复习课: 第三章直线与方程
教学目标
重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系．
难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决．
能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力．教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用．
自主探究点：1．由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系；
2．能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程；
3．能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题．
考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目．
易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错．
易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件．
拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究．
学法与教具
1．学法：讲练结合，自主探究
2．教具：多媒体课件，三角板
一、【知识结构】
二、【知识梳理】
1．直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
①定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴________与直线l ________方向之间所成的角α
叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________． ②倾斜角α的范围为______________． （2）直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即
k =________，倾斜角是90?的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式为k =______________________．当
12x x ≠时，直线的斜率__________．
（3）直线的倾斜角α与斜率k 的关系
当α为锐角时，α越大?k 越____；当α为钝角时，α越大?k 越____；
答案：1．（1） ①正向，向上，0?
；②0180α??≤<； （2） ①正切值，tan α；②21
21
y y x x --．不
存在．（3）大，大．
2．00()y y k x x -=-，y kx b =+，
112121y y x x y y x x --=--，1x y a b
+=，22
0(0)Ax By C A B ++=+≠．
垂直于x 轴；垂直于x 轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点． 3．两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，则有12//l l ?____________．特别地，当直线
的斜率1l 、2l 都不存在时，1l 与2l ________．
（2）两条直线垂直
如果两条直线斜率1l 、2l 存在，设为1k 、2k ，则12l l ⊥?____________，当一条直线斜率为零，另
一条直线斜率不存在时，两直线________．
4．两直线相交
交点：直线1l ：1110A x B y C ++=和2l ：2220A x B y C ++=的公共点的坐标与方程组
1112220
A x
B y
C A x B y C ++=??
++=?的解一一对应． 相交?方程组有__________，交点坐标就是方程组的解； 平行?方程组________；
重合?方程组有______________．
5．三种距离公式
（1）点()11,A x y 、()22,B x y 间的距离：
AB = ．
（2）点()00,P x y 到直线l ：0Ax By C
++=的距离：
d = ．
（3）两平行直线1l ：1110A x B y C ++=与2l ：2220A x B y C ++= （12C C ≠）间的距离为d =______________．
6．直线中的对称问题有哪些？（学生讨论）如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称直
线以及直线关于点的对称直线呢？
三、【范例导航】
例1 已知直线:20l mx y m -++=与以()2,3A --、()3,0B 为端点的线段相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．
【分析】可用两点式写出直线AB 的方程，联立直线l 和AB 的方程，解出交点的坐标M ，利用23M x -≤≤，解出m 的取值范围，由m 与斜率k 的关系，即得斜率k 的取值范围．这样求解，显然非常繁琐，不宜采用．既然直线l 的方程中含有参数m ，可以得到直线l 必过一定点P ，将直线l 绕定点P 转动，寻找与线段AB 相交的位置．由“直线l 与线段AB 相交”展开联想．
（1）结合图形，运用运动变化的观点，考虑直线斜率与倾斜角的变化关系，可求出符合条件的直线斜率的取值范围．
（2）直线l 与线段AB 相交于点M ，则点A 、B 分别在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上，可考虑利用不等式表示的平面区域求解．
【解答】直线l 的方程可以化为()()210y m x -+++=，它表示经过直线20y -+=和10x +=的交
点的直线方程，由20,10,y x -+=??
+=?解得1,
2,
x y =-??=?所以直线l 必过定点(1,2)P -．
法一：设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β．5PA k =，1
2
PB k =-
．如图，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，其倾斜角由α增至0
90，斜率k 的变化范围是[)5,+∞．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，其倾斜角由0
90增至β，斜率k 的变化范围是1,2
??-∞ ??
?
．
故斜率k 的取值范围是[)1,5,2
??-∞+∞ ??
?
．
法二：设直线l 的方程为()21y k x -=+，即20kx y k -++=．
∵点A 、B 分别在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上，∴()()2323020k k k k -+++-++≤， 解得5k ≥或12k ≤-
．故斜率k 的取值范围是[)1,5,2?
?-∞+∞ ??
