以三角函数为载体的导数压轴题汇编
1．已知函数．
（1）当 时，求曲线在处的切线方程； （2）当 时，判断在上的单调性，并说明理由；
（3）当 时，求证：，都有 ．
分析：
（1）根据题意，当时，，计算其导数进而可得，又由
，由直线的点斜式方程计算可得答案；
（2）根据题意，求出的导数，由a 的范围，结合函数的单调性与函数导数的关系分析可得结论；
（3）根据题意，分与两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性与最小值，综合即可得答案． 解答：
(1)当时，，
则有，则．
又，
所以曲线在处的切线方程为；
(2)因为，
所以，
因为，所以．
ax x e x f x
-=sin )(0=a )(x f y =))0(,0(f 0≤a )(x f ]43,0[π1 -=sin )(a x e a x x e x f x x -+=-+=)4sin(2)cos (sin )('π]43,0[π∈x ],4 [4πππ∈+x 所以，所以 当时，， 所以在区间单调递增； (Ⅲ)证明：由(Ⅱ)可知，当时，在区间单调递增， 所以时，． 当时，设， 则 ， ，随的变化情况如下表： ＋ 0 － 递增 极大值 递减 所以)在上单调递增，在上单调递减， 因为，， 所以存在唯一的实数，使得， 且当，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 又 ，， 0)4sin(2≥+πx e x 0≤a 0)('≥x f )(x f ]4 3,0[π0≤a )(x f ]43,0[π]43,0[π∈x 0)0()(=≥f x f 10< ,0(π2π)43,2(ππ4 3π)('x g )(x g a -1)(x g )(x g a -)(x f ]2,0[π]43,2(ππ01)0('>-=a f 0)4 3('<-=a f π)43,2(0ππ∈x 0)('0=x f ),0(0x x ∈0)('>x f ]43,(0πx x ∈0)(' 3,[0πx 0)0(=f 02 33224322()24 34 3>->-?>-?=πππ π e e a e f 所以当时，对于任意的，． 综上所述，当时，对任意的，． 2．已知函数． （1）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （2）当 时，求在区间 上的最大值和最小值； （3）当时，若方程 在区间 上有唯一解，求 a 的取值范围． 分析： （1）求得的解析式和导数，可得切线的斜率、切点，由斜截式方程可得切线的方程； （2）求得函数的导数，判断单调性，计算可得最值； （3）求得导数，构造函数，求得导数，判断符号，可得单调性，由函数零点存在定理，可得f （x ）的单调性，结合条件可得a 的范围． 解答： （1）当时，， 所以，． 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）当时，， 所以． 当时，，，所以． 10< 3,0[π∈x 0)(≥x f R a x x a x x x f ∈++=,cos sin )(1-=a )(x f y =))0(,0(f 2=a )(x f ]2 ,0[π2>a 03)(=-x f ]2,0[π)(x f 1cos sin )1()(++-=x x x a x h 1-=a x x x x x f +-=cos sin )(1cos sin 2)('++=x x x x f 1)0('=f 1)0(-=f )(x f y =))0(,0(f 1-=x y 2=a x x x x x f ++=cos 2sin )(1cos sin )('++-=x x x x f )2 ,0(π∈x 0sin 1>-x 0cos >x x 0)('>x f 所以在区间上单调递增。 因在区间上的最大值为，最小值为； （3）当时，， 设，， 因为，，所以． 所以在区间上单调递减， 因为，， 所以存在唯一的，使，即． 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减。 因为，， 又因为方程在区间上有唯一解， 所以的取值范围是． 3．已知函数 ． （1）若 ，讨论方程 根的情况； （2）若 ，，讨论方程 根的情况． 解：（1） 令，则 )(x f ]2 ,0[π)(x f ]2,0[πππ=)2(f 2)0(=f 2>a 1cos sin )1()('++-=x x x a x f 1cos sin )1()(++-=x x x a x h x x x a x h sin cos )2()('--=2>a ]2,0[π∈x 0)(' (<-=+-=a a a h ]2,0[0π∈x 0)(0=x h 0)('0=x f )(x f ],0[0x ]2,[0πx a f =)0(ππ=)2 (f 03)(=-x f ]2,0[πa ]3,2(x x x f sin )(=),0(π∈x k x f =)()2,0(π∈x ),5 2[+∞∈k k x f =)('),0(,sin cos )('2π∈-=x x x x x x f x x x x g sin cos )(-=x x x g sin )('-= 当时，， 单调递减， 趋于0时，趋于1，故 故，时，方程 无实根； 时，方程 有一个实根； 时，方程 无实根． （2）由（1）可知，，则． 令，则 当时，，，单调递减，． 故时，，方程无实数根； 当时，则存在，使得，且 时，；时，；时，． 所以在时取得极小值， 在时取得极大值 ， ， 因为，所以 ，故，，无实数根； 综上，，方程 无实根． 4．已知函数 ． （1）当 时，求的单调区间； （2）当 时，讨论 的零点个数． ),0(π∈x 0sin >x 0)(' π∈-=x x x x x x f )2,0(,sin cos )('22 π∈--=-x x kx x x x k x f )2,0(,sin cos )(2π∈--=x kx x x x x h )2(sin 2sin )('k x x kx x x x h +-=--=21≥k 02sin ≥+k x 0)(' 3(1ππ，∈x )2,23(2ππ∈x 0)('=x h π32 1=+x x ),0(1x x ∈0)(' 98)23(sin cos )(2 2 1 1111ππ-=-<--=f kx x x x x f 2x x =211112 22222)3(sin cos )3(sin cos )()(x k x x x kx x x x x h x h -----=--==ππ极大)3cos 2(3sin cos 1121111ππk x kx kx x x x --+--=ππππππ3)31232(3)3cos 2(311=-+?<--k k k x kx 034 98)(2 <+-<ππ极大x h 05 161042)2(2 2 <-≤-=πππππk h )2,0(π∈x 0)( 2[+∞∈k k x f =)('],[,21cos sin )(2ππ-∈++=x ax x x x x f 0=a )(x f 0>a )(x f 解：（1）当 时，． 当在上变化时，，的变化如下表： ﹢ ＋ 0 ﹣ 0 ﹢ 0 ﹣ ﹣1 单调 递增 极大 值 单调 递减 极小值1 单调递增 极大值 单调递减 ﹣1 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，． （2）任取， 所以是偶函数， 当时，在恒成立，所以时，，所以在上单调递增，又因为，所以在上有0个零点， 又是偶函数，所以在上有0个零点． 当时，令得， 由函数的单调性可知，存在唯一的使得 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，，， ①当，即时，在上有0个零点 又是偶函数，所以在上有0个零点． ①当，即时，在上有1个零点 又是偶函数，所以在上有2个零点． 综上，当时，在上有0个零点；当时，在上有2个 0=a ],[,cos sin )(ππ-∈+=x x x x x f x x x x x x x f cos sin cos sin )('=-+=x ],[ππ-)('x f )(x f x π-)2,(ππ--2π-)0,2 (π-)2,0(π2π),2 (πππ)('x f )(x f 2 π2 π2,(ππ--)2,0(π)0,2(π-),2 (ππ],[ππ-∈x )(21cos sin )(21)cos()sin()()(22x f ax x x x x a x x x x f =++=-+-+--=-)(x f )cos (cos )('x a x x x ax x f +=+=1≥a 0cos ≥+x a ],0[π],0[π∈x 0)('≥x f )(x f ],0[π1)0(=f )(x f ],0[π)(x f )(x f ],[ππ-10<x f 12 1)(2-=ππa f 01212>-πa 122< )(x f ],[ππ- 零点． 5．