一、等比数列选择题
1.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且(
)*
2n n S a n n N =+∈,则3
a
=( )
A .7-
B .3-
C .3
D .7
2.已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,且a 1,a 3,a 4成等比数列,则S n 取最大值时n 的值为( ) A .4
B .5
C .4或5
D .5或6
3.已知数列{}n a 满足:11a =,*1()2
n
n n a a n N a +=∈+.则 10a =( ) A .
11021
B .
11022 C .1
1023
D .1
1024
4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111
30(2),3
n n n a S S n a -+=≥=,下列命题中错误的是( ) A .1n S ???
???
是等差数列 B .1
3n
S n = C .1
3(1)
n a n n =-
-
D .{}
3n S 是等比数列
5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”你的计算结果是( ) A .80里
B .86里
C .90里
D .96里
6.在等比数列{}n a 中,11a =,427a =,则352a a +=( ) A .45
B .54
C .99
D .81
7.等比数列{}n a 的前n 项积为n T ,且满足11a >,10210310a a ->,
1021031
01
a a -<-,则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为( )
A .102
B .203
C .204
D .205
8.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30,且53134a a a =+,则3a =( ) A .2
B .4
C .8
D .16
9.公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中,1349,27a a a ==,则1a q +=( ) A .1
B .2
C .3
D .4
10.在数列{}n a 中,12a =,对任意的,m n N *
∈,m n m n a a a +=?,若
1262n a a a ++???+=,则n =( )
A .3
B .4
C .5
D .611.题目文件丢失!
12.已知等比数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,且5312a a a +=,则4
2
S S =( ) A .76
B .32
C .
2132
D .
14
13.已知等比数列{}n a 的前5项积为32,112a <<,则35
124
a a a ++的取值范围为( ) A .73,
2??
????
B .()3,+∞
C .73,
2?
? ???
D .[
)3,+∞
14.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”.在创造律制的过程中,他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法,还给出了求解四项等比数列的中间两项的方
法.比如,若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列,则有
大吕
=大吕
=
太簇.据此,可得
正项等比数列{}n a 中,k a =( )
A
.n -
B
.n -C
. D
. 15.已知数列{}n a ,{}n b 满足12a =,10.2b =,111
2
33
n n n a b a ++=+
,113
44
n n n b a b +=
+,则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为( ) A .5
B .7
C .9
D .11
16.已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ,若29512T T ==,则n T 的最大值为( ) A .152
B .142
C .132
D .122
17.已知数列{}n a 的首项11a =,前n 项的和为n S ,且满足()
*
122n n a S n N ++=∈,则
满足
2100111
1000
10
n n
S S 的n 的最大值为( ). A .7
B .8
C .9
D .10
18.已知等比数列{}n a 的通项公式为2*
3()n n a n N +=∈,则该数列的公比是( )
A .
19
B .9
C .
13
D .3
19.数列{}n a 满足:点()1,n n a -(n N ∈,2n ≥)在函数()2x f x =的图像上,则{}n a 的前10项和为( ) A .4092
B .2047
C .2046
D .1023
20.等比数列{}n a 的各项均为正数,且101010113a a =.则
313232020log log log a a a ++
+=( )
A .3
B .505
C .1010
D .2020
二、多选题
21.设数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈,关于数列{}n a ,下列四个命题中正确的是
( )
A .若1*()n n a a n N +∈=,则{}n a 既是等差数列又是等比数列
B .若2
n S An Bn =+(A ,B 为常数,*n N ∈),则{}n a 是等差数列
C .若()11n
n S =--,则{}n a 是等比数列
D .若{}n a 是等差数列,则n S ,2n n S S -,*
32()n n S S n N -∈也成等差数列
22.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若31a =,13511121
4
a a a ++=,则( ) A .{}n a 必是递减数列 B .5314
S =
C .公比4q =或
14
D .14a =或
14
23.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列,4n n b a =+,若数列{}n b 有连续4项在集合{-50,-20,22,40,85}中,则公比q 的值可以是( ) A .34
-
B .23
-
C .43
-
D .32
-
24.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,1+1
4,()n n a S a n N *
==∈,数列12(1)n n n n a +??+??+?
