方程：只是阐述没有加工的事实
——人教版小学数学五年级上学期《方程的意义》课堂实录与赏析
12月2日至9日，我有幸参加了《京苏粤浙中小学卓越教师高端研修班》
第二阶段广东站的培训，在这次培训中，让我感触较深的是“粤派”丰富而融合、务实而自由的教学风格，其中由广东省特级教师刘燕执教的《方程的意义》一课令我印象更为深刻，深受启发。刘老师打破了传统教学从“平衡”（天平）引入，以突出方程左右相等的做法，而是更加关注学生的认知背景，凸显了方程的本质属性，较好地体现“以人为本，学为中心”的理念。现把本堂课的教学过程进行了记录和整理，与大家分享。
环节一：在解决问题的过程中创造方程
师：一起来看这道题，五年级怎么会跑出一道一年级的题目？谁来说说怎么做。 ？个
8个
生：8-2=6。
师：他做对了吗？
生：对了！
师：一年级有一个小朋友叫小芳，她也是这样做的，不过一年级还有一个小朋友叫小明，面对这道题他想啊想，怎么也想不出该列一道怎样的算式来表示这道题，于是他盯着这道题，顺着题目的意思，用一道算式把题目的意思表达了出来，他是这样想的：方框里的球不知道他就空着，又拿来2个球，你猜他怎么表示？ 生：+2！
师：对，+2，现在方框里有8个球（ +2=8）。他盯着自己的算式，想啊想，突然想到了该填6，于是他也算出了方框里有6个球。虽然他的答案做对了，不过他遇到了一个麻烦，你知道是什么麻烦吗？就是当他没写这个6的时候，大家看这个算式怎么样？好奇怪对吧，当他写了这个6的时候也有麻烦，就是老师不知道他写的答案到底是8还是6还是2，你能帮小明想一个办法让老师知道吗？ 生：把那个未知数改写成X 。
师：把那个未知数改写成X ，那变成了一道怎样的算式？
生：x+2=8！
师：好，这是他想到的办法。刚才还听到了一个小朋友说用（ ），用（ ）怎么写？
生：（ ）+2=8！
师：除了用（ ），用x ，还可以用什么符号来表示未知数的6？
生：？ ， ？+2=8。
生：用方框
，
。 8
？
师：还可不可以用其它的字母？
生：可以！
师：同桌说一说，你打算用什么符号表示这个未知数。
师：有一个数学家叫韦达，他也想到和同学们一样的方法，用一个符号表示这个未知数写出算式；还有一个数学家叫笛卡尔，你用这个符号我用这个符号有点乱，不如我们统一起来吧，专门用几个字母来表示这个未知数，其中x就是笛卡尔想到的字母之一。那么我现在就把笛卡尔想到的和我们同学提议的这个算式写在这儿，好不好？我们把它用一个字母x来表示这个未知数，这道算式就变成了X+2=8。谢谢同学们帮小明解决了问题。我们再来看，小明和小芳又遇到了一道题：原来盘子里有些苹果，吃掉了7个，还剩下3个。小芳会怎么做？
生：7+3=10（个）。
师：怎么想的？
生：原来盘子里有些苹果，吃掉了7个，还剩3个，那还剩下3个加上吃掉的7个，原来盘子里就有10个。
师：好，给他掌声，不仅说出了算法还说出了算理，答得真好。小明想啊想，他又想不到怎么才能等于原来盘子里的苹果，于是他又顺着题目的意思列了一道有x的算式，把题目的意思表达了出来，你猜他是怎么列的？
生：7+3=x！
师：还有其它想法吗？
生：x+3=10！
师：还有其它想法吗？
生：x-7=3！
师：好，我们像小明顺着题目的意思想：原来盘子里有一些水果不知道，用什么来表示？
生：x！
师：吃掉了7个。
生：减7等于3。
师：小明是这样想的，简单吗？
生：简单！
师：小明和小芳读啊读啊，读到了二年级。爸爸36岁，小红的3倍和爸爸的年龄一样，小红多少岁？小芳会怎么做？
生：36÷3=12（岁）。
师：小明他又想不出该列怎样的算式才能等于小红的年龄，于是他又请谁帮忙？生：x！
师：猜一猜，这次会列一道怎样的算式？
生：x×3=36。
师：好，x代表谁？
生：未知数。
师：在这里代表谁?
