§3-1 引 言
● ● 线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。 ● ● 在上一章介绍的时域法中，将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。
●
● 在本章以及下一章将要介绍的频域法中，将信号分解为一系列正弦函数的和（或积分），通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。
● ● 频域在工程中也有很重要的意义。很多信号的特性与频域都有很重要的关系。研究频域可以得到很多具有实用价值的结论。 ●
● 在进行频域法时,，首要问题就是如何将信号分解为一系列正弦信号的和（或者积分）。这就是本章要讨论的信号分析问题。
§3-2 信号在正交函数集中的分解
为了形象地说明信号的分解，首先我们复习矢量的分解。
一、 矢量的分解
1） 矢量的一维分解：
用一个标准矢量1A 乘以一个标量1c 得到的新矢量11A c ，去近似近似矢量A ，并要求误差尽可能小，1c 应该取多少？下图通过几何方法表示了1c 的确定方法。
1
1
1
ε+=11A A c
● ● 从几何或者解析角度，都可以得到使误差最小的系数为：
1111A A A A =
c
其中的1c 称为矢量A 和1A 的相似系数。
● ● 如果01=c （或01=A A ），则表明A 和1A 相垂直（又称
为正交）。
1） 2） 矢量的二维分解
用两个标准矢量1A 、2A 的线性组合2211A A c c +，去近似近似矢量A ，并要求误差尽可能小，1c 、2c 各应该取多少？下图通过几何方法表示了1c 、2c 的确定方法。
1
1
12c
● ● 在上图表示的情况下，1c 、2c 的取值都同时与1A 、2A 有
关，计算公式可能比较复杂。如果标准向量1A 、2A 相互垂直（正交），计算就很简单了：
1
112
2A c
容易得到此时的系数计算公式为：
1111A A A A =
c ，222
2A A A
A =c
此时每一个系数只与其相关的标准矢量有关，系数计算公式与
一维情况下的计算公式相似。
● ● 上图中表示的是用两个矢量表示一个二维的矢量，误差为
零。如果用两个矢量表示一个二维以上的矢量，误差就不一定等于0了。但是可以证明，在这种系数情况下误差最小。 ● ● 显然，如果知道了标准矢量1A 、2A 和相应的系数1c 、2c ，
就可以确定任意矢量。
● ● 这实际上就是我们在平面几何中见到的笛卡尔坐标系。 2） 3） 矢量的多维分解：
上面二维的情况可以推广到任意维，可以将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合：
∑==+++=n
i i
i n n c c c c 1
2211...A A A A A
? ? 显然，如果知道了标准矢量i A 和响应的系数i c ，就可
以确定任意矢量。 ? ? 如果矢量i A 两两正交，可以证明相应的最佳系数的计
算公式为：
i i i i c A A A A =
? ? 如果标准矢量基i A 的长度都为1，则1=i i A A ，上面
的公式可以简化为：
A A i i c =
3） 4） 标准矢量基的几个限制条件：
为了便于计算系数，实际使用的标准正交矢量集最好满足以下几个条件：
1） 1） 归一化：标准矢量
i A 的模等于1 2） 2） 正交化：标准矢量两两正交 3） 3） 完备性：可以不失真地组合出任意矢量
其中归一化和正交化是为了计算系数时比较方便；而完备性则是为了保证可以完整、没有误差地表示任意矢量，使这种分解更有实用性。
二、 信号的分解
与矢量分解相似，我们也可以推导出信号分解。 1、 单个标准信号下的分解：
在时间区间),(21t t 内，用)(11t f c 近似任意函数)(t f ，并使误差进可能小。（这里假设所有函数都是实数函数） 误差：)()()(11t f c t f t -=ε ● ● 如何衡量函数误差的大小？ ——可以采用方均误差：
?-=21
)(1)(2
122
t t dt
t t t t εε
● ● 1c 取什么值的时侯何时误差最小？或者何时系数最佳？
最佳系数：
?
?=2
1
2
1)()()()(1111
t t t t dt
t f t f dt t f t f c
——1c 也称为函数)(t f 和)(1t f 的相似系数。 最佳系数的证明
最佳系数的证明：
误差：)()()(11t f c t f t -=ε 方均误差：
[]????
??+--=
--=-=
?????
2121212
1
2
1
)()()(2)(1)()(1)(1
)(2121112122
111
221
22
t t t t t t t t
t t dt t f c dt t f t f c dt t f t t dt t f c t f t t dt
t t t t εε 为了求使)(2t ε最小的1c ，将上式对1c 求偏导并令其为零，可以
得到：
)(2)()(21)(212121111
221=??????+--=????t t t t dt t f c dt t f t f t t t c ε
由此可得：
?
?=2
1
2
1)()()()(1111
t t t t dt
t f t f dt t f t f c
● ● 如果01=c （或0)()(2
11=?t t dt t f t f ），则称)(t f 和)(1t f 正交。
——这个正交的含义与矢量中的正交类似。
● ● 如果)(t f 和)(1t f 是复函数，则方均误差的定义应该改为：
???-=-=
2121)()(1)(1)(*
1
22122t t t t dt t t t t dt t t t t εεεε
相应的最佳系数计算公式为：
?
?=
2
1
2
1)()()()(*
11*
11t t t t dt
t f t f dt t f t f c
例题3-2-1
例3－2－1：
??
?<<-<<+=)2(1
)0(1)(πππt t t f
试用sint 在区间（0，2π）来近似f (t)
-
分析：在使这近似式的方均误差最小的条件下，可以导得)(t f 在函数)(t g r 中的分量系数为
?
?
?==
21
21
21
)()(1)()()(2
t t r r
t t r
t t r r
dt
t g t f k dt
t g dt
t g t f c
解：
将信号表示为多个标准信号的线性组合：
∑==+++=n
i i i n n t f c t f c t f c t f c t f 1
2211)
()(...)()()(
● ● 这里的i c 同样难以确定。但是如果标准函数)(t f i 之间两两正
交，则可以证明：
?
?=
2
1
2
1)()()()(*
*
t t i i t t i i dt
t f t f dt t f t f c
● ● 我们实际上在高等数学等前期课程中已经见到过几个这样的
标准信号集了。例如：泰勒级数使用的是：{
}
,...,...,,,,132k
x x x x ● ● 在本章中将要用到的标准函数集为三角函数集：
{},...sin ,cos ,...,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1kt kt t t t t
2、 3、 对标准信号集的要求：
与矢量分解中的情况一样，这里对于用于分解函数的标准函数集也有以下的要求：
1） 1） 归一化：
1
)()(2
1*
=?t t i i dt t f t f
2） 2） 正交化：0
)()(2
1*
=?
t t j i dt t f t f ，j i ≠ 3） 3） 完备性：可以用其线性组合表示任意信号。
● ● 正交性标准函数集的首要条件。只有在这种情况下系数才
可以用上美的公式计算，而且可以保证方均误差最小。其他两个条件都会受到实际应用的限制，可能难于达到。
● ● 完备正交函数集一般都包含无穷多个函数，例如：三角函
数集，沃尔什函数集等。
● ● 但在实际应用中不可能用无穷多个，只可能用有限个函数，
只能近似表示任意函数。
函数与矢量的运算与分解有很大的相似性，很多函数分解中的概念（例如正交等）也是从矢量运算中引用过来的。这里用一个表格作比较：
傅利叶级数是最常用的一种正交函数集。它在工程中有很广泛的用
途。
一、 三角函数形式的傅利叶级数
1、三角正交函数集
{},...sin ,cos ,...,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1t k t k t t t t ΩΩΩΩΩΩ
其中：
1222t t T -==
Ωππ
或将正交函数集表示为：
{},...2,1,0)sin(),cos(=ΩΩn t n t n
● ● 可以证明该函数集满足正交性：
函数集中的函数两两相正交。
)sin()cos(2
1
=ΩΩ?
dt t m t n t t
n
m dt t m t n dt t m t n t t t t ≠??