?的前n 项和为n T ,n *∈N ,则下列选项正确的是( )
A .24a =
B .2n
n S =
C .38
n T ≥
D .12
n T <
25.已知等比数列{}n a 中,满足11a =,2q ,n S 是{}n a 的前n 项和,则下列说法正
确的是( )
A .数列{}2n a 是等比数列
B .数列1n a ??
?
???
是递增数列 C .数列{}2log n a 是等差数列 D .数列{}n a 中,10S ,20S ,30S 仍成等比
数列
26.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关”.则下列说法正确的是( ) A .此人第六天只走了5里路
B .此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C .此人第二天走的路程比全程的
1
4
还多1.5里
D .此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
27.记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若2410a a +=,23464a a a =,则( )
A .1
12n n n S S ++-=
B .12n n
a
C .21n
n S =- D .1
21n n S -=-
28.在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是( ) A .此人第二天走了九十六里路
B .此人第三天走的路程站全程的
18
C .此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D .此人后三天共走了42里路
29.已知数列{}n a 的前n 项和为S n ,22n n S a =-,若存在两项m a ,n a ,使得
64m n a a =,则( )
A .数列{}n a 为等差数列
B .数列{}n a 为等比数列
C .22
212413
n
n a a a -++
+=
D .m n +为定值
30.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件
11a >,781a a >,
871
01
a a -<-.则下列结论正确的是( ) A .01q <<
B .791a a <
C .n T 的最大值为7T
D .n S 的最大值为7S
31.已知数列{}n a 的前n 项和为S ,11a =,121n n n S S a +=++,数列12n n n a a +??
?????
的前
n 项和为n T ,*n ∈N ,则下列选项正确的为( )
A .数列{}1n a +是等差数列
B .数列{}1n a +是等比数列
C .数列{}n a 的通项公式为21n
n a =-
D .1n T <
32.等比数列{}n a 中,公比为q ,其前n 项积为n T ,并且满足11a >.99100·10a a ->,991001
01
a a -<-,下列选项中,正确的结论有( ) A .01q << B .9910110a a -< C .100T 的值是n T 中最大的
D .使1n T >成立的最大自然数n 等于198
33.已知等差数列{}n a 的首项为1,公差4d =,前n 项和为n S ,则下列结论成立的有( ) A .数列n S n ??
?
???
的前10项和为100
B .若1,a 3,a m a 成等比数列,则21m =
C .若11
16
25n
i i i a a =+>∑,则n 的最小值为6 D .若210m n a a a a +=+,则
116m n
+的最小值为25
12
34.等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,当首项1a 和d 变化时,3813++a a a 是一个定值,则下列各数也为定值的有( ) A .7a
B .8a
C .15S
D .16S
35.对于数列{}n a ,若存在正整数()2k k ≥,使得1k k a a -<,1k k a a +<,则称k a 是数列
{}n a 的“谷值”,k 是数列{}n a 的“谷值点”,在数列{}n a 中,若9
8n
a n n
=+-,下面哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”?( ) A .3
B .2
C .7
D .5
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一、等比数列选择题 1.A 【分析】
先求出1a ,再当2n ≥时,由(
)*
2n n S a n n N
=+∈得1
121n n S
a n --=+-,两式相减后化
简得,121n n a a -=-,则112(1)n n a a --=-,从而得数列{}1n a -为等比数列,进而求出
n a ,可求得3a 的值
【详解】
解:当1n =时,1121S a =+,得11a =-, 当2n ≥时,由(
)*
2n n S a n n N
=+∈得1
121n n S
a n --=+-,两式相减得
1221n n n a a a -=-+,即121n n a a -=-,
所以112(1)n n a a --=-,
所以数列{}1n a -是以2-为首项,2为公比的等比数列,
所以1122n n a --=-?,所以1
221n n a -=-?+,
所以232217a =-?+=-,
故选:A
2.C
【分析】
由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差1
2
d =-,再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠,
134,,a a a 成等比数列,2
314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+,则12
d =-,
()()2
111198122
4
4216
n n n n n S a n d n n --??∴=+
=-
=--+ ???,
所以当4n =或5时,n S 取得最大值. 故选:C. 3.C 【分析】
根据数列的递推关系,利用取倒数法进行转化得1121n n a a +=+ ,构造11n a ??
