一次函数难点与突破
《一次函数》这一章是初中生首次接触函数内容，也是初步了解变量世界中的数学规律，更是在“数轴”的基础上进一步形成数形结合的思想方法。毫不夸张地说，本章是整个初中数学一次巨大的飞跃。所以数学教师在教学前应有足够的思想准备，要充分估计大部分学生的入门困难，教学设计时想办法降低学习门坎，让学生尽量在最近思维发展区学好函数。函数及其导数又是高中数学的重点内容，故函数在中学阶段有承上启下的作用，学好初中的函数就为高中数学铺平了道路。
本章内容有函数的概念、函数的三种表示法、一次函数和正比例函数的概念、图象、性质和建模应用以及利用一次函数的图象解二元一次方程组和一元一次不等式。根据笔者的教学实践体会，将本章的学习难点与突破办法归纳如下，期望与各位同仁商榷。
一、难于理解“函数”。
函数是指两个变量之间的变化依从关系，与学生在此之前认识的“数学”有很大的不同，许多学生认为数学就是计算，就是解应用题，怎么还有“变量关系”？觉得这种变量关系有点似曾相识，却又那么生疏生奥、晦涩难懂。
难点突破办法：
1、举实例，降坡度。实例引入，举例内化，降低学习坡度。
一天24小时的气温随时间而变化，每个时刻都对应一个温度，我们说时间
是自变量，气温是因变量，气温是时间的函数；在正方形的面积公式S=a2中，
对于边长a的每一个值，都能算出一个对应的面积S，所以正方形面积是边长的函数。
然后让每个学生自己根据对函数的理解，举出一个函数例子。不管对错，举出来后全班讨论一下就明白了。
如同学甲说：苹果每斤3元，买苹果的钱是苹果斤数的函数。获得了大家的掌声。
同学乙说：长方形面积是一条边长的函数。对此，有人认为对，有人认为错，全班争论开来。认为错的同学说，当长方形的一边是2cm时，它的面积是多少呢？能确定吗？是唯一的一个面积吗？其他同学就会想到，是啊，当长方形的一
边是2cm时，另一边可能是3cm，或4cm等等，则它的面积是6cm2或8cm2等
等，对应的面积不唯一呀，所以长方形面积不是一条边长的函数。
老师这时提问：能否把同学乙的例子修改一下就变成函数了呢？沉默一会后同学丙说出来了：先固定另一边的长度就行了，可以这样说，当长方形的另一边不变时，长方形面积是一条边长的函数。最后大家修正语法错误后，就得到了一个完美的函数例子：当长方形的一边不变时，长方形面积是另一条边长的函数。这时同学丁提出了新问题：要是把长方形的周长固定，那它的面积是一条边长的函数吗？于是又激起了新一轮讨论浪潮。
2、抓关键，巧判断。抓住函数定义的两个条件：①变量y随变量x而变化；
②对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应。尤其是后一个条件是判断
函数的关键。可强调，函数就是在x 与y 的对应中，可以是一个值对应一个值，或多个值对应同一个值，即“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”。
比如，可以说一个人的身高是其年龄的函数，但年龄是不是身高的函数呢？由于成年人可以在许多年保持同一个身高，即一个身高会对应多个不同的年龄(一对多)，故年龄不是身高的函数。
再补充练习：
如图1，在x 与y 的对应中，y 是不是x 的函数？
图 1
3()
2()1()
y y y
学生在小组讨论中容易得出答案：(1)是函数(一对一或二对一)；(2)不是函数(对于x 的值6，y 没有值与它对应)；(3)不是函数(有一对二的现象)。
二、难于理解“一次函数”。
如果函数的解析式是自变量的一次式：y=kx+b 或y=kx (k 、b 是常数，k ≠0)，则称y 是x 的一次函数，其中后者又叫正比例函数。
一次函数的定义本身不难理解，难的是用定义判别一次函数和求出函数中的未知常数。如下面的三个例题：
例1 下列y 关于x 的函数中，哪些是一次函数？
(1) y=4x ；(2) y=x 4；(3) y=52x-4；(4) y=x ；(5) y=3x 2+2；(6) y=7
56x +；
(7) y=3x ；(8) y=3x 2-21(6x 2+4x)；(9) x+2y=6；(10) y=2；(11) y=3
21
+x 。
例2 若函数 y=(3-m)x 8
2
-m
+5是一次函数，则常数m 的值是 。
例3 若函数y=(m+2)x+(m-1)是正比例函数，则常数m 的值是 。
难点突破办法：
1、让学生弄清：一个函数解析式不管原来形式如何，只要通过化简后能变成y=kx+b (k 、b 是常数，k ≠0)，则这个函数就是一次函数；只要能变成y=kx(k
是常数，k ≠0)，则不但是一次函数，还是正比例函数。可指出y=4x 即y=4
1
x ，
这样学生容易认可y=4
x
属于正比例函数。
2、一次函数和正比例函数都是整式函数，解析式是一次二项式或一次单项
式，化简后的解析式分母中或根号内都不含自变量。还可补充说明：y=x 4
即
y=4x 1
-，y=x 即y=x 2
1，于是学生就不会把y=
x
4
与y=x 当一次函数了。
3、一个整式函数是一次函数有两个条件：一是x 的指数是1，二是x 的系数不为0，二者缺一不可；若是正比例函数则还要加上第三个条件：常数项为0，三者缺一不可。这样学生才会对例2、例3知道从何处入手，并周全地考虑条件。
4、一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的。反过来，在实际问题中，凡是因变量随自变量均匀变化的，都可以用一次函数表示。
三、难于准确地画一次函数的图象。
画图象的难点是不能准确地描出合适的点，以及根据自变量的取值范围对图象作出取舍。
如：把点(2，3)画在(3，2)的位置，把点(0，3)画在(3，0)的位置，横纵坐标弄反；直线y=2x-3经过点(2，1)，就把直线画成图2；把函数l=3a(a>0)画成图3的整条直线；过两点(1,-1)、(2，1)画直线y=2x-3，但这两点描出的位置有偏离(图4)。
图 2
图 3
图 5
难点突破办法：
1、描点时，横坐标的数要在x 轴上找，纵坐标要在y 轴上找，画两条垂线要用三角板规范操作，画完后须观察检验。可用口诀提醒：“x
轴是横坐标，y 轴上是纵坐标，画垂线用三角板，点的位置准找到。”
2、画正比例函数的图象一定要选择原点，画一般的一次函数图象要尽量选x 轴上的点和y 轴上的点，这样画图象更准确，哪怕有时坐标不是整数。如画直线y=2x-33l=3a(a>0)的图象不是一条直线，而是不含端点的一条射线(图5)。
四、难于归纳和运用一次函数的性质。
一次函数的性质主要从图象上观察得出，包括图象所在象限、函数值的增减性、直线的平行性。学生之所以感觉难学，是因为这一小节内容繁多和读图识图能力不强，以及运用函数性质解题欠熟练。
难点突破办法：
1、以画图象为基础，逐一抽象出一次函数的各个性质。
