一、中考数学压轴题
1.如图,在矩形ABCD 中,6AB cm =,8AD cm =,连接BD ,将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△(B ′与B 重合),且点D '刚好落在BC 的延长上,A D ''与
CD 相交于点E .
(1)求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分(如图1中阴影部分A B CE '')的面积; (2)将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移,如图2,当B ′移动到C 点时停止移动.设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ,移动的时间为x ,请你直接写出y 关于x 的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围;
(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x ,使得AA B ''△成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的x 的值,若不存在,请你说明理由.
2.如图所示,在平面直角坐标系中,点(),C m m 在一三象限角平分线上,点(),0B n 在x 轴上,且m=2n -+2n -+4,点A 在y 轴的正半轴上;四边形AOBC 的面积为6 (1)求点A 的坐标;
(2)P 为AB 延长线上一点,//PQ OC ,交CB 延长线于Q ,探究OAP ∠、ABQ ∠、
Q ∠的数量关系并说明理由;
(3)作AD 平行CB 交CO 延长线于D ,BE 平分CBx ∠,BE 反向延长线交CO 延长线于,若设ADO α∠=,F β∠=,试求2αβ+的值.
3.在平面直角坐标系中,抛物线2
4y mx mx n =-+(m >0)与x 轴交于A ,B 两点,点B
在点A 的右侧,顶点为C ,抛物线与y 轴交于点D ,直线CA 交y 轴于E ,且
:3:4??=ABC BCE S S .
(1)求点A,点B的坐标;
(2)将△BCO绕点C逆时针旋转一定角度后,点B与点A重合,点O恰好落在y轴上,
①求直线CE的解析式;
②求抛物线的解析式.
4.我们知道,平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,如果两条数轴不垂直,而是相交成任意的角ω(0°<ω<180°且ω≠90°),那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系,两条数轴称为斜坐标系的坐标轴,公共原点称为斜坐标系的原点,如图1,经过平面内一点P作坐标轴的平行线PM和PN,分别交x轴和y轴于点M,N.点M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标,有序实数对(x,y)称为点P的斜坐标,记为P(x,y)
(1)如图2,ω=45°,矩形OABC中的一边OA在x轴上,BC与y轴交于点D,
OA=2,OC=1.
①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A,B,C.
②设点P(x,y)在经过O、B两点的直线上,则y与x之间满足的关系为.
③设点Q(x,y)在经过A、D两点的直线上,则y与x之间满足的关系为.
(2)若ω=120°,O为坐标原点.
①如图3,圆M与y轴相切原点O,被x轴截得的弦长OA=3,求圆M的半径及圆心M的斜坐标.
②如图4,圆M的圆心斜坐标为M(33y轴的距离为1,则圆M的半径r的取值范围是.
5.在学习了轴对称知识之后,数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究,请你跟随兴趣小组的同学,一起完成下列问题.
(1)(课本习题)如图①,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD.求证:DB=DE
(2)(尝试变式)如图②,△ABC是等边三角形,D是AC边上任意一点,延长BC至E,使CE=AD.
求证:DB=DE.
(3)(拓展延伸)如图③,△ABC 是等边三角形,D 是AC 延长线上任意一点,延长BC 至E ,使CE=AD 请问DB 与DE 是否相等? 并证明你的结论.
6.如图,矩形ABCD 中,AB =8,BC =12,E 是BC 边的中点,点P 在线段AD 上,过P 作PF ⊥AE 于F ,设PA =x . (1)求证:△PFA ∽△ABE ;
(2)当点P 在线段AD 上运动时,是否存在实数x ,使得以点P ,F ,E 为顶点的三角形也与△ABE 相似?若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由;
(3)探究:当以D 为圆心,DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点时,请直接写出DP 满足的条件: .
7.在平面直角坐标系xOy 中,对于点A 和图形M ,若图形M 上存在两点P ,Q ,使得
3AP AQ =,则称点A 是图形M 的“倍增点”.
