一元二次方程
1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．
（1）用含p的代数式表示q；
（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．
…
|
\
2．设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．
$
>
3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2
＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．
）
4．（江苏模拟）已知关于x 的方程x 2
－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且
x 1≤x 2．
》
（1）求证：x 1≤1≤x 2
（2）若点A （1，2），B （12，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问是
否存在这样的点P ，使a ＋b ＝5
4若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（
5．（福建模拟）已知方程组???y 2
＝4x y ＝2x ＋b 有两个实数解?????x ＝x 1y ＝y 1和?
????x ＝x 2
y ＝y 2，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．
（1）求b 的取值范围；
<
（2）否存在实数b ，使得1x 1＋1
x 2
＝1若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．
6．（成都某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值范围．
!
,
7．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足???x ＋y ＝3a －1
x 2＋y 2＝4a 2
－2a ＋2
，求x y 的取值范围．
—
8．（福建某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2
＝a 2
(1－x 2
)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2，求证：
－1＜x 1＜0＜x 2＜1．
—
；
（答案）
(
1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．
（1）用含p的代数式表示q；
（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2
∴22＋2p＋q＋1＝0，整理得：q＝－2p－5
（2）∵△＝p2－4q＝p2－4(－2p－5)＝p2＋8p＋20＝(p＋4)2＋4
…
无论p取任何实数，都有(p＋4)2≥0
∴无论p取任何实数，都有(p＋4)2＋4＞0，∴△＞0
∴抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点
（3）∵抛物线y1＝x2＋px＋q与抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的对称轴相同，
都为直线x＝－p
2
，且开口大小相同，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1可由抛物线
y1＝x2＋px＋q沿y轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MN，EF＝MN＝1
∴四边形FEMN是平行四边形
由题意得S四边形FEMN＝EF·|－p
2
|＝2，即|－
p
2
|＝2
∴p＝±4：
2．（安徽某校自主招生）设关于x 的方程x 2－5x －m 2
＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m 的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．
解：∵△＝52
－4(－m 2
＋1)＝4m 2
＋21
∴不论m 取何值，方程x 2－5x －m 2
＋1＝0都有两个不相等的实根 ∵x 2－5x －m 2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m 2
∵|α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即(α＋β)2
－2αβ＋2|αβ|≤36
∴25－2(1－m 2)＋2|1－m 2
|≤36
当1－m 2
≥0，即－1≤m ≤1时，25≤36成立 \
∴－1≤m ≤1 ①
当1－m 2
＜0，即m ＜－1或m ＞1时，得25－4(1－m 2
)≤36 解得－152≤m ≤152
∴－
152≤m ＜－1或1＜m ≤152
② 综合①、②得：－152≤m ≤15
2
3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2
＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由； 【
（2）求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．
解：（1）∵x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2
＋2ax ＋a ＝0的两个实数根
∴???a －6≠04a 2－4a (a －6)≥0 即?
????a ≠6a ≥0
假设存在实数a 使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立，则4＋(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0 ∴4＋
－2a a －6－a
a －6
＝0，得a ＝24 ∵a ＝24满足a ≥0且a ≠6
∴存在实数a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立 （2）∵(x 1＋1)(x 2＋1)＝(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋1＝
－2a a －6＋a a －6＋1＝－a
a －6
.