(1)让学生画出图6、7。由图6可看出对于y=2x ，图象过原点，经过第一、三象限，从左向右上升，并且当x 由-2增大到-1、0、1、2、3时，y 随着由-4增大到-2、0、2、4、6。这样得出正比例函数的性质就水到渠成了。
(2)先画出图8，然后引导学生归纳：对于正比例函数y=kx ，当k>0时，k 越大，直线越陡，随着x 的增大y 增大得越快；当k<0时，∣k ∣越大，直线越陡，随着x 的增大y 减小得越快。另外还能得到直线y=kx 与直线y=-kx 既关于x 轴对称，又关于y 轴对称。
(3)画出图9可归纳出：①直线y=kx+b 与直线y=kx+c(x 的系数相同)是平行的，都可看作由直线y=kx 平移得到，当b>0
时，向上平移b 个单位长度，当b<0时，向下平移∣b ∣个单位长度。②一次函数y=kx+b ，当k>0时，y
随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小。③常数函数y=b(b 是常数)的图象是平行于x 轴的直线，随着x 的增大，函数值
y 保持不变，既不增大也不减小。
2、训练识图能力。
读图识图是数形结合的思维过程，是由已知图象的形状和位置得出相应的函数解析式或性质。这需要一个训练过程，大部分学生难以一看就懂，一学就会。
例4 图10描述了某一天小亮骑车的情景。
你能说出小亮在路上的情形吗？
图 10
图 11
图 12
图 13
例5如图11，求直线AB 对应的函数关系式。
例6 某个一次函数y=kx+b 的图象位置大致如图12所示，则( ) A. k>0，b>0 B. k<0，b>0 C. k>0，b<0 D. k<0，b<0 例4图10的图象是三条连续的线段，其中第一条比第三条“陡”，第二条是平行于x 轴的线段。于是可知：开始小亮以较快的速度匀速骑车从家里出发，到书店后看了一段时间书，然后以较慢的速度匀速骑车回到家。
例5需要从图中看出点A 、B 的坐标(0，2)、(-3，0)。 例6可引导学生先过原点O 画出已知直线的平行线，则得到y=kx 的图象(图13)，经过第一、三象限，故k>0。又因直线y=kx 向下平移得到直线y=kx+b ，故
b<0。
3、强化函数性质的运用。
理解一次函数性质，不等于会熟练运用。需要经过一些针对性的题型练习。 例7 对于一次函数y=(m-4)x+7：
(1) 当m 为何值时，y 的值随x 的增大而增大？ (2) 当m 为何值时，y 的值随x 的增大而减小？
例8 一次函数y=3x+!的图象与正比例函数y=2x 的图象的位置关系是( ) A. 平行 B. 相交于一点 C. 重合 D. 都有可能
例9 (1) 将直线y=2x 向上平移1个单位所得的直线解析式是 ； (2) 将直线y=2x 向右平移3个单位所得的直线解析式是 。
例7是先已知y 的值随x 的变化情况，反求待定常数的值。引导学生从x 的系数的正负入手。
例8中两个函数的k 值不同，故图象不平行，相交于一点。
对于例9，学生知道直线向上平移就是y 的值增大，向下平移就是y 的值减小，但直线向左右平移呢？这里需要将知识迁移：直线向右平移就是x 的值增大，
向左平移就是x 的值减小。先把y=2x 化为x=2
y
，则向右平移3个单位后得到
x=2
y
+3，变形为y=2(x-3)，即y=2x-6。 完成此题后让学生归纳：
将直线y=kx+b 向右平移m 个单位所得的直线解析式是y=k(x-m)+b ； 将直线y=kx+b 向左平移m 个单位所得的直线解析式是y=k(x+m)+b 。 也可用口诀简记为：正上负下，正左负右。
知己知彼，百战不殆。教学的主体是学生，教育的一切都是为了每一个学生的发展。我们要有意识地、准确地课前预见和课后发现学生的难点，采取针对性的策略和学生一道攻坚克难，从而提高课堂教学效率，切实有效地转化学困生。
邮编 ：425500
地址：湖南省江华县沱江中学 作者：陈爱群
反比例函数知识点归纳 重点 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
.人教版八年级数学下册反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构 （二） （三）（二）学习目标 （四）1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反 比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数． （五）2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点． （六）3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．
（七）4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型． （八）5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法． （九）（三）重点难点 （十）1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用． （十一）2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握． （十二）二、基础知识 （十三）（一）反比例函数的概念 （十四）1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； （十五）2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
（十六）3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （十七）（二）反比例函数的图象 （十八）在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （十九）（三）反比例函数及其图象的性质 （二十）1．函数解析式：（） （二十一）2．自变量的取值范围： （二十二）3．图象： （二十三）（1）图象的形状：双曲线． （二十四）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （二十五）（2）图象的位置和性质： （二十六）与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． （二十七）当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