+????
为等比数列,求解出通项,进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=
+,所以两边取倒数得
12121n n n n a a a a ++==+,则111121n n a a +??+=+ ???
, 所以数列11n a ??+????为等比数列,则111
11122n n n a a -??+=+?= ???
,
所以121n n a =-,故10
1011
211023
a ==-. 故选:C 【点睛】
方法点睛:对于形如()11n n a pa q p +=+≠型,通常可构造等比数列{}n a x +(其中
1
q
x p =
-)来进行求解. 4.C 【分析】
由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系,得证1n S ??
????
是等差数列,可判断A ,求
出n S 后,可判断B ,由1a 的值可判断C ,求出3n S 后可判断D . 【详解】
2n ≥时,因为130n n n a S S -+=,所以1130n n n n S S S S ---+=,所以
1
113n n S S --=, 所以1n S ??
?
???
是等差数列,A 正确; 1113S a ==,1
13S =,公差3d =,所以133(1)3n n n S =+-=,所以1
3n S n =,B 正确; 11
3
a =不适合13(1)n a n n =--,C 错误;
1313n n S +=
,数列113n +??
????
是等比数列,D 正确. 故选:C . 【点睛】
易错点睛:本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式,考查等差数列与等比数列的判断,
在公式1n n n a S S -=-中2n ≥,不包含1a ,因此由n S 求出的n a 不包含1a ,需要特别求解检验,否则易出错. 5.D 【分析】
由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为1
2
,由条件和等比数列的前项和公式求出1a ,由等比数列的通项公式求出答案即可. 【详解】
由题意可知此人每天走的步数构成
1
2
为公比的等比数列, 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]
2378
1
12a -=-, 解得1192a =,∴此人第二天走1
192962
?
=里, ∴第二天走了96里,
故选:D . 6.C 【分析】
利用等比数列的通项与基本性质,列方程求解即可 【详解】
设数列{}n a 的公比为q ,因为3
41a a q =,所以3q =,所以24
352299a a q q +=+=.
故选C
7.C 【分析】
由题意可得1021031a a >,1021031,1a a ><,利用等比数列的性质即可求解. 【详解】
由10210310a a ->,即1021031a a >,则有2
1021a q ?>,即0q >。
所以等比数列{}n a 各项为正数, 由
1021031
01
a a -<-,即102103(1)(1)0a a --<, 可得:1021031,1a a ><, 所以10220412203204102103()1T a a a a a a =??
?=?>,
103205122032042051031T a a a a a a =??
??=<,
故使得1n T >成立的最大自然数n 的值为204,
故选:C 【点睛】
关键10220412203204102103()1T a a a a a a =??
?=?>点点睛:在分析出1021031a a >,
1021031,1a a ><的前提下,由等比数列的性质可得102204102103()1T a a ==?>,
1032051031T a =<,即可求解,属于难题.
8.C 【分析】
根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示,解出q ,然后再由前4项和为30求出1a ,再根据通项公式即可求出3a . 【详解】
设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >,
因为53134a a a =+,所以4211134a q a q a =+,则42
340q q --=,
解得24q =或2
1q =-(舍),所以2q
,
又等比数列{}n a 的前4项和为30,
所以23
111130a a q a q a q +++=,解得12a =, ∴2
318a a q ==.
故选:C . 9.D 【分析】
利用已知条件求得1,a q ,由此求得1a q +. 【详解】
依题意22211113
19
12730
a a q a q a a q q q ??===??=???
=??>?