?
?
?=ΩΩ=ΩΩ??0)sin()sin(0)cos()cos(21
2
1
2、任意信号在三角函数集中的分解
可以将任意函数f(t)在这个三角函数集中展开（表示成该正交函数集函数的线性组合）：
()
∑∞
+=Ω+Ω+=+Ω++Ω+Ω+Ω++Ω+Ω+=1021210sin cos ...sin ...2sin sin ...
cos ...2cos cos )(n n n n n t n b t n a a t n b t b t b t n a t a t a a t f
其中的系数可以根据前面的公式计算出：
??
????
?=-≠Ω-=ΩΩ=????21
212121
0)(10)cos()(2
)(cos )cos()(1
2122
t t t t t t t t n n dt t f t t n dt t n t f t t dt t n dt t n t f a
??
?Ω-=
ΩΩ=
2
121
2
1
)sin()(2)(sin )sin()(1
22t t t t t t n
dt t n t f t t dt
t n dt
t n t f b
● ● 这个公式中的n a 的表达不太方便。为此将分解式改
写：
()
∑+∞
=Ω+Ω+=1
0sin cos 2)(n n n t n b t n a a t f
则系数为：
?Ω-=2
1
)cos()(212t t n dt
t n t f t t a
?Ω-=2
1)sin()(21
2t t n dt t n t f t t b
● ● 通过这种分解，可以将信号可以表示成为直流信号和
一系列正弦信号之和。
3、任意信号在仅余弦三角函数集中的分解 在原来的信号分解公式
()
∑+∞
=Ω+Ω+=1
0sin cos 2)(n n n t n b t n a a t f
中，利用三角函数公式，令
2
2
n n n b a A +=，
n n
n a b arctan
-=?，
则可以将上式表达成：
()
∑+∞
=?+Ω+=10cos 2)(n n n t n A a t f
它可以看成是下列正交信号集：
{},...2,1,0)cos(=Ωn t n
的平移后的线性组合。
● ● 从系数计算公式可以看出，如果f(t)是实数信号，则： n a 和n A 是n 的偶函数； n b 和n ?是n 的奇函数。
● ● 上面的分解等式的左右两边的函数是否相等，没有误差？或
者，是否随着n 趋向于无穷大，等式右边的函数收敛于左边的函数？
——Direchlet 证明，只要满足下面三个条件，等式就一定收敛： 1） 1） f(t)绝对可积，即：∞
2
1)(t t dt t f 2） 2） f(t)在区间内有有限个间断点； 3） 3） f(t)在区间内有有限个极值点。
这个条件被称为Direchlet 条件。实际信号大都满足这个条件，所以都可以这样分解。
● ● 这个分解等式中，等号右边是多个周期为T 的函数的和，它
仍然是周期为T 的函数。 ——显然，如果)(t f 本身也是一个周期为T 的函数，则如果它可以在一个周期内用上面的公式分解，则它同时也可以在整个时间区间内分解。
● ● 这种分解可以用在两个场合：
1） 1） 研究任意函数在),(21t t 区间内的分解
2） 2） 研究周期为T 的函数在整个时间区间内的分解。 本课程中讨论的主要是后一种情况。
● ● 如果f(t) 周期为T 的函数,为了方便讨论，一般函数的主值区
间取??? ??-2,2T T
● ● 在函数的分解中：
20
a 称为信号的直流分量；
t a Ω
c o s 1、t a Ωsin 1或)cos(11?+Ωt A 称为信号的基波分量； t n a n Ωc o s
、t n a n Ωsin 或)cos(n n t n A ?+Ω称为信号的n 次谐波分量；
一般情况下，n 无法计算到无穷大，只能取有限。这时，这种正交展开是有误差的。n 越大，误差越小。
下面通过一个实例进一步讨论傅里叶级数的一些特性。 例：求方波
??
??
?<<-<
<=T t T
T
t t f 212
01)(
的傅利叶级数。
解：按照定义公式，可以计算出：
0)cos()(20=Ω=
?T
n dt t n t f T a
?????=Ω=?偶为数当为奇数
当n n n dt t n t f T b T n 0
4)sin()(20
π
()()()?
??
???+Ω+Ω+Ω=∴......5sin 513sin 31sin 4)(t t t t f π
下图给出了根据这个公式，分别用一个、两个和三个正弦脉冲逼近
方波的实际效果。
● ● 从图中可以看到，随着n 的增大，函数的逼近效果逐步得到改
善，效果越来越好。
● ● 但在信号的间断点附近，误差函数出现了一个尖刺状的突起。
这个突起是否会随着n 的增加而减小？
——Gibbs 现象：随n 趋向于无穷，在函数的间断点附近
至少存在一点，其函数的分解误差收敛于函数在这点上的跳变值的8.948987%.
这实际上就是说：无论n 多大，在间断点附近一定有一个
点，在这个点上误差值一定接近间断值的9％。 这个结论是否与上面提到的收敛条件矛盾？
两个论断并无矛盾。这牵涉到两个收敛的概念：逐点收敛和方均收敛。具体地说，逐点收敛一定方均收敛，但是方均收敛不一定逐点收敛。这里对其原理不再讨论，有兴趣的读者可以参阅有关数学书籍。 二、 复指数形式的傅利叶级数
另一种常用的傅里叶级数展开式是从复指数正交函数集将函数展开为：
()
[]
∑+∞
-∞
=Ω?=
n t n j n
e c
t f )(
其中使用的正交函数集为复指数函数或者复正弦函数：
{}
,......,...,,,,132t jn t j t j t
j e e e e
ΩΩΩΩ 或者记为：
(
)
{}
I n e t n j ∈Ω
根据前面的公式，可以得到其中的系数为：
()()()???Ω-ΩΩΩ==
2
1
2
1
2
1)(1
)(*
*
t t t jn t t t jn t
jn t t t jn n dt
e t
f T
dt e e
dt
e t
f c
● ● 复指数形式的傅利叶级数的另外一种推导方法是从三角函数函
数形式的傅利叶级数入手：
()
()()()[]∑∑∑∞+=-+Ω--Ω∞+=+Ω-+Ω+∞
=??????++=++=+Ω+=1)()(010102222
2cos 2)(n t n j n t n j n n t n j t n j n
n n n n n n n e A e A a e e A a t n A a t f ????? 令：n n n n A A =?-=?--,，可以得到：
()()∑∑-∞-=?+Ω+∞=?+Ω??
????+??????+=110222)(n t n j n n t n j n n n e A e A a t f 令
：
000,0a A ==? ()
[]()
()[]
()[
]
∑∑∑∞+-∞=Ω∞+-∞=Ω?+∞
-∞
=?+Ω?===n t n j n n t n j j n n t n j n e A e e A e A t f n n 212121)(
通过上式也可以看出，函数可以分解为一系列的线性组合，其中的系数为：
)sin (cos 22n n n n j n n j b a e A A n ?+?+==?