(1)若图形M 为线段BC ,其中点()2,0B
-,点()2,0C ,则下列三个点()1,2D -,
()1,1E -,()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________;
(2)若O 的半径为4,直线l :2y x =-+,求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范
围;
(3)设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ,H ,OT 的半径为4,圆心T 是x 轴上的动点,若线段GH 上存在T 的倍增点,直接写出圆心T 的横坐标的取值范围. 8.问题背景:如图(1),ABC 内接于
O ,过点A 作O 的切线l ,在l 上任取一个
不同于点A 的点P ,连接PB PC 、,比较BPC ∠与BAC ∠的大小,并说明理由.
问题解决:如图(2),A (0,2)、B (0,4),在x 轴正半轴上是否存在一点P ,使得
cos APB ∠最小?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
拓展应用:如图(3),四边形ABCD 中,//AB CD ,AD CD ⊥于D ,E 是AB 上一点,AE AD =,P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点,若8AB =,11CD =,
tan 2C =,9DEP
S
=,求sin APB ∠的最大值.
9.定义:两个相似等腰三角形,如果它们的底角有一个公共的顶点,那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”.如图,在ABC ?与AED ?中,,BA BC EA ED == ,且
,ABC
AED ??所以称ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,设它们的顶角为α,连接
,EB DC ,则称
DC
EB
会为“关联比". 下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程,请阅读后,解答下列问题: [特例感知]
()1当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且90α?
=时,
①在图1中,若点E 落在AB 上,则“关联比”
DC
EB
=
②在图2中,探究ABE ?与ACD ?的关系,并求出“关联比”
DC
EB
的值.
[类比探究]
()2如图3,
①当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且120a ?=时,“关联比”
DC
EB
= ②猜想:当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且n α=?时,“关联比”DC
EB
= (直接写出结果,用含n 的式子表示) [迁移运用]
()3如图4, ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”.若90,4,ABC AED AC ?∠=∠==点
P 为AC 边上一点,且1PA =,点E 为PB 上一动点,求点E 自点B 运动至点P 时,点
D 所经过的路径长.
10.如图,在ABC 中,90ABC ∠=?,AB BC <,O 为AC 中点,点D 在BO 延长线上,CD BC =,AE BC ∥,CE CA =,AE 交BD 于点G . (1)若28DCE ∠=?,求AOB ∠的度数; (2)求证:AG GE =; (3)设DC 交GE 于点M .
①若3AB =,4BC =,求::AG GM ME 的值;
②连结DE ,分别记ABG ,DGM ,DME 的面积为1S ,2S ,3S ,当AC DE 时,123::S S S = .(直接写出答案)
11.如图,一张半径为3cm 的圆形纸片,点O 为圆心,将该圆形纸片沿直线l 折叠,直线
l 交O 于A
B 、两点.
(1)若折叠后的圆弧恰好经过点O ,利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l (不写作法,保留作图痕迹),并求此时线段AB 的长度. (2)已知M 是
O 一点,1cm OM =.
①若折叠后的圆弧经过点M ,则线段AB 长度的取值范围是________. ②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ,则线段AB 的长度为_________cm . 12.如图1,已知抛物线218
33
y x x c =-
-+与x 轴相交于A 、B 两点(B 点在A 点的左侧),与y 轴相交于C 点,且10AB =.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)如图2,D 点在x 轴上,且在A 点的右侧,E 点为抛物线上第二象限内的点,连接
ED 交抛物线于第二象限内的另外一点F ,点E 到y 轴的距离与点F 到y 轴的距离之比为3:1,已知4
tan 3
BDE ∠=,求点E 的坐标;
(3)如图3,在(2)的条件下,点G 由B 出发,沿x 轴负方向运动,连接EG ,点H 在
线段EG 上,连接DH ,EDH
EGB ∠=∠,过点E 作EK DH ⊥,与抛物线相交于点
K ,若EK EG =,求点K 的坐标.
