§3.1 变化率与导数（１）
学习目标
1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景； 2．会求函数在某一点附近的平均变化率； 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数。
学习过程
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
问题2：高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t （单位：秒）存有函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
新知：平均变化率：_______________=_______
试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即
x ?= 或者2x = ，x ?就表
示从1x 到2x 的变化量或增量，相对应地，函数的变化量或增量记为y ?，即y ?= ；如果它
们的比值y x ??，则上式就表示为 ，
此比值就称为平均变化率.
反思：所谓平均变化率也就是 的增量
与 的增量的比值.
※ 典型例题 例1已知函数2
()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，1.1]； （2）[1，2]
变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点
(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+?-+?，则
y
x
??=
小结
1.函数()f x 的平均变化率是
2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：
（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 ※ 学习探究二
问题3：计算运动员在49
65
0≤
≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 新知：
1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速
度，叫做瞬时速度. 2．导数的概念
从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是：
000
0()()lim
lim x x f x x f x y
x x
?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记
作'0()f x 或0'
|x x y =，即
0000()()
()lim x f x x f x f x x
?→+?-'=? 说明： 00000 1. ()2. ()3. ()4. f x x x f x x f x ''?'与的值有关.不同的 ,其导数值一般也不相同.与的具体取值无关。可以不存在。
瞬时变化率与导数是的两个名称.
同一概念※ 典型例题
f(x)=3x+5, 2＇
例2求f （）
2011-2-19 ◆高二 班级： 姓名： 第三章 导数
2
:)()31,2.
s s t t t =+= 练习 位移s(t)(单位:m)与时间t(单位的关系为: 求时的瞬时速度v
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油实行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0
c ）为
2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.
小结
利用导数的定义求导，步骤为：
第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；
第二步：求平均变化率
0()
f x x y x x
+??=
??； 第三步：取极限得导数00()lim x y
f x x
?→?'=?.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +?时，函数的改变量y ?为（ ）
A ．0()f x x +?
B ．0()f x x +?
C ．0()f x x ?
D ．00()()f x x f x +?-
3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相对应的平均速度为（ ）
A ．6t +?
B ．9
6t t
+?+?
C ．3t +?
D ．9t +?
4. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____
5. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +?时，物体的位移为s ?，那么0lim t s t
?→??为（ ）
Ａ．从时间t 到t t +?时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为t ?时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +?时物体的平均速度 6. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +? D ．1
7. 在0000
()()
()lim x f x x f x f x x
?
→+?-'=?中，x ?不可
能（ ）
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．大于0或小于0 8.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为
9. 若0()2f x '=-，则0001
[]()
2lim k f x k f x k
→--等于
课后作业
1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未实行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
2. 一质量为3kg 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数
2()1s t t =+表示，并且物体的动能21
2
U mv =. 求物
体开始运动后第5s 时的动能.
1. 的变化情况.
2．已知函数()f x 的图象,试画出其导函数()f x '图象的大致形状.
§3.2.1几个常用函数导数
学习目标 1.掌握四个公式，理解公式的证明过程； 2.学会利用公式，求一些函数的导数； 3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 学习过程
一、课前准备 8889 复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.所以，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为
复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量y ?=
（2）求平均变化率y
x
?=? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0lim =
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：函数()y f x c ==的导数. 问题：如何求函数()y f x c ==的导数
新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线
斜率为 . 若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，能够解释为 即一直处于静止状态. 试试： 求函数()y f x x ==的导数
反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .
若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，
能够解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？
（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个
增加得最慢？ （3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么相关？
※ 典型例题
例1 求函数1()y f x x
==的导数
2011-2-19 ◆高二 班级： 姓名： 第三章 导数
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变式： 求函数2()y f x x ==的导数
小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.
例2 画出函数1
y x
=的图象.根据图象，描述它的变
化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.
变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.
变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.
小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.
※ 动手试试
练1. 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.
(理科用)练2.
求函数()y f x ==
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .
2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.
※ 知识拓展
微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神
.”