? ．
【点评】（1）求直线过定点的步骤是：①将直线方程整理为()(),,0f x y mg x y +=（其中m 为参数）；
②解方程组()(),0,
,0,
f x y
g x y =???=??即得定点坐标．
（2）本题确定直线斜率k 的取值范围用了以下两种方法：
①数形结合法：根据直线的变化规律，借助直线的倾斜角α与斜率k 的关系：“当α为锐角时，α越大?k 越大()0k >；当α为钝角时，α越大?k 越大()0k <”去探究k 的变化规律．
②利用不等式表示的平面区域：当()11,A x y 、()22,B x y 在直线0Ax By C ++=的异侧时，则
()()11220Ax By C Ax By C ++++<；当()11,A x y 、()22,B x y 在直线0Ax By C ++=的同侧时，则()()11220Ax By C Ax By C ++++>．
变式训练：在上述条件中，若P 点坐标为()3,2-，则直线l 的斜率的取值范围有何变化？ 解 当P 点坐标为()3,2-时，5PA k =-，1
3
PB k =-．直线l 由PA 转动到PB 的过程中，直线l 的斜率始终是存在的，故斜率k 的取值范围是15,3
??--???
?
．
例2 求适合下列条件的直线方程：
（1） 过点(1,3)A --，斜率是直线3y x =的斜率的1
4
-； （2） 经过点(3,2)P ，且在两坐标轴上的截距相等；
（3） 过点(1,1)A -与已知直线1:260l x y +-=相交于B 点且5AB =．
【分析】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件． 【解答】（1） 设所求直线的斜率为k ，依题意13
344
k =-?=-．又直线经过点(1,3)A --， 由点斜式,得直线方程为3
3(1)4
y x +=-
+，即34150x y ++=． （2）法一：设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ．
①若0a =，则l 过点(0,0)和(3,2)，由点斜式，得l 的方程为2
3
y x =，即230x y -=． ②若0a ≠，则设l 的方程为1x y a a +=，∵l 过点(3,2)，∴32
1a a
+=，解得5a =， ∴l 的方程为50x y +-=．
综上可知，直线l 的方程为230x y -=或50x y +-=．
法二：由题意，所求直线的斜率必定存在．设所求直线方程为()32y k x -=-，它在x 轴、y 轴上的截距分别为3
2k
-
、32k -，于是3232k k -=-，解得32k =或1k =-，所以直线方程为
()3
322
y x -=
-或()32y x -=--，即230x y -=或50x y +-=． （3）法一：过点(1,1)A -与y 轴平行的直线为1x =．解方程组1
260x x y =??+-=?
，求得B 点坐标为
(1,4)，此时5AB =，即1x =为所求．
设过(1,1)A -且与y 轴不平行的直线为1(1)y k x +=-，解方程组260,
1(1),x y y k x +-=??+=-?
得两直线交点为
7,2
42,
2k x k k y k +?
=??+?
-?=?+?
（2k ≠-，否则与已知直线平行），则B 点坐标为742(,)22k k k k +-++． 由已知222742(
)()522k k k k +-+=++，解得34k =-，∴3
1(1)4
y x +=--，即3410x y ++=．
综上可知，所求直线的方程为1x =或3410x y ++=．
法二：设(),62B a a -，由5AB =，得()()2
2
17225a a -+-=，整理，得2
650a a -+=，解得1
a =或5a =．由两点式，得直线的方程为1x =或3410x y ++=．
【点评】（1）用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
（2）求直线方程需要两个条件．当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程，如第（1）题；当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程，如第（2）和第（3）题．
（3）对于直线上的点，我们往往运用直线方程，将该点的坐标一元化，从而简化运算过程，如第（3）题的法二，若设(),B a b ，则需列方程组求解，过程较为繁琐．
变式训练： 求满足下列条件的直线l 的方程： （1） 过点(0,2)A ，它的倾斜角的正弦值是
35
； （2） 过点(2,1)A ，它的倾斜角是直线1:3450l x y ++=的倾斜角的一半； （3） 过点(2,1)A 和直线230x y --=与2320x y --=的交点． 答案（1） 3480x y -+=或3480x y +-=．（2） 350x y --=．
（3） 法一：由230,2320,
x y x y --=??--=?解得交点坐标为()5,4--，由两点式，得所求直线方程为
5730x y --=．
法二：设所求直线方程为()()232320x y m x y --+--=（其中m ∈R ），将点(2,1)A 代入，解得