13.在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点
A C 、(点A 在点C 的左侧),与y 轴正半轴交于点
B ,24O
C OB ==. (1)如图1,求a m 、的值;
(2)如图2,抛物线的顶点坐标是M ,点D 是第一象限抛物线上的一点,连接AD 交抛物线的对称轴于点N ,设点D 的横坐标是t ,线段MN 的长为d ,求d 与t 的函数关系式;
(3)如图3,在(2)的条件下,当15
4
d =时,过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ,点
P 是x 轴下方抛物线上的一个动点,连接PE 交x 轴于点F
,直线2
11
y x b =+经过点D 交EF 于点G ,连接CG ,过点E 作EH CG 交DG 于点H ,若3CFG EGH S S =△△,求点
P 的坐标.
14.在平面直角坐标系xOy 中,点A 为x 轴上的动点,点B 为x 轴上方的动点,连接
OA ,OB ,AB .
(1)如图1,当点B 在y 轴上,且满足OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点
P ,请直接写出P ∠的度数;
(2)如图2,当点B 在y 轴上,OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ,点C 在BP 的延长线上,且满足45AOC ∠=?,求
OAB
OCB
∠∠;
(3)如图3,当点B 在第一象限内,点P 是AOB ?内一点,点M ,N 分别是线段OA ,
OB 上一点,满足:1902
APB AOB ∠=?+∠,PM PN =,180ONP OMP ∠+∠=?.
以下结论:①OM ON =;②AP 平分OAB ∠;③BP 平分OBA ∠;④AM BN AB +=.
正确的是:________.(请填写正确结论序号,并选择一个正确的结论证明,简写证明过程).
15.已知抛物线2
y ax bx c =++过点(6,0)A -,(2,0)B ,(0,3)C -. (1)求此抛物线的解析式;
(2)若点H 是该抛物线第三象限的任意一点,求四边形OCHA 的最大面积; (3)若点Q 在y 轴上,点G 为该抛物线的顶点,且45GQA ∠=?,求点Q 的坐标. 16.如图,在长方形ABCD 中,AB =4cm ,BE =5cm ,点E 是AD 边上的一点,AE 、DE 分别长acm .bcm ,满足(a -3)2+|2a +b -9|=0.动点P 从B 点出发,以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动,最终到达点D ,设运动时间为t s . (1)a =______cm ,b =______cm ;
(2)t 为何值时,EP 把四边形BCDE 的周长平分?
(3)另有一点Q 从点E 出发,按照E→D→C 的路径运动,且速度为1cm/s ,若P 、Q 两点同时出发,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动.求t 为何值时,△BPQ 的面积
等于6cm2.
17.如图,在⊙O中,直径AB=10,tanA=3
.
(1)求弦AC的长;
(2)D是AB延长线上一点,且AB=kBD,连接CD,若CD与⊙O相切,求k的值;
(3)若动点P以3cm/s的速度从A点出发,沿AB方向运动,同时动点Q以3
2
cm/s的速
度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为t (0<t<10
3
),连结PQ.当t为何值时,
△BPQ为Rt△?
18.已知四边形ABCD为矩形,对角线AC、BD相交于点O,AD=AO.点E、F为矩形边上的两个动点,且∠EOF=60°.
(1)如图1,当点E、F分别位于AB、AD边上时,若∠OEB=75°,求证:DF=AE;(2)如图2,当点E、F同时位于AB边上时,若∠OFB=75°,试说明AF与BE的数量关系;
(3)如图3,当点E、F同时在AB边上运动时,将△OEF沿OE所在直线翻折至△OEP,取线段CB的中点Q.连接PQ,若AD=2a(a>0),则当PQ最短时,求PF之长.
19.在△ABC中∠B=45°,∠C=30°,点D为BC边上任意一点,连接AD,将线段AD绕A 顺时针旋转90°,得到线段AE,连接DE.
(1)如图1,点E落在BA的延长线上时,∠EDC= (度)直接填空.
(2)如图2,点D在运动过程中,DE⊥AC时,AB=4 ,求DE的值.
