错误的是（ ） A ．90S = B ．5S 最小 C ．36S S = D ．50a = 8.函数()sin()f x x ω?=+（0ω>，2 2 π π ?-<< ）在区间( ,)42 ππ内是增函数，则（ ） A ．()14 f π =- B ．()f x 的周期为2 π C ．ω的最大值为4 D ．3( )04 f π = 9.如图是用二分法求方程320x -=近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（ ） A ．a m =，b m = B ．b m =，a m = C ．()a f m =，()b f m = D ．()b f m =，()a f m =
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国 卷Ⅱ) 文科数学（必修+选修Ⅰ） 注意事项： 1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分， 考试时间120分钟． 2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的 位置上． 3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹 清楚 5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或 在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 4π3 V R = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…， 一、选择题 1．cos330=（ ） A ． 12 B ．12 - C D ．2．设集合{1 234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B =e（ ） A ．{2} B ．{3} C ．{124}，， D ．{1 4}，
高三数学文科试卷分析 庄德春 一、试题分析： 这次试卷题的难易设计从试卷卷面可以看出，各个题的难易普遍比较平和，本次试卷，能以大纲为本，以教材为基准，基本覆盖了平时所学的知识点，试卷不仅有基础题，也有一定的灵活性的题目，能考查学生对知识的掌握情况，实现体现了新课程的新理念，试卷注重了对学生思维能力，1题到6题，运算能力，计算能力，解决问题的考查，7到12题，且难度也不大，在出题方面应该是一份很成功的试卷。对高三后期复习起到指导作用。 二、考试情况: 选择题 第1题，学生对集合元素的互异性掌握不好。 第2题，对命题的否定形式掌握挺好，但是本质掌握不透彻。 第4题，对于函数零点的判断依据记不住。 第5题，三角函数图像平移问题，X的系数忘了提出来。 第9题，对于相性规划，求目标函数最值问题的掌握。 第11题，处理复杂问题的能力不够，导数运算理解能力差。 第12题，这个题得分率很低，反应出学生对周期函数的理解力还待有很大提高。 填空题 第14题，这个题失分，反映出学生对最基本的不等式理解不
够。 第16题，学生对于解三角形，以及二倍角公式掌握不熟练，正，余弦定理掌握不牢。 解答题 第17题，第一问是直接套数列通项公式的求法公式，第二问是用裂相相消法求和，理解力差，计算差。总体得分还可以。 第18题，考查三角函数基本关系，正弦定理，余弦定理，解三角形，学生得分率不高，答题情况一般，主要是公式不熟练。 第19到第20题，几乎没怎么得分，一个是能力不行，再就是没有时间做。 三、存在问题： 学生对基础知识的掌握不扎实，一些易得分的题也出现失分现象，对所学知识不能熟练运用，对知识的掌握也不是很灵活，造成容易的失分难的攻不下的两难状况。学生的运算能力、空间想象能力和逻辑思维能力都很差。 四、改进意见： 一些学生的学习方法有待改进，一些学生的复习方法不对，加强教会学生学会自己归纳总结，可以把相似的和有关联的一些题总结在一起，也可以把知识点相同或做题方法相同的题总结在一块，这样便于复习，也省时，还有效果。加强学生对基础知识、基本技能、基本方法和数学思想的培养，增强学生灵活运用数学知识的能力和识别数学符号、阅读理解数学语言的能力。
2018年东北三省三校一模考试(数学理科)
2018年东北三省三校一模考试（数学理科） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分 1.复数21i i +的模为( ) A.12 B.2 C.2 D.2 2.已知集合{}29A x y x == -，{}B x x a =≥，若A B A =，则实数a 的取 值范围是( ) A.(],3-∞- B.(),3-∞- C.(],0-∞ D.[)3,+∞ 3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( ) A.14 B.12 C.13 D.23 4.已知1sin 33a π??-= ???，则5cos 6a π??-= ??? ( ) A.13 B.13- C.22 D.2- 5.中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点()2,4-，则它的离心率为( ) A.5 B.2 C.3 D.5 6.()52121x x ??+- ???展开式中的常数项是( ) A.12 B.12- C.8 D.8- 7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体 的体积是3，则正视图中的x 的值是( ) A.32 B.92 C.1 D.3 8.已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω= +>的图象的相邻两