,所以14a q +=. 故选:D 10.C 【分析】
令1m =,可得112+=?=n n n a a a a ,可得数列{}n a 为等比数列,利用等比数列前n 项和公式,求解即可. 【详解】
因为对任意的,m n N *
∈,都有m n m n a a a +=?,
所以令1m =,则112+=?=n n n a a a a , 因为10a ≠,所以0n a ≠,即
1
2n n
a a +=, 所以数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列,
所以2(12)6212n -=-,解得n =5,
故选:C
11.无
12.B 【分析】
由5312a a a +=,解得q ,然后由4142
422
1
2(1)111(1)11a q S q q q a q S q q
---===+---求解. 【详解】
在等比数列{}n a 中,5312a a a +=, 所以421112a q a q a +=,即42210q q +-=, 解得2
12
q =
所以4142
42212(1)1311(1)12
1a q S q q q a q S q q
---===+=---, 故选:B 【点睛】
本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算,属于基础题, 13.C 【分析】
由等比数列性质求得3a ,把35
124
a a a ++表示为1a 的函数,由函数单调性得取值范围. 【详解】
因为等比数列{}n a 的前5项积为32,所以53
32a =,解得32a =,则23511
4a a a a =
=,35
124
a a a +
+ 1111a a =++
,易知函数()1
f x x x
=+在()1,2上单调递增,所以35173,242a a a ??+
+∈ ???, 故选:C . 【点睛】
关键点点睛:本题考查等比数列的性质,解题关键是选定一个参数作为变量,把待求值的表示为变量的函数,然后由函数的性质求解.本题蝇利用等比数列性质求得32a =,选1a 为参数. 14.C 【分析】
根据题意,由等比数列的通项公式,以及题中条件,即可求出结果. 【详解】
因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示,四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示,所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示,因为
11n n a a q -=
,所以q =
所以11
1
111k k n n k a a a a a ---?? ?
?== ?
?
?
1111
n k k n n n
a a
----==? 故选:C. 15.C 【分析】
令n n n c a b =-,由1112
3
3n n n a b a ++=+
,11344
n n n b a b +=+可知数列{}n c 是首项为1.8,公比为12的等比数列,即1
1.812n n c -?? ?
??
=?,则1
10.0121.8n -??< ?
??
?,解不等式可得n 的最小
值.
【详解】
令n n n c a b =-,则11120.2 1.8c a b =-=-=
1111131313
4444412123334
3n n n n n n n n n n n
n c a b a b a b b a a a b ++++??=-=+--=+-- ??+?111222
n n n a b c -== 所以数列{}n c 是首项为1.8,公比为12的等比数列,所以1
1.812n n c -?? ?
??
=?
由0.01n n a b -<,即1
10.0121.8n -??< ?
??
?,整理得12180n ->
由72128=,82256=,所以18n -=,即9n =
故选:C. 【点睛】
本题考查了等比数列及等比数列的通项公式,解题的关键是根据已知的数列递推关系式,利用等比数列的定义,得到数列{}n c 为等比数列,考查了学生的分析问题能力能力与运算求解能力,属于中档题. 16.A 【分析】
根据29T T =得到7
61a =,再由2121512a a a q ==,求得1,a q 即可.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ,
由29T T =得:7
61a =, 故61a =,即5
11a q =. 又2
121512a a a q ==,
所以9
1
512
q =, 故12
q =
, 所以()()21112
2
123411...2n n n n n n n T a a a a a a q
--??=== ???
,
所以n T 的最大值为15
652T T ==.
故选:A. 17.C 【分析】
根据(
)*
122n n a S n N
++=∈可求出n
a
的通项公式,然后利用求和公式求出2,n n S S ,结合
不等式可求n 的最大值. 【详解】
1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥,11a =,21
2
a =
;则{}n a 是首项为1,公比为12的等比数列,100111111000210n
??<+< ???,1111000210
n
??<< ???,则n 的最大值为9. 故选:C 18.D 【分析】
利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ,利用2
1
a a 求出公比即可 【详解】
设公比为q ,等比数列{}n a 的通项公式为2*
3()n n a n N +=∈,
则3
1327a ==,4
2381a ==,2
1
3a q a ∴
==, 故选:D 19.A 【分析】
根据题中条件,先得数列的通项,再由等比数列的求和公式,即可得出结果. 【详解】
因为点()1,n n a -(n N ∈,2n ≥)在函数()2x f x =的图像上, 所以()12
,2n
n a n N n -=∈≥,因此()12n n a n N ++=∈,
即数列{}n a 是以4为首项,以2为公比的等比数列, 所以{}n a 的前10项和为()10412409212
-=-.