(3)如图3,点F为线段DE中点,AB=2a,求出动点D从B运动到C,点F经过的路径长度.
20.在一次数学课上,李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题(2)如图 1,如果 AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()
A.180° B.270° C.360° D.540°
(1)请写出这道题的正确选项;
(2)在同学们都正确解答这道题后,李老师对这道题进行了改编:如图2,AB∥EF,请直接写出∠BAD,∠ADE,∠DEF之间的数量关系.
(3)善于思考的龙洋同学想:将图1平移至与图2重合(如图3所示),当AD,ED分别平分∠BAC,∠CEF时,∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系?请你直接写出结果,不需要证明.
(4)彭敏同学又提出来了,如果像图4这样,AB∥EF,当∠ACD=90°时,∠BAC、∠CDE 和∠DEF之间又有怎样的数量关系?请你直接写出结果,不需要证明.
21.阅读材料:等腰三角形具有性质“等边对等角”.事实上,不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”:如图1.在△ABC中,如果AB>AC,那么∠ACB>∠ABC.证明如下:将AB沿△ABC的角平分线AD翻折(如图2),因为AB>AC,所以点B落在AC的延长线上的点B'处.于是,由∠ACB>∠B',∠ABC=∠B',可得∠ACB>∠ABC.
(1)灵活运用:从上面的证法可以看出,折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法.由
此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”:如图3.在△ABC 中,如果∠ACB >∠ABC ,那么AB >AC .小明的思路是:沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程.
(2)拓展延伸:请运用上述方法或结论解决如下问题:
如图4,已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点(不含端点),连接AM 并延长,交BC 的延长线于点N .求证:AM +AN >2BD .
22.如图,二次函数2
3y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为(4,0)B ,另一个交点为
A ,且与y 轴相交于C 点
(1)则m =_________;C 点坐标为___________;
(2)在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ,使得它与B ,C 两点构成的三角形面积最大,若存在,求出此时M 点坐标;若不存在,请简要说明理由. (3)P 为抛物线上一点,它关于直线BC 的对称点为Q ①当四边形PBQC 为菱形时,求点P 的坐标;
②点P 的横坐标为(04)t t <<,当t =________时,四边形PBQC 的面积最大. 23.如图,平行四边形ABCD 中,AB ⊥AC ,AB =2,AC =4.对角线AC 、BD 相交于点O ,将直线AC 绕点O 顺时针旋转α°(0°<α<180°),分别交直线BC 、AD 于点E 、F .
(1)当α=_____°时,四边形ABEF 是平行四边形;
(2)在旋转的过程中,从A 、B 、C 、D 、E 、F 中任意4个点为顶点构造四边形,
①当α=_______°时,构造的四边形是菱形; ②若构造的四边形是矩形,求该矩形的两边长.
24.(问题探究)课堂上老师提出了这样的问题:“如图①,在ABC 中,
108BAC ∠=?,点D 是BC 边上的一点,7224BAD BD CD AD ∠=?==,,,求AC 的
长”.某同学做了如下的思考:如图②,过点C 作CE AB ∥,交AD 的延长线于点E ,进而求解,请回答下列问题: (1)ACE ∠=___________度; (2)求AC 的长.
(拓展应用)如图③,在四边形ABCD 中,12075BAD ADC ∠=?∠=?,,对角线
AC BD 、相交于点E ,且AC AB ⊥,22EB ED AE ==,,则BC 的长为_____________.
25.(1)如图①,在Rt ABC 中,90C ∠=?,13AB =,5BC =,则tan A 的值是_______.
(2)如图②,在正方形ABCD 中,5AB =,点E 是平面上一动点,且2BE =,连接
CE ,在CE 上方作正方形EFGC ,求线段CF 的最大值.
问题解决:(3)如图③,O 半径为6,在Rt ABC 中,90B ∠=?,点, A B 在O
上,点C 在
O 内,且3tan 4
A =.当点A 在圆上运动时,求线段OC 的最小值.