对数函数及其性质重点难点创新 一、教学目标 课程标准对本节课的要求为：理解对数函数的概念及单调性，掌握对数函数的图象通过特殊点，依据学生的学习基础及自身特点结合课标要求，我确定了本节课的教学目标：知识目标：1、理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质； 2、会求和对数函数有关的函数的定义域； 3、会利用对数函数单调性比较两个对数的大小。 能力目标：1、通过对底数的讨论，使学生对分类讨论的思想有进一步的认识，体会由特殊到一般的数学思想； 2、通过例题、习题的解决，使学生领悟化归思想在解决问题中的作用。 情感目标：学生在参与中感受数学，探索数学，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心。 二、教学重难点： 教学重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数图象和性质； 教学难点：底数a对函数值变化的影响及对数函数性质的应用。 三`教学方法： 通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现对数函数的图象的特点 四、课堂结构设计： 本节课是概念、图象及性质的新授课，为了使学生更好的达成学习目标我设计了以学生活动为主体，以培养学生能力为中心，提高课堂教学质量为目标的课堂结构。这是我的课堂结构设计：
五、教学媒体设计： 根据本节课的教学任务和学生学习的需要，我设计了利用多媒体课件展示引例、例题、习题和练习……，增大教学的容量，也使学生易于接受，提高学生的学习兴趣和积极性；利用几何画板演示作图，展示图象的动态变化过程，有效地突出重点、突破难点、提高教学效率，增强直观性和准确性。这是我的教学媒体设计： 钟 15 分 钟 钟 钟 6 分 钟
六、教学过程设计 在对教材及学生全面深入了解的基础上，我设计了以下五个教学环节：
《二次函数复习》教学案 班级：初三 18 班年级：九设计者：李玲时间： 2015 年 10 月 16 日课题二次函数课型复习课 知识技能掌握二次函数的图象及其性质，能灵活运用数形结合知识解一些实际问题． 数学思考通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 教学目标 解决问题学生亲自经历巩固二次函数相关知识点的过程，体会利用数形结合线索解决问题策略的多样性． 经历探索二次函数相关题目的过程，体会数形结合思想、化归思想 情感态度在数学中的广泛应用，同时感受数学知识来源于实际生活，反之，又服务于实际生活． 教学重点教学难点二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题． 课前准备 （教具、活制作课件 动准备等） 教学过程 教学步骤师生活动设计意图 如图是抛物线y ax2bx c a 0 的图像，通过一个具体二次函数， 请尽可能多的说出一些结论。请学生说出尽可能多的结论，主要让学生回忆二次函数有 基础知识之 关基础知识．同学们之间可以自我构建 相互补充，体现团结协作精 神．同时发展了学生的探究意 识，培养了学生思维的广阔 性． 二次函数是生活中最常 见的一类函数，它有着自己固 有的性质，反映的是轴对称性 和增减性； 我们要突出反映二次函数的 轴对称性、顶点坐标，我们就基础知识之可以把一般式改写成顶点式；基础演练如果想知道抛物线与 x 轴两 个交点的情况，我们可以把一 般式写出交点式； 刚刚我们回顾了二次函数的 性质，我们发现二次函数的图 像能够直观地反映函数的特 性，而数又能细致刻画函数图
反比例函数 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点． （二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y 轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA 的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．
图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个 分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称 （3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题． 三、例题分析 考点1．反比例函数的概念 （1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．y=3x B． C．3xy=1 D． （2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）． A．B． C．D． 考点2．图象和性质 （1）已知函数是反比例函数， ①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________． ②若y随x的增大而减小，那么k=___________． （2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上， 则直线不经过的象限是（）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二次函数考点分析培优 核心知识点： ★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． ★★二次函数y=ax 2 +bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0） 一般式：y=ax 2 +bx+c ，三点：顶点坐标（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a ，最值 顶点式：y=a （x －h ）2 +k ，顶点坐标对称轴：顶点坐标（h ，k ），对称轴x=h 交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况）与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 ，对称轴为2 2 1x x h += ★★★a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－ 2b a >0，即对称轴在y c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． 中考分考点分析 １.