例如.方程
3x - 4y - z ?9 = o 表示一个平面.n=（3./.1）是这平面的一个法线向量.
对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点.
当D =o时，方程（二）成为Ax By Cz二o,它表示一个通过原点的平面.
当A=o时，方程（：）成为By Cz + D = o,法线向量n二（o B C）垂直于x轴.方程表示一个平行于x轴的平面.
同样，方程Ax Cz ^o和Ax+By ^o，分别表示一个平行于 y轴和z轴的平面.
当A = B = o时，方程（2）成为Cz + D = o或z = --D .法线向量n=（o . o .C）同时垂直于x 轴和y轴.方程表示一个平行于 xOy面的平面.
同样，方程 Ax D二o和By - D = o,分别表示一个平行于yOz面和xOz面的平面.
例3 求通过x轴和点（4 3 1）的平面的方程.
解由于平面通过x轴.从而它的法线向量垂直于x轴.于是法线向量在 x轴上的投影为
零，即A又由平面通过 x轴，它必通过原点，于是 D=o.因此可设这平面的方程为
By Cz = o 又因为这平面通过点（4 . -3 .-1）.所以有
-3B - C — o 或 C 二「3B ,
以此代入所设方程并除以 B （B-o）.便得所求的平面方程为
y - 3z - o 例4设一平面与 x、y、z轴的交点依次为 P （a .
o . o）、Q（o . b . o）、R（o . o. c）三点（图8 — 52）.求这平面的方程（其中a=0 .b=0 .c=0）.
解设所求平面的方程为
Ax By Cz D 二0 .
两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角， 设平面］」1和」2的法线向量依次为
叫=(人1 .B1 .C1)和
n 2=(A 2 B 2 .C 2).那么平面 二1和1」2的夹角二(图8- 53)应
A
A
A
疋(n 1 , n 2)和(71, n 2)=兀一(山，敗)两者中的锐角.因此.
A
cos 日Wcosg ,改)| “按两向量夹角余弦的坐标表示式 .平面 二1和平面二2的
夹角二可由
八
A
|A 1A^+B 1B+C 1C 2|
cos
曲
cos(n1, n2)|
SFCF7IFBFCI
来确定
从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： 二1和二2互相垂直相当于A 1 A 2 B 1B 2
C 1C 2二0 ;
-1和二2互相平行或重合相当于
△
,
A B 2 C 2
例5 求两平面 x -y - 2z - 6 = 0和2x y - z - 5 = 0的夹角 解 m=(A 1
.B 1 C 1)=(1、—1 . 2)
. n 2=(A 2.B 2.C 2)=(2 . 1 . 1).由公式(6) A
2 B 2
C 2
\ A B 2
c 2 J 2
(T )2
22 ,22 12 12
因此.所求夹角为-:
3
例6 一平面通过两点 M 1(1 .1 .1)和M 2(0 . 1
1)且垂直于平面x+y+z=0.求它的方程，
解 方法一：已知从点M 1到点M 2的向量为M 1M 2 =(—1 ? 0,-2).平面x+y 七=0的法线向量 为
因为P (a .0 .0)、Q (0 b .0)、R (0 . 0 .c)三点都在这平面上 .
所以点P 、Q 、R 的坐标都满足所设的方程；即有
aA D =0, bB D =0,
A 」 a 以此代入所设方程
B = ￥
C 诗 .得
除以 D (D =0), D D D
x y z D =0 a b '
c
便得所求的平面方程为
(5)
方程(5)叫做平面的截距式方程.而a 、b 、c 依次叫做平面在
x 、 y 、 z 轴上的截距
三、
两平面的夹角
|1 2 (-1) 1 2 1|
cos ) -
1
A 1A 2
B 1B
2 C
1C
2 1
5=(1 .1 .1) “
因为点M i(i . 1.1)和M2(0.1,—1)在所求平面上.所以n丄M1M2 .即有 _A-2C=0 .
又因为所求平面垂直于已知平面x y z^0所以n \n1即
A B C^0
由( 7)、( 8)得到
A= -2C，
B=C .
由平面的点法式方程可知.所求平面方程为
A(x_1)+B(y_1)+C(z_1)=0.
将A= /C及B=C代入上式，并约去 C (C M 0),便得
-2 ( x - 1 ) ( y - 1 ) ( z - 1 ) = 0 .
或 2 x -y -z = 0 ,
这就是所求的平面方程.
方法二：从点M1到点M2的向量为M J M2 =(-1 . 0. -2).平面x y
n匸(1 . 1 . 1),
所求平面的法线向量n可取为
—、i j k
n — M1M2X n 1 = —1 0 —2 = 2i — j — k .
1 1 1
所以所求平面方程为
2 ( x - 1 ) - ( y - 1 ) - ( z - 1 ) = 0 . 即
2 x -y -z 二0 .
例7 设P°(X0 y0 ,z0)是平面Ax亠By亠Cz亠D =0外一点求P0到这平面的距离(图 8- 54).