已知函数 ． （1）求的单调区间； （2）若对于任意，存在 ，都有 ，求的范围． 解：（1） 因为，所以 由得 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，，的变化情况如下表： ﹢ 0 ﹣ 单调递增 极大值 单调递减 所以，的单调递增区间是，单调递减区间是． 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）设，因为，当时，的最小值为﹣2． 因为对于任意，存在 ，都有 所以，即，解得 即的取值范围是． R a x x x a x x f ∈∈--=),,0(,sin cos )()(π)(x f ),0(1π∈x ),0(2π∈x 12)(22 2 1-->x x x f a ),0(,sin )()('π∈-=x x x a x f ),0(π∈x 0sin >x 0)('=x f a x =0≤a 0)(' 2 1-->x x x f ???-≥-≥2)(2)0(πf f ???-≥---≥-2)(2 a a π22≤≤-a πa ]2,2[-π 6．已知函数 ， 为 的导函数． （1）求函数 的单调区间； （2）若函数 在 R 上存在最大值0 ，求函数 在 上的最大值； （3）求证：当 时，． 解：（1）由题意可知，，则， 当时，，① 在上单调递增； 当时，令，解得；令时，解得， ①在上单调递增，在上单调递减 综上所述，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由（1）可知，且在处取得最大值， ，即， 令，则， 当时，，当时，， ①在上单调递减，在单调递增，故时，有极小值，也是最小值， ，① 当且仅当时，． ① ，由题意知，在上单调递减， 在处取得最大值． （3）由（2）可知，若，当时，，即， ① ，， 当时，，令，故，所以 ， 7．函数， ． x ae ax x x f -+=221)()(x g )(x f )(x g )(x g )(x f ),0[+∞1≥x )sin 23(3222x e x x x -≤++x ae a x x f x g -+==)(')(x ae x g -=1)('0≤a 0)('>x g )(x g ),(+∞-∞0>a 0)('>x g a x ln -<0)(' +-=-+-=-a a ae a a a g a 01ln =+-a a )0(1ln )(>+-=a a a a h a a a a h 111)('-=-=)1,0(∈a 0)('a h )(a h )1,0(),1(+∞1=a )(a h 0)1(=h 1=a 01ln =+-a a x e x x x f -+=22 1)(0)()('≤=x g x f )(x f ),0[+∞)(x f 0=x 1)0(-=f 1=a 0≥x 1)(-≤x f 1212-≤-+x e x x 2222-≤-+x e x x 12322+≤++x e x x 1≥x x x e x e 22)sin 23(≥-01212)(22>-->--=e e e e x F x x 122+>x x e e )sin 23(123222x e e x x x x -≤+≤++x e x f x sin )(=x e x x x g 2cos )1()(-+= （1）求的单调区间； （2）对，，使成立，求实数的取值范围； （3）设在有唯一零点，求正实数的取值范围． 分析： （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）问题等价于，根据函数的单调性求出的范围即可； （3）求出函数的导数，通过讨论的范围，得到函数的单调区间，从而确定的范围即可． 解答： （1），当，即时， ，单调递增，当，即时， ，单调递减． 综上，的递增区间是， 递减区间是； （2），即，设， 则问题等价于， 由（1）可知，当时，，故在递增， ∴ ， ，， ∵ ，， )(x f ]2,0[1π∈?x ]2,0[2π∈?x m x g x f ≥+)()(21m x n x f x x x h 2sin )(sin 2)(?-?=)2,0(πn ]1,0[,)()(max min ∈≥x x t x f m )(x h n n )4sin(2)('π+=x e x f x πππππ+≤+≤-k x k 2422)](4 32,42[Z k k k x ∈+-∈ππππ0)('≥x f )(x f πππππ2242+≤+≤+k x k )](472,432[Z k k k x ∈++∈ππππ0)('≤x f )(x f )(x f )](432,42[Z k k k x ∈+-∈ππππ)](4 72,432[Z k k k x ∈++∈ππππm x g x f ≥+)()(21)()(21x g m x f -≥)()(x g m x t -=]2 ,0[,)()(max min π∈≥x x t x f ]2,0[π∈x 0)('≥x f )(x f ]2,0[π0)0()(min ==f x f x e x x m x t 2cos )1()(-+-=x e x x x x t 2sin )1(cos )('+++-=02cos >+-x e x 0sin )1(≥+x x 当，，在递增，， 故，，实数的取值范围是； （3），， ①若，则，递增，无零点， ②若时，设，则， 故递增，∵，， 故存在，使得， 故时，，即，)递减， 时，，即，递增， 故时，无零点， 当时，，，存在唯一零点， 综上，时，有唯一零点． 8．已知函数． （1）当 时，证明：； （2）当时，函数 单调递增，求 的取值范围． 分析： ]2,0[π∈x 0)('>x t )(x t ]2,0[π22)2 ()(max π πe m t x t +==022≤+πe m 22πe m -≤m ]2,(2π e --∞)2,0(,2sin 2)(π∈-=x x n xe x h x x n e x x h x 2cos 2)1(2)('-+=10≤ (2)(2 2>+=π ππ e k )2 ,0(0π∈x 0)(0=x k ),0(0x x ∈0)( ,(0πx x ∈0)(>x k 0)('>x h )(x h ),0(0x x ∈0)0()(= （1）当时，即证：，由于，令，利用导数研究其单调性即可得出． （2）依题在上恒成立，令，， ，令，利用导数研究其单调性可得： ，于是，通过对分类讨论即可得出． 解答： （1）证明：当时，即证：，∵，令，则，当时，有，单调递增； 当时，有，单调递减，∴， 由于与，取等号的条件不一致，∴． ∴(此问可以参考如图理解)． （2）依题在上恒成立， 令，，， 又令?，所以时，H (x )在上单调递增， 0=m 0sin >+-x x e x 1sin --≥+-x e x x e x x 1)(--=x e x g x 031cos )('2≥+-=mx x x f 0≥x 231cos )(mx x x F +-=0)0(=F x mx x F sin 6)('-=x x x H sin )(-=x x x x x -≥-?≥≤sin )0(sin x m x mx x F )16(6)('-=-≥m 0=m 0sin >+-x x e x 1sin --≥+-x e x x e x x 1)(--=x e x g x 1)('-=x e x g 0>x 0)('>x g )(x g 0 +∞ ∴，因此， ∴，讨论： ①当，时，，单调递增；∴，符合题意 ③当时，，不符合题意，舍去； ③当，，，F ′′(π2)=6m >0， ∴F ′′(0)?F ′′(π2)<0． ∴?x 1，使得，当时，，在单调递减， 当时，，∴在单调递减，∴，不符合题意舍去． 综上：的取值范围是． 9．设函数． （1）若 且在 为增函数，求 的取值范围； （2）设，若存在，使得 ，求证： 且 ． 分析：（1）由在 为增函数，可得在上恒成立，从而可得结果； （2）结合题意先得出时不成立，从而， 由得； 设结合（1）得，故得 ， 0)0()(=≥H x H x x x x x -≥-?≥≤sin )0(sin x m x mx x F )16(6)('-=-≥61≥m 0≥x 0)('≥x F )(x F 0)0()(=≥F x F 0≤m 0)2 (31)2(2<+-=ππm F 610< 1[+∞),(ln cos )(R b a x b x a x x f ∈+-=0=b )(x f ),0(+∞a 10< 21----=-- 从而，故转化为成立，然后通过令构造新函数，可证得，即证不等式成立． 解答：（1）当时，，由题意得在上恒成立， ①，解得，故的取值范围是． （2）若，则有 ∴ 在上单调递增，与存在，使得 矛盾， ∴ 由得； 设，由（1）知在上单调递增 ①，即 ① ， ①，下面证明，令 设，则在上恒成立 ①为单调递减函数，，从而 于是，不等式成立． 10．已知： ． （1）若在上单调递增，求实数的取值范围； （2）若，试分析 的根的个数． 