3m =-，从而所求直线方程为5730x y --=．
例3. （1）已知两直线1l ：2
60x m y ++=，2l ：()2320m x my m -++=，若12//l l ，求实数m 的值；
（2）已知两直线1l ：260ax y ++=和2l ：()()
2
110x a y a +-+-=．若12l l ⊥，求实数a 的值．
【分析】（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线1l 和
2l ，12//l l ?12k k =，12l l ⊥?121k k ?=-．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少
一定要特别注意．
（2）①若直线1l 和2l 有斜截式方程1l ：11y k x b =+，2l ：22y k x b =+，则12
l l ⊥?121k k ?=-．
②设1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=．则：12l l ⊥?12120A A B B +=． 【解答】（1）方法一：①当0m =时，1l ：60x +=，2l ：0x =，12//l l ；
②当0m ≠时， 1l ：2216y x m m =--， 2l ：22
33
m y x m -=-，
由2123m m m --=且2623m -≠-，
∴1m =-．
故所求实数m 的值为0或1-．
方法二:直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=平行的等价条件是：
12210A B A B -=且12210B C B C -≠或12210AC A C -≠，由所给直线方程可得：
()21320m m m ?--=且()12620m m ?--≠()2230m m m ?--=且3m ≠
0m ?=或1-，故所求实数m 的值为0或1-．
（2） 方法一：由直线1l 的方程知其斜率为2
a
-，
当1a =时，直线2l 的斜率不存在，1l 与2l 不垂直；
当1a ≠时，直线2l 的斜率为1
1
a --，
由121213
a a a ??-?-=-?= ?
-??． 故所求实数a 的值为2
3
．
方法二: 直线1l ：1110A x B y C ++=，2l ：2220A x B y C ++=垂直的等价条件是12120A A B B +=．
由所给直线方程可得：()212103a a a ?+?-=?=，故所求实数a 的值为2
3
．
【点评】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键，注意转化与化归思想的应用．
变式训练:已知两直线1l ：80mx y n ++=和2l ：210x my +-=．试确定m 、n 的值，使
（1） 1l 与2l 相交于点(),1P m -； （2） 12//l l ； （3） 12l l ⊥，且1l 在
y 轴上的截距为1-．
答案：（1）由题意得：280
210
m n m m ?-+=?--=?，解得1,7m n ==．
（2）当0m =时，显然1l 不平行于2l ；
当0m ≠时，由821m n m =≠
-得()2
820
810m mn ?-?=???--≠??
， ∴42m n =??≠-?，或42m n =-??≠?
．
即4,2m n =≠-时或4,2m n =-≠时，12//l l ．
（3）当且仅当280m m ?+?=，即0m =时，12l l ⊥，又18
n
-=-，∴8n =． 即0m =，8n =时，12l l ⊥且1l 在
y 轴上的截距为1-．
例4．求经过直线1l ：3210x y +-=和2l ：5210x y ++=的交点，且垂直于直线3l ：3560x y -+=的直线l 的方程．
【分析】运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：（1）与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是：()0Ax By m m m C ++=∈≠R 且 ；（2）与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程是
()0Bx Ay m m -+=∈R ；（3）过直线1l ：1110A x B y C ++=与2l ：2220A x B y C ++=的交点的直线系
方程为()()1112220A x B y C A x B y C λλ+++++=∈R ，但不包括2l ．
【解答】方法一：先解方程组32105210
x y x y +-=??
++=?，得1l 、2l 的交点坐标为()1,2-，再由3l 的斜率3
5求出l 的斜
率为53-，于是由直线的点斜式方程求出l ：()5
213
y x -=-+，即5310x y +-=.
方法二： 由于3l l ⊥，故l 是直线系530x y C ++=中的一条，而l 过1l 、2l 的交点()1,2-，故
()51320C ?-+?+=，由此求出1C =-，故l 的方程为5310x y +-=.