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2 -+=x y 则原二次函数的解析式为 ２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x 2 相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数1)3(2 32 ++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______ ４.（08绍兴）已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是（ ） A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > ５.(兰州10) 抛物线c bx x y ++=2 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为 322 --=x x y ，则b 、c 的值为（ ） A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线5)43()1(2 2 +--++=x m m x m y 以Y 轴为对称轴则。M ＝ ７.二次函数52 -+=a ax y 的图象顶点在Y 轴负半轴上。且函数值有最小值，则m 的取值范围是 8.函数 245 (5)21a a y a x x ++=-+-, 当a =_______时, 它是一次函数; 当a =_______时, 它是二次函数.
一、目标与要求 1.使学生理解并掌握反比例函数的概念。 2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。 3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想。 4.会用描点法画反比例函数的图象。 5.结合图象分析并掌握反比例函数的性质。 6.体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法。 7.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题。 8.渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型。 二、知识框架 三、重点、难点 1.重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题。 重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质。 重点：利用反比例函数的图象和性质解决一些综合问题。 重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式。 2.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题。 难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质。
难点：学会从图象上分析、解决问题。 难点：理解反比例函数的概念。 四、知识点、概念总结 1.反比例函数：形如y=k/x，（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k，y=kx(-1)。 2.自变量的取值范围： （1）k≠0； （2）在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数； （3）函数y的取值范围也是任意非零实数。 3.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和y=-x。对称中心是：原点。 4.反比例函数的几何意义 |k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 即：过反比例函数y=k/x（k不等于0），图像上一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=（x的绝对值）*（y的绝对值）=（x*y）的绝对值=k的绝对值。 5. 反比例函数的性质： （1）（增减性）当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。 （2）k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。定义域为x≠0；值域为y≠0. （3）因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能
2019-2020年中考数学函数重点难点突破解题技巧传播十五 1、如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经 过点A、C、B的抛物线的一部分C 1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C 2 组合 成一条封闭曲线，我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C 2 ：（＜0）的顶点． （1）求A、B两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM为直角三角形时，求的值． 【答案】解：（1）令y=0，则， ∵m＜0，∴，解得：，。 ∴A（，0）、B（3，0）。 （2）存在。理由如下： ∵设抛物线C1的表达式为（）， 把C（0，）代入可得，。 ∴Ｃ1的表达式为：，即。 设P（p，）， ∴ S△PBC = S△POC + S△BOP–S△BOC =。 ∵<0，∴当时,S△PBC最大值为。 （3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，）， ∴BD2=，BM2=，DM2=。 ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况： 当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即＋=， 解得：, (舍去)。