故选:A. 20.C 【分析】
利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】
由120202201932018101010113a a a a a a a a =====,
所以313232020log log log a a a ++
+
()10103101010113log log 31010a a ===.
故选:C
二、多选题
21.BCD 【分析】
利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】
选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列,当0n a =时不是等比数列,故错; 选项B:
2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列,故对;
选项C: ()11n
n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==?-≥,当1n =时也成立,
12(1)n n a -∴=?-是等比数列,故对;
选项D: {}n a 是等差数列,由等差数列性质得n S ,2n n S S -,*
32()n n S S n N -∈是等差数
列,故对; 故选:BCD 【点睛】
熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 22.BD 【分析】
设设等比数列{}n a 的公比为q ,则0q >,由已知得11121
14
a a ++=,解方程计算即可得答案. 【详解】
解:设等比数列{}n a 的公比为q ,则0q >,
因为2
153
1a a a ==,2311a a q == , 所以
511151351515111111121
11114
a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=+++=, 解得1412a q =???=??或1142.
a q ?=??
?=?, 当14a =,12q =时,5514131
21412
S ?
?- ?
??==-,数列{}n a 是递减数列; 当11
4
a =
,2q 时,531
4
S =
,数列{}n a 是递增数列; 综上,5314
S =. 故选:BD. 【点睛】
本题考查数列的等比数列的性质,等比数列的基本量计算,考查运算能力.解题的关键在于结合等比数列的性质将已知条件转化为11121
14
a a ++=,进而解方程计算. 23.BD 【分析】
先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-,24-,18,36,81}中,再求等比数列的公比. 【详解】 4n n b a =+ 4n n a b ∴=-
数列{}n b 有连续四项在集合{-50,-20,22,40,85}中
∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-,24-,18,36,81}中
又
数列{}n a 是公比为q 的等比数列,
∴在集合{54-,24-,18,36,81}中,数列{}n a 的连续四项只能是:24-,36,
54-,81或81,54-,36,24-.
∴363242
q ==--或2432
36q -=
=-. 故选:BD 24.ACD 【分析】
在1+14,()n n a S a n N *
==∈中,令1n =,则A 易判断;由3
2122S a a =+=,B 易判断;
令12(1)n n n b n n a ++=
+,13
8
b =,
2n ≥时,()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=
==-++?+?,裂项求和3182
n T ≤<,则CD 可判断. 【详解】
解:由1+14,()n n a S a n N *
==∈,所以2114a S a ===,故A 正确;
32212822S a a =+==≠,故B 错误;
+1n n S a =,12,n n n S a -≥=,所以2n ≥时,11n n n n n a S S a a -+=-=-,
1
2n n
a a +=, 所以2n ≥时,2422n n
n a -=?=,
令12(1)n n n b n n a ++=
+,12123
(11)8
b a +=
=+, 2n ≥时,()()11
12211
(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=
==-++?+?,
113
8
T b ==,2n ≥时,
()()2334
113111111111
8223232422122122
n n n n T n n n ++=+-+-+
+
-=-????+?+? 所以n *∈N 时,31
82
n T ≤<,故CD 正确;
故选:ACD. 【点睛】
方法点睛:已知n a 与n S 之间的关系,一般用()11,12n n
n a n a S S n -=?
=?-≥?递推数列的通项,注
意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥;裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 25.AC 【分析】 由已知得1
2
n n
a 可得以21
22
n n a -=,可判断A ;又1
111122n n n a --??
== ?
??
,可判断B ;由
122log log 21n n a n -==-,可判断C ;求得10S ,20S ,30S ,可判断D.
【详解】
等比数列{}n a 中,满足11a =,2q
,所以12n n a ,所以2122n n a -=,所以数列
{}2n a 是等比数列,故A 正确;
又1
111122n n n a --??