方法三： 由于l 过1l 、2l 的交点，故l 是直线系()3215210x y x y λ+-+++=中的一条，将其整理，得
()()()352210x y λλλ++++-+=，其斜率355223λλ+-
=-+，解得1
5
λ=，代入直线系方程即得l 的方程
为5310x y +-=.
【点评】准确定位直线的各个要素才能快速求出直线方程，常规方法及直线系方程的恰当使用能够起到事半功倍的效果．
变式训练：直线l 被两条直线1l ：430x y ++=和2l ：3550x y --=截得的线段的中点为()1,2P -，
求直线l 的方程．
答案：设直线l 与1l 的交点为()00,A x y ，由已知条件，得直线l 与2l 的交点为()002,4B x y ---，并且满足
()()0000430325450x y x y ++=??
-----=?
，即000043035310x y x y ++=??-+=?，解得：002
5x y =-??=?，因此直线l 的方程为： ()()
125221x y ---=----，即310x y ++=． 四、【解法小结】 1．斜率的求法
（1） 定义法：已知倾斜角α，可根据tan k α=求解；
（2）公式法：已知直线上两点()11,A x y 、()22,B x y ()12x x ≠，可根据斜率公式21
21
y y k x x -=
-（该公
式与两点顺序无关）求解．
2．求直线方程．直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性．
（1）直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程．
（1）待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程．
3．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线1l 、2l ，
12//l l ?12k k =，12l l ⊥?121k k ?=-．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什
么一定要特别注意．
4
．在运用两平行直线间的距离公式d =x ，y 项系数化为分别
相等的系数．
五、【布置作业】 必做题：
1．已知0a >，若平面内三点2
3
(1,),(2,),(3,)A a B a C a -共线，则a = ． 2．经过点(1,4)P 的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，求直线的方程．
3.已知直线1l ：()()3410k x k y -+-+=与2l ：()23230k x y --+=平行，则k 的值是 ． 4．若直线1l ：()4y k x =-与直线2l 关于点()2,1对称，则直线2l 恒过定点是 ． 5．已知250x y ++=
的最小值是 ．
6．设直线l 经过点()1,1-，则当点()2,1-与直线l 的距离最大时，直线l 的方程为 ．
答案：
1
．1 2．260x y +-= 3．3或5；4．()0,2；5
6．3250x y -+= 选做题：
1．已知直线():120l kx y k k -++=∈R ． （1）证明直线l 过定点；
（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；
（3）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，求使
AOB 面积最小时直线l 的方程．
2.已知直线l ：2310x y -+=，点()1,2A --．求：
（1）点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；
（2）直线m ：3260x y --=关于直线l 的对称直线m '的方程；
（3）直线l 关于点()1,2A --对称的直线l '的方程． 答案：
1．（1）定点()2,1-；（2）[
)0,+∞；（3）240x y -+=．
2. 【解答】（1）设(),A x y '，由已知22113
12231022y x x y +?
?=-??+?--??-?+=??，解得：3313413x y ?=-????=??
，
∴334,1313A ??
'- ??
? （2）在直线m 上取一点，如()2,0M ，则()2,0M 关于直线l 的对称点M '必在直线m '上．设对称点
(),M a b '，则20231022021
23a b b a ?++?????-?+= ? ????????-??=-?-?
