2012年广东高考理科数学(高清版含答案)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 . 设i 为虚数单位，则复数
56i
i
-= A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i 2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CuM= A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6}
3 若向量BA
=（2,3），CA =（4,7），则BC = A （-2,-4） B (3,4) C (6,10 D (-6,-10) 4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是
A.y=ln （x+2）（
12）x D.y=x+1
x
5.已知变量x ，y 满足约束条件，则z=3x+y 的最大值为
A.12
B.11
C.3
D.-1 6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A ．12π B.45π C.57π D.81π
7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是
A. 4
9
B.
1
3
C.
2
9
D.
1
9
8.对任意两个非零的平面向量α和β，定义。若平面向量a，b满
足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角，且a b和b a都在集合中，则
A．1
2
B.1
C.
3
2
D.
5
2
16.填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题）
9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____。
10. 的展开式中x3的系数为______。（用数字作答）
11.已知递增的等差数列{a
n }满足a
1
=1，a
3
=2
2
a-4，则a n=____。
12.曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为。
13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为。
（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）
14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C
1和C
2
的参
数方程分别为和，则曲线C
1与C
2
的交
点坐标为_______。
15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则
PA=_____________。
三．解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知函数，（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π。（1）求ω的值；
（2）设，，，求cos（α＋β）的值。
17. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。
（1）求图中x的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望。
18.（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E 在线段PC上，PC⊥平面BDE。
（1）、证明：BD⊥平面PAC；
（2）、若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；
19. （本小题满分14分）
设数列{a
n }的前n项和为S
n
，满足2S
n
=an+1-2n+1，n∈N﹡,且a
1
，a
2
+5，a
3
成等差
数列。
（1）、求a
1
的值；
（2）、求数列{a
n
}的通项公式。
（3）、证明：对一切正整数n，有.
20.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C
1：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的离心率e=
3
2
，
且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相
对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由。
21.（本小题满分14分） 设a ＜1，集合
（1）求集合D （用区间表示） （2）求函数在D 内的极值点。
今天试题比较容易，我中心初一学生袁鹏用一年时间学完初高中数学，考试时感觉很容易，问他原因，他说：这些题前几天很多都做过类似的，有的是原题！
2012年广东高考理科数学参考答案
中山鸿鑫袁焕兵134********
一、选择题
1、i
i i i i 561)(5(65--==-=-、与2011几乎一样，送分题，关键是
分母实数化.
2、送分题,画出图即可。送分题！
3、CA BA AC BA BC -=+=
=（2-4，3-7）=（-2，
-4）送分题！
4、B 、C 错，A ：y=lnx 在区间（0，+∞）上为增函数，y=ln （x+2）在区间（-2，
+∞）上为增函数，因而在区间（0，+∞）上为增函数！
上是减函数
在），（x x x 10,0,1
≠+
5、由z=3x+y 得y=-3x+z,数形结合，求Z 最大值，送分题！
一般把方程化为y=ax+b 形式，y 前系数为+1，如y>ax+b 为直线上区域否则。。。 6、是圆柱与圆锥组合体，送分题！
7、和为奇数个数为：451
5141515=?+?C C C C ，个位数为0十位为奇数两位数有5
个，所以其个位数为0的概率是5/45=1/9
8、θαβαβθβαβαcos |
||
|,cos ||||==
,又|a |≥|b |＞0，如|a b |>|b a |,A 错，如| |>| |，=,则 =cos θ,而)4/,0(πθ∈，B 错，若 =5/2
则| |=5/2，| |=4/4或3/2，得cos θ>1,D 错，选C 二、填空题
９. 不等式|x+2|-|x|≤1，关键去绝对值，如图分类 -2 0
找0点，0与-2， 1,2?
?-∞- ??
?； 送分题。
10.33
312363126)6(26120x x C x C x x C T r r r r r r ====?----+；
11.a 1=1，a 3=2
2a -4得a 1+2d=2
1)(d a +-4,得d=2或d=-2(舍去），
122)1(1-=?-+=n n a n ；送分题，
12. 与去年一样，送分题，k=32
x -1=2； 用点斜式化简即可。 13. 一步步来，送分。16； 14. 化这一般方程，送分 )1,1(； 15.