解答：（1），由于在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 0ln ln 11212>--> -x x x x a b 211212ln ln x x x x x x >--)1(1 2>=t t x x )1(1ln )(>--=t t t t t g 0)( ??≥+≥-0101a a 11≤≤-a a ]1,1[-0≥b 01sin 1)('>>+->++=x b x b a x b x a x f )(x f ),0(+∞21,x x ))(()(2121x x x f x f ≠=0-1212cos cos x x x x -<-))(1()cos (cos )ln (ln 12121212x x a x x a x x x x b -->---=--0ln ln 11212>--> -x x x x a b 211212ln ln x x x x x x >--)1(12>=t t x x )1(1ln )(>--=t t t t t g 02)1()('2<-- =t t t t g ),1(+∞)(t g 0)1()(= t t 1ln -<211 21 2ln ln 1x x x x x x a b >--> -])1,0[(sin 2 1)(2∈-+=x x mx x x f )(x f ]1,0[m 10< 3)(=+x f x m x x f cos )('-+=)(x f ]1,0[0cos ≥-+x m x ]1,0[x x m -≥cos ]1,0[ 令，则，故在上递减， ①，，的取值范围是； （2），，所以在上递增； 又，，故存在唯一，使得在单调递减，在上单调递增，时，有极小值，也是最小值． ，且 令，则， 在单调递减； ，从而有，故时，方程 无实根． 11．已知 ，． （1）证明：； （2）若 时， 恒成立，求实数a 的取值范围． 解答：（1）设，则，故在上单调递增， 所以时，有最小值，故，．令 ，，则，在上单调递减，，所以，即 综上，； （2）设，时恒成立， 所以，时，不等式恒成立， 当时，，由（1）知， 所以，令，则 ]1,0[,cos )(∈-=x x x x g 01sin )('<--=x x g )(x g ]1,0[1)0()(max ==g x g 1≥m m ),1[+∞x m x x f cos )('-+=0sin 1)(''>+=x x f )('x f ]1,0[01)0('<-=m f 01cos 1)1('>-+=m f ]1,0[0∈x )(x f ],0[0x ]1,[0x 0x x =)(x f 00200min sin 2 1)()(x mx x x f x f -+==00cos x x m -=0002 00000200min sin cos 2 1sin )(cos 21)()(x x x x x x x x x x f x f -+-=--+==x x x x x h sin cos 2 1)(2-+-=0sin cos sin cos )('<--=--+-=x x x x x x x x x h )(x h ]1,0[)4 1sin(2211sin 1cos 21)1()(π---=-+-=≥h x h 2312sin 221-=-->π023min )(>+x f 10< 3)(=+x f x e x f =)(1sin 2)(2+-+=x x ax x x g ))1,0[(111∈-≤≤+x x e x x ]1,0[∈x )()(x g x f ≥1)(--=x e x h x 1)('-=x e x h )(x h )10[， 0=x )(x h 0)0(=h 0)0()(=≥h x h 1+≥x e x ))1,0[(1)1(11)(∈---=--=x x x x e x e x m x x x x e x t x --=)1()(01)('<--=x xe x t )(x t )10[， 0)0()(=≤t x t 0)(≤x m x e x -≤11))1,0[(111∈-≤≤+x x e x x )1sin 2()(2+-+-=x x ax x e x F x ]1,0[∈x 0)(≥x F x x x e ax x sin 212+--≤0=x ]1,0(∈x x x x e a x sin 21+--≤x e x ≥-1x x x x x e x sin 21sin 21+-≥+--x x x n sin 21)(+-=1cos 2)('-=x x n 时，，单调递增，① 故，所以a 的取值范围是． 已知函数数 ， ， ． （1）求证： ； （2）若 ，使得 恒成立，求实数 取值范围． 答案 （1）要证 时， ， 只需证明 ， 记，则 ， 当 时，，是增函数， 故，所以 ， 要证 时， ， 只需证明 ，即证 ， 记 ， ， 当 时，，是增函数， ，即 ， 所以 ． （2）由（1）可知， ， 设 令 ，则， 即 在 上是增函数， ，即， 时， 在 上恒成立， 下面证明当 时， 在 上不恒成立 ]1,0[∈x 0)('>x n )(x n 1)0()(=>n x n 1≤a ]1,(-∞x e x f 2)(=)1sin 2(11)(2+---=x x ax x x x g ]0,1[-∈x 2)1(1)(11x x f x x -≤≤-+]0,1[-∈?x )()(x g x f ≥a ]0,1[-∈x x x e x -+≥112x x e x e x )1()1(-≤+-x x e x e x x h )1()1()(--+=-)()('x x e e x x h --=]0,1[-∈x 0)('≥x h )(x h 0)0()(=≤h x h x x x f -+≥11)(]0,1[-∈x 22)1(1x e x -≤x e x -≤11x e x -≤-1x e x x k ---=1)(x e x k -+-=1)(']0,1[-∈x 0)('≥x k )(x k 0)0()(=≤k x k 2)1(1)(x x f -≤ 2 )1(1)(11x x f x x -≤≤-+x x e x x -≤-≤+11)1(12)]1sin 2()1([11)()()(22+-----=-=x x ax x x e x x g x f x m x )sin 21(11)1sin 21(112x x a x x x ax x x x +-+-=-++-+-≥x x x l sin 2)(+-=0cos 21)('>+-=x x l )(x l ]0,1[-0)0()(=≤l x l 01≤+a 1-≤a )()(x g x f ≥]0,1[-1->a )()(x g x f ≥]0,1[-)]1sin 2()1([11)()()(22+-----=-=x x ax x x e x x g x f x m x 令， 则， 即在 上是增函数， 在 上的值域为 ． 所以，使得，， 即 在 上不恒成立， 综上，实数 取值范围是． 12．已知函数 ． （1）对于 ， 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）当 时，令 ，求 的最大值； （3）求证：． 分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出a 的范围即可； （2）求出的导数，解关于导函数的不等式求出的单调区间，从而求出的最大值即可； （3）构造函数，利用导数法可证得（当时，），令，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立． 解答： （1），，若对于，恒成立， 即在恒成立，故，实数 a 的取值范围为； （2）时，，， 令，解得：，令，解得：， )sin 211(1)1sin 211(112x x a x x x x x ax x x x +-+--=-++---≤x x a x x n sin 211)(+-+-=]0,1[,0)(') 1(1)('2-∈>+-=x x l x x n )(x n ]0,1[-)(x n ]0,1[-]1,1sin 223[a a +-+]0,1[0-∈?x 0)(0>x n 0)(0 n n ∈+-++++<+Λ)(x h )(x h )(x h x x x f -+=)1ln()(x x ≤+)1ln(0≠x x x <+)1ln(n x 1=ax x x f -=sin )(a x x f -=cos )(')1,0(∈x 0)(>x f x a cos <)1,0(0≤a ]0,(-∞1=a )0(1ln )(>+-=x x x x h x x x x h -=-=111)('0)('>x h 10< ∴在递增，在递减，∴的最大值是； （3）构造函数，则， 当0时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以，，当时，取得极大值，也是最大值， 所以，，即，当时，． 令，则 ∴，，…，，， 以上n 个不等式相加得：， 即． 13．已知函数 ，． （1）求函数 的极值； （2）若不等式对 恒成立，求 a 的取值范围． 