当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2 ，即＋=， 解得：， (舍去) 。 综上所述， 或时，△BDM 为直角三角形。 【解析】（1）在中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标。 （2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值。 （3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即 可求得m 的值。 2、一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中图象如图，A 点为（－2，0）。则下列结论中，正确的是【 】 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 。 【解析】将A （－2，0）代入，得。 ∴二次函数()2 22y ax bx ax 2ax a x 1a =+=+=+-。∴二次函数的顶点坐标为（－1，－a ）。 当x=－1时，反比例函数。 由图象可知，当x=－1时，反比例函数图象在二次函数图象的上方，且都在x 下方， ∴，即。故选D 。 （实际上应用排它法，由，也可得ABC 三选项错误） 3．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①b ＜0；②4a+2b+c ＜0；③a ﹣b+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2．其中正确的结论是 A ．①② B ．①③ C ．①③④ D ．①②③④ 【答案】C 【解析】 试题分析：①图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，能得到：a ＞0，＞0，则b ＜0。正确。 ②∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，∴当x=2时，y=4a+2b+c ＞0。错误。 ③当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞0。正确。
二次函数压轴题 1. 如图，直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的 顶点是(－1，－2)，且与y 轴交于点C (0，－1)． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P 是抛物线上一动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥AB 于点M .记线段PM 的长为d ，求d 关于m 的函数关系式，并求d 取最小值时点P 的坐标； (3)若点F 在直线y ＝34x －3上移动，在抛物线的对称轴上存在点E ，使CE ＋EF 取最小值．请直接写出CE ＋EF 的最小值． 第1题图 1. 解：(1)根据题意，把点(－1，－2)，C (0，－1)代入抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 中， 得?????1－b ＋c ＝－2c ＝－1，解得? ????b ＝2c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x －1； (2)如解图①，作PD ⊥x 轴，交AB 于点D ， ∵点P 的横坐标为m ，
∴P (m ，m 2＋2m －1)，D (m ，34m －3)， ∵点P 恒在点D 的上方， ∴DP ＝ m 2 ＋2m －1－34m ＋3＝ m 2＋54m ＋2. ∵直线y ＝34x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， ∴A (4，0)，B (0，－3)， ∴OA ＝4，OB ＝3，由勾股定理可得AB ＝5， 第1题解图① ∵PD ∥y 轴，∴∠OBA ＝∠MDP ， 又∵∠AOB ＝∠PMD ＝90°，∴△AOB ∽△PMD ， ∴OA PM ＝AB DP ，即4d ＝5DP ， ∴d ＝45DP ＝ 45(m 2＋54m ＋2)＝ 45(m ＋58)2＋10380， ∴当m ＝－58时，d 取最小值， 此时y p ＝(－58)2＋2×(－58)－1＝－11964. 故点P 的坐标是(－58，－11964)；
初中二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这 里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ， 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
[初二数学]反比例函数知识点整理拓展及技巧讲解人教版
第七章、反比例函数 (1) 一、反比例函数知识要点点拨 (1) 二,、典型例题 (2) 三、反比例函数中考考点突破 (8) 四、达标训练 (10) (一)、基础.过关 (10) (二)、综合.应用 (11) 五、分类解析及培优 (13) (一)、反比例函数k的意义 (13) (二)、反比例函数与三角形合 (14) (三)、反比例函数与相似三角形 (15) (四)、反比例函数与全等三角形 (15) (五)、反比函数图像上四种三角形的面积 (15) (六)、反比例函数与一次函数相交题 (19) 1、联手演绎无交点 (20) 2、联手演绎已知一个交点的坐标 (20) 3、联手演绎图像分布、性质确定另一个函 数的图像分布 (20) 4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交 点的坐标 (20) (七)、反比例图像上的点与坐标轴围成图形
的面积 (21) (八)、与反比例函数有关的几种类型题目的 解题技巧 (23) 六、拓展练习 (26) 练习(一) (26) 练习（二） (28) 练习(三) (32) 本章参考答案 (35) 第七章、反比例函数 反比例函数这一章是八年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。 一、反比例函数知识要点点拨 1、反比例函数的图象和性质：