生：小红的年龄。
师：小红年龄的3倍就怎么样？
生：她的3倍就乘3。
师：刚好等于爸爸的年龄，等于36。下面的同学猜对了，小明就是这样想的。师：小明和小芳读啊读，读到了几年级？
生：三年级。
师：三年级的题目出来了，你猜一猜小芳会怎么做，你再猜一猜小明又会怎么做，你可以猜小芳的也可以猜小明的，写在练习本上。
题目：一个数加上31，减去56等于320，这个数是多少？只列式不计算，写完的同学可以互相交流一下。
师：请同学们一起来看，这位女同学猜的是小明的想法：x+31-56=320，你认为她写的对的就给她掌声。
生：鼓掌！
师：容不容易判断，怎么这么容易判断呢？X代表什么？
生：这个数。
师：x就代表这个数对不对，这个数加31，就写+31，再怎么样？减去56，我们就照样子写-56，然后呢？
生：=320。
师：我们就照样子写=320，很简单都不用动脑筋。我们再来看小芳的方法，你认为她对了给她掌声。
生：写错了！
师：得数算错了，我帮你把它改过来，她的算式对吗？同意的给她掌声。一个数加上31减去56等于320，她是怎么想的？减去56就要把这个56怎么样？
生：加回来。
师：加上31，她又把这个31怎么样？
师生：减掉。
师：就等于原来的数345。刚才有个同学说小芳是学霸，你也是学霸对吗，大家对小芳也感到很钦佩。
师：小芳和小明读啊读，读到了几年级？
生：四年级。
师：题目是“儿童票价的2倍多5元，刚好是成人票145元再加10元，儿童票的价格是多少元？”你可以选择小明的想法，也可以选择小芳的做在练习本上。师：我们先来看一看小明的方法：x×2+5=145+10，同意的给他掌声！
师：X代表的是谁？
生：儿童票。
师：儿童票价的2倍就怎么样？
生：×2。
师：多5元就怎么样？
生：+5元。
师：刚好和谁一样多？
生：成人票145元。
师：多10元加10元，左边和右边刚好一样多就用等号连接起来，做得非常好。我们再来看看小芳的做法。
生：写错了。
师：哪里错了？你来说。
生：漏了一个再加10元，应该是（145-5）÷2+10元。
师：我们要不要给他掌声？小芳的方法该怎么做呢？
生：(145+10-5)÷2。
师：成人票价加10元还不是儿童票价，还要把多的5元减掉，还要再除以2，
才能等于儿童票价。谁算出了儿童票价？
生：75元！
师：你觉得这一道题目是小明的列的算式比较容易想呢，还是小芳的？
生：小明的。
【赏析：在解决问题的过程中创造方程。本环节重在唤醒学生的顺向思维找数量关系的思维经验，凸显方程只是阐述没有加工的事实。孩子在学习方程之前，其实是有基础的，在低年级学习初期，他们的内心深处都隐藏着方程的思想，学生都喜欢按顺向思维用一个算式把一件事情表述出来，刘老师做的第一件事情就是从一年级的题型入手，目的是为了唤醒孩子顺向找数量关系，唤醒孩子只是简单地用一个式子把没有加工的事实表达出来这样的数学思维经验，这才是方程学习的一个基础，在这个过程中也让孩子初步感受方程的属性：未知数可以和已知数享有相同地位。当然在这节课中，对于在运算上享有同样的地位是没有办法做到的，因为不可能在方程的第一节课就去教孩子未知数的运算，但是可以做到的就是方程中的未知数可以写在左边或者右边，从这个地方让孩子感受已知数和未知数可以享有同样的地位；第二个是初步感受等价。这里刘老师出示了5道题，也是5组事情，每组两件事情均是等价，没有仅仅局限于天平，提供的材料更丰富，更饱满。】
环节二：在对比分析中认识方程的外在形式。
师：同学们，你们看，左边的这些算式是小芳的想法，右边的这些算式是小明的想法，请大家交流一下小明的方法和小芳的方法列出来的算式有什么相同的地方和不同的地方？
师：有没有同学愿意来说一说他们俩的方法，先说有什么不同的地方？
生：小明的算式含有未知数。
师：小明的算式里含有未知数，与此同时小芳的方法要想怎么样才能等于这个要求的答案，而小明的方法用不用想怎么样才能等于未知的答案呢？不用，他只要顺着题目的意思列出算式，把题目的意思表达出来就可以了，对吗？我们再看他们俩的方法有什么相同的地方？
生：他们都用了已知条件。
生：都用到加减乘除。
生：结果相同。
师：我们再来看，都有“=”，都是左边=右边，他们列出来的都是等式，虽然两个同学列出来的都是等式，但是小芳列出来的等式是我们以前学的算术方法，而小明的这些等式都含有未知数，像这样的式子我们叫它方程。
