第 18 讲 │ 要点热点探究
2 2 2 2 2 － 1 1 2 3 4 ① － ② 得 ： 3 Tn ＝ 1＋ 3 ＋ 3 ＋ 3 ＋ 3 ＋ … ＋ 3 n 1 － ＋ 2 n3n 2 1－3n － 2 2 n －n3 ＝3－(3＋n)3n， － ＋
【答案】 (1,2)；(3,402) 答案】 ；
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【解析】 (1)当 k＝5m＋1(m∈N)时， 解析】 当 ＝ ＋ ∈ 时 k－1 k－2 5m－1 5m － － － T －T 5 ＝T 5 －T 5 5 1 － ＝T(m)－Tm－5＝m－(m－1)＝1； － － － ＝ ； (2)当 k＝5m＋2(m∈N)时 (2)当 k＝5m＋2(m∈N)时， k－1 k－2 5m＋1 5m ＋ － － T －T 5 ＝T －T 5 5 5 1 ＋ ＝Tm＋5－T(m)＝m－m＝0； ＝ － ＝ ；
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某校数学课外小组在坐标纸上， 某校数学课外小组在坐标纸上，为学 校的一块空地设计植树方案如下： 校的一块空地设计植树方案如下：第 k 棵树种植在 点 Pk(xk，yk)处，其中 x1＝1，y1＝1，当 k≥2 时， 处 ， ， ≥
k－1 k－2 k － k－ x ＝x － ＋1－5 T － k k 1 －T 5 ， 5 k－1 k－2 － － yk＝yk－1＋T 5 －T 5 .
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解含有参数的题目时， ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范 围进行讨论． 围进行讨论．如解不等式 ax>2 时分 a>0、 ＝0 和 a<0 三种 、a＝ 情况讨论．这种分类讨论题型可称为含参型． 情况讨论．这种分类讨论题型可称为含参型． 另外，某些不确定的数量、 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位 不确定的结论等，都主要通过分类讨论， 置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整 使之具有确定性． 性，使之具有确定性．
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► 探究点二 根据参数的可能取值情况分类讨论
例 2 设函数 f(x)＝ax2－2x＋2， ＝ ＋ ， 对于满足 1<x<4 的一 的取值范围为________． 切 x 值都有 f(x)>0，则实数 a 的取值范围为 ， ．
【答案】 答案】
1 a> 2
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1 ≥4， ， a 或 f(4)＝16a－8＋2≥0， － ＋ ≥ ， ( )
1 1 ∴a≥1 或2<a<1，即 a>2； ≥ ， 当 a<0
f(1)＝a－2＋2≥0 － ＋ ≥ ( ) 时， f(4)＝16a－8＋2≥0 － ＋ ≥ ( )
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为偶数时， 当 n 为偶数时， 8 2 2 8 8 8 8 3 0 × × × Sn ＝ 5－2×5＋3×5－4×5＋…－5n － 1× 3 ＋ 2× 3 1 × × 5 2 2 2 － 2 2 4n 3 2 3 n 1 0 ＋ 3× 3 ＋ 4× 3 ＋ … ＋ n 3 ＝－ － 1× 3 ＋ 2× 3 1 ＋ × × × × 5 5 2 2 2 － 2 3 3×3 ＋4×3 ＋…＋n3n 1. × × 2 2 2 2 2 － 0 1 2 3 令 Tn ＝ 1× 3 ＋ 2× 3 ＋ 3× 3 ＋ 4× 3 ＋ … ＋ n 3 n 1 × × × × ① 2 2 2 2 2 2 1 2 3 ① × 3 得 ： 3 Tn ＝ 1×3 ＋ 2×3 ＋ 3×3 ＋ 4×3 4 ＋ … ＋ × × × × 2 n3n ②
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≤ ， －1≤b1＋b2≤1， ≤ ， 由 －1≤b2≤1， b ∈Z，b ≠0， ， 2 ， 2 ≤ ， －1≤b2＋b3≤1， ≤ ， －1≤b3≤1， b ∈Z，b ≠0， ， 3 ， 3
得
b2 ＝ － 1 ， 由
， 得 b3＝1，…
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1 2 解答】 【解答】 (1)由 an＝3(an－1＋2an－2)得 an－an－1＝－3(an－1 由 得 －an－2)(n≥3)， ≥ ， 又 a2－a1＝1≠0，∴数列 n＋1－an}是首项为 1，公比为 ≠ ， 数列{a 是首项为 ， 2 － 2 的等比数列， －3的等比数列，an＋1－an＝－3n 1， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1) ＋ ＋ ＋ 2 － 1－－3n 1 － 2 2 2 － － ＋ － 2 ＋ … ＋ － n 2＝ 1＋ ＝1＋1＋ 3 ＋ ＋ ＋ 2 ＝ 3 3 1＋ ＋ 3 8 3 2n－1 －5－3 ， 5
＝
2 1－ －3
2 ∴Tn＝9－(9＋3n)3n， － ＋
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4n－23 9(n＋3)2n － ＋ ( ＋ ) ，当n为奇数时， 为奇数时， 为奇数时 5 3 5 因此 Sn＝ ＋ ( ＋ ) 4n＋27 9(n＋3)2n 为偶数时. 为偶数时 － 5 ＋ 5 3 ，当n为偶数时
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引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的． ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的 ． 如 |a| 三种情况． 的定义分 a>0、a＝0、a<0 三种情况．这种分类讨论题型可 、 ＝ 、 以称为概念型． 以称为概念型． 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有 范围或者条件限制，或者是分类给出的． 范围或者条件限制，或者是分类给出的．如等比数列的前 n 项和的公式， 项和的公式，分 q＝1 和 q≠1 两种情况．这种分类讨论题型 ＝ ≠ 两种情况． 可以称为性质型． 可以称为性质型．
，解得∅； 解得∅
当 a＝0 时，f(x)＝－ ＋2，f(1)＝0，f(4)＝－ ，∴不合题 ＝ ＝－2x＋ ， ＝ ， ＝－6， ＝－ ＝－ 意． 1 由上而得， 由上而得，实数 a 的取值范围是 a>2.