而：???? ??-=?n n n a b arctan ——>n n
n a b -=?)tan( ——>
22)cos(n n n n b a a +=?,2
2)sin(n n n
n b a b +-=?
[]????Ω-=Ω-Ω=Ω-Ω=-=2
12
12
121)(2)sin()cos()(2)sin()(2)cos()(2t t t jn t t t t t t n
n n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a A
● ● 两种推导过程得到的答案应该相同。对比两个系数计算公式，
可以得到：
222n n j n n
n jb a e A A c n -=
==?
这个等式反映了n c 与n A 、n ?或n a 、n b 之间的关系。
例：根据前面推导的方波的傅里叶级数的计算结果，
0)cos()(20=Ω=
?T
n dt t n t f T a
???
??=Ω=?偶为数当为奇数当n n n dt t n t f T b T n 04)sin()(20
π
很容易得到复指数情况下的傅里叶级数为：
??
???-=-=为偶数当为奇数
当n n n j b j c n n 02
2π
? ?
(
)
{}
I n e t n j ∈Ω表示一种复正弦信号。其中n 可以为正，也可以为负，这时就会出现频率Ωn 小于零的负频率。这在物理上并没
有意义，只是在数学上可以带来方便。
? ? 复指数形式的傅利叶级数虽然在物理上难于理解，但是它计
算简单，在数学上可以带来很多方便之处，所以应用广泛。 例3－3－1
例：根据前面推导的方波的傅里叶级数的计算结果，
)cos()(20=Ω=?T
n dt t n t f T a
???
??=Ω=?偶为数当为奇数当n n n dt t n t f T b T n 0
4)sin()(20
π
很容易得到复指数情况下的傅里叶级数为：
??
???-=-=为偶数当为奇数
当n n n j b j c n n 02
2π
? ?
(
)
{}
I n e t n j ∈Ω表示一种复正弦信号。其中n 可以为正，也可以为负，这时就会出现频率Ωn 小于零的负频率。这在物理上并没
有意义，只是在数学上可以带来方便。
? ? 复指数形式的傅利叶级数虽然在物理上难于理解，但是它计
算简单，在数学上可以带来很多方便之处，所以应用广泛。
例3－3－1
例3－3－1: 一周期矩形脉冲信号,高度为A,周期T ，其此信号的傅立叶级数
2
解
T A dt t f T a T T τ
==
?-2/2/0)(1 ?-Ω=2
/2/cos )(2T T n tdt
n t f T a ?-Ω=2
/2/cos 2ττtdt n A T
2/)2/sin(2τττΩΩ=
n n T A
?-=Ω=
2
/2/0cos )(2T T n tdt n t f T b
结论：（此结论具有一般性）
1 收敛性:n 增加,a n ,b n 总体趋势减小的。
2 Gibbs 现象：n 增加，间断点的误差还是很大
3 信号变化快的部分－高频分量；信号变化慢的部分－低频分量
三、 函数的奇偶性与其傅利叶级数关系
函数的奇偶性对于傅里叶级数的系数有一定的影响。掌握这
些性质有利于傅里叶级数系数的计算。 1、 1、 如果函数是偶函数，则其傅利叶级数中只有直流和余弦分量。 ——或：偶函数之和仍然是偶函数。 2、 2、 如果函数是奇函数，则其傅利叶级数中只有正弦分量。 ——或：奇函数之和仍然是奇函数。
? ? 任意的函数都可以分解为一个奇函数和一个偶函数的和——
这一点可以从傅利叶级数展开式中看到，也可以从下面的分解得到：
2)
()(2)()()()()(t f t
f t f t f t f t f t f o e --+-+=
+=
例如，锯齿波信号：
就可以分解为一个偶信号：
和一个奇信号：
之和。 3、 奇谐函数的傅利叶级数
? ? 奇谐函数：满足)
(2t f T t f -=???
??+的周期为T 的函数。
例如：
? ? 奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。
例如前面的周期性方波的傅里叶级数中，只有1、3、5、7、……等奇次谐波分量。 4、 偶谐函数的傅利叶级数
? ? 偶谐函数：满足)
(2t f T t f =???
??+的周期为T 的函数。
例如：
? ? 偶谐函数实际上是周期为2T
的函数。
? ? 偶谐函数的傅利叶级数中只有直流和偶次谐波分量。
● ● 通过函数的奇偶谐波特性，可以使我们对函数的傅利叶级数中
包含的成份进行快速判断，有利于我们的计算。
例3－3－2: 选择题：如图所示的信号中，含有谐波分量为
A 直流、正弦及余弦项
B 只有直流、正弦项
C 只有直流、 余弦项 D
只有直流、奇次余弦项 E 只有直流、奇次正弦项
分析：讲上图变成一直流分量和下图所示信号和即可判断
解：只有直流和正弦项，选B
四、 信号的有效值和功率
1、 正交分解与信号功率：
假设信号可以在正交函数集中分解为：
∑=i
i i t f c t f )
()(
则其功率为：
()()∑∑??∑?∑?=-=-=??? ??-=-=i i i t t i i t t i
i i t t i i i t t P dt t f c t t dt
t f c t t dt t f c t t dt t f t t P 21
2121212
122
122
12212)(1)(1)(1)(1
其中：()?-=21
212)(1t t i i i dt t f c t t P ，为第i 个正交信号分量的功率。
由此可以得到Parseval 定理：信号的功率等于信号在完备正交函数集
中分解后各个子信号功率的和。
● ● 利用信号傅利叶级数分解后，信号功率：
∑∑∑∑∞
-∞
=∞=∞
==+=++==i i
i i i i i i i c A A b a a P P 2122
012
22
024)
(214
● ● 信号在非正交函数集中分解后，信号的功率并不满足叠加
性（如泰勒级数展开）。 2、 2、 信号有效值：
信号的有效值定义为与信号有着相同的功率的直流信号的大小。其作用是方便信号功率的计算和表示。
2
020*******
211)(1f dt f t t dt t f t t t t t t =-=-??
P dt t f t t f t t =-=?21
)(12
120
● ● 例如，正弦信号的有效值：
[][]2)2cos(121)cos(121212122
1
20A
dt t A t t dt t A t t f t t t t =
Ω+-=Ω?-=
??