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.()0f x =的导数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．不存有
D ．不确定 2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ） A ．0 B ．2x C ．6 D ．9
3. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4
π
的点为
（ ）
A ．(0,0)
B ．(2,4)
C ．11(,)416
D ．11
(,)24
4. 过曲线1
y x
=上点(1,1)且与过这点的切线平行的
直线方程是
5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为
. 1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.
2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为()5000.834t A t =?，问氡气的散发速度是多少？
§3.2.2基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则
1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则
求一些函数的导数； 2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.
9092 复习1：常见函数的导数公式：
0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；
x x sin )'(cos -=； ()ln (0)x x
a a a a '=>；()x x e e '=； 1()(0,ln log a x a x a '=>且1)a ≠；1(ln )x x '=.
复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数
（1）6
y x =
（2）y = （3）21y x =
（4）y =
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数
新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±
[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+
2()()()()()
[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'=
试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数.
※ 典型例题
例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.
假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?
变式：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提升，所需净化费用持续增加. 已知将
6
2. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数； （2）求这个函数在点1x =处的切线方程.
理： §3.2.2 复合函数求导
复合函数的分解，求复合函数的导数.
1617 复习1：求)4(2
3
-=x x y 的导数
复习2：求函数2
(23)y x =+的导数
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：复合函数的求导法则 问题：求(sin 2)x '=?
解答：因为(sin )cos x x '=，故
(sin 2)cos2x x '= 这个解答准确吗?
新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 能够表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x = 复合函数的求导法则：
两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：x u x y y u '''=，其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.
试试：(sin 2)x '=
反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
※ 典型例题
例1 求下列函数的导数：
（1）2(23)y x =+； （2）0.051x y e -+=； （3）sin()y x π?=+（其中π，?均为常数）
变式：求下列函数的导数：
（1）cos 3
x
y =；
（2）y =
小结：复合函数的求导不但能够推广到三重，还可推广到四重、五重.
8
2. 求下列函数的导数； （1）2tan y x x =； （2）32(2)(31)y x x =-+； （3）2ln x
y x =； （4）23
(21)
x y x =+
1.准确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
8993 复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有＝ ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数.
复习2： 'C = ；()'n x = ；
(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；(log )'a x = ；()'x e = ；()'x a = ；
二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系： 问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342
+-=x x y 的图
像来观察其关系：
切线的斜率为 ，函数
()y f x =的值随着x 的增
大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，
∞+）内为 函数；
在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数
()y f x =的值随着x 的增大而 ，
即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为
函数.
新知：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x =在这个区间内的减函数. 试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =--； （3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+.
反思：用导数求函数单调区间的三个步骤： ①求函数f (x )的导数()f x '. ②令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间. 探究任务二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？
※ 典型例题 例1 已知导函数的下列信息：
当14x <<时，()0f x '>； 当4x >，或1x <时，()0f x '<； 当4x =，或1x =时，()0f x '=.试画出函数()f x 图象的大致形状.
变式：函数()y f x =的图象如图所示，试画出导函数()f x '图象的大致形状.
2011-2-19
◆高二 班级： 姓名： 第三章 导数
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例2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.
※ 动手试试
练1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
（1）2()24f x x x =-+； （2）()x f x e x =-；
（3）3()3f x x x =-； （4）32
()f x x x x =--.
练 2. 求证：函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是
减函数.
三、总结提升 ※ 学习小结
用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f (x )的定义域； ②求函数f (x )的导数()f x '.
③令()0f x '=，求出全部驻点；
④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内()f x '的符号，由此确定()f x 的单调区间 注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.
※ 知识拓展
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些. 如图，函数()y f x =在
(0,)b 或(,0)a 内的图象
“陡峭”，在(,)b +∞或(,)a -∞内的图象“平缓”.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>为增函数，则一定有（ ）
A ．240b ac -<
B ．230b ac -<
C ．240b ac ->
D ．230b ac -> 2. （2004全国）函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）
A ．3(,)22ππ
B ．(,2)ππ
C ．35(,)22ππ
D ．(2,3)ππ
3. 若在区间(,)a b 内有()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ）
A ．()0f x >
B ．()0f x <
C ．()0f x =
D ．不能确定 4.函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是
5.已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于
课后作业
1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间： （1）32()f x x x x =+-；（2）3()3f x x x =+； （3）()cos ,(0,)2
f x x x x π
=+∈.