，得630,1313M ??' ???，
设直线m 与直线l 的交点为N ，则由2310
3260
x y x y -+=??--=?得()4,3N ．
又∵m '经过点()4,3N ，，∴由两点式得直线m '的方程为9461020x y -+=．
（3）方法一 在l ：2310x y -+=上任取两点，如()1,1M ，()4,3N ，则,M N 关于点()1,2A -- 的对称点,M N ''均在直线l '上，易得()3,5M '--，()6,7N '--，再由两点式可得l '的方程为
2390x y --=．
方法二 ∵//l l '，∴设l '的方程为()2301x y C C -+=≠，
∵点()1,2A --到两直线l ，l '
的距离相等，∴由点到直线的距离公式得：
=
，解得
9C =-，∴l '的方程为2390x y --=．
方法三 设(),P x y 为l '上任意一点，则(),P x y 关于点()1,2A --的对称点为()2,4P x y '----，
∵点P '在直线l 上，∴()()223410x y -----+=，即2390x y --=． 【点评】（1）点关于线对称，转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．
（2）线关于线对称，转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，转化为点关于点的对称问题．
六、【教后反思】
1．本教案的亮点是：直线方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式等都是直线方程的特殊形式，都具有明显的几何意义，但又都有一些特定的限制条件，如点斜式方程的使用要求直线存在斜率；截距式方程的使用要求横纵截距都存在且均不为零；两点式方程的使用要求直线不与坐标轴垂直．因此要启发学生在应用时关注它们各自适用的范围，以免漏解.对两直线的位置关系选题典型，特别强化了基本运算的转化，涉及了中点问题，为后续复习做好了铺垫．让学生在课堂中提出问题、讨论、讲解，问题的解决非常好．
2．本教案的弱项是：因为课堂时间的问题没有能在例题中凸显距离问题的计算，课堂实际中学生展现的做法很多，没能一一给出详解．
第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°， 得到直线，则的倾斜角为（）。 A. B. C. D. 当0°≤α＜135°时为，当135°≤α＜180°时，为 题型二求直线的斜率 例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练：已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值. 题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）. A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2
拓展一三点共线问题 例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 变式训练: 若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）. A． B． C． D． 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 变式训练： 已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.
拓展三利用斜率求最值 例 6 已知实数、满足当2≤≤3时，求的最大值与最小值。 变式训练：利用斜率公式证明不等式：且 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）： 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？ 变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（）. A．4 B．1 C．1或3 D．1或4
直线与方程复习课教学的设计及反思 复习课不同于练习课. 一节课，若学生练得太多，老师固然 轻松，但由于学生无法形成知识系统，学生会觉得这样复习乱而无益，收获不大；若老师讲得太多，重视技巧，忽略基础，师生双方都会疲惫不堪. 这样势必造成学生对复习感到厌烦，不但没有起到 “温故知新”的效果，还削弱了学生对数学学习的兴趣与劲头. 复习时，应对复习课的形式进行新的尝试，以期吸引学生的注意力， 要把课本比较分散的知识点串联成知识链，建立知识点系统框架， 着重培养学生对旧有知识的总结归纳能力与应用知识能力，并鼓励 学生大胆尝试用新方法解决旧问题，培养学生的创新能力，为学生的可持续发展奠定基础. 这很像美术上的素描手法. 素描可以用单色线条（也可以用两种或两种以上的颜色）或涂抹成面等方式来表 现直观世界中的事物，亦可以表达思想、概念、态度、感情、幻想、象征甚至抽象形式，它不像绘画那样重视总体和彩色，而是着重结构和形式. 前段时间笔者用素描的方式上了一节公开课，内容是“直线与 方程（单元复习课）” . 本文围绕这节课的教学设计以及反思过 程，谈谈复习课教学的一点体会. 一、教学内容分析平面解析几何联系着“代数学”和“几何学”，学生通过本章的学习达到基本了解平面解析几何的理论基础，掌握直线与方
程的联系，并学会利用直线的方程解决相关几何问题的目的在解析几何中，直线是最简单的曲线，方程的形式也较为简单，相关的位置关系也是学生在初中已经获得的认知，因此，在本章节的学习过程中，主要应以理论依据为基石，熟悉方法为目的，使学生获得快速有效的发现问题本质并熟练解决问题的能力. 二、教学目标 知识技能：（1）通过对本章知识的整合，对直线与方程的相关问题进行梳理，明确知识点间的内在联系，进一步提高分析和解决问题的能力. （2）通过几个具体题目的分析与解答，锻炼学生自己构造题目，体验数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想. 问题解决：教师引导，学生讨论. 情感态度：锻炼学生归纳整合的能力，进一步激发学生学习 数学的兴趣. 三、教学重难点 重点：（1）数学概念的深刻理解与清楚辨析；（2）熟练运用各种数学思想方法解决数学问题. 难点：根据题设合理选择适当的方法. 四、教学设计思路直线与方程是解析几何中较为重要和基础的内容，笔者在设计这节课时主要是想尽量以学生为主体，发挥学生的主动性，让学生自己添加条件，逐渐丰满题目，用素描的方式渐渐完成一节课的主要内容复习. 因此采取了如下的教学设计思路：一道开放性问题开路f温故知新―师生讨论f借助三角形模型
第三章 直线与方程 ３.1 直线的倾斜角与斜率 3.１．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 １.直线的倾斜角: ２.直线的斜率: 3.直线的斜率公式: 【典型例题】 题型 一 求直线的倾斜角 例 １ 已知直线l 的斜率的绝对值等于3,则直线的倾斜角为（ ). Ａ. 6０° B ． ３０° Ｃ. 60°或120° D. ３0°或１50° 变式训练： 设直线l 过原点,其倾斜角为α,将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转4５°,得到直线1l ,则 1l 的倾斜角为( ）。 A. 45α+? B ． 135α-? C. 135α?- Ｄ. 当0°≤α＜1３5°时为45α+?,当１3５°≤α＜1８0°时,为135α-? 题型 二 求直线的斜率 例 ２如图所示菱形ＡBCD 中∠BAD =6０°，求菱形A ＢＣD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练： 已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°,求实数m 的值. 题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系 例３右图中的直线l １、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ）. A .k 1＜k 2<ｋ3? Ｂ． ｋ3 变式训练: 若三点P (2，3)，Q （3,a ),R (4，b )共线,那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B.1b a -= C.23a b -= D.23a b -= 拓展 二 与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- ３) , B (3, 0) ,过点Ｐ （-1， ２）的直线l 与线段AB 始终有公共点,求直线l 的斜率k 的取值范围. 