● ● 按照信号功率分解公式，有：
∑∑∑≠==
=i
i
i
i
i
i f f
P P f 20
即：信号的有效值不能叠加。
● ● 利用信号傅利叶级数分解后的信号分量计算信号功率：
∑∑∑∑∞
=∞
=∞
==+=
++===0
2
02
2012
22
002
4)
(214i i
i i i i i i
i c
A
A b a a P P f
§3-4 周期性信号的频谱
● ● 周期性函数可以在傅利叶级数中展开。如果给定了各个频率分量的幅度和相位，就可以确定信号。
● ● 频谱是信号的一种图形表示方法，它将信号各个频率分量上
的系数关系用图形的方法表示出来。它可以说明信号的特性，而且可以给信号的变换和处理计算带来很多方便之处。 ● ● 频谱图有两个组成部分：
振幅频谱：表示信号含有的各个频率分量的幅度。其横坐标为频率，纵坐标各个对应频率分量的幅度。 相位频谱：表示信号含有的各个频率分量的相位。其横坐标为频率，纵坐标各个对应频率分量的相位。 ● ● 频谱图有两种形式：
1、如果用正弦函数展开式形式的傅里叶级数，则相应的表达式为：
()
∑+∞
=?-Ω+=10cos 2)(n n n t n A a t f
则振幅为：
2
2
n n n
b a A +=
相位为：
n n n a b
a
r c t a n
=? 按照这种定义做出的频谱，因为只有0≥n (或0≥ω)时才有意义，做出的图只有0≥n 的一边，所以又被称为单边频谱。
例：周期性方波的单边频谱。
0=n a ，?????=为奇数当为偶数当n n n b n 0
4π
所以：
?????=+=为奇数当为偶数
当n n n b a A n n n 04
2
2
π
?????-=-=为奇数当为偶数
当n n a b n n n 02
arctan π
?
由此可以作出其频谱图
● ● 单边频谱中，对于0=n (或0=ω)点上的幅度频谱，有一些
与其它频率点上的不同之处： 1） 1） 如果认为幅度频谱表示的是是信号在各个频率上
的信号分量幅度的大小，则信号真正的直流分量应该为
20
A ，频谱在0=ω上的分量的大小应该减半。
2）
2） 如果认为幅度频谱表示的是n A 随频率变化的规
律，则幅度频谱不用变化。
2、如果用复数正弦函数展开式形式的傅里叶级数，则相应的表达式为：
∑+∞
-∞
=Ω=
n t
jn n
e
c t f )(的傅里叶级数表达式，则：
振幅为n c 相位为)(n c ang 。
按照这种定义做出的频谱在n 大于和小于零的两边都有
意义，做出的图又被称为双边频谱。
由于对于实数信号而言，其频谱具有对称性，所以一般情况下对于双边频谱也只要作出0≥n (或0≥ω)部分就可以了。这样一来的频谱与单边的频谱就有些相似，但是含义不同。在频谱形状上，两者的相位频谱相同，但是振幅频谱的幅度大小是单边谱的一半。
单边频谱在物理概念上容易理解，但是双边频谱对于后
续的处理带来很大的好处
在后面的内容中，频谱往往都是用双边频谱。
周期性信号的频谱有下面三个特点：
1、 离散性：它有不连续的线条组成；
2、 谐波性：线条只出现在基波频率的整数倍点上；
3、 收敛性：实际信号的幅频特性总是随频率趋向无穷大而趋向于零。
例：周期性方波脉冲的频谱：
?????
+<<+-=其它02
2)(kT t kT A t f ττ ??? ??Ω=???????=≠???
??ΩΩ=220202sin 4ττττn Sa T A n T A n n T n A A n
??? ??Ω=???????=≠???
??ΩΩ=2002sin 2ττττn Sa T A n T A n n T n A c n 其中：
()x x
x Sa sin =
，称为抽样函数。
根据上面的公式可以画出信号的频谱。该例中信号的振幅频谱和相位频谱可以合二为一。
根据周期性方波的频谱，我们可以得到关于信号特性的几个一般性结论： 1、 1、 T 增加——>Sa()函数不变——>频谱的包络不变，收敛性
不变。但是：1）谱线幅度降低；2）谱线密度加大。
? ? 信号周期加大，对振幅的收敛性没有影响，但会使谱线密
度增加。
? ? 当T 趋向无穷大时，信号成为非周期信号，这时，谱线幅
度降低为无穷小，谱线密度加大，信号分量出现在所有频率上。 2、 2、 τ
下降——>Sa()尺度扩大——>收敛性变差，但是谱线间隔不变。
? ? 信号时间宽度变小，将使信号能量向高频扩散，信号的频
带增加。 3、 3、 信号的频带：
由于信号的频谱的收敛性，一般可以在一个信号分量主要集中的频率区间内研究信号的特性，而忽略信号其它部分的分量。响应的频率区间就是信号的频带。
信号的频带有很多种定义方法：
1） 1） 以信号最大幅度的10/1为限，其它部分忽略不计； 2） 2） 以信号振幅频谱中的第一个过零点为限，零点以外部分忽
略不计； 3） 3） 以包含信号总能量的90%处为限，其余部分忽略不计； 4、 4、 信号的边沿对信号频带的影响
信号的边沿变化越快，信号的频带越宽。 例：三角脉冲函数的频谱：
2
4
??????
??? ??Ω=ττn Sa T A n
（t_rec_p.m ）
例3－4－1 例3－4－2
例3－4－1： 请画出下面周期信号的频谱图，
并分析当τ不变而T 改变 和T 不变而τ改变频谱的变化情况
解：
该信号第n 次谐波的振幅为 T n T n T A A n //sin 2πτπττ=
频谱绘制如下：
分析并分析当τ不变而T 改变 和T 不变而τ
改变频谱的变化情况
T n T n T A A n //sin 2πτπττ=
由此可见，振幅数值与T τ之比有关。
(a)周期矩形脉冲在τ4=T 时的频谱图。
(b)当脉冲连续时间τ不变,而重复周期增大为τ81=T 时
(c)就是T 不变而τ减小一倍 所以
1、T 不变， τ改变谱线间隔不变。
τ下降：1)Sa( )幅度变小；2)收敛速度减慢，3)信号的频带增加
2、T 改变， τ不变
Sa()函数不变(频谱的包络不变，还是收敛）
T 增加：1）谱线幅度降低；2）谱线密度加大。
例3－4－2： 求如下图所示的矩形脉冲的傅里叶变换。
分析：这个脉冲与矩形脉冲相比，只是延迟了一时间2τ
，因此它的傅里叶变换只要将矩形
脉冲的乘以j /2
e ωτ-，
解：
(j )F ω=sin /2/2A ωττωτ??
?