2.已知汽车在笔直的公路上行驶：
（1）如果函数()
y f t
=表示时刻t时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点.
（2）如果函数()
y f t
=表示时刻t时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？
§3.3.2函数的极值与导数
学习目标
1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够使用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤.
学习过程
一、课前准备
9396
复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0
y'>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为函数；如果在这个区间内0
y'<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的函数.
复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数()
f x
'.②令解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令解不等式，得x的范围，就是递减区间.
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：
问题1：如下图，函数()
y f x
=在,,,,,,,
a b c d e f g h等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
()
y f x
=在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()
y f x
=的导数的符号有什么规律？看出，函数()
y f x
=在点x a
=的函数值()
f a比它在点x a
=附近其它点的函数值都，()
f a
'=；
且在点x a
=附近的左侧()
f x
'0，右侧()
f x
'0. 类似地，函数()
y f x
=在点x b
=的函数值()
f b比它在点x b
=附近其它点的函数值都，()
f b
'=；而且在点x b
=附近的左侧()
f x
'0，右侧()
f x
'0.
新知：
我们把点a叫做函数()
y f x
=的极小值点，()
f a叫做函数()
y f x
=的极小值；点b叫做函数()
y f x
=
的极大值点，()
f b叫做函数()
y f x
=的极大值.
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的
，刻画的是函数的.
试试：
（1）函数的极值（填是，不是）唯一的.
(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.
(3)函数的极值点一定出现在区间的(内，外)部，区间的端点（能，不能）成为极值点. 反思：极值点与导数为0的点的关系：
导数为0的点是否一定是极值点.
比如：函数3
()
f x x
=在x=0处的导数为，但它（是或不是）极值点.
即：导数为0是点为极值点的条件. ※典型例题
例1 求函数3
1
44
3
y x x
=-+的极值.
变式1：已知函数32
()
f x ax bx cx
=++在点
x处取得极大值5，其导函数()
y f x
'
=的图象经过点(1,0)，
(2,0)，如图所示，求(1)
x
2011-2-19 ◆高二 班级： 姓名： 第三章 导数
12
小结：求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；
(3)求方程f ′(x )=0的根
（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.
变式2：已知函数32()3911f x x x x =--+. （1）写出函数的递减区间；
（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.
※ 动手试试
练1. 求下列函数的极值： （1）2()62f x x x =--；（2）3()27f x x x =-；
（3）3()612f x x x =+-；（4）3()3f x x x =-.
练2. 下图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
三、总结提升 ※ 学习小结
1. 求可导函数f (x )的极值的步骤；
2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.
※ 知识拓展
函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 函数232y x x =--的极值情况是（ ） A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也极小值
2. 三次函数当1x =时，有极大值4；当3x =时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ） A ．3269y x x x =++ B ．3269y x x x =-+
C ．3269y x x x =--
D ．3269y x x x =+- 3. 函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ） A ．3,3a b ==-或4,11a b =-= B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=
C ．1,5a b =-=
D ．以上都不准确
4. 函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a 的值为
5. 函数32()3(0)f x x ax a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为
课后作业
1. 如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，
在哪一点处（1）导函数()y f x '=有极大值？ （2）导函数()y f x '=有极小值？（3）函数()
y f x =
有极大值？（4）导函数()y f x =有极小值？
2. 求下列函数的极值： （1）2()62f x x x =++；（2）3()48f x x x =-.
§3.3.3函数的最大（小）值与导数
学习目标
⒈理解函数的最大值和最小值的概念； ⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤.
学习过程 一、课前准备 （预习教材P 96~ P 98，找出疑惑之处） 复习1：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右
负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是
)(x f 的 点，)(0x f 是极 值 复习2：已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值，且(1)1f =-，
（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1x =±时函数有极大值还是极小值，并说明理由.