== ???
,所以数列1n a ??
????是递减数列,故B 不正确;
因为1
22log log 2
1n n a n -==-,所以{}2log n a 是等差数列,故C 正确;
数列{}n a 中,101010111222
S -==--,202021S =-,30
3021S =-,10S ,20S ,30S 不成
等比数列,故D 不正确; 故选:AC . 【点睛】
本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式,以及数列的单调性的判定,属于中档题. 26.BCD 【分析】
设此人第n 天走n a 里路,则{}n a 是首项为1a ,公比为1
2
q = 的等比数列,由6=378S 求得首项,然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】
解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列, 设此人第n 天走n a 里路,则{}n a 是首项为1a ,公比为1
2
q =
的等比数列. 所以6
61161[1()](1)2=3781112
a a q S q --==--,解得1
192a =. 选项A:5
561119262a a q ??==?= ???
,故A 错误, 选项B:由1192a =,则61378192186S a -=-=,又1921866-=,故B 正确.
选项C:211192962
a a q ==?
=,而61
94.54S =,9694.5 1.5-=,故C 正确.
选项D:2
123111(1)192(1)33624
a a a a q q ++=++=?++=,
则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选:BCD 【点睛】
本题考查等比数列的性质,考查等比数列的前n 项和,是基础题. 27.BC 【分析】
先求得3a ,然后求得q ,进而求得1a ,由此求得1,,n n n n a S S S +-,进而判断出正确选项. 【详解】
由23464a a a =得33
34a =,则34a =.设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠,由
2410a a +=,得4
410q q
+=,即22520q q -+=,解得2q
或1
2q =
.又因为数列{}n a 单调递增,所以2q
,所以112810a a +=,解得11a =.所以12n n
a ,
()
1122112
n n n S ?-=
=--,所以()1121212n n n
n n S S ++-=---=.
故选:BC 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和,属于中档题.
28.ACD 【分析】
若设此人第n 天走n a 里路,则数列{}n a 是首项为1a ,公比为1
2
q =
的等比数列,由6378S =求得首项,然后分析4个选项可得答案.
【详解】
解:设此人第n 天走n a 里路,则数列{}n a 是首项为1a ,公比为1
2
q =
的等比数列, 因为6378S =,所以1661(1)
2=
378112
a S -
=-,解得1
192a =,
对于A ,由于21
192962a =?=,所以此人第二天走了九十六里路,所以A 正确; 对于B ,由于 31481
19248,
43788
a =?=>,所以B 不正确; 对于C ,由于378192186,1921866-=-=,所以此人第一天走的路程比后五天走的路程
多六里,所以C 正确; 对于D ,由于45611
11924281632a a a ??++=?++= ???
,所以D 正确, 故选:ACD 【点睛】
此题考查等比数的性质,等比数数的前项n 的和,属于基础题. 29.BD 【分析】
由n S 和n a 的关系求出数列{}n a 为等比数列,所以选项A 错误,选项B 正确;利用等比数
列前n 项和公式,求出 1
22
212443
n n a a a +-++
+=,故选项C 错误,由等比数列的通项公式
得到62642m n +==,所以选项D 正确. 【详解】
由题意,当1n =时,1122S a =-,解得12a =, 当2n ≥时,1122n n S a --=-,
所以()111222222n n n n n n n a S S a a a a ----=-=---=,
所以1
2n
n a a -=,数列{}n a 是以首项12a =,公比2q 的等比数列,2n n a =,
故选项A 错误,选项B 正确; 数列{}2
n
a 是以首项214a
=,公比14q =的等比数列,
所以()
()21112221
2
1
141444114
3
n n n n
a q a a a q +-?--++
+=
=
=
--,故选项C 错误; 6222642m n m n m n a a +====,所以6m n +=为定值,故选项D 正确.