???j /2e ωτ-
显然，这函数的模量与矩形脉冲完全一样，但它的相位要矩形脉冲的滞后2ωτ
，如下图
所示。
§3-5 非周期性信号的频谱
非周期性信号可以看成周期信号在周期趋向无穷大时的极限。
一、 从周期信号到非周期信号
——从傅利叶级数到傅利叶变换
根据周期信号傅利叶级数展开公式，其各个频率分量的幅度为：
?Ω-=
21)(1t t t
jn n dt e t f T c
当∞→T 时，0
2→=ΩT π，此时： 1） 1） 频谱间隔趋进无穷小，信号在各个频率点上都有信号分量——>频率取值变成连续的。 2） 2） 在每一个频率点上的频率分量大小趋向零。
其中第二点给计算带来了麻烦，所以无法用傅利叶级数表示非周期信号。这时，为了消除系数公式中趋向无穷小的部分，定义：
空间分析复习提纲 一、基本概念(要求：基本掌握其原理及含义，能做名词解释) 1、空间分析：是基于地理对象的位置和形态的空间数据的分析技术，其目的在于提取和传输空间信息。 2、空间数据模型：以计算机能够接受和处理的数据形式，为了反映空间实体的某些结构特性和行为功能，按一定的方案建立起来的数据逻辑组织方式，是对现实世界的抽象表达。分为概念模型、逻辑模型、物理模型。 3、叠置分析：是指在同一地区、同一比例尺、同一数学基础、不同信息表达的两组或多组专题要素的图形或数据文件进行叠加，根据各类要素与多边形边界的交点或多边形属性建立多重属性组合的新图层，并对那些结构和属性上既互相重叠，又互相联系的多种现象要素进行综合分析和评价；或者对反映不同时期同一地理现象的多边形图形进行多时相系列分析，从而深入揭示各种现象要素的内在联系及其发展规律的一种空间分析方法。 4、网络分析：网络分析是通过研究网络的状态以及模拟和分析资源在网络上的流动和分配情况，对网络结构及其资源等的优化问题进行研究的一种空间分析方法。 5、缓冲区分析：即根据分析对象的点、线、面实体，自动建立它们周围一定距离的带状区，用以识别这些实体或主体对邻近对象的辐射范围或影响度，以便为某项分析或决策提供依据。其中包括点缓冲区、线缓冲区、面缓冲区等。 6、最佳路径分析：也称最优路径分析，以最短路径分析为主，一直是计算机科学、运筹学、交通工程学、地理信息科学等学科的研究热点。这里“最佳”包含很多含义，不仅指一般地理意义上的距离最短，还可以是成本最少、耗费时间最短、资源流量（容量）最大、线路利用率最高等标准。 7、空间插值：空间插值是指在为采样点估计一个变量值的过程，常用于将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面，它包括内插和外推两种算法。，前者是通过已知点的数据计算同一区域内其他未知点的数据，后者则是通过已知区域的数据，求未知区域的数据。 8、空间量算：即空间量测与计算，是指对GIS数据库中各种空间目标的基本参数进行量算与分析，如空间目标的位置、距离、周长、面积、体积、曲率、空间形态以及空间分布等，空间量算是GIS获取地理空间信息的基本手段，所获得的基本空间参数是进行复杂空间分析、模拟与决策制定的基础。 9、克里金插值法：克里金插值法是空间统计分析方法的重要内容之一，它是建立在半变异函数理论分析基础上，对有限区域内的区域变化量取值进行无偏最优估计的一种方法，不仅考虑了待估点与参估点之间的空间相关性，还考虑了各参估点间的空间相关性，根据样本空间位置不同、样本间相关程度的不同，对每个参估点赋予不同的权，进行滑动加权平均，以估计待估点的属性值。 二、分析类(要求：重点掌握其原理及含义，能结合本专业研究方向做比较详细的阐述) 1、空间数据模型的分类？ 答：分为三类： ①场模型：用于表述二维或三维空间中被看作是连续变化的现象； ②要素模型：有时也称对象模型，用于描述各种空间地物； ③网络模型：一种某一数据记录可与任意其他多个数据记录建立联系的有向图结构的数据模型，可 以模拟现实世界中的各种网络。
5?3自然正交函数分析(EOF)程序 近年來，自然正交函数(乂称经验正交函数)展开在气象上应用比较广泛。这种正交函数展开不彖三角函数展开、球函数展开那样有固定的展开形式。它无固定的函数形式，不是事先人为地给定典型场函数，图形是由场木身来决定的，它具有收敛快又能更好地反映岀场的基木结构的特征。它可以在有限的区域屮进行，既可以取空间不同站点进行分解，也可以对同一站点的不同吋间、不同高度的多种要素进行综和分析。因此它在气彖中具有广泛的应用，可用于气象要素场分析、大气垂直结构分析、动力模型垂直分层等。 5. 3.1功能 计算要素场的自然正交函数分解。 5. 3. 2方法说明 口然止交函数分解是针对气彖要素场进行的，它的基本思想是把包含P个空间点(或P个变 量)的n个时次的观测场随时间进行分解，即将某一区域的气象要素场序列Fq (i=l, 2,???,p； j=l,2,…,n,即p个空间点的n个时次的观测资料)分解成相互正交的时间函数与相互正交的空间函 数的乘积Z和，常把空间函数VW看作典型场，时间函数看作典型场的权重系数，则不同时间 的要素场是若干个典型场按不同权重线性叠加的结果，各个场之间的差别就在于各典型场的系 数不同。则气象耍素场可以表示为 P Ej =》％tkj = Vig+Vj2t2j+???+Viptpj (5. 3. 1) k=l 英中Fq表示第i个场中的第j个测点的观测值。 可将(5.3.1)是写为矩阵的形式 F =VT( 5 . 3 . 2 ) 式中F为pxn阶的均值为0的资料阵，V为pxp阶的空间函数阵，卩为pxn阶的时间函数阵。 由于V和0是根据场的资料阵F进行分解而得到的，分解的函数没有固定的函数形式，因而称为“经验”的，另外，我们还要求这种分解具有“正交”性，即要求满足下式 P Vk V, =X v ik v n =0 (kHl) i=1(5. 3. 3 ) n 兀齐-￡，kjtij =0 (k H 1) 冃 事实上，我们对(5. 3. 2)式右乘厂可得 FF =VTTV r( 5 . 3 . 4 ) 因FF'是pxp阶对称阵，其元素为距平变量的交义积。根据实对称矩阵的分解定理有 FF =VAV f(5. 3. 5 ) 其小A是FF'矩阵的特征值组成的对角阵，V是对应的特征向量为列向量组成的矩阵。比较(5. 3. 4)和(5. 3. 5 )式可知 TT r = A(5 . 3. 6 ) 乂根据特征向量的性质有
'************************************* ' 全局变量，便于主函数调用。 ' VB 6.0 的函数返回的参数偏少， ' 使用全局变量在一定程度可以解决这个问题。 '**************************************** Public A() As Single ' 协方差/相关系数矩阵A Public V() As Single '特征向量为列组成的矩阵，即空间函数V （EOF）Public T() As Single '时间系数矩阵T（PC） Public B() As Single '特征值λ（E）,按从大到小排列 Public GM() As Single '解释的方差(%)（特征向量对X场的累积贡献率）P Public GA() As Single Public GB() As Single '个体i特征向量对X场的贡献率ρ Public XF() As Single '模拟结果 '******************************************************** ' 函数名：CovarMat ' 函数用途: 计算协方差（相关系数）矩阵 ' 参数说明：矩阵下标为1：N,从1开始； ' X,存放原始观测值，二维实型数组，X(P,P)。 ' 返回：计算协方差（相关系数）矩阵。 '******************************************************* Function CovarMat(X() As Single) As Single() Dim XX() As Single Dim P As Integer, N As Integer Dim px As Single P = UBound(X, 1) N = UBound(X, 2) px = IIf(N > 0, 1 / N, 1) ReDim Preserve XX(1 To P, 1 To P) Dim iAs Integer, j As Integer, k As Integer ' 求X乘以X的转置,即A=XXˊ For i = 1 To P For j = 1 To P XX(i, j) = 0 For k = 1 To N XX(i, j) = XX(i, j) + X(i, k) * X(j, k) Next k XX(i, j) = XX(i, j) * px Next j Next i
信号空间：将信号看做空间里的向量 内积：（jiang2）内积为0—正交 范数：（jiang3） https://www.doczj.com/doc/fb6960221.html,/zh-cn/%E6%AD%A3%E4%BA %A4 https://www.doczj.com/doc/fb6960221.html,/jsjy/kc/xhyjs/chap6/ch ap6_1/chap6_1_1.htm 第一讲信号的正交分解 把实际的信号分解为信号单元是信号分析和处理中常用的方法。一方面，信号的分解使我们能了解它的性质与特征，有助于我们从中提取有用的信息，这一点，在信号的傅里叶变换中就已经体现出来了。另一方面，把信号分解之后，可以按照我们的意愿对它进行改造，对于信号压缩、分析等都有重要的意义。 信号分解的方法有很多。例如，对一离散信号，我们可把它分解成一组函数的组合，即 ，式中，。 但这种分解无实用意义，因为的权重即是信号自己。另一种分解的 方法是把N点数据看成是N维空间的一个向量，我们选择该空间的单位基向量作为分解的“基”，也就是
按照这种分解方法，各正交向量的权仍是信号自己的各个分量，也无太大意义，但这一分解已经体现了“正交”分解的概念。 一般，我们可把信号看成N维空间中的的一个元素，可以是连续信号，也可以是离散信号。N可以是有限值也可以是无穷大。设是由一组向量 所张成，即 这一组向量可能是线性相关的，也可能是线性独立的。如果它们线 性独立，我们则称它们为空间中的一组“基”。各自可能是离 散的，也可能是连续的，这视而定。这样，我们可将按这样一组向量作分解，即 (6-1-1) 式中是分解系数，它们是一组离散值。因此，上式又称为信号的离散表示（Discrete Representation）。 如果是一组两两互相正交的向量，则（6-1-1）式称为的正交 展开（或正交分解）。分解系数是在各个基向量上的投影。若 N=3，其含意如图6-1-1所示。
信号与系统重点概念公 式总结 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
信号与系统重点概念及公式总结： 第一章：概论 1.信号：信号是消息的表现形式。（消息是信号的具体内容） 2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。 第二章：信号的复数表示： 1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。 常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部； 或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复 数的辐角。（复平面） 2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解 1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n = 如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(2 1 21 2==≠=?? 则称集合F 为正交函数集 如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。 如果F 中的函数为复数函数 条件变为：n i K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(21 21* * ==?≠=???