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：函数的最大（小）值
问题：观察在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？
在图1中，在闭区间[]b a ,上的最大值是 ，最小值是 ；
在图2中，在闭区间[]b a ,上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值是 .
新知：一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值. 试试：
上图的极大值点 ，为极小值点为 ； 最大值为 ，最小值为 . 反思：
1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
2.函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区
间[]b a ,上有最大值与最小值的 条件
3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有
一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有. ※ 典型例题
例 1 求函数31()443
f x x x =-+在[0,3]上的最大值与最小值.
小结：求最值的步骤 （1）求()f x 的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值. 例2 已知23()log x ax b f x x ++=,x ∈(0,+∞).是
否存有实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：图1 图2
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（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1；
若存有，求出a b 、，若不存有，说明理由.
变式：设213a <<，函数323
()
f x x ax b =-+在区
间[1,1]-上的最大值为1，最小值为，求函数
的解析式.
小结：本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题．
※ 动手试试
练1. 求函数3()3,[1,2]f x x x x =-∈的最值．
练2. 已知函数32()26f x x x a =-+在[2,2]-上有最小值37-.（1）求实数a 的值；（2）求()f x 在[2,2]-上的最大值．
三、总结提升 ※ 学习小结
设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；
⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数
)(x f 在[]b a ,上的最值.
※ 知识拓展
利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们能够在导数法求极值的思路的基础上实行变通.令()0f x '=得到方程的根1x ，2x ，，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就能够了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函
.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 若函数3()3f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M N -的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．18 D ．20 2. 函数32()3(1)f x x x x =-< （ ） A ．有最大值但无最小值 B ．有最大值也有最小值 C ．无最大值也无最小值 D ．无最大值但有最小值
3. 已知函数223y x x =--+在区间[,2]a 上的最大
值为15
4，则a 等于（ ）
A ．32- B
．12 C ．12- D ．12或32
-
4. 函数y x =-[0,4]上的最大值为
5. 已知32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值，那么此函数在[2,2]-上的最小值是
1. a 为常数，求函数3()3(01)f x x ax x =-+≤≤的最大值.
2. 已知函数32()39f x x x x a =-+++，（1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
§3.4生活中的优化问题举例（1）
学习目标
1．进一步理解导数的概念，会利用导数概念形成过程中的基本思想分析一些实际问题，并建立它们的导数模型；
2．掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函数模型，求函数的最值.
学习过程
一、课前准备
101102，找出疑惑之处）
复习1：函数y =2x 3－3x 2－12x +5在［0，3］上的最小值是___________
复习2：函数()sin f x x x =-在[0,]2
π
上的最大值为
_____；最小值为_______.
二、新课导学 ※ 学习探究
探究任务一：优化问题
问题：张明准备购买一套住房，最初准备选择购房一年后一次性付清房款，且付款时需加付年利率为4.8%的利息，这时正好某商业银行推出一种年利率低于4.8%的一年定期贷款业务，贷款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)k k >，所以他打算申请这种贷款在购房时付清房款. （1）若贷款的利率为,(0,0.048)x x ∈，写出贷款量()g x 及他应支付的利息()h x ；（2）贷款利息为多少时，张明获利最大？
新知：
生活中经常遇到求 、 、 等问题，这些问题通常称为优化问题.
试试：在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去边长都为x 的小正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
反思：利用导数解决优
化问题的实质是 .
※ 典型例题
例1班级举行活动，通常需要张贴海报实行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为2128dm ，上、下两边各空2dm ，左、右两边各空1dm .如何设计海报的尺寸，才能使四周 空白面积最小？
变式：如图用铁丝弯成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a 2m ，为使所用材料最省，底宽应为多少？
x x x x 60
60
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例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm .问（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
小结：⑴解相关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．⑶相当多相关最值的实际问题用导数方法解决较简单
※ 动手试试
练1. 一条长为100cm 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
练2. 周长为20的矩形，绕一条边边旋转成一个圆柱，求圆柱体积的最大值.