图象 性质 ①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠． ②当0k >时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小． ①x 的取值范围是0x ≠， y 的取值范围是0y ≠． ②当0k <时，函数图象的两个分支分别在第 二、第四象限．在每个象限内，y 随x 的增大 而增大． 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． 2、反比例函数与正比例函数 (0)y kx k =≠的异同点： 函数 正比例函数 反比例函数 解析式 (0)y kx k =≠ (0)k y k x = ≠ 图象 直线，经过原点 双曲线，与坐标轴没有交点 自变量取值范围 全体实数 0x ≠的一切实数 图象的位置 当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限． 当0k >时，在一、三象限； 当0k <时，在二、四象限． 性质 当0k >时，y 随x 的增大而增大； 当0k <时，y 随x 的增大而减小． 当0k >时，y 随x 的增大而减小； 当0k <时，y 随x 的增大而增大． 二,、典型例题 例 1 下面函数中，哪些是反比例函数？ （1）3x y -=；（2）x y 8-=；（3）54-=x y ；（4）1 5-=x y ；（5）.8 1 =xy x y O x y O
《反比例函数图像》教学重难点突破方案 一、教学重点 理解并掌握反比例函数的图象和性质 二、教学难点 正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质 三、重难点突破思路 画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤，即：列表、描点、连线，其中列表取值很关键。反比例函数 （k≠0）自变量的取值范围是x≠0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。连线时要告诉学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。教学时，老师要带着学生一起画，注意引导，及时纠错。在探究反比例函数的性质时，可结合正比例函数y＝kx（k≠0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容。这里要强调一下，反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号决定的；反之，双曲线的位置和函数性质也能推出k的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。 四、重难点突破措施 首先,目的明确了，做起事情才有方向，这节课学生通过我的引导，类比正比函数和一次函数图像与性质的研究方式途径，学生一回忆，方向明确了，自主探究起来也就有了方向，知道了自己应该怎么做。 其次,数形结合思想在函数学习中的重要性，一个问题让我们去凭空想象在自己的脑海里构图，想起来对相当多的学生还存在很到大的困难，但是只要我们把图做出来，再在图中寻找信息就变得直观形象。让人看起来一目了然，数形一结合，信息就自然明了。 再次，及时巩固是重点，学生既然能很好的总结知识点，那么我们就应该让学生把总结的知识点加深巩固，这就要设计切合实际的练习题，还应该紧扣本节课所学知识，我在设计习题的过程中特意的做了安排，只要学生能判断来一个反比例函数的比例系数就能很好的完成函数所在象限和增减性的判断。
高一函数重难点突破 一、 求复合函数的定义域的四种题型 1. 已知f[x]的定义域,求f(g(x))的定义域 例1设函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(lnx)的定义域 2. 已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域 例2已知f(3-2x)的定义域为x € [-1,2], 求函数f(x)的定义域 3. 已知f[g(x)]的定义域,求f(h(x))的定义域 例3若函数f(2 x )的定义城为[-1,1], 求f(log 2X )的定义域 4. 已知f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 例4已知函数f x 定义域为是[a,b]，且a b 0 求函数h x = fx ，m 「fx -m ]〔m - 0的定义域 b - m ： b m ，又 a - m ： b m 要使函数h x 的定义域为非空集合，必须且只需 a ? m 空b - m ，即0 ：：： m 乞b 「a 2 此时函数h x 的定义域为{x|a+m]l ：二：…iT (} 求函数解析式的六种题型 1?待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法 例1设f(x)是一次函数，且f[f (x)] =4x ?3，求f(x) a —m^x^ b —m .a+m^x^b+m m 0, a - m ：： a m
2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]的表达式，求f (x)的解析式。 f[g(x)]的表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。 1 1 例 2 ( 1)已知f(x + _)=x2+p (x>0)，求f (x)的解析式 x x (2)已知f(x 1) =x 2 x，求 f (x 1) 3?构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组, 通过解方程组求得函数解析式。 例3 设 f (x)满足 f (x) -2f (1Hx,求f(x) x
2 九年级数学中考总复习系列讲义（四）函数小题重难点突破 1. 已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b ＜a+c ；③2a+b=0；④a+b＞m （am+b ）（m≠1 的实数）．其中正确的结论有（ ） A 、1 个 B 、2 个 C 、3 个 D 、4 个 2. 如图，抛物线 y=ax 2 +bx+c 的对称轴是 x=1，下列结论： ①b＜0；②（a+c ） 2 ＞b 2 ；③2a+b -c ＞0；④3b＜2c ． 其中正确的结论有 （填上正确结论的序号）． 3. 已知：二次函数 y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0； ②2a+b＜0；③a+b＜m （am+b ）（m≠1 的实数）；④（a+c ）2＜b 2；⑤a＞1．其中正确 的项是（ ） A 、①⑤ B 、①②⑤ C 、②⑤ D 、①③④ 4. 已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b -4ac ＞ 0；②abc＞0；③8a+c＞0；④9a+3b+c＜0 其中，正确结论的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 5．如图是二次函数 y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A （x 1，0），-3＜x 1＜-2，对称 轴为 x=-1．