分析：（1）化简函数的解析式，利用函数的导数，通过与0以及1的大小，判断导函数的单调性求解函数的极值； （2）设，，设，， ，利用函数的单调性，通过①当时，①当时，①)(x h )1,0(),1(+∞)(x h 0)1(=h x x x g -+=)1ln()(x x x x g +-=-+=1111)('01<<-x 0)('>x g )(x g )0,1(-0>x 0)(' n n n 1ln )1ln()11ln(<-+=+11ln 2ln <-212ln 3ln <-11)1ln(ln -<--n n n n n n 1ln )1ln(<-+*)(111312111ln )1ln(N n n n n ∈+-++++<-+Λ*)(11131211)1ln(N n n n n ∈+-++++<+Λx a x x x f ln 2)(2--=ax x g =)()()()(x g x f x F +=)(cos 2sin x g x x ≤+0≥x )()()(x g x f x F +=a )0(cos 2sin )(≥+-=x x x ax x h 2)cos 2(cos 21)('x x a x h ++-=]1,1[,cos -∈=t x t 2) 2(21)(t t t ++=?0) 2()1(2)2()1)(2(2)('3 4≥+--=+-+- =t t t t t t ?31≥a 0≤a 当时，判断函数的单调性转化求解的取值范围． 解答： （1），， ∵的定义域为， ①，即时，在上递减，在上递增，极小，无 极大值； ②，即时，在和上递增，在上递减，极大 =，极小=； ③，即时，在上递增，没有极值； ④，即时，在和上递增，在上递减， ∴极大=，极小=． 综上可知：时，极小=，无极大值； 时，极大=，极小=； 时，F (x )没有极值； 时，极大=，极小=． （2）设，， 设，， 310< x x a x x a x a x x F ) 1)(2()2(2)('2-+= --+=)(x F ),0(+∞02≤-a 0≥a )(x F )1,0()(x F ),1(+∞)(x F 1-=a )(x F 120<- (a -)(x F )2 ln(4)2(2a a a a a F ---=-)(x F 1)1(-=a F 12 =-a 2-=a )(x F ),0(+∞)(x F 12>-a 2- ,1(a -)(x F 1)1(-=a F )(x F )2 ln(4)2(2 a a a a a F ---=-=0≥a )(x F 1-a )(x F 02<<-a )(x F )2 ln(4)2(2 a a a a a F ---=-)(x F 1)1(-=a F 2-=a 2- ln(4)2(2 a a a a a F ---=-)0(cos 2sin )(≥+-=x x x ax x h 2) cos 2(cos 21)('x x a x h ++-=]1,1[,cos -∈=t x t 2) 2(21)(t t t ++=?0)2() 1(2)2()1)(2(2)('3 4≥+--=+-+-=t t t t t t ? ∴在上递增，∴的值域为， ①当时，，为上的增函数， ∴，适合条件； ②当时，∵，∴不适合条件； ③当时，对于，， 令，， 存在，使得时，， ∴在上单调递减，∴， 即在时，，∴不适合条件． 综上，的取值范围为． 14．设函数 ． （1）当 ， 时，恒成立，求b 的范围； （2）若 在 处的切线为 ，求 a ， b 的值，并证明当 时， ． 分析： （1）化简函数的解析式，求出函数的导数，判断导函数的符号，判断函数的单调性求出最小值即可得到结果． （2）求出，通过．利用，求出．在 )(t ?]1,1[-)(t ?]31,1[-31≥a 0)('≥x h )(x h ),0[+∞0)0()(=≥h x h 0≤a 0212)2(<-?=ππa h 310< 1[+∞b x a e x f x ++=sin )(1=a ),0[+∞∈x 0)(≥x f )(x f 0=x 01=--y x ),0(+∞∈x x x f ln )(>x a e x f x cos )('+=b f +=1)0(1)0('0=+=a e f 0=a )1,0(b + 切线上．求出．得到．构造函数，利用函数的导数求解函数的最小值然后求解即可． 解答： （1）由，当时，得． 当时，，，所以， 即在上单调递増，所以， 由恒成立，得，所以，b 的范围是． (2)由得，且． 由题意得，所以， 又在切线上． 所以，所以b =?2． 所以． 设，则， 设，，在单调递增 ∴，，故存在，使得，，， ，，，所以时，有极小值，也即是最小值，其中 ∴ 01=--y x 2-=b 2)(-=x e x f x e x g x ln 2)(--=b x a e x f x ++=sin )(1=a x e x f x cos )('+=),0[+∞∈x 1≥x e ]1,1[cos -∈x 0cos )('>+=x e x f x )(x f ),0[+∞b f x f +==1)0()(min 0)(≥x f 01≥+b 1-≥b ),1[+∞-b x a e x f x ++=sin )(x a e x f x cos )('+=b f +=1)0(1)0('0=+=a e f 0=a )1,0(b +01=--y x 0110=---b 2-=b 2)(-=x e x f )0(ln 2)(>--=x x e x g x x xe x e x g x x 11)('-=-=)0(1)(>-=x xe x k x 0)1()('>+=x e x x k )(x k ),0(+∞01)0(<-=k 01)1(>-=e k )1,0(0∈x ),0(0x x ∈0)( =-?>-+=--==x x x x e x x g x g x 导数与三角函数交汇试题 1．（2019?石家庄一模）已知函数， （1）求函数f（x）的极小值 （2）求证：当﹣1≤a≤1时，f（x）＞g（x） 2．（2019春?常熟市期中）已知函数f（x）＝e2x（sin x﹣3cos x）． （1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值． 3．（2019?大连模拟）已知函数f（x）＝ae x﹣sin x+1其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，证明：对?x∈[0，+∞），f（x）≥2； （2）若函数f（x）在[0，π]上存在两个不同的零点，求实数a的取值范围．4．（2019?天津）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（﹣x）≥0； （Ⅲ）设x n为函数u（x）＝f（x）﹣1在区间（2nπ+，2nπ+）内的零点，其中n∈N， 证明2nπ+﹣x n＜． 5．（2019?新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 6．（2019?新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sin x﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明： （1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点； （2）f（x）有且仅有2个零点． 7．（2019?富阳区模拟）设函数f（x）＝2x2+alnx，（a∈R） （Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）关于x的方程f（x）+2cos x＝5能否有三个不同的实根？证明你的结论 8．（2019?北辰区模拟）已知函数f（x）＝e x﹣ax，（a∈R），g（x）＝． 导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而 高三数学《函数与导数、三角函数与解三角形》测试题（理科） 一、选择题 1．设2 :f x x →是集合A 到集合B 的映射，若{}1,2B =，则A B 为 ( ) A ．? B ．{1} C ．?或{2} D ．?或{1} 2．函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为( ) A ．（－1，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（1，e ） 3．若函数2 ()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2 a -∞上为减函数，则a 的取值范围是 ( ) A ．(0，1) B ．(1，＋∞) C ．(1，23) D ．(0，1)∪(1，23) 4.若0()ln 0 x e x g x x x ?≤=? >?，则1 (())2g g = ( ) A ．1 2 B ．1 C ．1 2e D ．ln 2- — 5．