三、总结提升 ※ 学习小结
1．解决最优化的问题关键是建立函数模型，所以首先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式，对于实际问题来说，需要注明变量的取值范围.
2．实际问题中在变量的范围内若只有一个极值点，那么它也是最值点.
※ 知识拓展
.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 某公司生产某种新产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益与年产量的关系是，则总利润最大时，每年生产的产品是（ ）
A ．100
B ．150
C ．200
D ．
300 2. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高应为（ ）
A
B
C
3. 若一球的半径为r ，则内接球的圆柱的侧面积最大为（ ）
A ．22r π
B ．2r π
C ．24r π
D ．21
2
r π
4. 球的直径为d ，当其内接正四棱柱体积最大时的高为 .
5. 面积为S 的矩形中，其周长最小的是
. 1. 一边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒. (1)试把方盒的容积V 表示为x 的函数.(2)x 多大时，方盒的容积V 最大？
2. 在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其下底为直径，其他三边为圆的弦，求梯形面积最大时，梯形的上底长为多少？
§3.4生活中的优化问题举例（2）
掌握用导数解决实际中简单的最优化问题，构建函
.
102104
，找出疑惑之处）
复习1：已知物体的运动方程是23
s t
t
=+（t的单位：s，s的单位：m），则物体在时刻4
t=时的速度v= ，加速度a=
复习2：函数32
()23125
f x x x x
=--+在[0,3]上的最大值是最小值是
二、新课导学
※学习探究
导数的背景（5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时， t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做 瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间 内的平均速度为t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.
《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观
导数专题 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22 y x =+，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1 (1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线32 242y x x x =--+在点(1 3)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(1 3)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。
解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02 030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在() 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 2632302 0020+-=+-x x x x ， 整理得：03200=-x x ，解得：2 3 0=x 或00=x （舍），此时，830- =y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 4 1 -=，切点坐标是?? ? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为x y 41- =，切点坐标是?? ? ??-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 解析：函数()x f 的导数为()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
高中数学导数及其应用一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。
三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可 正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比 ，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果 时，有极限，则说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点 处的导数（或变化率），记作，即 。 （Ⅱ）如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（） 内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内的导函数（简称导数），记作或，即 。 认知： （Ⅰ）函数的导数是以x为自变量的函数，而函数在点处的导数 是一个数值；在点处的导数是的导函数当时的函数值。 （Ⅱ）求函数在点处的导数的三部曲： ①求函数的增量；
②求平均变化率； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2）导数的几何意义： 函数在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数在点处可导，则有此时， 记 ,则有即在点处连续。 （Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。 反例：在点处连续，但在点处无导数。
教学合班 1：专业班合计人授课 合班 2：专业班合计人日期对象 合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 （课题） 通过学习，学生能够： 1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标：技能目标：素养目标： 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处：
教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固，并简述 1．极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 ) t
导数的背景 （5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是2 2 1gt s = （其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 从而，t t s v ?+=??= - -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于29.4 米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间内的平均速度为 t t s t t s t s ?-?+= ??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 析：设点Q 的横坐标为1＋x ?，则点Q 的纵坐标为（1＋x ?）2，点Q 对于点P 的纵坐标的增量 （即函数的增量）22)(21)1(x x x y ?+?=-?+=?， 所以，割线PQ 的斜率x x x x x y k PQ ?+=??+?=??=2)(22.
高中数学导数讲义完整版 第一部分 导数的背景 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (2 2 1gt s =,其中g 是重力加速度）. 2. 切线的斜率 问题2：P （1,1）是曲线2 x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况. 3. 边际成本 问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2 +=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ?对成本的影响. 二、小结: 瞬时速度是平均速度 t s ??当t ?趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率x y ??当x ?趋近于0时的极限；边际成本是平均成本 q C ??当q ?趋近于0时的极限. 三、练习与作业： 1. 某物体的运动方程为2 5)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线2 2x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522 +=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本. 4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2 t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线2 2 1x y = 在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742 +=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.