【赏析：在对比分析中认识方程的外在形式。如果环节一只是让学生感受方程的本质属性，那么第二环节就是刘老师帮助孩子认识方程的外在形式。让学生对比小芳和小明的方法有什么相同的地方和不同的地方，找不同的地方就是揭示方程含有未知数，找相同的地方就是引出方程是等式。】
环节三：在文化背景的介绍中完善对方程的认识。
师：我们这节课就来学习方程的意义。同学们真了不起，还没有学习方程就已经列出那么多方程了，像这样含有未知数的等式就叫做方程。其实方程在很早之前就有了，早在3600多年前埃及人就会用方程解决数学问题，而在我国2000年前的《九章算术》中就记载了用方程解决实际问题的史料，早在400多年前，法国
数学家韦达在他的《分析法》论文著作中首次系统地使用了符号表示未知量的值进行运算。300年前，法国数学家笛卡尔第一个提倡了用排在字母表后面的x、y、z代表未知数，这种方法成为当今的标准用法形成了现在的方程。同学们看，未知数除了可以用x来表示还可以用？
生：y、z！
师：也就是说这道题还可以写成？
生：y+2=8。
师：还可以写成？
生：z+2=8。
【赏析：在文化背景的介绍中完善对方程的认识。因为前面的方程中所有的未知数都是用x表示，在这个环节中老师特别强调了未知数还可以用y、z等其他字母表示，同时也帮助孩子了解方程的历史。】
环节四：多元表征促进对方程等价属性的理解。
师：我们再看，这是什么？
生：天平。
师：如果我把天平两边这样放东西，你猜天平会怎样?
生：平衡。
师：做个手势告诉我。猜对了，再看会怎样？做个手势。
生：左边大。
师：看看对了吗？果然。这样呢？
师：当天平左右两边放的物体重量是一样的时候，左右两边的重量相等是平衡的，这和我们方程当中左右相等这个性质是一致的，假如天平有某一边物体的重量不知道那它又和我们方程当中含有未知数这个性质是一致的，所以人们常喜欢借助天平来认识方程。
师：你看这个天平，你能根据它列出一道方程吗？
生：x+45=110+50。
师：假如我把左边和右边的物体对调一下，把右边两个放到左边去，左边两个放到右边来，天平是怎样的？
生：还是平衡的。
师：你能不能再列出一道方程？
生：110+50=x+45。
师：现在屏幕上有四个天平，根据这四个天平写了四道式子，你认为在这四个式子里哪个是方程？用手势告诉我。
生：第三个。
师：好，我看到大家都举3，有没有看漏的？有没有其他答案？都同意3号是方程对吗？我就奇怪了，4号怎么不是方程呢？
生：因为4号没有未知数。
师：很好，那1号2号都有未知数啊，怎么也不是方程呢？
生：标的是大于和小于号。
师：标的是大于号或小于号，天平是这样或那样的，和方程哪个要求不符合？生：等式。
师：对，方程要求是等式，两边要怎样？方程一定要是平的。同学们，现在已经会根据天平来写方程和判断方程，假如给你方程，你能不能根据方程画出天平？师：我们一起试一试。先拿这道试一试，左边是x+2我先画一个方块代表x再画一个方块代表几？右边画一个方块代表几？现在我画天平，这个天平是怎样的？生：平的。
师：所以这条线一定要画直，左右两边是平的。再画一道，第3道怎样：x×3=36，画在练习本上。画完的再画第5道：x+5=145+10。
师：我们来看这位同学在黑板上画的，左边x×3表示有几个x？
生：3个x。
师：右边是36，两边是怎样的？
生：平的。
师：我们再来看看这几位同学画的。第3道第5道，对的给他掌声。同学们做对的给自己一点掌声。同学们，你们真棒！都会根据方程画出天平，其中最要表扬大家的是你们画的天平都很平，表示左右两边是相等的，平衡的。高难度的题是
这道，你能根据它来列出一道方程吗？和同桌说一下。
生：800+150+50=400+x+x+150+50。
师：同意的给他掌声，这么难都做出来了。
师：这还不是最难的，最难的在这：挑战一下，你能不能根据这个天平，从这天平上面去掉一点东西列出一道新的方程。你想怎么样做？
师：我去掉一个草莓可不可以？
生：不能，那就不平衡了。
师：所以去掉两个草莓，天平呢还是平的，再见了草莓，方程变成怎么样了？谁来把这个方程完整地来说给我们听听。
生：800+150=400+x+x+150。
师：给他掌声，真棒，还能怎么变？
生：把两个梨去掉。