解在平面上任取一点p1(x1 y1 z” .并作一法线向量n,
- 、
由图8- 54,并考虑到 RP。与n的夹角二也可能是钝角，得所求的距离
d = Prj n
设e n为与向量n方向一致的单位向量，那么有
Prj n P1P0 = P1P0 e n,
(7)
(8) z = 0的法线向量为
二-1
、A2 B2 C2
(A, B, C),
RP° =(x。—X" y。—y-z。一弓),
图 8 —
Prj n P i P o = P i P o e n
_A(X°—N) B(y o—yJ C(Z o—w)
^B^C2
V'A
A X0 By0 C Z^(A X1 By1 Cz1)
J A2+B2+C2
由于Ax1 By1 Cz1= 0 ,
所以Prj n P i P o^AX o By o C Z0 D
J A2+B F
由此得点 P o(x o .y o .z o)到平面 Ax+By+Cz+D=0的距离公式
|Ax o By o Cz o D|
d ----------------
(9)
JA2+B24C2
例如，求点(2.1 .1)到平面x勺-Z州=o的距离，可利用公式(9),便得
d_|AX o By。Cz。D| = |1 2 1 1 -1 1 1丨=3 二3
一 .A2 B2 C21212(_1)2 3 '
习题8- 5
1.求过点(3, 0, -1 )且与平面3x-7y，5z-12=0平行的平面方程.
2.求过点M°(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M °的线段OM °垂直的平面方程.
3.求过1,1,-1、( -2, -2, 2)和(1, -1, 2)三点的平面方程.
4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面.
(1)x =0; (2) 3y _1 =0 ；
(3) 2x -3y -6 = 0 ；(4) X- 3y = 0;
(5) y z =1 ；(6) x「2z 二0；
(7) 6X 5y -z = 0 .
5.求平面2x -2y ? z ? 5 =0与各坐标面的夹角的余弦.
6.一平面过点1,0, -1且平行于向量a = 2,1,1和b - 1,-1,0，试求这平面方程.
7.求三平面X 3y ■z=1,2x-y-z=0, -x，2y 2^3 的交点.
&分别按下列条件求平面方程:
(1)平行于xOz面且经过点2,-5,3 ;
(2)通过z轴和点-3,1,-2 ；
(3)平行于x轴且经过两点4,0,-2和5,1,7 .
9.求点1,2,1至呼面x?2y?2z-10 = 0的距离.
总习题八
1. 填空:
(1)设在坐标系［O; i,j,k ］中点A和点M的坐标依次为x 0, y0, Z0和x, y, z ,则在
［A;i, j, k］坐标系中，点M的坐标为，向量OM的坐标为
⑵ 设数、、匕、‘3不全为0，使’代■ ■ zb uj c = 0，则a、b、c三个向量是
的.
(3) 设a = 2,1,2 , b = 4, -1,10 , c = b - ■ a,且a _ c,则，=
设a\= 3, b = 4,可=5,且满足 a + b + c = 0,
2. 在y轴上求与点A 1,-3,7和点B 5,7,-5等距离的点.
3. 已知△ ABC的顶点为A 3,2,-1、B 5,-4,7和C -1,1,2，求从顶点C所引中线的长度.
4. 设△ ABC的三边BC = a、CA = b、AB = c，三边中点依次为D、E、F，试用向量
a、b、c表示AD、BE、CF，并证明
AD BE CF =0
5. 试用向量证明三角形两边中点的连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半.
6. 设| a b|=| a-b |, a = 3,-5,8, b F-1,1, z ,求z .
7. =v3, b = 1, (a, b)=—，求向量a + b 与 a - b 的夹
角.
8.设 a 3b _ 7a -5b , a -4b _ 7a - 2b ,求(a , b ).
9.
设a =：Z-1,-2 , b 二1,1, z ,问z 为何值时，(a , b )最小？并求出此最小值.
A
n 十
10.
设| a |=4,| b |=3, (a , b ) ，求以a 2b 和a -3b 为
边的平行四边形的面积.
6
11. 设 a = [2, -3,1 , b = 1,-2,3 , c = 2,1,2 ,向量 r 满足 r _ a , r _ b ,Pr j c r
= 14,求 r .
设a = -1,3,2 , b= 2,-3,-4, c 二-3,12,6 ,证明三向量a , b , c 共面，并用a 和b 表示c .
13. 已知动点M x,y,z 到xOy 面的距离与点M 到点1,-1,2的距离相等，求点M 的轨迹的方程.
14. 指岀下列旋转曲面的一条母线和旋转轴：
2 2 2
⑴
z
= 2x 2
y 2 ； ⑵36晋佥"；
36
9 36
2 2
2 川 2 丄 2、
2
y z
(3) z ^3x y ； (4) x
1 . 4
4
15. 求通过点A 3,0,0和B 0,0,1且与xOy 面成一角的平面的方程.
3
16. 设一平面垂直于平面Z = 0，并通过从点(1,—1,1 )到直线丿y
一 z
十1
一 0
的垂线，求此平面的
x = 0
方程.
,
、
x +1 y —3 z 丄、从
17.
求过点 -1,0,4，且平行于平面3x -4y ，z -10=0，又与直线
相交的
1 1 2
直线的方程.
18. 已知点A 1,0,0
及点B 0,2,1，试在z 轴上求一点6使厶ABC 的面积最小.
20. 求锥面z =、_x 2
y 2
与柱面z 2
=2x 所围立体在三个坐标面上的投影. 21. 画出下列各曲线所围立体的图形： (1) 抛物柱面2y 2
二x ，平面z=0及-1
- = 1 ；
4 2 2
12. 19. 求曲线
z = 2 _ x 2 _ y 2
Z = (x -1 f +(y -1
在三个坐标面上的投影曲线的方程.
2
⑵ 抛物柱面x = 1 一z，平面y=0, z = 0及x y = 1 ；
、1 2 2 2 2
⑶ 圆锥面z二.x y及旋转抛物面z = 2 - x - y ；