个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：林老师授课时间：
.B ()()f x g x < .C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+ 问题2．()f x 的导函数()y f x '= 的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是 问题3．求下列函数的导数： ()1()2 1sin y x =+； ()41 1 x x e y e +=-； ()6ln x y e x =? () 7sin 1cos x y x = +； ()8()21sin cos y x x x x =-?+? ()932x x x y e e =?-+ ()10()()33421y x x x =-?- 问题4．()1求过点()1,1P 且与曲线3y x =相切的直线方程. ()2（06全国Ⅱ文）过点()1,0-作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为 .A 220x y ++= .B 330x y -+= .C 10x y ++= .D 10x y -+= ()3（08届高三攸县一中）已知曲线m x y += 3 3 1的一条切线方程是44y x =-，则m 的值为 .A 43 .B 283- .C 43或283- .D 23或13 3 - （三）课后作业： 1.若0()2f x '=,求0 lim →k k x f k x f 2) ()(00-- 2.（07届高三皖南八校联考）已知2()2(2)f x x xf =+'，则(2)f '=
设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ()1求)(x f 在(,)a b 内的极值； ()2将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值p 9.求参数范围的方法：①分离变量法；②构造（差）函数法. 10.构造函数法是证明不等式的常用方法：构造时要注意四变原则：变具体为抽象，变常量为变量，变主 元为辅元，变分式为整式. 11.通过求导求函数不等式的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最(极值）为 助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索. （二）典例分析： 问题1．()1函数)(x f y =在定义域)3,2 3 (-内可导，其图象如图所示，记)(x f y = 的导函数为 )(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为 .A [)3,2]1,31 [Y - .B ]38,34[]21,1[Y - .C [)2,1]2 1 ,23[Y - .D ?? ??????? ??--3,38]34,21[1,23Y Y ()3设(),()f x g x 均是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()f x g x '+ ()()0f x g x '>，且(2)0f -=，则不等式()()0f x g x ?<的解集是 .A ()()2,02,-+∞U .B ()2,2- .C ()(),22,-∞-+∞U .D ()(),20,2-∞-U 问题2．()1如果函数3()f x x bx =-+在区间()0,1上单调递增，并且方程()0f x =的根都在区间 []2,2-内，则b 的取值范围为 ()2已知2()12f x x x =+-，那么[]()()g x f f x = .A 在区间()2,1-上单调递增 .B 在()0,2上单调递增 .C 在()1,1-上单调递增 .D 在()1,2上单调递增 ()3函数R x x x x f ∈+-=,56)(3， （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （Ⅲ）已知当(1,)x ∈+∞时，()f x ≥(1)k x -恒成立，求实数k 的取值范围.
导数的运算1．导数的运算 【知识点的知识】 1、基本函数的导函数 ①（为常数） C＝0 C ②（）＝（） x n nx n﹣1 n R ③（）＝ sinx cosx ④（）＝﹣ cosx sinx ⑤（）＝ e e x x ⑥（）＝（）* （＞0且1） a a lna a a x x ⑦= [log x）] a 11 （log e）（a＞0且a 1） ?* = ???? a lnx ⑧=1．? 2、和差积商的导数 ① [ （f x）g（x）]＝f （x ）g（x） ② [ （f x）﹣g（x）]＝f（x）﹣g（x） ③ [ （f x）g（x）]＝f（x）（g x）（f x）g（x） ?(?) ④[?(?)]′=[?′(?)?(?)― ?(?)?′(?)] ． [?(?)2]
3、复合函数的导数 设，则 y＝（u t），t＝（v x）y（x）＝u（t）v（x）＝u[（v x）]v（x） 1/ 3
【典型例题分析】 题型一：和差积商的导数 典例 1：已知函数，为的导函数，则（f x）＝asinx bx 3 （4a R，b R）f （x）（f x）（2014）（﹣2014）（2015）﹣（﹣2015）＝（） f f f f A．0 B．2014 C．2015 D．8 f （x）＝acosx 3bx 2 解：， ∴f （﹣x）＝aco（s ﹣x ） 3（b ﹣x） 2 ∴为偶函数； f （x） f （ 2015）﹣f （﹣2015）＝0 ∴（）（﹣） f 2014 f 2014 ＝asi（n）b asi（n﹣）（b﹣）＝； 2014 ? 20143 4 2014 2014 3 4 8 （f2014）（f﹣2014）f（2015）﹣（f ﹣2015）＝8 故选D． 题型二：复合函数的导数 典例 2：下列式子不正确的是（） A．B．=（）＝﹣（lnx﹣2x ） 3x 2 cosx 6x sinx 1?―2?ln2 ????C．（）＝D．（）′= 2sin2x 2cos2x ??????―???? ?2 解：由复合函数的求导法则 对于选项，成立，故正确； A （3x 2 cosx ）＝6x﹣sinx A
核心出品 必属精品 免费下载 导 数 考试内容： 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做
)(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时， 1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4. 求导数的四则运算法则： ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数） )0(2''' ≠-=?? ? ??v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数. ②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导. 例如：设x x x f 2sin 2)(+=，x x x g 2 cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导. 5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ??=或x u x u y y '''?= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
