提分专练(八)构造辅助圆
|类型1| 根据圆的定义构造圆
1.如图T8-1,已知OA=OB=OC,且∠AOB=k∠BOC,则∠ACB是∠BAC的倍.
图T8-1
2.如图T8-2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为.
图T8-2
3.如图T8-3,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,∠BAC=25°,∠CAD=75°,则∠BDC= °,∠DBC= °.
图T8-3
4.[xx·淮安]如图T8-4,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF 沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.
图T8-4
|类型2| 三角形的外接圆
5.如图T8-5,矩形ABCG与矩形CDEF全等,AB=1,BC=3,点B,C,D在同一条直线上,∠APE的顶点P在线段BD上移动,
使∠APE为直角的点P的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
6.已知:如图T8-6,直尺的宽度为2,A,B两点在直尺的一条边上,AB=6,C,D两点在直尺的另一条边上.若∠ACB=∠
ADB=90°,则C,D两点之间的距离为.
图T8-6
7.如图T8-7,已知Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是边AB上的动点,Q是边BC上的动点,且∠CPQ=90°,则线段CQ的取值范围是.
图T8-7
8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax2+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点,其中n<0.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.
|类型3| 四点共圆
(1)若一个四边形的一组对角互补,则它的四个顶点共圆;
(2)动点对定线段所张的角为定值.
9.在平面直角坐标系中,点A(0,2),点B(0,8),在x轴正半轴上有一点C,当∠ACB取得最大值时,则点C的坐标是.
10.在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),B(-6,0),点C是y轴上的一个动点,当∠BCA=45°时,点C的坐标为.
11.[xx·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A,B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针
方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.
(1)如图T8-8①,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GF∥AC.
(2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.
①当点M与点C,D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;
②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.
图T8-8
12.[xx·淮安]阅读理解:
如图T8-9①,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.
将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状,再展开得到图③,其中CE,CF为折痕,∠BCE= ∠ECF=∠FCD,点B'为点B的对应点,点D'为点D的对应点,连接EB',FD'相交于点O.
图T8-9
简单应用:
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是;
(2)当图③中的∠BCD=120°时,∠AEB'= ;
(3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有个(包含四边形ABCD).
拓展提升:
当图③中的∠BCD=90°时,连接AB',请探求∠AB'E的度数,并说明理由.
参考答案
1.k
2.140°
3.12.537.5
4.1.2
5.C
6.2
7.≤CQ≤12
8.解:(1)∵A(-1,0),B(4,0)在抛物线y=ax2+bx-2上,则①×4+②,得20a-10=0,a=, 把a=代入①,得b=-,∴抛物线的解析式为y=x2-x-2.则C.
(2)∵A(-1,0),B(4,0),抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,-2),如图,
抛物线的对称轴与x轴的交点为M,
∵AD2=12+22=5,
AB2=(4+1)2=25,
BD2=42+22=16+4=20,
则AD2+BD2=AB2,
由勾股定理的逆定理,知△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,以M为圆心,以MA为半径作圆,则☉M经过点D,
则☉M内抛物线上的所有的点都可以是P点,且使∠APB为钝角,
根据抛物线及圆的对称性,☉M与抛物线的另一个交点坐标为(3,-2),
则满足条件的m的取值范围为:-1 9.(4,0) 10.(0,12)或(0,-12)[解析] 如图①,以AB为斜边作等腰直角三角形APB,点E为AB的中点,以点P为圆心,PA长为半径画圆,得到☉P,☉P与y轴交于点C,连接PE,PC. ∵△APB是等腰直角三角形,点A(4,0),点B(-6,0), ∴AB=10,点E(-1,0),AE=BE=5, ∴EP=AB=5(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半), PE⊥AB(三线合一), ∴PA=PB=5. 过点P作PF⊥y轴于点F,则OF=PE=5,PF=OE=1. ∵PF⊥y轴,PC=PA=5, PF=1,∴FC=7, ∴OC=OF+FC=12, ∴点C的坐标为(0,12). 同理可作图如图②, 求出点C的坐标为(0,-12), 综上所述,点C(0,12)或(0,-12). 11.解:(1)证明:∵CA=CB,∠ACB=90°, ∴∠A=∠ABC=45°, ∵△CEF是由△CAD逆时针旋转角α得到,α=90°,∴CB与CE重合, ∴∠CBF=∠A=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°, ∵BG=AD=BF, ∴∠BGF=∠BFG=45°, ∴∠A=∠BGF=45°,∴GF∥AC. (2)①如图①,∵CA=CE,CD=CF, ∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD, ∵∠ACD=∠ECF,∴∠ACE=∠DCF, ∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°, ∴∠CAE=∠CDF,∴A,D,M,C四点共圆, ∴∠CMD=180°-∠CAD=135°. ②如图②,O是AC中点,连接OD,CM. ∵AD=DB,CA=CB, ∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°, 由①可知A,D,M,C四点共圆, ∴当α从90°变化到180°时, 点M在以AC为直径的☉O上,运动路径是弧CD, ∵OA=OC,CD=DA, ∴DO⊥AC,∴∠DOC=90°, ∴的长==. ∴当α从90°变化到180°时,点M运动的路径长为. 12.解:简单应用:(1)因为平行四边形和菱形中不一定有直角,矩形两条邻边不一定相等,所以一定为“完美筝形”的是正方形. (2)在图③中,因为∠BCD=120°,∠BCE=∠ECF=∠FCD, 所以∠BCE=∠ECF=∠FCD=40°.又因为∠B=90°,所以∠BEC=50°, 所以∠B'EC=50°,所以∠AEB'=180°-50°-50°=80°. (3)当图②中的四边形AECF为菱形时,对应图③中的“完美筝形”有5个.理由如下: 根据题意得:BE=B'E,BC=B'C,∠B=∠CB'E=90°,CD=CD',FD=FD',∠D=∠CD'F=90°, ∴四边形EBCB'、四边形FDCD'是“完美筝形”; ∵四边形ABCD是“完美筝形”, ∴AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°, ∴CD'=CB',∠CD'O=∠CB'O=90°, ∴∠OD'E=∠OB'F=90°, ∵四边形AECF为菱形, ∴AE=AF,CE=CF,AE∥CF,AF∥CE, ∴D'E=B'F,∠AEB'=∠CB'E=90°,∠AFD'=∠CD'F=90°, 在△OED'和△OFB'中, ∴△OED'≌△OFB'(AAS), ∴OD'=OB',OE=OF, ∴四边形CD'OB'、四边形AEOF是“完美筝形”, ∴包含四边形ABCD,对应图③中的“完美筝形”有5个; 故答案为5. 拓展提升:∠AB'E=45°. 理由如下:∵∠BCD=90°,∴四边形ABCD是正方形, ∴∠BAD=90°, ∵∠EB'F=90°,∴∠BAD+∠EB'F=180°, ∴A,E,B',F四点共圆. 易证AE=AF,∴=, ∴∠AB'E=∠AB'F=∠EB'F=45°. 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
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