变式训练: 已知(2,3),(3,2)A B ---两点,直线l 过定点(1,1)P 且与线段ＡＢ相交,求直线l 的斜率k 的取值范围. 拓展 三 利用斜率求最值 例 6 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x 的最大值与最小值。 变式训练： 利用斜率公式证明不等式:(0a m a a b b m b +><<+且0)m > 3.1.２ 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之， 如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2 直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 考点1：倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 例1例1. 若θ为三角形中最大内角，则直线0tan :=++m y x l θ的倾斜角的范围是（ ） A.??? ?????? ??32,22,0πππ B.??? ?????? ??32223ππππ，， C.??? ?????? ??πππ，，330 D.?? ? ?????? ??πππ，，3220 2 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．,63ππ?????? B ．,62ππ?? ??? C ．,32ππ?? ??? D ．,62ππ?????? （二）直线的斜率及应用 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例2、设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++= 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3．已知直线l 则直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 4．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -= 5．右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2 6．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ . 7．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 8．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围. 9、直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 考点2：求直线的方程 例3. 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 2、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是（ ）A. x ＋y －5＝0 B. 2x －y －1＝0 C. 2y －x －4＝0 D. 2x ＋y －7＝0 3、直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线方程为________． 4、过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_____________． 5、已知点A (2，－3)是直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0与直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点，则经过两个不同点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x －3y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0 C ．2x －3y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0 6、.过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)的距离相等的直线方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0 7.如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半轴于A 、B 两点。（1）当⊿AOB 直线与方程专题复习 专题复习 直线与方程 【基础知识回忆】 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 ③倾斜角α的范围 . （2）直线的斜率 ①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点))(,(),,(21222111x x y x P y x P ≠两点的斜率公式为：=k ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。倾斜角为 的直线斜率不存 在。 2.两直线垂直与平行的判定 （1）对于不重合的两条直线21,l l ，其斜率分别为21,k k ，，则有： ?21//l l ? ； ?⊥21l l ? . （2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ；当一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在时，两条直线 . 3.直线方程的几种形式 一般式 ) 0(0 22≠+=++B A c By Ax 注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式. 4.三个距离公式 （1）两点),(),,(222111y x P y x P 之间的距离公式是：=||21P P . （2）点),(00y x P 到直线0:=++c By Ax l 的距离公式是：=d . （3）两条平行线0:,0:21=++=++c By Ax l c By Ax l 间的距离公式是：=d . 【典型例题】 题型一：直线的倾斜角与斜率问题 例1、已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(+-C B A . （1）求直线AC BC AB 、、的斜率和倾斜角. （2）若D 为ABC ?的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的变化范围. 例2、图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则： A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3 ＜k 2 例3、利用斜率证明三点共线的方法： 若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值 为 . 高一数学必修 2 直线与方程知识点总结 (一)高一数学必修2 直线与方程知识点总结一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0180 (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即。斜 率反映直线与轴的倾斜程度。 当时，; 当时，; 当时，不存在。②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1) 当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90 (2)k 与P1、P2 的顺序无关;(3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0 时，k=0 ，直线的方程是y=y1 。 当直线的斜率为90 时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示. 