3；送分，连AO,AC 即可。
三、解答题
16．解：与2011差不多，送分。 (1)=5
1
,2=
=
ωω
π
T (2)85
1317155317854)cos(-=?-?=
+βα
17.
（1）由300.006100.01100.054101x ?+?+?+=得0.018x =
（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0,1,2
()292126
011
C P C ξ===
()11932129
122
C C P C ξ===
()232121
222C P C ξ===
∴ 69110121122222
E ξ=?+?+?= 18.
（1）∵ PA ABCD ⊥平面
∴ PA BD ⊥ ∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC BD ⊥ ∴ BD PAC ⊥平面
（2）设AC 与BD 交点为O ，连OE
∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC OE ⊥ 又∵ BO PAC ⊥平面 ∴ PC BO ⊥ ∴ PC BOE ⊥平面
∴ PC BE ⊥
∴ BEO ∠为二面角B PC A --的平面角 ∵ BD PAC ⊥平面 ∴ BD AC ⊥
∴ ABCD 四边形为正方形 ∴
BO =在PAC ?中
，
13
OE PA OE OC AC =?=?=
∴ tan 3BO
BEO OE
∠== ∴ 二面角B PC A --的平面角的正切值为3
19.
（1）在11221n n n S a ++=-+中 令1n =得：212221S a =-+ 令2n =得：323221S a =-+
解得：2123a a =+，31613a a =+ 又()21325a a a +=+ 解得11a =
（2）由11221n n n S a ++=-+
212221n n n S a +++=-+得 12132n n n a a +++=+
又121,5a a ==也满足12132a a =+ 所以132n n n a a n N *+=+∈对成立 ∴ ()11+232n n n n a a ++=+ ∴ 23n n n a += ∴ 32n n n a =- （3）
（法一）∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+?+?++≥
∴
1113
n n a -≤ ∴21123111311111113...1 (1333213)
n n n a a a a -?????- ? ? ????
?+++≤++++=<-
（法二）∵1111322322n n n n n n a a ++++=->?-=
∴
11112n n a a +
321112a a
1112a a
54
1112a a
1
111
2n n a a -
累乘得： 2
2
1112n n a a -??
?
??
∴2
12311111111173
...1...5252552n n a a a a -??+++≤++?++?<< ???
（法三）用数学归纳法证n n a a a a 21231...111321-≤+++
20. （1
）由e =
223a b =，椭圆方程为22233x y b += 椭圆上的点到点Q 的距离
d ==
)b y b =-≤≤
当①1b -≤-即1
b ≥,max 3d ==得1b =
当②1b ->-即1
b <,max 3d ==得1b =（舍） ∴ 1b =（其实画图一看就知b=1)
∴ 椭圆方程为2
213
x y +=
（2）11
sin sin 22
AOB S OA OB AOB AOB ?=
?∠=∠ 当90AOB ∠= ，AOB S ?取最大值1
2
，
点O 到直线
l
距离2
d ==
∴222m n +=
又∵2
213
m n +=
解得：2231
,22
m n ==
所以点M 的坐标为?? ????????
或或或 AOB ?的面积为
1
2
21.
（1）记()()()
223161h x x a x a a =-++<,对称轴x=4
)
1(3a +
()()()2
91483139
a a
a a ?=+
-=-- ① 当0?<，即1
13
a <<，()0,D =+∞
② 当0>?,h(0)>0,x>0即当1
03
a <≤，
D ??=?+∞ ? ?????
③ 当0>?，h(0)<0即，当0a ≤，D ?
=+∞????
（2）由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得
① 当1
13
a <<，()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点1
② 当1
03
a <≤，∵()()12316=310h a a a =-++-≤
()()222316=30h a a a a a a a =-++->
∴ 1,D a D ?∈
∴ ()D f x a 在内有一个极大值点 ③ 当0a ≤，则a D ?
又∵()()12316=310h a a a =-++-<
∴ ()D f x 在内有无极值点