给出四个结论：①abc＞0；②2a+b=0；③b ＞4ac ；④a -b ＞m （ma+b ）（m≠-1 的实数）；⑤3b+2c＞0．其中正确的结论有（ ） A ．2 个 B ．3 个 C ．4 个 D ．5 个 5. 已知抛物线 y=ax 2+bx+c （a ＞0）的对称轴为直线 x=-1，与 x 轴的一个交点为 （x 1，0），且 0＜x 1＜1，下列结论：①9a -3b+c ＞0；②b＜a ；③3a+c＞0 其中正确 的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6. 如图所示，二次函数 y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象经过点（-1，2），且与 x 轴交点的横坐标为 x 1、x 2，其中-2＜x 1＜-1、0＜x 2＜1．下列结论：①4a -2b+c ＜0，②2a -b ＜0，③a＜-1，④b 2 +8a ＞4ac 中，正确的结论是 ．
正、反比例函数的内容特点及教材分析 第一部分：初中函数内容的知识框架结构 1.函数在初中数学知识体系中的地位和作用 函数是初中数学中的重要内容之一，它是从现实世界中抽象出来的，是从数量关系的角度刻画事物运动变化规律的工具。函数知识渗透在初中数学的许多内容中，它又与物理、化学等学科知识密切相关。同时函数本身也是一种重要的数学思想，运用函数的思想和方法，可以加深对一些代数问题的理解。 2.初中学习函数的意义和要求 初中学习函数的意义是初步感受现实世界中除了确定的一些量——常量外，还有不少的量——变量，初步知道两个变量之间存在的关系，能利用这些关系来研究它们之间的一些基本性质。 初中学习函数的要求是理解函数的意义，理解正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的概念，能画出它们的图像，并根据图像知道它们的一些基本性质。 3.教材内容安排的方式及要求所体现的思想 函数内容在初中教材中主要分布在八年级和九年级中，八年级第一学期学习函数的概念，研究两个最简单的函数——正比例函数和反比例函数的有关图像和性质；八年级第二学期学习一次函数的有关图像和性质；九年级第一学期学习二次函数的有关图像和性质，九年级第二学期在拓展II中进一步对二次函数进行深入的研究。这样首先出示基本概念，然后由易到难研究一些特殊函数的编排方式符合学生的认知规律，帮助学生充分理解函数的基本思想。 4.高中函数教学的介绍 课程标准中指出：在初中学习函数的基础上，进一步理解函数是变量之间相互依赖关系的反映；学习用集合与对应的语言刻画函数，再从直观到解析、从具体到抽象，研究函数的性质，并能从解析的角度理解有关性质。 函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想和方法贯穿于高中数学。 第二部分：函数知识内容的教学研究 （一）函数内容的知识体系 初中学习函数主要是让学生对函数有一个初步的认识，知道生活中的变量关系，能用函数的思想处理一些简单的问题，因此初中函数内容的知识体系是，先介绍函数的概念，
反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型+ 重难点题型（含详细答案） 一、目录 一、目录 (1) 二、基础知识点 (2) 1.知识结构 (2) 2.反比例函数的概念 (2) 3.反比例函数的图象 (2) 4.反比例函数及其图象的性质 (2) 5.实际问题与反比例函数 (4) 三、常考题型 (6) 1.反比例函数的概念 (6) 2．图象和性质 (6) 3．函数的增减性 (8) 4．解析式的确定 (10) 5．面积计算 (12) 6．综合应用 (17) 三、重难点题型 (22) 1.反比例函数的性质拓展 (22) 2.性质的应用 (23) 1.求解析式 (23) 2.求图形的面积 (23) 3. 比较大小 (24) 4. 求代数式的值 (25) 5. 求点的坐标 (25) 6. 确定取值范围 (26) 7. 确定函数的图象的位置 (26)
二、基础知识点 1.知识结构 2.反比例函数的概念 1．（k≠0）可以写成（k≠0）的形式，注意自变量x 的指数为－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 k≠0这一限制条件； 2．（k≠0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点．3.反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． 4.反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（k≠0） 2．自变量的取值范围：x≠0 3．图象： （1）图象的形状：双曲线．
越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： ①与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． ②当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限 内，y随x的增大而减小； ③当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限 内，y随x的增大而增大． （3）对称性： ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则 （－a，－b）在双曲线的另一支上． ②图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（b，a）和（－b，－a）在双曲线的另一支上． （4）k的几何意义 图1 ①如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x 轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO 和三角形PBO的面积都是）．
专题 对数与对数函数（重难点突破） 重难点一 对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则；如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log a m M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1). 重难点三 对数函数及其性质 (1)概念：y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞). (2) 一、重难点题型突破 重难点1 对数与对数式的化简求值 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 例1．（1）（2017·全国高一课时练习）已知lg 9=a,10b =5，则用a ，b 表示log 3645