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【点评】 本题分两级讨论， 点评】 本题分两级讨论， 先对决定开口方向的二次 项系数 a 分 a>0、a<0、a＝0 三种情况，再每种情况结合 、 、 ＝ 三种情况， 二次函数的图象， 二次函数的图象，在 a>0 时将对称轴与闭区间的关系分三 即在闭区间左边、右边、中间．本题的解答， 种，即在闭区间左边、右边、中间．本题的解答，关键是 分析符合条件的二次函数的图象，也可以看成是“ 分析符合条件的二次函数的图象，也可以看成是“数形结 合法”的运用． 合法”的运用．
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点评】 对于(2)中的求解难点有二 一是数列{c 的通 中的求解难点有二： 【点评】 对于 中的求解难点有二：一是数列 n}的通 项公式是分段函数， 项和， 项公式是分段函数，求其前 n 项和，对 n 分奇数或偶数的含 义是什么要清楚， 义是什么要清楚， n 为奇数时， 当 为奇数时， 表示 Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋… 的最后一项是奇数项， ＋cn 的最后一项是奇数项， 而不是指 Sn＝S1＋S3＋…＋Sn.同样 同样 当 n 为偶数时表示 Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn 的最后一项是 偶数项， 偶数项，而不是指 Sn＝S2＋S4＋…＋Sn. 二是 n 分奇数或偶数后对中括号中数据的观察处理要类 不然项数和符号都易出错． 比，不然项数和符号都易出错．
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要点热点探究 根据公式、定理、 ► 探究点一 根据公式、定理、性质的条件分类讨论
1 数列{a 满足 例 1 数列 n}满足 a1＝1，a2＝2，an＝3(an－1＋2an－2)(n ， ， 是非零整数， ＝3,4，…)．数列 n}满足 b1＝1，bn(n＝2,3，…)是非零整数， ， ．数列{b 满足 ， ＝ ， 是非零整数 都有－ ≤ 且对任意的正整数 m 和自然数 k， ， 都有－1≤bm＋bm＋1＋…＋ bm＋k≤1. (1)求数列 n}和{bn}的通项公式； 求数列{a 和 的通项公式； 求数列 的通项公式 (2)记 cn＝nanbn(n＝1,2，…)，求数列 n}的前 n 项和 Sn. 记 ＝ ， ，求数列{c 的前
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T(a)表示非负实数 a 的整数部分，例如 T(2.6)＝2， 表示非负实数 的整数部分， ＝ ， T(0.2)＝0. ＝ 按此方案， 棵树种植点的坐标应为________， 按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应为 ， 棵树种植点的坐标应为________． 第 2008 棵树种植点的坐标应为 ．
为偶数时， ＝－1； 为奇数时， 同理可得当 n 为偶数时，bn＝－ ；当 n 为奇数时， bn＝1；因此 ；
1，当n为奇数时， 为奇数时， 为奇数时 ， bn ＝ －1，当n为偶数时 为偶数时. ， 为偶数时
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3 2n－1 8 为奇数时， － 为奇数时 5n－5n3 ，当n为奇数时， (2)cn＝nanbn＝ －8n－3n2n－1，当n为偶数时 为偶数时. －5 3 为偶数时 5 Sn＝c1＋c2＋c3＋c4＋…＋cn. 为奇数时， 当 n 为奇数时， 8 8 8 8 8 3 20 21 Sn ＝ － 2× ＋ 3× － 4× ＋ … ＋ n－ 1× ＋ 2× ＋ ×5 ×5 ×5 ×3 5 5 －5 ×3 ( ＋ ) 22 23 2n－1 4(n＋1) 3 20 21 22 3× ＋ 4× ＋ … ＋ n 1× 2× 3× ×3 ×3 3 ＝ 5 －5 ×3 ＋ ×3 ＋ ×3 ＋ 23 2n － 1 4× ＋…＋n × ； 3 3
第 18 讲 │ 分类讨论思想
第 18 讲
分类讨论思想
第 18 讲 │ 主干知识整合
主干知识整合 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况， 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要 对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解， 对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就 是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法， 是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的 数学思想，同时也是一种重要的解题策略， 数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整 为零、积零为整的思想与归类整理的方法． 为零、积零为整的思想与归类整理的方法．有关分类讨论 思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性， 思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能 训练人的思维条理性和概括性， 训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重 要的位置． 要的位置．
【解析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、 解析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、 最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论， 最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对 称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解． 称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解． 12 1 x－ ＋2－ ， 当 a>0 时，f(x)＝a －a ＝ －a 1 1 ， 1<a<4， ≤1， ， ∴ a 或 f(1)＝a－2＋2≥0， f1＝2－1>0， － ＋ ≥ ， ( ) －a ， a