已知3 2 ()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则有 ( ) A ．0b < B ．01b << C ．12b << D ．2b > ] 6. 已知函数()f x 定义域为R ，则下列命题： ①若()y f x =为偶函数，则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称. ②若(2)y f x =+为偶函数，则()y f x =关于直线2x =对称. ③若函数(21)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的图象关于直线1 2 x 对称. ④若(2)(2)f x f x -=-，则则()y f x =关于直线2x =对称. ⑤函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于2x =对称. 其中正确的命题序号是 ( ) A.①②④ B.①③④ C.②③⑤ D.②③④ ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 ` C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 x 三角函数、数列导数测试题及详解 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是 符合题目要求的． 1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a ，则实数y 的值为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50 B ．70 C ．80 D ．90 3．2 (sin cos )1y x x =+-是 A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列， 每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量 *1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是 A ．若* ,//n n n N c b ?∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若* ,//n n n N c b ?∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若* ,n n n N c b ?∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若* ,n n n N c b ?∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列 6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为 A ． 133 8 + B ． 133 8 C ． 133 8 ± D ． 12 4 - 7．如图是函数sin()y x ω?=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低 点，O 为坐标原点，则OA OB ?的值为 A ．12π B ． 2 119π+ C ．2 119 π- D ．2 113 π- 8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个 ----导数与三角函数的结合 1.（导数与三角函数结合）已知函数3 2 1 ()43cos 32 f x x x θ=-+，其中x R θ∈，为参数，且02 π θ≤≤ .（1）当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值； （2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围； （3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数在区间（2a －1,a ）内都是增函数，求实数a 的取值范围. 【分析】定义域D 上的可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是0()0f x '=，且 ()f x '在0x 两侧异号. 【解析】（1）当cos 0θ=时，3 1()432 f x x =+，则,012)('2 ≥=x x f 函数()f x 在（－∞，＋∞）内是增函数，故无极值. （2）2 ()126cos f x x x θ'=-,令()0f x '=，得12cos 02 x x θ == ，. 由02 π θ≤≤ 及（1）,只考虑cos 0θ>的情况. 当x 变化时，()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表： 因此，函数()f x 在2x =处取得极小值( )2f ，且3()cos 2432 =-+f θ. 要使cos ()2f θ＞0,必有311cos 0432-+>θ，可得10cos 2θ<<，所以32 ππ θ<<. （3）由（2）知，函数()f x 在区间（－∞，0）与cos ()2 θ +∞，内都是增函数.由题设，函数()f x 在（2a －1,a ）内都是增函数，则a 需满足不等式组 21211 021cos 2 a a a a a a θ- 三角函数公式及求导公式 Revised by Jack on December 14,2020 一、诱导公式口诀：（分子）奇变偶不变，符号看象限。1. sin (α+k?360)=sin α cos (α+k?360)=cos a tan (α+k?360)=tan α2. sin(180°+β)=-sinα cos(180°+β)=-cosa3. sin(-α)=-sina cos(-a)=cosα4*. tan(180°+α)=tanα tan(-α)=tanα5. sin(180°-α)=sinα cos(180°-α)=-cosα6. sin(360°-α)=-sinα cos(360°-α)=cosα7. sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα8*. Sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα9*. Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+a)=-sinα10*.sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα二、两角和与差的三角函数1. 两点距离公式2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ C(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ3. S(α-β): sin(α- β)=sinαcosβ-cosαsinβ C(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ4. T(α+β): T(α-β): 5*. 三、二倍角公式1. S2α: sin2α=2sinαcosα2. C2a: cos2α=cos?2α-sin2a3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1- tan2α)4. C2a’: cos2α=1-2sin2α cos2α=2cos2α-1四*、其它杂项（全部不可直接用）1．辅助角公式asinα+bcosα= sin(a+φ)，其中tanφ=b/a，其终边过点（a, b）asinα+bcosα= cos(a-φ)，其中tanφ=a/b，其终边过点（b,a）2．降次、配方公式降次：sin2θ=(1- cos2θ)/2 cos2θ=(1+cos2θ)/2 配方1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]2 1+cosθ=2cos2(θ/2) 1- cosθ=2sin2(θ/2)3. 三倍角公式sin3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3-3cosθ4. 万能公式 5. 和差化积公式sinα+sinβ= 书p45 例5（2）sinα-sinβ= cosα+cosβ= cosα-cosβ= 6. 