故选:BD 【点睛】
本题主要考查由n S 和n a 的关系求数列的通项公式,等比数列通项公式和前n 项和公式的应用,考查学生转化能力和计算能力,属于中档题. 30.ABC 【分析】
由11a >,781a a >,
871
01
a a -<-,可得71a >,81a <.由等比数列的定义即可判断A ;运用等比数列的性质可判断B ;由正数相乘,若乘以大于1的数变大,乘以小于1的数变小,可判断C; 因为71a >,801a <<,可以判断D. 【详解】
11a >,781a a >,
871
01
a a -<-, 71a ∴>,801a <<,
∴A.01q <<,故正确;
B.2
798
1a a a =<,故正确; C.7T 是数列{}n T 中的最大项,故正确.
D. 因为71a >,801a <<,n S 的最大值不是7S ,故不正确. 故选:ABC . 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 31.BCD 【分析】
由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+,两边加1后,运用等比数列的定义和通项公式可得n a ,1112211
(21)(21)2121
n n n n n n n n a a +++==-----,由数列的裂项相消求和可得n T . 【详解】
解:由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+,
可化为112(1)n n a a ++=+,由111S a ==,可得数列{1}n a +是首项为2,公比为2的等比数列,
则12n
n a +=,即21n n a =-,
又1112211
(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----,可得22311111111
111212*********
n n n n T ++=-
+-+?+-=-<------, 故A 错误,B ,C ,D 正确. 故选:BCD . 【点睛】
本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式,以及数列的裂项相消法求和,考查化简运算能力和推理能力,属于中档题. 32.ABD 【分析】
由已知9910010a a ->,得0q >,再由
991001
01
a a -<-得到1q <说明A 正确;再由等比数列
的性质结合1001a <说明B 正确;由10099100·
T T a =,而10001a <<,求得10099T T <,说明C 错误;分别求得1981T >,1991T <说明D 正确.
【详解】
对于A ,9910010a a ->,2197
1·1a q ∴>,()2
981··1a q q ∴>.
11a >,0q ∴>.
又
991001
01
a a -<-,991a ∴>,且1001a <. 01q ∴<<,故A 正确;
对于B ,2
99101100100·01
a a a a ?=?<,991010?
1a a ∴<<,即99101·10a a -<,故B 正确; 对于C ,由于10099100·
T T a =,而10001a <<,故有10099T T <,故C 错误; 对于D ,()()()()19812198119821979910099100·
····991T a a a a a a a a a a a =?=?=?>, ()()()199121991199219899101100·····1T a a a a a a a a a a =?=?<,故D 正确.
∴不正确的是C .
故选:ABD . 【点睛】
本题考查等比数列的综合应用,考查逻辑思维能力和运算能力,属于常考题. 33.AB 【分析】
由已知可得:43n a n =-,2
2n S n n =-,
=21n S n n -,则数列n S n ??
????
为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为 11111=44341i i a a n n +??
- ?-+??,通过裂项求和可求得11
1
n
i i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】
由已知可得:43n a n =-,2
2n S n n =-,
=21n S n n -,则数列n S n ??
????为等差数列,则前10项和为()10119=1002
+.所以A 正确;
1,a 3,a m a 成等比数列,则2
31=,m a a a ?81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确;
因为
11111=44341i i a a n n +??
- ?-+??
所以11
11111116
=1=45549413245
1n
i i i n n n a a n =+??-+-++
-> ?
++??-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以
()()1161116116125=1161724121212
12n m m n m n m n m n ????+++=+++≥+?= ? ?????,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误.
故选:AB. 【点睛】
本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般. 34.BC 【分析】
根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果. 【详解】
由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值,则8a 为定值,
()
11515815152
a a S a +=
=为定值,但()
()11616891682
a a S a a +=
=+不是定值.
故选:BC. 【点睛】
本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用,考查计算能力,属于基础题. 35.AD 【分析】
计算到12a =,232
a =
,32a =,474a =,565a =,612a =,727a =,89
8a =,根据
“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案. 【详解】
98n a n n =+
-,故12a =,232
a =,32a =,474a =,565a =,612a =,727a =,898
a =
. 故23a a <,3不是“谷值点”;12a a >,32a a >,故2是“谷值点”;
67a a >,87a a >,故7是“谷值点”;65a a <,5不是“谷值点”.
故选:AD .