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一、中考数学压轴题 1.B
解析:(1)2452cm ;(2)2233
1624(0)225
88020016(4)3
335x x x y x x x ?--+≤?=??-+≤≤??;(3)存在,使得
AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有:0秒、3
2
秒、
9
5
. 【解析】 【分析】
(1)先用勾股定理求出BD 的长,再根据旋转的性质得出10B D BD cm ''==,
2CD B D BC cm '=''-=,利用B D A ∠'''的正切值求出CE 的值,利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积;
(2)分类讨论,当1605x ≤<
时和当
16
45
x ≤≤时,分别列出函数表达式; (3)分类讨论,当AB A B '=''时;当AA A B '=''时;当AB AA '='时,根据勾股定理列方程即可. 【详解】 解:(1)
6AB cm =,8AD cm =,
10BD cm ∴=,
根据旋转的性质可知10B D BD cm ''==,2CD B D BC cm '=''-=,
tan A B CE
B D A A D CD
'''''∠==''', 682CE
∴=, 3
2
CE cm ∴=,
()286345
22222
A B CE A B D CED S S S cm ''''''?∴==
-?÷=-; (2)①当1605x ≤<
时,22CD x '=+,3
2
CE x =, 233
+22
CD E S x x '∴=△, 221333
68242222
y x x x ∴=
??-=--+; ②当
1645x ≤≤时,102BC x =-,()4
1023CE x =- ()2
21488020010223333
y x x x ∴=
?-=-+. (3)①如图1,当AB A B '=''时,0x =秒;
②如图2,当AA A B '=''时,1825A N BM BB B M x '=='+'=+
,24
5
A M N
B '==,
2236AN A N +'=,
22
2418623655x ?
???∴-++= ? ??
???,
解得:6695x -=
秒,(669
5
x --=舍去); ③如图2,当AB AA '='时,1825A N BM BB B M x '=='+'=+
,24
5
A M N
B '==, 2222AB BB AN A N +'=+'
22
2
24183646255x x ?
???∴+=-++ ? ??
???
解得:3
2
x =
秒. 综上所述:使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有:0秒、
32秒、6695
-.
【点睛】
本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换,能够数形结合,运用分类讨论的思想方法全面的分析问题,思考问题是解决问题的关键.
2.A
解析:(1)A (0,1)
(2)结论:∠ABQ +∠OAB ﹣∠Q =135°. (3)α+2β=45°. 【解析】 【分析】
(1)利用二次根式的性质求出m 、n 的值,求出B 、C 两点坐标,由S 四边形AOBC =S △OBC +S △AOC ,推出
12×2×4+1
2
×OA ×4=6,求出OA 即可; (2)如图2中,结论:∠ABQ +∠OAB ﹣∠Q =135°.根据三角形内角和定理,三角形的外角的性质即可解决问题;
(3)由AD ∥BC ,推出∠ADC =∠DCB =α,由BE 平分∠CBx ,推出∠CBE =∠EBx ,由∠CBE =∠F +∠OCB =α+β,推出∠OBF =∠EBx =α+β,由OC 平分∠AOB ,可得∠COB =45°=∠F +∠OBF =α+(α+β),由此即可解决问题;
【详解】
解:(1)由题意
20
20
n
n
-≥
?
?
-≥
?
,
,得
,
解得n=2,
∴m=4,B(2,0),C(4,4).如图:
∵S四边形AOBC=S△OBC+S△AOC,
∴
1
2
×2×4+
1
2
×OA×4=6,
∴OA=1,
∴A(0,1).
(2)结论:∠ABQ+∠OAB﹣∠Q=135°.如图:
理由如下:
∵OC∥PQ,
∴∠Q=∠OCB,
∵∠ABQ=∠1+∠OCB=∠1+∠Q,∠1=180°﹣∠OAB﹣∠AOC=180°﹣∠OAB﹣45°=135°﹣∠OAB,
∴∠ABQ=∠Q+135°﹣∠OAB,
∴∠ABQ+∠OAB﹣∠Q=135°.