积化和差公式sinαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] 书p45 例5（1）cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]sinαsinβ-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)] 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 2014-2015学年度第一学期高三数学（理） 函数与三角函数综合测试试卷 命题人：周扬 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分为150分，考试用时为120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1、函数243,[0,3] y x x x =-+∈的值域为 ( ) A.[0,3] B.[-1,0] C.[-1,3] D.[0,2] 2、下列函数中，值域为(),0 -∞的是（） A．2 y x =-B. 1 31() 3 y x x =-< C. 1 y x = D.y= 3、 7 cos() 6 π -的值为（） A． 1 2 - B. 1 2 C. 2 - D. 2 4．已知 31 sin() 23 π α+=，则cos2α=（） A． 7 9 -B． 7 9 C． 1 3 -D． 1 3 5．将函数) 2 6 cos(x y- = π 的图像向右平移 12 π 个单位后所得的（） 图像的一个对称轴是 A． 6 π = x B． 4 π = x C． 3 π = x D． 12 x π = 6、在ABC △中，若60,45, A B BC ?? ∠=∠==AC=（）. A．B． D． 2 7.已知2 ) 2 sin( ) cos( ) sin( ) 2 sin( = - + - - + - x x x x π π π ，则) 4 3 tan( π + x的值为（） A.2 B.2 -C. 2 1 D. 2 1 - 8．已知函数()sin()(,A0,0,||) 2 f x A x x R π ωφωφ =+∈>><的图象(部分)如图所示， 则ω，φ分别为() A．ωπ =， 3 π φ=B．2 ωπ =， 3 π φ= C．ωπ =， 6 π φ=D．2 ωπ =， 6 π φ= 第II卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 计算 (cos1) x dx π += ?π． 10．函数 ln ()(0) x f x x x =>的单调递增区间是(0,] e． 11、函数y=的定义域是___(,2] -∞-_____ 12、已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于_60°或120°. 13、ABC ?中，若 1 , 3ABC a C S ? ===b= 14、关于函数()cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若 1 x， 2 x满足 12 x xπ -=，则()() 12 f x f x =成立； ②() f x在区间, 63 ππ ?? -?? ?? 上单调递增； ③函数() f x的图像关于点,0 12 π ?? ? ?? 成中心对称； ④将函数() f x的图像向左平移 12 7π 个单位后将与2sin2 y x =的图像重合． 其中正确的命题序号①③④（注：把你认为正确的序号都填上） 三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.已知函数()sin(), 4 f x A x x R π =+∈，且 53 () 122 fπ=；（1）求A的值；（2）若 3 ()() 2 f f θθ +-=，(0,) 2 π θ∈， 求 3 () 4 fπθ -； 【答案】（1）由已知， 5523 sin sin 1212432 f A A ππππ ???? =+== ? ? ???? ，所以A= sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 2、倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 3、半角公式 sin(2A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 4、诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 5、万能公式 sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2(tan 12tan 2a a - 6、其他非重点三角函数 csc(a) = a sin 1 sec(a) =a cos 1 7、（a ＋b ）的三次方,（a －b ）的三次方公式 绝密★启用前 高中数学2020年06月月考 试卷副标题 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 一、解答题 1．（2019·安徽省高三月考（文））已知函数sin ()ln x f x x x =-． （1）证明：函数()f x 在()0,π上有唯一零点； （2）若()0,2x π∈时，不等式sin 2()ln 2x a f x x x x ++ ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）?+∞??? ． 【解析】 【分析】 （1）对函数求导得2 (cos 1)sin ()x x x f x x --'= ，由(0,)x π∈可得()0f x '<，从而得到函数的单调性，再根据区间端点的函数值，即可得答案； （2）等式sin 2()ln 2x a f x x x x ++ ≤，可化为不等式1 sin sin 22 x x a +≤，令1 ()sin sin 2,(0,2)2 g x x x x π=+∈利用导数求得()g x 的最大值，即可得答案. 【详解】 （1）证明：由sin ()ln x f x x x = -得 22 cos sin 1(cos 1)sin ()x x x x x x f x x x x ---'=-= 当(0,)x π∈时，cos 10x -<，sin 0x -<， 则()0f x '<，函数()f x 在()0,π上单调递减， 又3 ()ln 066 f ππ π = ->，()ln 0f ππ=-< 函数导数三角函数 函数、导数、三角函数回归基础与基本题型复习一、基础知识与基本方法 函数部分 221、二次函数?三种形式:一般式f(x)=ax+bx+c;顶点式f(x)=a(x- h)+k;零点式f(x)=a(x-x)(x-x);b=0偶函数;?区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称12 轴与区间的相对位置关系;?实根分布:先画图再研究?>0、轴与区间关系、区间 端点函数值符号; 2、值域(范围)常用分子常数法;分离;，分母整体换元;导数 3、周期:进退几 个单位，列举;画图;用周期定义逐个检验; 4、求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义; (定义域优先意识) 5、单调性:?定义法;?导数法?图像;奇偶性:?定义法?图像。函 数 2yxx,,，log(2)的单调递增区间是.(答:) (1,2)12 注意:(1)函数单调性与奇偶性的逆用(?比较大小;?解不等式;?求参数范围(注 意等号)); 依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:(或fugxuhx()()()0,，, fa()0,,fa()0,,(或); ,,,,0)()aub,,fb()0,fb()0,,,2若存在?[1，3]，使得 不等式，(-2)-2>0成立，则实数取值aaxaxx范围是 ( 22解:不等式即，设.研究“任意a?()220xxax，,,,faxxax()()22,，,, f(1)0,,2，，[1，3]，恒有”.则，解得。则实数x的取值范围是 fa()0,x,,1,,,,f(3)0,3，，, 2,, ,,,,，,,1,，，,,3,, (2)复合函数由单调性判定:同增异减。 从俞诗秋的文章修改而来，原来的口诀不太好记 原文：三角函数双曲函数及其导数积分公式的六边形记忆法 三角函数及其导数积分公式的六边形记忆法 2. 三角函数的定义 [三角函数的定义和符号变化] 名称 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割 定 义 r y ==斜边对边αsin r x ==斜边邻边αcos x y == 邻边对边αtan y x ==对边邻边αcot x r ==邻边斜边αsec y r ==对边斜边αcsc 1 sinx cosx cscx cotx secx tanx + - 符号与 增 减 变 化 Ⅰ+↑+↓+↑+↓+↑+↓ Ⅱ+↓-↓-↑-↓-↑+↑ Ⅲ-↓-↑+↑+↓-↓-↑ Ⅳ-↑+↑-↑-↓+↓-↓1. 