______________. 15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科A 、B 、C ，已知： ①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教C 学科； ③在长春工作的教师教A 学科；④乙不教B 学科.可以判断乙教的学科是______________. 16.已知函数()2 1ln 2f x x x x =+，0 x 是函数()f x 的极值点，给出以下几个命题： ①010x e <<；②01x e >；③()000f x x +<；④()000f x x +>； 其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号) 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知正项数列{}n a 满足：2423n n n S a a =+-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设211n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
2018年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={0，2}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，2}B．{1，2} C．{0}D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 2．（5分）设z=+2i，则|z|=（） A．0B．C．1D． 3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是（） A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）已知椭圆C：+=1的一个焦点为（2，0），则C的离心率为（） A．B．C．D． 5．（5分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的
平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A．12πB．12πC．8πD．10π6．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 7．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（） A．﹣B．﹣C．+D．+ 8．（5分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（） A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3 B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4 C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3 D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4 9．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（） A．2B．2C．3D．2 10．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C 所成的角为30°，则该长方体的体积为（） A．8B．6C．8D．8 11．（5分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）A．B．C．D．1
2018年东北三省数学建模联赛B 题
B题-无线回传拓扑规划 1.背景介绍 在城区建设基站，传输光纤部署最后一公里的成本高，光纤到站率低，全球综合来看低于60%；如果使用微波传输，由于微波只能在LOS（视距）场景下部署，而城区场景中LOS信道比例低于50%。 在农村网建设基站，单站业务量低，收入低，ROI（投资回报率）差，运营商建站对成本较为敏感。卫星传输租金、光纤传输建设费用对于运营商是很大的负担，而如果使用微波传输，对于相当一部分站点需要提升铁塔高度来满足微波的LOS场景要求，铁塔费用的增加对于运营商来说同样是不小的负担。 Relay无线回传方案利用FDD LTE或TDDLTE制式承载来为站点回传，相对微波有较强的NLOS（非视距）传输能力，可以解决城区、农网等场景下的传统传输方式不可达的问题，同时在部分场景下也可以替代微波，有效降低站高，节省加站费用。 图1 Relay架构 RRN（eRelay Remote Node），是Relay方案中的无线回传设备，它用于为基站提供无线回传服务。如图1所示。Relay组网包含宿主基站DeNB和中继站RN两个逻辑节点： ?DeNB是在普通基站（DeNB）上增加了Relay功能，DeNB支持普通手机（UE）接入，也支持RRN的接入； ?RN包括RRN和ReBTS两部分。RRN通过无线信号接入DeNB并建立空口承载；ReBTS可供覆盖范围内的UE接入；ReBTS的传输由RRN提供
2.2 输入输出 1）输入： 每个地区内，所有站点列表，包括： ?站点经纬度； ?站型：RuralStar或蝴蝶站； 各种站型的综合成本，包括： ?宿主站的综合成本； ?子站的综合成本； ?卫星设备成本； 2）约束 输出的拓扑关系，应满足如下限制条件： ?首跳距离≤20km，之后每跳距离≤10km ?站点包含RuralStar和蝴蝶站两种不同站型；其中，RuralStar共包含1个扇区，蝴蝶站共包含2个扇区；若该站点为宿主站，则每个扇区第一级最大接入子站数4，最大总接入子站数6；为了简化问题，暂不考虑蝴蝶站的扇区覆盖方向； ?宿主站之间采用微波连接，最大通信距离为50KM ?宿主站和子站以及子站之间采用无线回传连接 ?每个子站最多只能有2条无线回传连接； ?任意子站只能归属一个宿主站，到达所属宿主站有且只有一条通路，且该通路包含的跳数小于等于3 ?任意宿主站都有且只有一颗卫星负责回传，成片连接的宿主站可共享同一颗卫星，但一颗卫星最多只能负担8个成片宿主站的回传数据 ?成片宿主站中，宿主站总数不设上限 例如，如下图所示的连接关系中 ?宿主小区2不满足“每个扇区第一级最大接入数4，最大总接入数6”?子站1、子站2不满足“任意子站只能归属一个宿主站，到达所属宿主站有且只有一条通路” ?子站4不满足“任意子站只能归属一个宿主站，到达所属宿主站有且只有一条通路，且该通路包含的跳数小于等于3”中的“跳数小于等于3”