其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。2.正交函数集的物理意义： 一个正交函数集可以类比成一个坐标系统； 正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点； 点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。 3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。 如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ） ()∞<
５．３自然正交函数分析（ＥＯＦ）程序 近年来，自然正交函数（又称经验正交函数）展开在气象上应用比较广泛。这种正交函数展开不象三角函数展开、球函数展开那样有固定的展开形式。它无固定的函数形式，不是事先人为地给定典型场函数，图形是由场本身来决定的，它具有收敛快又能更好地反映出场的基本结构的特征。它可以在有限的区域中进行，既可以取空间不同站点进行分解，也可以对同一站点的不同时间、不同高度的多种要素进行综和分析。因此它在气象中具有广泛的应用，可用于气象要素场分析、大气垂直结构分析、动力模型垂直分层等。 5.3.1功能 计算要素场的自然正交函数分解。 5.3.2方法说明 自然正交函数分解是针对气象要素场进行的，它的基本思想是把包含ｐ个空间点（或ｐ个变量）的n 个时次的观测场随时间进行分解，即将某一区域的气象要素场序列ij F （i=1, 2, …,p ；j=1,2,…,n ，即p 个空间点的n 个时次的观测资料）分解成相互正交的时间函数与相互正交的空间函数的乘积之和，常把空间函数ik v 看作典型场，时间函数kj t 看作典型场的权重系数，则不同时间的要素场是若干个典型场按不同权重线性叠加的结果，各个场之间的差别就在于各典型场的系数不同。则气象要素场可以表示为 ∑=+++==p 1k pj ip j 22i j 11i kj ik ij t v t v t v t v F （５．３．１） 其中F ij 表示第i 个场中的第j 个测点的观测值。 可将(5.3.1)是写为矩阵的形式 VT F = （５．３．２） 式中F 为n p ?阶的均值为0的资料阵， V 为p p ?阶的空间函数阵，T 为n p ?阶的时间函数阵。由于V 和T 是根据场的资料阵F 进行分解而得到的，分解的函数没有固定的函数形式，因而称为“经验”的，另外，我们还要求这种分解具有“正交”性，即要求满足下式 ??? ????≠=='≠=='∑∑==)l k (0t t t t )l k (0v v v v n 1j lj kj l k p 1i il ik l k （5．3．３） 事实上，我们对（５．３．２）式右乘T '可得 V T VT F F ''=' （５．３．４） 因F F '是p p ?阶对称阵，其元素为距平变量的交叉积。根据实对称矩阵的分解定理有 V V ΛF F '=' （５．３．５） 其中Λ是F F '矩阵的特征值组成的对角阵，V 是对应的特征向量为列向量组成的矩阵。比较（５．３．４）和（５．３．５）式可知 ΛT T =' （５．３．６） 又根据特征向量的性质有 I V V V V ='=' （５．３．７）
气象统计分析与预报方法 课程实验报告 实验名称 实验二 经验正交函数分解 系 别 大气科学 姓 名 学 号 班 级 应气101 实验地点 机房 实验日期 11月13日 评 分 指导老师 肖国杰 同组其他成员 一、实验内容（含实验原理介绍）：实验所提供的资料为NCEP/NCAR 59年（1948年-2006年）逐年1～12月的 850hPa 高度场资料，资料范围为（90 N -90S ，0E -360E ），网格距为2.5*2.5，纬向格点数为144，经向格点 数为73。资料为NC 格式，资料从南到北、自西向东排列，每月为一个记录，按年逐月排放，注意读取方式以及记录长度。 对（0N -90N ，60E -120W ）850hPa 高度场进行经验正交展开（EOF.FOR ），输出分析主要参数指标；绘制环流型图和相应的时间系数序列图，并加以分析。 本实验运用EOF 方法： EOF （经验正交函数分解）是针对气象要素场进行的，其基本原理是把包含p 个空间点 （变量）的场随时间变化进行分解。设抽取样本容量为n 的资料.则场中任一空间点i 和任一时间点j 的距平观测值 ij x 可看成由p 个空间函数ik v 和时间函数kj y (k=1,2,…,p)的线性组合,表示成 11221 p ij ik kj i j i j ip pj k x v y v y v y v y == =+++∑ EOF 功能是从一个气象场多次观测资料中识别出主要空间型及其时间演变规律。 EOF 展开就是将气象变量场分解为空间函数（V ）和时间函数（T ）两部分的乘积之和： X=VT 。 应用步骤： 资料预处理(距平或标准化处理) 计算协方差矩阵、用Jacobi 方法或迭代法计算协方差矩阵的特征值与特征向量、将特征值从大到小排列、计算特征向量的时间系数、计算每个特征向量的方差贡献、结果输出
51气象中的统计方法总结 2、判别分析；广东省徐闻气象局[20]用二级判别做台风登陆地段； 3、相关分析；近20年来在气象统计中用得较多的主要有典型相关（；奇异值分解（SVD）也是提取两个场的最大线性相关； 4、气象场的分解及其应用；50年代中期由Loreng引入到大气科学研究中的；4．1经验正交函数（EOF）分解；章基嘉等[30]应用经验正交函数对亚洲500hP；4．2主成份（主分量） 2、判别分析 广东省徐闻气象局[20]用二级判别做台风登陆地段的预报。Fisher、Bayes以及逐步判别等虽然在气象实际中广泛应用,但严格地说,这些方法仅当变量为正态分布时才可应用， Logistic判别对变量的基本假设条件较宽,对未经正态检验的变量应用本方法是可行的，且可用于既有连续变量又有多值离散变量的情形。吕纯濂等[21] 将Logistic判别引入中国气象界,并研究了二次Logistic判别[22]分析及逐步判别[23]在气象中的应用。 3、相关分析 近20年来在气象统计中用得较多的主要有典型相关（CCA）分析和奇异值分解（SVD）方法。CCA是提取两个气象场的最大线性相关摸态的方法。朱盛明、祝浩敏[24]在数值预报的解释应用中用典型相关分析提取有物理意义的预报因子作预报方程。陈嘉玲、谢炯光[25]用典型相关分析作中期冷空气预报。黄嘉佑[26]用典型相关分析作副高的统计动力预报。近年来发展了一种新的CCA改进方法，称为典型相关分析的BP（Barnert 和Preisendorfer）方法,在气象统计中也得到了应用[27]。 奇异值分解（SVD）也是提取两个场的最大线性相关摸态的方法，SVD 方法可以变成是两个要素场关系的扩大EOF分析。谢炯光等[28]用奇异值分解方法，求出了广东省前汛期（4-6月）西太平洋场海温与广东省降水场的6对奇异向量，来作汛期降水趋势预报。江志红等[29]用SVD方法讨论了中国夏半年降水与北太平洋海温异常的关系。