∴要使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数，则只需a 为7，8，9，12
4．（江苏模拟）已知关于x 的方程x 2
－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且
x 1≤x 2．
（1）求证：x 1≤1≤x 2
（2）若点A （1，2），B （12
，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问是
否存在这样的点P ，使a ＋b ＝5
4若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，x 1x 2＝a ∴a ＝x 1x 2，b ＝x 1＋x 2－x 1x 2－1 ∵b ≥0，∴x 1＋x 2－x 1x 2－1≥0 ~
∴1－x 1－x 2＋x 1x 2≤0 ∴(1－x 1)(1－x 2)≤0
又∵x 1≤x 2，∴1－x 1≥0，1－x 2≤0 即x 1≤1，x 2≥1 ∴x 1≤1≤x 2
（2）∵x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，a ＋b ＝54，∴x 1＋x 2＝9
4
①当点P （x 1，x 2）在BC 边上运动时
《
则1
2≤x 1≤1，x 2＝1
∴x 1＝94－x 2＝94－1＝54
＞1
故在BC 边上不存在满足条件的点P ②当点P （x 1，x 2）在AC 边上运动时 则x 1＝1，1≤x 2≤2
取x 2＝54，则x 1＋x 2＝94，即a ＋b ＝54
故在AC 边上存在满足条件的点P （1，5
4）
③当点P （x 1，x 2）在AB 边上运动时
@
则1
2≤x 1≤1，1≤x 2≤2，易知x 2＝2x 1
∵x 1＋x 2＝94，∴x 1＝34，x 2＝3
2
又∵12＜34＜1，1＜3
2
＜2
故在AB 边上存在满足条件的点（34，32
）
综上所述，当点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动时，在BC 边上没有满足条件的点，而在AC 、AB 边上存在满足条件的点，它们分别是（1，54）和（34，3
2）
5．（福建模拟）已知方程组???y 2
＝4x y ＝2x ＋b 有两个实数解?????x ＝x 1y ＝y 1和?
????x ＝x 2
y ＝y 2，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．
（1）求b 的取值范围；
]
（2）否存在实数b ，使得1x 1＋1
x 2
＝1若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由已知得4x ＝(2x ＋b )2，整理得4x 2＋(4b －4)x ＋b 2
＝0
∵x 1≠x 2，∴△＞0，即(4b －4)2－16b 2
＞0，解得b ＜12
又∵x 1x 2≠0，∴b
2
4≠0，∴b ≠0
综上所述，b ＜1
2
且b ≠0
（2）∵x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b
2
4，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝4(1－b )
b 2
＝1得 ∴b 2
＋4b －4＝0，解得b ＝－2±22 ∵－2＋22＝2(2－1)＞1
2
，∴b ＝－2＋22不合题意，舍去
\
∴b ＝－2－22 6．（成都某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值范围．
解：∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，∴a ，b ，c 都不为零，且a ＋b ＝－c ，ab ＝8
c
∴a ，b 是方程x 2
＋cx ＋8c
＝0的两个实数根
∴△＝c 2
－4×8c
≥0
当c ＜0时，c 2
－4×8c
≥0恒成立
当c ＞0时，得c 3
≥32，∴c ≥342
\
故c 的取值范围是c ＜0或c ≥342
7．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足???x ＋y ＝3a －1
x 2＋y 2＝4a 2
－2a ＋2
，求x y 的取值范围． 解：∵(x －y )2
≥0，∴x 2
＋y 2
≥2x y
∴2(x 2＋y 2)≥(x ＋y )2
∴2(4a 2－2a ＋2)≥(3a －1)2
即a 2
－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3
∵x y ＝12
[(x ＋y )2－(x 2＋y 2
)]
《
＝12[(3a －1)2－(4a 2
－2a ＋2)]
＝12(5a 2
－4a －1) ＝52(a －25)2－910
∴当a ＝25时，x y 有最小值－9
10；当a ＝3时有最大值16
∴－9
10
≤x y ≤16
8．（福建某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2
＝a 2
(1－x 2
)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2，求证：
－1＜x 1＜0＜x 2＜1．
证明：将原方程整理，得2a 2x 2
＋2ax ＋1－a 2＝0
令y ＝2a 2x 2
＋2ax ＋1－a 2
，由于a ＞1，所以这是一条开口向上的抛物线 当x ＝0时，y ＝1－a 2
＜0，∴原方程有一个正根和一个负根 又∵x 1＜x 2，∴x 1＜0＜x 2
又当x ＝1时，y ＝2a 2
＋2a ＋1－a 2
＝(a ＋1)2
＞0 当x ＝－1时，y ＝2a 2
－2a ＋1－a 2
＝(a －1)2
＞0 ∴－1＜x 1＜0＜x 2＜1