高中数学《导数的计算》教案5 选修2-2 教学目标： 1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2 y x =、1y x =的导数公式 教学过程： 一．创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授 1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x ?+?--===??? 所以00 lim lim 00x x y y x ?→?→?'===? 0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数
因为()()1y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-===??? 所以00 lim lim11x x y y x ?→?→?'===? 1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2 ()y f x x ==的导数 因为22 ()()()y f x x f x x x x x x x ?+?-+?-==??? 222 2()2x x x x x x x x +?+?-==+?? 所以00 lim lim(2)2x x y y x x x x ?→?→?'==+?=? 2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1()y f x x ==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -?+?-+?==???
§14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→
3．1．1瞬时变化率—导数 教案 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --= ， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度 (2) 位移的平均变化率：t t s t t s ?-?+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时， t t s t t s ?-?+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度 求瞬时速度的步骤：
高中导数经典知识点及 例题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为Δy Δx ＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy Δx ＝________，表示函数 y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 答 案 2. f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ，Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在 [0，π2]上的平均变化率为sin π 2－sin0 π2－0 ＝2π. 在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.
人教版高中数学《导 数》全部教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
导数的背景（5月4日） 教学目标 理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义 教学重点 瞬时速度、切线的斜率、边际成本 教学难点 极限思想 教学过程 一、导入新课 1. 瞬时速度 问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 析：大家知道，自由落体的运动公式是22 1gt s =（其中g 是重力加速度）. 当时间增量t ?很小时，从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大. 因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度. 从3秒到（3＋t ?）秒这段时间内位移的增量： 222)(9.44.2939.4)3(9.4)3()3(t t t s t s s ?+?=?-?+=-?+=? 从而，t t s v ?+=??=- -9.44.29. 从上式可以看出，t ?越小，t s ??越接近29.4米/秒；当t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于29.4米/秒. 此时我们说，当t ?趋向于0时，t s ??的极限是29.4. 当t ?趋向于0时，平均速度t s ??的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度. 一般地，设物体的运动规律是s ＝s （t ），则物体在t 到（t ＋t ?）这段时间内的平均速度为 t t s t t s t s ?-?+=??)()(. 如果t ?无限趋近于0时，t s ??无限趋近于某个常数a ，就说当t ?趋向于0时，t s ??的极限为a ，这时a 就是物体在时刻t 的瞬时速度. 2. 切线的斜率
简单复合函数求导 教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则． 教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积． 教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 一．创设情景 （一）基本初等函数的导数公式表 （二）导数的运算法则 导数运算法则 1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]''' ()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] '''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可函数 导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =?> ()x y f x e == 'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =
以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。 复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析 例1求y ＝sin （tan x 2）的导数． 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x a x 22--的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－ 21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步． 例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0． 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 |1271431|++-＝22716． 四．课堂练习 1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）1 22sin -= x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数