三角函数的记忆： 对角线倒数:对角线互为倒数sinx=1/cscx，指在三角函数六边形中,过中点且连接两个顶点的线段中，两端点处的函数乘积等于中间的数1，即sinxcscx=1, cosxsecx=1, tanxcotx=1. 倒三角形平方和:指在三角函数六边形中,每个有阴影的三角形下顶处函数的平方等于上面两个顶处函数平方的和.即sin2x+cos2x=1, tan2x+1=sec2x, cot2x+1=csc2x. 邻点积:指在三角函数六边形中,任何一个顶处的函数等于相邻两个顶处函数的乘积.即sinx=tanxcosx, cosx=sinxcotx, cotx=cosxcscx, cscx= cotxsecx, secx=cscxtanx, tanx=secxsinx. 2.三角函数求导数 图中左面“+”号表示六边形左面三个顶角处函数的导数为正值，右面“-”号表示六边形右面三个顶角处函数的导数为负值。 上互换:指在三角函数求导六边形中，上顶角处函数的导数为另一上顶角处函数的导数.即:(sinx)’=cosx, (cosx)’=-sinx。 中下2:指在三角函数求导六边形中,中间顶角处函数的导数为对应边下顶角处函数导数的平方.即:(tanx)’=sec2x， 三角函数与函数导数单元测试 一、选择题1、函数()()m n f x ax x =1- g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是 （A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n == 2、已知函数()x f x e x =+，对于曲线()y f x =上横坐 标成等差数列的三个点A ，B ，C ，给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 3、设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()x g f 和()()x g f ?；对任意R x ∈,()()())(x g f x g f = ；()()())(x g x f x g f =?．则下列等式恒成立的是（ ） A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ??=? B ．()()()()()())(x h g h f x h g f ?=? C ．()()()()()())(x h g h f x h g f = D ． ()()()()()())(x h g h f x h g f ???=?? 4、已知函数 2 ()1,()43,x f x e g x x x =-=-+-若有()(),f a g b =则b 的取值范围为 A ． [22-+ B ．(22+ C ．[1,3] D ．(1,3) 5、设直线x t =与函数2 (),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值 为（ ）A ．1 B ．1 2 C ．2 D ．2 6、设函数 ?? ?>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 A ．1[-，2] B ．[0，2] C ．[1，+∞] D ．[0，+∞] 7、函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>' x f ，则42)(+>x x f 的解集为 A ．（1-，1） B ．（1-，+∞） C ．（∞-，1-） D ．（∞-，+∞） 8、函数 1 1y x = -的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于 （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8 9、函数 2sin 2x y x = -的图象大致是 10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时, 3 ()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 11、设函数()()21 2log ,0log ,0 x x f x x x >?? =?--，则实数a 的取值范围是（ ）． Ａ． ()()1001,,U - Ｂ． ()()11,,-∞-+∞U Ｃ． ()()101,,-+∞U Ｄ． ()()101,,-∞-U 12、设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++ 函数，导数与三角函数 (时间：120分 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若1∈{a －3， 9a 2 －1，a 2＋1，－1}，则实数a 的值为( ) A ．0或4 B ．4 C.4 9 D ．4或4 9 2．(2012年高考天津卷)设x ∈R ，则“x >1 2”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 2 4，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.2 2 C. 2 D ．2 4．(2012年福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R)的图象向右平移π4个单位后， 所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( ) A ．(－π 4，0) B ．(0，π 2) C ．(π2，3π4 ) D ．( 3π 4 ，π) 5．(2012年济南模拟)如果实数x 、y 满足条件???x －y ＋1≥0， y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0， 那么2x －y 的最 大值为( ) A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－3 6．(2012年郑州模拟)给出30个数：1，2，4，7，11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( ) A ．i ≤30？和p ＝p ＋i －1 B ．i ≤31？和p ＝p ＋i ＋1 C ．i ≤31？和p ＝p ＋I D ．i ≤30？和p ＝p ＋i 7．已知函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b 2 的值为( ) A ．0 B. 2 2 C ．1 D ．－1 8．(2012年惠州模拟)已知复数a ＋b i ＝2＋4i 1＋i (a ，b ∈R)，则函数f (x )＝2sin (ax ＋π 6 )＋b 的图象的对称中心可以是( ) A ．(π6，0) B ．(－π18，1) C ．(－π 6，1) D ．(π 9 ，1) 9．(2012年高考山东卷)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π 2；命题q ： 函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π 2 对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真 10．在等差数列{a n }中，首项a 1＝120，公差d ＝－4，若S n ≤a n (n ≥2)，则n 的最小值为( ) A ．60 B ．62 C ．70 D ．72 11．(2012年南昌联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数， 三角函数与导数的综合题 1. 已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围． 2. 设函数sin ()2cos x f x x =+． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求实数a 的取值范围． . 3. 已知函数， 其中是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线在点()(),f ππ处的切线方程； （Ⅱ）令，讨论的单调性并求极值. 4. 已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数． 证明：（1）()f x '在区间(1, )2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点． ()22cos f x x x =+()()cos sin 22x g x e x x x =-+-2.71828e =L ()y f x =()()()()h x g x af x a R =-∈()h x 5. 