(3)如图:
∵AD ∥BC ,
∴∠ADC =∠DCB =α, ∵BE 平分∠CBx , ∴∠CBE =∠EBx ,
∵∠CBE =∠F +∠OCB =α+β, ∴∠OBF =∠EBx =α+β, ∵C (4,4), ∴OC 平分∠AOB ,
∴∠COB =45°=∠F +∠OBF =α+(α+β), ∴α+2β=45°. 【点睛】
本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于压轴题.
3.A
解析:(1) A (
12,0) B (72,0);(2) ①23333
y x =-+,②24316373
999
y x x =
-+
【解析】 【分析】
(1)根据抛物线的解析式可得对称轴为x =2,利用:3:4??=ABC BCE S S 得出CA :CE =3:4,由△AOE ∽△AGC 可得
1
3
=AO AG ,进而求得OA 、OB 的长,即可求得点A 、点B 的坐标; (2)根据旋转的性质求出C 点坐标,利用C 点坐标和△AOE ∽△AGC 可求得E 点坐标,,分别利用待定系数法即可求得直线CE 和抛物线的解析式. 【详解】
解:(1)∵抛物线的解析式为2
4(0)=-+>y mx mx n m ,
∴对称轴为直线422-=-
=m
x m
,
如图,设对称轴与x 轴交于G ,则//CG y 轴,2OG =,
∴△AOE ∽△AGC , ∴
=AO AE
AG AC
, ∵:3:4ABC
BCE
S S
=, ∴CA :CE =3:4 ,则3
1
AE AC =, ∴
1
3
==AO AE AG AC , ∴1142=
=OA OG ,3342
==AG OG , 则23==AB AG ,7
2
=+=OB OA AB , ∴A (
12,0), B (7
2
,0); (2)如图,设O 旋转后落在点Q 处,过点C 作CP y ⊥轴于点P ,
由旋转的性质得:△BCO ≌△ACQ , ∴BO =AQ =7
2
,CO =CQ , ∴OQ =222271
()()2322=
-=-=AQ AO
∵CP y ⊥轴, ∴1
32
=
=OP OQ ∴点C 的坐标为(2,3)-,则3CG =由(1)得△AOE ∽△AGC ,1
3
==OE AE CG AC , ∴33OE =
,即点E 的坐标为3(0,3
, ①设CE 的解析式为y kx b =+,分别代入C (2,3)-,E 3
得: 233
3k b b ?+=??=
??,解得:233k b ?=?
???=??
, ∴CE 的解析式为233
y =; ②将A (
1
2
,0),C (2,3)分别代入24y mx mx n =-+得:
1204483
m m n m m n ?-+=?
?
?-+=-?,解得:439739m n ?=????=??
, ∴抛物线解析式为24316373
y x x =-+
. 【点睛】
本题考查了二次函数的综合、旋转的性质、相似三角形的性质和求一次函数的解析式,正确的理解题意,熟练运算“数形结合思想”是解题的关键.
4.B
解析:(1)①(2,0),(1,2),(﹣1,2);②y =2x ;③y =﹣
2
2
x +2; (2)①半径为2,M (4323
,
33
);②2<r <4 【解析】 【分析】
(1)①如图2?1中,作BE ∥OD 交OA 于E ,CF ∥OD 交x 轴于F .求出OE 、OF 、CF 、OD 、BE 即可解决问题;
②如图2?2中,作BE ∥OD 交OA 于E ,作PM ∥OD 交OA 于M .利用平行线分线段成比例定理即可解决问题;
③如图3?3中,作QM ∥OA 交OD 于M .利用平行线分线段成比例定理即可解决问题; (2)①如图3中,作MF ⊥OA 于F ,作MN ∥y 轴交OA 于N .解直角三角形即可解决问题;
②如图4中,连接OM ,作MK ∥x 轴交y 轴于K ,作MN ⊥OK 于N 交⊙M 于E 、F .求出FN =NE =1时,⊙M 的半径即可解决问题; 【详解】
解:(1)①如图2﹣1中,作BE ∥OD 交OA 于E ,CF ∥OD 交x 轴于F .