师：好，我试一试，左边的梨去掉，右边的梨也去掉，现在变出一道怎样的方程？生：800=400+x+x。
师：给他掌声，还能变吗？
生：去掉一个菠萝去掉一个苹果再去掉一个西瓜。
师：那怎么办？
生：左边只剩西瓜，右边只把一个苹果去掉。
师：其实你们可以把西瓜怎么样？
生：可以把西瓜切成两半，去掉其中一半，右边把菠萝去掉。
师：天平还平吗？变出一道怎么样的方程？
生：800÷2=x×2。
师：还能变吗？
生：能。
师：你想怎么变？如果不放东西，只是去掉。还能怎么去？
生：还把西瓜再去掉一半，这个苹果去掉。
师：现在你知道苹果有多重了呢？
生：200！
【赏析：多元表征促进学生对方程等价属性的理解。前三个环节对方程的等价属性做得还不足够，所以到了第四个环节刘老师就请出了天平，天平能帮助孩子很好地理解方程左右两边等价的这个属性。老师让孩子用手势表示天平左右两边相等。先让孩子看天平写算式，这是由图到符号；接着由符号到图——根据方程画天平图，让孩子理解等价的属性，目的只有一个——方程左右两边是等价的。最后一个环节是让孩子变化天平，从天平中不断地去掉东西，从而创造方程。这个过程似乎在教等式的性质，实质上还是教方程的意义，凸显的还是方程的等价属性，在不断去的过程中，我们可以发现孩子们始终做到了方程左右两边相等。书本上的练习是让孩子任意写方程，与本节课的创造方程相比，不同点在于：孩
子们任意写出来的方程仅仅关注到的是外在的方程形式，而刘老师设计的最后一题不仅让孩子在创造方程的过程中关注到了方程的外在形式，也抓住了方程等价的属性。】
环节五：回顾总结
师：同学们刚才还想到了往上面加东西对吗？时间关系，怎样往上面加课后和我来交流。同学们，今天我们学习了方程，你有什么收获？
生：方程列式简单。
生：未知数用x、y、z来表示。
生：奥数没问题了！
师：你有什么问题？
生：为什么要学方程？
生：里面有两个未知数可以吗？
师：小明列了那么多方程怎么来解这些方程啊？其实解方程的奥秘就藏在天平里。这节课就上到这，下课！
【赏析:总结回顾，梳理对方程的外在形式、内在属性及其价值的认识，并为后续学习留下伏笔。本课一开始，孩子觉得学习五年级的知识一定很难，可是到了课的结束，孩子们觉得太容易了，觉得学习方程真好，方程可以帮助他们解决很多难题。这就是学习的价值最好的体现！】
【总述】
一、准确把握方程的内在本质
史宁中教授认为：方程只是阐述了一个事实本身，一个没有经过任何加工的事实本身。方程只是在说明两件事情是等价的。方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。本课的设计正是基于这一方程的本质属性，以小明和小芳学习等式的历程为原型，帮助学生重新构建学习等式的思维导图。使学生对“事实本身”有一个十分清晰的认知，使方程的教学从形式走向本质。
张奠宙教授认为：“在方程中，已知和未知借助等号联立以后，要强调用数学的符号把要说的话（即两件事情等价）表达出来。这个是根本，是学生必须真正掌握的东西……四则运算是将已知全部写在等号的一边，只不过没有写出“=x”而已，是在已知和未知之间建立了一个桥梁。方程不是这样，方程根本没有经过任何运算，方程的学习，从一开始就应该让学生接触现实的问题，学习建模，学习把日常生活中的自然语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决有关问题。”
二、清晰架构方程的外在形式
由于学生在第一环节中对方程的本质属性有了充分的感知，因此，当教师给出了方程这一命名时，学生就不觉得这是一个全新的内容，只是外在形式的表现上给以特定。一是从算术式扩展为等式，二是从用随机的符号如（）、△、☆、○表示未知数，扩展到用有x、y、z等特定的字母表示未知数，三是未知可以和已知一样参与运算，享有同样的地位。
三、多元表征方程的等价属性
为了让学生充分理解未知数在方程中的地位。教师通过多元表征，让学生逐步认识到，未知数与已知数有同等的地位。使学生对未知数的认识从陌生到熟悉，
从熟悉到亲切。在这一过程中，教师充分借助天平的直观，让学生在生活事实中感知方程的等价属性，有效实现从算术式到方程的无缝对接。
总之，刘老师在本课的设计上，独具匠心，在课堂教学的实施中效果显著，值得借鉴。