但因l 上每一点的横坐标都 等于x1 ，所以它的方程是x=x1 。 ②斜截式：，直线斜率为k，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：（）直线两点，④截矩式： 其中直线与轴交于点, 与轴交于点, 即与轴、轴的截距分别为。 ⑤ 一般式：（A ，B 不全为0） 注意：各式的适用范围特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：（b 为常数）; 平行于y 轴的直线：（a 为常数）; （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系 平行于已知直线（是不全为0 的常数）的直线系：（C 为常数） （二）垂直直线系 垂直于已知直线（是不全为0 的常数）的直线系：（C 为常数） （三）过定点的直线系 （ⅰ ）斜率为k 的直线系：，直线过定点; （ⅱ ）过两条直线，的交点的直线系方程为 （为参数），其中直线不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直 第三章直线与方程 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角与斜率 设直线I斜率为k且1 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0, 2 5)，试判断^与12是否平行？ 2 变式训练：经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，贝U m的值是(). A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A的坐标. 变式训练：(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2，-1 )、Q (3，-6)，问h与12是否垂直？ (2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3)，直线S经过点C (2，3)、D (-1，a-2) (1)如果I1//I2，则求a的值；(2)如果11丄12，则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状. 复习课: 第三章直线与方程 教学目标 重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系． 难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决． 能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力．教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用． 自主探究点：1．由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系； 2．能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程； 3．能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题． 考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目． 易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错． 易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件． 拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究． 学法与教具 1．学法：讲练结合，自主探究 2．教具：多媒体课件，三角板 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1．直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴________与直线l ________方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________． ②倾斜角α的范围为______________． （2）直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即 k =________，倾斜角是90?的直线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式： 经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式为k =______________________．当 12x x ≠时，直线的斜率__________． （3）直线的倾斜角α与斜率k 的关系 当α为锐角时，α越大?k 越____；当α为钝角时，α越大?k 越____； 第三章 直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即k=tan α。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180 ,90∈α时，0 第三章：直线与方程的知识点 一、基础知识 倾斜角与斜率 1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<或),0[πα∈ 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点 1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2 1 21y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α?<，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α?< 直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 基础卷 一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是 （A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α （C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为 （A ）3 （B ）－3 （C ）33 （D ）－3 3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是 （A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4 3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为 （A ）4π （B ）54π （C ）4π或54 π （D ）－4π 5．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α=－5 4，则直线l 的斜率为 1 § 3.3.3章未复习提高 1． 掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式； 2． 掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以 及直线方程知识的灵活运用； 3． 掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离 公式及其公式的运用 . 一．直线的倾斜角与斜率 1．倾斜角的定义， 倾斜角α的范围， 斜率公式k =，或. 二．直线的方程 三．两直线的位置关系 四．距离 1． 两点之间的距离公式， 2． 点线之间的距离公式， 3． 两平行直线之间的距离公式. 二、新课导学： ※ 典例分析 例1如图菱形ABCD 的60O BAD ∠=，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 例2 已知在第一象限的ABC ?中，(1,1),(5,1)A B ， 60,45O O A B ∠=∠=.求 ⑴AB 边的方程； ⑵AC 和BC 所在直线的方程. 例3求经过直线326x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距 相等的直线方程. 