由题意OC =CD =1,OA =BC =2, ∴BD =OE =1,OD =CF =BE 2, ∴A(2,0),2),C(﹣2, 故答案为:A(2,0),2),C(﹣2).
②如图2﹣2中,作BE∥OD交OA于E,作PM∥OD交OA于M.
∵OD∥BE,OD∥PM,
∴BE∥PM,
∴
BE OE
PM OM
=,
∴
21
y x
=,
∴y=2x.
故答案为:y=2x.
③如图2﹣3中,作QM∥OA交OD于M.
2
22
MQ DM
OA DO
x y
∴=
-
∴=
∴
2
2
2
y x
=-+
故答案为:y=﹣
2
2
x+2.
(2)①如图3中,作MF⊥OA于F,作MN∥y轴交OA于N.∵ω=120°,OM⊥y轴,
一、中考数学压轴题 1.已知:在平面直角坐标系中,抛物线2 23y ax ax a =--与x 轴交于点A ,B (点B 在 点A 的右侧),点C 为抛物线的顶点,点C 的纵坐标为-2. (1)如图1,求此抛物线的解析式; (2)如图2,点P 是第一象限抛物线上一点,连接AP ,过点C 作//CD y 轴交AP 于点 D ,设点P 的横坐标为t ,CD 的长为m ,求m 与t 的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围); (3)如图3,在(2)的条件下,点E 在DP 上,且ED AD =,点F 的横坐标大于3,连接EF ,BF ,PF ,且EP EF BF ==,过点C 作//CG PF 交DP 于点G ,若 72 8 CG AG = ,求点P 的坐标. 2.“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础,重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口,着力提升学生的核心素养.”全校师生积极响应和配合,开展各种活动丰富其课余生活.在数学兴趣小组中,同学们从书上认识了很多有趣的数.其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣.描述如下:一个四位数,记千位上和百位上的数字之和为x ,十位上和个位上的数字之和为y ,如果x y =,那么称这个四位数为“和平数”. 例如:1423,14x =+,23y =+,因为x y =,所以1423是“和平数”. (1)直接写出:最小的“和平数”是________,最大的“和平数”是__________; (2)求同时满足下列条件的所有“和平数”: ①个位上的数字是千位上的数字的两倍; ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数; (3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置,同时,将百位上与千位上的数字交换位置,称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”. 例如:1423于4132为“相关和平数” 求证:任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数. 3.定义:如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是3:5,那么称这个三角形为“准黄金”三角形,这条边就叫做这个三角形的“金底”. (概念感知) (1)如图1,在ABC 中,12AC =,10BC =,30ACB ∠=?,试判断ABC 是否是“准黄金”三角形,请说明理由.
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲
(A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 一、中考数学压轴题 1.如图,在等边△ABC 中,AB =BC =AC =6cm ,点P 从点B 出发,沿B →C 方向以1.5cm/s 的速度运动到点C 停止,同时点Q 从点A 出发,沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动,当点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动,连接PQ ,过点P 作BC 的垂线,过点Q 作BC 的平行线,两直线相交于点M .设点P 的运动时间为x (s ),△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y (cm 2)(规定:线段是面积为0的图形). (1)当x = (s )时,PQ ⊥BC ; (2)当点M 落在AC 边上时,x = (s ); (3)求y 关于x 的函数解析式,并写出自变量x 的取值范围. 2.如图,已知抛物线y =2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-(),B 33,0()两点,与y 轴交于点C 0,3(). (1)求抛物线的解析式及顶点M 坐标; (2)在抛物线的对称轴上找到点P ,使得PAC 的周长最小,并求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、C 重合).过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E .设CD 的长为m ,问当m 取何值时, PDE ABMC 1 S S 9 =四边形. 3.如图所示,在平面直角坐标系中,点(),C m m 在一三象限角平分线上,点(),0B n 在x 轴上,且2n -2n -,点A 在y 轴的正半轴上;四边形AOBC 的面积为6 (1)求点A 的坐标; (2)P 为AB 延长线上一点,//PQ OC ,交CB 延长线于Q ,探究OAP ∠、ABQ ∠、 Q ∠的数量关系并说明理由; (3)作AD 平行CB 交CO 延长线于D ,BE 平分CBx ∠,BE 反向延长线交CO 延长线 数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀(一) 数学综合题关键是第24题和25题,我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 (一)函数型综合题:是先给定直角坐标系和几何图形,求(已知)函数的解析式(即在求解前已知函数的类型),然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有:①一次函数(包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线;②反比例函数,它所对应的图像是双曲线; ③二次函数,它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。