设函数()e cos (),x f x a x a R -=∈+ 6. 设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当,42x ππ??∈????时，证明：()()02f x g x x π??+- ??? …； （Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ??++ ??? 内的零点，其中n N ∈， 证明：20022sin cos n n n x x e x π π π-+-<-. 复习题 1．已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2 {320}B x x x =∈-+ 集合、函数与导数、三角函数 一、选择题 1、若集合，，则等于（） A．B．C．D 【答案】D 2、已知是第二象限角,（） A．B．C．D． 【答案】A 3、设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.“ 4、下列函数中为偶函数的是（） A．B．C．D． 【答案】B 5、函数的定义域为（） A．B．C．D． 【答案】C 6、已知函数为奇函数,且当时,,则（） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】D 7、若函数（） A．B．C．D． 【答案】B 8、函数f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期和振幅分别是（） A．π,1B．π,2C．2π,1 D．2π,2 【答案】A 9、函数的图象大致为（） 【答案】D 10、将函数y=f(x)·sinx的图象向右平移个单位长度后,再作关于x轴对称变换,得到函数y=1-2sin2x的图象,则f(x)可以是(D) A.sinx B.cosx C.2sinx D.2cosx 11、若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是(A) A. B. C.[1,2] D.[0,2] 12、已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x) 的极值点的个数是(C) A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题 13、经过曲线y=x3-2x上的点(1，-1)的切线方程为. 【答案】x-y-2=0，或5x+4y-1=0. 14、，，三个数的大小关系是． 【答案】 15、设f(x)= sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是_____._____ 【答案】 16.若cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tanα·tanβ=. 答案: 三、解答题 17、(12分)已知函数y=cos. (1)求函数的最小正周期. (2)求函数的对称轴及对称中心. (3)求函数的单调增区间. 【解析】(1)由题可知ω=,T==8π, 所以函数的最小正周期为8π. (2)由x+=kπ(k∈Z), 一．三角函数 二．常用求导公式 三．常用积分公式 第一部分三角函数 同角三角函数的基本关系式 诱导公式 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sin αcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβtan（α＋β）＝—————— 1－tanα·tanβ tanα－tanβtan（α－β）＝—————— 1＋tanα·tanβ 2ta sinα＝————— 1＋tan 1－ /2) cosα＝————— 1＋tan 2ta tanα＝————— 1－tan2 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公 化asin α ±bcos α为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式) 第二部分 求导公式 1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21 )1(x x -='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1 )(ln ='；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； 以三角函数为载体的导数压轴题汇编 1.（2018·年海淀区一摸）已知函数ax x e x f x -=sin )(.（1）当0=a 时，求曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程； （2）当0≤a 时，判断)(x f 在]3, 0[π 上的单调性，并说明理由；（3）当1时，若方程()30f x -=在区间0, π?? ???? 上有唯一解，求a 的取值范围. 3.（2018·江西二摸）已知函数()sin x f x x = .（1）若()0,x π∈，讨论方程()f x k =根的情况； （2）若()0,2x π∈，2,5 k ??∈+∞???? ，讨论方程()f x k '=根的情况. 4.（2018·东城区二摸）已知函数()2 1sin cos 2 f x x x x ax =++，[],x ππ∈-.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0a >时，讨论()f x 的零点个数. 5.（2018·丰台区二摸）已知函数()()cos sin f x x a x x =--，()0,x π∈，（a R ∈）.（1）求()f x 的单调区间； （2）若对于任意()10,x π∈，存在()20,x π∈，都有()2 12221f x x x >--，求a 的取值范 围. 6.（2018·威海二摸）已知函数()2 12 x f x x ax ae =+-，()g x 为()f x 的导函数.（1）求函数()g x 的单调区间； （2）若函数()g x 在R 上存在最大值0，求函数()f x 在[)0,+∞上的最大值；（3）求证：当0x ≥时，()2 22332sin x x x e x ++≤-. 一、诱导公式 口诀：（分子）奇变偶不变，符号看象限。 1. sin (α+k?360)=sin α cos (α+k?360)=cos a tan (α+k?360)=tan α 2. sin(180°+β)=-sinα cos(180°+β)=-cosa 3. sin(-α)=-sina cos(-a)=cosα 4*. tan(180°+α)=tanα tan(-α)=tanα 5. sin(180°-α)=sinα cos(180°-α)=-cosα 6. sin(360°-α)=-sinα cos(360°-α)=cosα 7. sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα 8*. Sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα 9*. Sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+a)=-sinα 10*.sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα 二、两角和与差的三角函数 1. 两点距离公式 2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ C(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 3. S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ C(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 4. T(α+β): T(α-β): 5*. 三、二倍角公式 1. S2α: sin2α=2sinαcosα 2. C2a: cos2α=cos?2α-sin2a 3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1-tan2α) 4. C2a’: cos2α=1-2sin2α cos2α=2cos2α-1 四*、其它杂项（全部不可直接用） 1．辅助角公式导数与三角函数交汇试题
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