例 4 已知两直线1:40l a x b y -+=， 2:(1)l a x y -+ 0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值. ⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂 直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等. 例5 过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ?面积最小时，求直线l 的方程. 2 ※ 动手试试 练1. 设直线l 的方程为(2)3m x y m ++=,根据下列条件分别求m 的值. ⑴l 在x 轴上的截距为2-； ⑵斜率为1-. 练2．已知直线l 经过点(2,2)-且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程． 练3.(对称问题)已知点A 的坐标为(－４，４），直 线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； (2)直线l 关于点A 的对称直线l '的方程. 三、总结提升： ※ 学习小结 1．理解直线的倾斜角和斜率的要领，掌握过两点的斜率公式；掌握由一点和斜率写出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般 式，并能根据条件熟练地求出直线方程. 2．掌握两条直线平行和垂直的条件，点到直线的距离公式；能够根据直线方程判断两直线的位置关系. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分： 10分）计分： 1. 点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（ ）. A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)- 2．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（ ）. A ．恒过定点(2,3)- B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(2,3)-和(2,3) D ．都是平行直线 3．已知点(3,)m 到直线40x -=的距离等于1，则m =（ ）. A B ． C ． D 4．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a =. 5． 将直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是. 1．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a - 0=. ⑴若12//l l ，试求a 的值； ⑵若12l l ⊥，试求a 的值 2．两平行直线12,l l 分别过点1(1,0)P 和(0,5)P ， ⑴若1l 与2l 的距离为5，求两直线的方程； ⑵设1l 与2l 之间的距离是d ，求d 的取值范围. 必修二 第一章 空间几何体 知识点： 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3= 3、球的体积公式：33 4 R V π= ，球的表面积公式：24 R S π= 4、柱体h s V ?=，锥体h s V ?=31，锥体截面积比：22 2 1 21h h S S = 5、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积； l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积： l r S ??=π侧面 典型例题： ★例1：下列命题正确的是( ) Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形 Ｂ.棱锥的底面一定是三角形 Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 ★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A 21 倍 B 42倍 C 2倍 D 2倍 ★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（ ） Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱 Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱 Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱 ★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A ．28cm π B 2 12cm π. C 216cm π． D ．220cm π 二、填空题 ★例1：若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________． ★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识点： 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简 称线线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简 称线面平行，则面面平行）。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称 面面平行，则线线平行）。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和 这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 （简称线线垂直，则线面垂直）。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直， I直线方程知识点总结 一、基础知识梳理 知识点 1：直线的倾斜角与斜率 （ 1）倾斜角：一条直线向上的方向与X 轴的所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 （ 2）斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称倾斜角的为该直线的斜率，即k=tan 注记：所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.（当=90 0时，k 不存在）（3）过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠ x2)的直线的斜率公式： k=tan y 2 y 1（当x 1＝x2时，k不存在，此时直线的倾斜角为900） . x2x1 知识点 2：直线的方程名称方程 斜截式y=kx+b 点斜式y-y0=k( x-x0) 两点式y y 1 =y y1 y2y1y2y1 截距式x y +=1 a b 一般式Ax+By+C=0已知条件局限性 k——斜率 b——纵截距 (x0， y0)——直线上 已知点， k——斜率 (x1，y1) ，(x2，y2)是直线上 两个已知点 a——直线的横截距 b——直线的纵截距 A C C ，，分别为 B A B A、 B 不能同时为零斜率、横截距和纵截距 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 二、规律方法提炼 1、斜率的求法一般有两种方式 （ 1）已知倾斜角,利用k tan ；（2）已知直线上两点，利用 k y2y 1 ( x1 x 2 ) x2x1 2、求直线的一般方法 （1）直接法：根据已知条件选择适当的直线方程，选择时应注意方程表示直线的局限性； （2）待定系数法：先设直线方程，根据已知条件求出待定系数，最后先出直线方程； 3、与直线方程有关的最值问题的求解策略： ○1 首先，应根据问题的条件和结论，选取适当的直线方程形式，同时引进参数； ○2 然后，可以通过建立目标函数，利用函数知识求最值；或通过数形结合思想求最值. II两直线的位置关系(推荐)高中数学直线与方程知识点总结
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