实习二：大气环流分型 一、实习目的及要求 本实习的目的是掌握大气环流分型的基本方法－－EOF（经验正交函数分解）；要求熟悉EOF方法和程序的应用：用相关GRADS气象绘图系统，编写数据描述文件以及GRADS执行程序，用图形输出空间向量场；并能正确分析结果数据，完成实习报告。 二、实习内容 对1948-2008年1月欧亚（20-700N；40o-140oE）500hPa位势高度场的标准化序列进行自然正交展开，绘图主要的异常环流型环流型，输出讨论EOF分析主要参数标。 三、实习步骤 1、实习资料 NCEP/NCAR 1948－2008年1月的500百帕月平均高度场资料，资料范围为（900S-900N,00-3600E) 网格距为2.50×2.50,纬向格点数为144，经向格点数为41 资料为GRD格式，资料从南到北、自西向东排列，每月为一个记录，按年逐月排放。 2、实习方法 EOF功能：从一个气象场多次观测资料中识别出典型空间场型及其时间演变规律。EOF展开就是将气象变量场分解为空间函数(V)和时间函数(T)两部分的乘积之和：X=VT。 应用步骤： ①数据输入（主程序） ②资料预处理（距平或标准化处理） call TRANSF(N,M,F,AVF,DF,KS) ③计算协方差矩阵call FORMA(N,M,MNH,F,A) ④用Jacobi方法计算协方差矩阵的特征值与特征向量 JCB(mnh,A,S,EPS） ⑤将特征值从大到小排列call ARRANG(KV,MNH,A,ER,S) ⑥计算特征向量的时间系数call TCOEFF(KVT,KV,N,M,MNH,S,F,V,ER) ⑦计算每个特征向量的方差贡献call OUTER(KV,ER) ⑧结果输出（主程序） 3、编写程序 （1)绘制1948-2008年1月欧亚地区500hPa位势平均高度场图 实习配置的GRADS数据描述文件： dset d:\nyclimate\sh2\hgt500.grd undef -9.99E+33 title monthly mean hgt from the NCEP Reanalysis
实验二经验正交函数分解 一、目的和要求： 经验正交函数分解（EOF）是统计天气分析中气象要素场最基础的研究模型,是必须理解和掌握的方法之一,是后续课程中许多气象要素场的计算结果的理解的基础理论,也是毕业设计和论文中的基本分析方法。该方法用个数较少的几个空间分布模态来描述环流形势,而且基本涵盖环流场的信息,既能作为天气分析模型,其方法的延拓又能作为天气预报模型,在实际工作中也有极强的实用意义。通过该实验,深刻理解气象要素场的统计模型的意义,掌握气象要素场分析的基本方法,为实际预报业务和科研工作打下一定的基础。 二、实验的主要内容： 对（0N-90N ,60E-120W）850hPa高度场进行经验正交展开（EOF.FOR） ,输出分析主要参数指标；绘制环流型图和相应的时间系数序列图 ,并加以分析。 三、步骤： 3.1 熟悉资料方法 3.1.1 资料 提供的资料为NCEP/NCAR 60年（1948年-2007年）逐年1～12月的850hPa高度场资料 ,资料范围为（90N-90S ,0E-360E） ,网格距为2.5*2.5 ,纬向格点数为144 ,经向格点数为73。资料为NC格式 ,资料从南到北、自西向东排列 ,每月为一个记录 ,按年逐月排放 ,注意读取方式以及记录长度。 本次实验应用NCEP/NCAR（0N-90N ,60E-120W） 58年（1948年-2005年）逐年7月的850hPa高度场资料 ,纬向格点数为73 ,经向格点数为37。 3.1.2 方法（经验正交函数分解EOF） EOF（经验正交函数分解）是针对气象要素场进行的 ,其基本原理是把包含p个空间点（变量）的场随时间变化进行分解。设抽取样本容量为n的资料.则场中任一空间点i和任
2.1 用完备正交函数集表示信号 将信号分解为正交函数分量的问题与将矢量分解为正交矢量的方法是类似的。下面我们首先从正交矢量开始讨论，进而引入正交函数集的概念。 为了给出正交函数的概念，并研究正交函数的分解方法，下面我们首先来回顾一下矢量的正交矢量分解。 2.1.1 正交矢量 设矢量与矢量的关系如下图所示其中，是它们的夹角，是在上的投影，是用投影来表示时的误 差。由于直角边长小于斜边长，所以根据投影误差可知：如果要用上的矢量 来表示，则应选择在上的垂直投影，这时的投影误差最小。 此时(选择垂直投影来表示)，
于是，可以求出系数 为 式中的算子表示求两矢量的内积，定义如下 系数C 12表示的是与的近似程度。当与 重合时，=0， =1； 随着 增大，C 12减小；当 时，C 12，此时与 成为相互垂直的矢量，称 为正交矢量。 这样，我们就提出这样一个结论： 两个矢量是正交的充要条件是它们的内积为0，即 <=> 与 垂直或正交 下面我们来看看，有了正交矢量后，对我们到底有什么好处？ 对于二维平面上的矢量V 在直角坐标中可分解为x 方向的分量和y 方向 上的分量，其中Vx 、Vy 表示x 和y 方向上的正交单位矢量，即
为了便于研究矢量分解，把相互正交的两个矢量组成一个二维正交矢量集，在此平面上的任意矢量均可用二维正交矢量集的分量组合来表示。 同样，对于三维矢量V，也可以用一个三维正交矢量集{Vx,Vy,Vz}的分量组合来表示，即 V = C 1V x +C 2 V y +C 3 V z 根据此原理，可以把K维空间中的任一矢量分解为K个互相正交的矢量的和。 2.1.2 正交函数 下面我们来考虑在区间(t 1,t 2 )内用函数来近似表示，即 此时，所选择的C 12应使得C 12 ? 2 (t)与? 1 (t)之间的均方误差 最小。 为求使均方误差最小时的C 12 ，须使。即