此类题基本在第24题,满分12分,基本分2-3小题来呈现。 (二)几何型综合题:是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点(或动线段)运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的(未知)函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,一般有:在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线(圆)与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系(即列出含有x、y的方程),变形写成y=f(x)的形式。一般有直接法(直接列出含有x和y的方程)和复合法(列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y=f(x)的形式),当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置(极限位置)和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现,满分14分,一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到:数形结合记心头,大题小作来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,分类讨论要严密,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀(二) 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活。 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 一、中考数学压轴题 1.AB 是O 直径,,C D 分别是上下半圆上一点,且弧BC =弧BD ,连接,AC BC , 连接CD 交AB 于E , (1)如图(1)求证:90AEC ∠=?; (2)如图(2)F 是弧AD 一点,点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点,连接FD ,连接 MN 分别交AC ,FD 于,P Q 两点,求证:MPC NQD ∠=∠ (3)如图(3)在(2)问条件下,MN 交AB 于G ,交BF 于L ,过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ,连接BH ,若,6,BG HF AG ABH ==?的面积等于8,求线段MN 的长度 2.如图,已知抛物线y =2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-(),B 33,0()两点,与y 轴交于点C 0,3(). (1)求抛物线的解析式及顶点M 坐标; (2)在抛物线的对称轴上找到点P ,使得PAC 的周长最小,并求出点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、C 重合).过点 D 作D E //PC 交x 轴于点E .设CD 的长为m ,问当m 取何值时, PDE ABMC 1 S S 9 =四边形. 3.我们知道,平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,如果两条数轴不垂直,而是相交成任意的角ω(0°<ω<180°且ω≠90°),那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系,两条数轴称为斜坐标系的坐标轴,公共原点称为斜坐标系的原点,如图1,经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ,分别交x 轴和y 轴于点M ,N .点 M、N在x轴和y轴上所对应的数分别叫做P点的x坐标和y坐标,有序实数对(x,y)称为点P的斜坐标,记为P(x,y) (1)如图2,ω=45°,矩形OABC中的一边OA在x轴上,BC与y轴交于点D, OA=2,OC=1. ①点A、B、C在此斜坐标系内的坐标分别为A,B,C. ②设点P(x,y)在经过O、B两点的直线上,则y与x之间满足的关系为. ③设点Q(x,y)在经过A、D两点的直线上,则y与x之间满足的关系为. (2)若ω=120°,O为坐标原点. ①如图3,圆M与y轴相切原点O,被x轴截得的弦长OA=23,求圆M的半径及圆心M的斜坐标. ②如图4,圆M的圆心斜坐标为M(23,23),若圆上恰有两个点到y轴的距离为1,则圆M的半径r的取值范围是. 4.在学习了轴对称知识之后,数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究,请你跟随兴趣小组的同学,一起完成下列问题. (1)(课本习题)如图①,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD.求证:DB=DE (2)(尝试变式)如图②,△ABC是等边三角形,D是AC边上任意一点,延长BC至E,使CE=AD. 求证:DB=DE. (3)(拓展延伸)如图③,△ABC是等边三角形,D是AC延长线上任意一点,延长BC至E,使CE=AD请问DB与DE是否相等? 并证明你的结论.人教版中考数学压轴题 易错题难题专题强化试卷学能测试
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