为 ． 【解析】由已知得lg5b =，则36lg 45lg 5lg 9log 45lg 36lg 4lg 92lg 2b a a ++= ==++， 因为10 lg 2lg 1lg515b ==-=-，所以2lg 22(1)22b a a b a b a b a a b +++==+-+-+， 即36log 4522 a b a b += -+. （2）求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1 x －3 ；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )． 【解析】 (1)要使函数有意义，需满足? ???? x －2>0， x －3≠0，解得x >2且x ≠3， 所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足???? ? 16－4x >0，x ＋1>0， x ＋1≠1，解得－1 《二次函数复习》教学案 班级：初三18班年级：九设计者：李玲时间：2015年10月16日 关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性． 基础知识之基础演练 二次函数是生活中最常见的一类函数，它有着自己固有的性质，反映的是轴对称性和增减性； 我们要突出反映二次函数的轴对称性、顶点坐标，我们就可以把一般式改写成顶点式；如果想知道抛物线与x轴两个交点的情况，我们可以把一般式写出交点式； 刚刚我们回顾了二次函数的性质，我们发现二次函数的图像能够直观地反映函数的特性，而数又能细致刻画函数图像的大小和位置，下面就让我们遵循着数形结合的线索，继续对二次函数进行深入的研究。 难点突破之思维激活1、如果把抛物线绕 ()4 12+ + - =x y顶点旋转 180°，则该抛物线对应的解析式是 . 若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平 移3个单位，则得到的抛物线对应的解析式 是 . 抛物线的平移——点的平移 难点突破之聚焦中考2、问题①，结合图像思考： 方程 ()1 4 12= + + -x 有几个实数解？ 问题②，结合图像思考： 当m为何值时，方程 ()m x= + + -4 12 1）有两个不相等的实数根； 2）有两个相等的实数根； 3）没有实数根？ 问题③ 其实方程、不等式本身就 有一个代数的解法，我们现在 也用图像解法 我们通过三个题目把这 个知识的层次性展示出来，方 程、不等式都可以转化成函数 的图像来解 若直线 m kx y +=1与抛物线 c bx ax y ++=22交于A （1,0） 、B （-1，4） 两点，观察图像填空： 1）方 程 m kx c bx ax +=++2的解 为 ； 2）不等式 m kx c bx ax +>++2的解 为 ； 3）不等式 m kx c bx ax +<++2的解 为 ； 反思与 提高 1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己 还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意 哪些问题？ 教者归纳本章知识网络图示 让学生自己总结一节课的得失，教者进行适当的点评．真正体现出学生是学习的主体．为今后自主学习奠定基础，由此达到数学教学的新境界——提升思维品质，形成数学素养． 对数函数及其性质的重难点突破 一、对数函数及其性质教学设计的说明 新课标指出：学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。我将以此为基础对教学设计加以说明。 数学本质：探究对数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决，转而由“形”——图象突破，体会数形结合的思想。通过分类讨论，通过研究两个具体的对数函数引导学生通过观察图象发现对数函数的图象规律，从而归纳对数函数的一般性质，经历一个由特殊到一般的探究过程。引导学生探究出对数函数的一般性质，从而对对数函数进行较为系统的研究。 二、教材的地位和作用：本节课是全日制普通高中标准实验教课书《数学必修1》第二章的内容，研究对数函数的定义，图像及性质。是在学生已经较系统地学习了函数的概念，将对数扩充到实数范围之后学习的一个重要的基本初等函数。它既是对函数的概念进一步深化，又是今后学习对数函数与幂函数的基础。因此，在教材中占有极其重要的地位，起着承上启下的作用。 此外，《对数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系，因此学习这部分知识还有着广泛的现实意义。 三、教学目标分析：根据本节课的内容特点以及学生对抽象的对数函数及其图象缺乏感性认识的实际情况，确定在理解对数函数定义的基础上掌握对数函数的图象和由图象得出的性质为本节教学重点。本节课的难点是对数函数图像和性质的发现过程。为此，特制定以下的教学目标： 1)知识目标(直接性目标)：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像、性质及其简单应用、能根据单调性解决基本的比较大小的问题. 2)能力目标(发展性目标)：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想，增强学生识图用图的能力。 3)情感目标(可持续性目标)：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，用联系的观点看问题体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程;体验研究函数的一般思维方法。引导学生发现数学中的对称美、简洁美。善于探索的思维品质。 教学问题诊断分析： 学生知识储备：通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习，学生对函数和图象的关系已经构建了一定的认知结构。(公开课一等奖)二次函数复习课教案
《对数函数及其性质》的重难点突破
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