中国近20年来气象统计预报综述 中国近20年来气象统计预报综述 谢炯光曾琮 （广东省气象台） 摘要 近20年来，多元统计分析方法有了长足的进步，涌现出不少新方法、新技术。本文着重介绍了近20年来气象统计预报在中国气象业务科研中的一些应用和发展，主要从多元统计分析意义上来选材。 关键词：多元分析、气象统计、预报。 一、前言 气象统计预报在中国气象业务预报和科研工作中占有重要的位置，特别是在模式统计释用及中长期预报业务中，统计预报更是扮演着一个重要的角色，多元分析中的回归分析、典型相关分析、EOF分析等更是气象预报和分析不可少缺的工具。近20年来，气象统计预报在中国取得了长足的发展。本文主要综述统计方法在气象预报业务中的各个方面的应用及其所取得的一些成绩。 二、多元统计分析在气象预报业务中的应用 1、回归分析 广东、江西、河北、辽宁等气象局[1]用0、1权重回归、逐步回归、多元回归等方法，得出晴雨MOS预报方程。1978年曹鸿兴等、史久恩等[2]用逐步回归建立最高、最低气温预报方程。新疆自治区气象台张家宝等[3]以预报员经验为基础，采用完全预报（Perfect Prog Method）方法,应用0、1权重回归建立了有无寒潮的预报。上海气象台丁长根、黄家鑫[4]用逐步回归建立U、V和S（全风速）预报方程。1965年W.F.Massy[5]提出的主成份回归、1970年Hoerl和Kennard[6]提出的岭估计(Ridge estimate)以及Webster等人[7]提出的特征根回归(Latent root regression, LRR)对在回归分析中出现复共线性(Multi-collinearity)有较好的处理。冯耀煌[8]在预报集成中,应用了岭回归技术,李耀先[ 9]用岭回归作水稻产量年景预测。魏松林[10]用特征根回归建立长春6-8月平均气温的特征根回归。 Furnialhe 和Wilson提出的穷尽所有回归的算法，比较彻底地解决了最优回归（即最优子集回归）的问题。张万诚[11]用最优子集回归作低纬高原雨季开始预报。 在气象预报的实际工作中，常要考虑多个自变量（预报因子）与多个因变量（预报量）的关系。中国数学家张尧庭[12]解决了这一问题的算法，徐一鸣等[13]用多预报量双重筛选逐步回归作台风路径预报，严华生等[14]用多因变量多自变量建立大气环流--区域水稻产量预报。 引入非线性回归是近年来发展的趋势。冯耀煌等[15]、姜子俊等[16] 提出了一种选择非线性最优预报因子和建立非线性预报方程的方法,可用于长、中短期预报。 近年来由于数值预报模式的频繁更迭，使模式输出统计预报方法受到新的考验，黄嘉佑等[17]介绍了卡尔曼滤波在天气预报中的应用，刘春霞等[18]用此方法制作了广东省冬季的最低气温预报。近年来，卡尔曼滤波技术在短期气候预测中也得到了应用[19]。
短期气候预测基础实 习二
实习二：大气环流分型 一、实习目的及要求 本实习的目的是掌握大气环流分型的基本方法－－EOF（经验正交函数分解）；要求熟悉EOF方法和程序的应用：用相关GRADS气象绘图系统，编写数据描述文件以及GRADS执行程序，用图形输出空间向量场；并能正确分析结果数据，完成实习报告。 二、实习内容 对1948-2008年1月欧亚（20-700N；40o-140oE）500hPa位势高度场的标准化序列进行自然正交展开，绘图主要的异常环流型环流型，输出讨论EOF分析主要参数标。 三、实习步骤 1、实习资料 NCEP/NCAR 1948－2008年1月的500百帕月平均高度场资料，资料范围为（900S-900N,00-3600E) 网格距为2.50×2.50,纬向格点数为144，经向格点数为41 资料为GRD格式，资料从南到北、自西向东排列，每月为一个记录，按年逐月排放。 2、实习方法 EOF功能：从一个气象场多次观测资料中识别出典型空间场型及其时间演变规律。EOF展开就是将气象变量场分解为空间函数(V)和时间函数(T)两部分的乘积之和：X=VT。 应用步骤：
①数据输入（主程序） ②资料预处理（距平或标准化处理） call TRANSF(N,M,F,AVF,DF,KS) ③计算协方差矩阵call FORMA(N,M,MNH,F,A) ④用Jacobi方法计算协方差矩阵的特征值与特征向量 JCB(mnh,A,S,EPS） ⑤将特征值从大到小排列call ARRANG(KV,MNH,A,ER,S) ⑥计算特征向量的时间系数call TCOEFF(KVT,KV,N,M,MNH,S,F,V,ER) ⑦计算每个特征向量的方差贡献call OUTER(KV,ER) ⑧结果输出（主程序） 3、编写程序 （1)绘制1948-2008年1月欧亚地区500hPa位势平均高度场图 实习配置的GRADS数据描述文件： dset d:\nyclimate\sh2\hgt500.grd undef -9.99E+33 title monthly mean hgt from the NCEP Reanalysis xdef 144 linear 0.000 2.500 ydef 73 linear -90.000 2.500 zdef 1 levels 500 tdef 732 linear jan1948 1mo vars 1 hgt 1 -999 monthly mean hgt endvars ; gs文件： 'reinit' 'open d:\nyclimate\sh2\hgt500.ctl' 'enable print d:\nyclimate\sh2\have1.gmf' 'set lev 500' 'set lat -90 90' 'set lon 0 360' 'set t 1'
实验二 经验正交函数分解 一、目的和要求： 经验正交函数分解（EOF ）是统计天气分析中气象要素场最基础的研究模型，是必须理解和掌握的方法之一，是后续课程中许多气象要素场的计算结果的理解的基础理论，也是毕业设计和论文中的基本分析方法。该方法用个数较少的几个空间分布模态来描述环流形势，而且基本涵盖环流场的信息，既能作为天气分析模型，其方法的延拓又能作为天气预报模型，在实际工作中也有极强的实用意义。通过该实验，深刻理解气象要素场的统计模型的意义，掌握气象要素场分析的基本方法，为实际预报业务和科研工作打下一定的基础。 二、实验的主要内容： 对（0N -90N ，60E -120W ）850hPa 高度场进行经验正交展开（EOF.FOR ），输出分析主要参数指标；绘制环流型图和相应的时间系数序列图，并加以分析。 三、步骤： 3.1 熟悉资料方法 3.1.1 资料 提供的资料为NCEP/NCAR 60年（1948年-2007年）逐年1～12月的850hPa 高度场资料， 资料范围为（90N -90S ，0E -360E ），网格距为2.5*2.5，纬向格点数为144，经向格点数为73。资料为NC 格式，资料从南到北、自西向东排列，每月为一个记录，按年逐月排放，注意读取方式以及记录长度。 本次实验应用NCEP/NCAR （0N -90N ，60E -120W ） 58年（1948年-2005年）逐年7月的850hPa 高度场资料，纬向格点数为73，经向格点数为37。 3.1.2 方法（经验正交函数分解EOF ） EOF （经验正交函数分解）是针对气象要素场进行的，其基本原理是把包含p 个空间点 （变量）的场随时间变化进行分解。设抽取样本容量为n 的资料.则场中任一空间点i 和任